\(\frac { cos\frac { \pi }{ 6 } +isin\frac { \pi }{ 6 } }{ 2\left( cos\frac { \pi }{ 3 } +isin\frac { \pi }{ 3 } \right) } \)
\(=\frac { 1 }{ 2 } \left( \frac { cos\left( -\frac { \pi }{ 6 } \right) +isin\left( -\frac { \pi }{ 6 } \right) }{ cos\left( \frac { \pi }{ 3 } \right) +isin\left( \frac { \pi }{ 3 } \right) } \right) \)
\(\left[ \because cos(-\theta )=cos\theta \ and \ sin(-\theta )=sin\theta \right] \)
\(=\frac { 1 }{ 2 } \left[ cos\left( -\frac { \pi }{ 6 } -\frac { \pi }{ 3 } \right) +isin\left( -\frac { \pi }{ 6 } -\frac { \pi }{ 3 } \right) \right] \)
\(=\frac { 1 }{ 2 } \left[ cos\left( \frac { -\pi -2\pi }{ 6 } \right) +isin\left( \frac { -\pi -2\pi }{ 6 } \right) \right] \)
\(=\frac { 1 }{ 2 } \left[ cos\left( \frac { -3\pi }{ 6 } \right) +isin\left( \frac { -3\pi }{ 6 } \right) \right] \)
\(=\frac { 1 }{ 2 } \left[ cos\left( \frac { -\pi }{ 2 } \right) +isin\left( \frac { -\pi }{ 2 } \right) \right] \)
\(=\frac { 1 }{ 2 } \left[ cos\left( \frac { \pi }{ 2 } \right) -isin\left( \frac { \pi }{ 2 } \right) \right] \)
\(=\frac { 1 }{ 2 } [0-i(1)]=\frac { -i }{ 2 } \)

|x+ iy - 4|²- |x+ iy - 1|²= 16
⇒ I(x - 4) + iy|² - I(x -1) + iyl² = 16
⇒ [(x-4)² + y²] - [(x-1)² + y²] = 16
⇒ x² - 8x + 16 + y³ - [x² - 2x + 1 + y²] = 16

⇒ -6x + 15 - 16 = 0
⇒ -6x - 1 = 0
⇒ 6x + 1 = 0 என்பது தேவையான கார்டீசியன் சமன்பாடு  ஆகும்.

LHS = (z₁ z₂) z₃
= [(1 - 3i) (- 4i)] + 5
= [- 4i + 12i²] 5
= (-4i-12)5= -20i - 60
RHS = z₁ (z₂ z₃)
= (1-3i) [(-4i) 5]
= (1- 3i)(- 20i)
= - 20i + 60i²
= - 20i - 60
LHS=RHS
∴ (z₁ z₂) z₃= z₁(z₂ z₃)

LHS = \(\frac { a+b\omega +c{ \omega }^{ 2 } }{ b+c\omega +a{ \omega }^{ 2 } } +\frac { a+b\omega +c{ \omega }^{ 2 } }{ c+a\omega +b{ \omega }^{ 2 } } \)
\(\frac { { a\omega }^{ 3 }+{ b\omega +c\omega }^{ 2 } }{ b+c\omega +a{ \omega }^{ 2 } } +\frac { a{ \omega }^{ 3 }+b\omega { (\omega ) }^{ 2 }+c{ \omega }^{ 2 } }{ c+a\omega +b{ \omega }^{ 2 } } [\because { \omega }^{ 2 }=1]\)

= \(\omega +{ \omega }^{ 2 }=-1\)  \([\because 1+\omega +{ \omega }^{ 2 }=0]\)

\(\frac { 1+i }{ 1-i } =\frac { \left( 1+i \right) \left( 1+i \right) }{ \left( 1-i \right) \left( 1+i \right) } =\frac { 1-2i-1 }{ 1+1 } =\frac { 2i }{ 2 } =i\)
மேலும் \(\frac { 1-i }{ 1+i } ={ \left( \frac { 1+1 }{ 1-i } \right) }^{ -1 }=\frac { 1 }{ i } =-i\)
எனவே, \({ \left( \frac { 1+i }{ 1-i } \right) }^{ 3 }-{ \left( \frac { 1-i }{ 1+i } \right) }^{ 3 }\) = \({ i }^{ 3 }-{ (-i) }^{ 3 }\) = -i - i =- 2i 

z₁ =(2 + i)x + (1 - i)y + 2i - 3 = (2x + y - 3) + i(x - y + 2) மற்றும்
z₂ = x + ( -1 + 2i)y + 1 + i = (x - y  + 1) i(2y + 1) என்க.
z₁ = z₂ எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
எனவே, (2x + y - 3) + i(x - y + 2) = (x - y  + 1) + i(2y + 1)
மெய் மற்றும் கற்பனைப் பகுதிகளைச் சமப்படுத்த
2x + y - 3 = x - y + 1 ⇒ x + 2y = 4
x - y + 2 = 2y + 1 ⇒ x - 3y = -1
மேற்கண்ட சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க
x = 2 மற்றும் y = 1 எனப்பெறலாம்.

z முழுவதும் கற்பனை எண் ஆதலால்
z = - \(\bar { z } \)
\(\therefore { 2 }^{ n }\left[ cos\frac { n\pi }{ 6 } +isin\frac { n\pi }{ 6 } \right] =-{ 2 }^{ n }\left[ cos\frac { n\pi }{ 6 } -isin\frac { n\pi }{ 6 } \right] \) [(1) மற்றும் (2) லிருந்து]

\(2cos\frac { n\pi }{ 6 } =0\)
\(cosn\frac { \pi }{ 6 } =0=cos\frac { \pi }{ 2 } [\because cos\frac { \pi }{ 2 } =0]\)
⇒ n = \(\frac62\) ⇒ n = 3

Im(3z + 4\(\bar { z } \) - 4i)
= Im (3(x + iy) + 4 (x - iy) - 4i)
= Im (3x + i3y + 4x - i4y - 4i)
= Im (3x + 4x + i (3y - 4y - 4)
= 7x + iy - 4i
= Im (7x + i (- y - 4))
∴ கற்பனை பகுதி என்பது - y - 4

\(z=\left| 4+3i \right| \) என்க.
\(=\sqrt { { 4 }^{ 2 }+{ 3 }^{ 2 } } =\sqrt { 16+9 } =\sqrt { 25 } =5\)
\(\sqrt { a+ib } =\pm \sqrt { \frac { \left| z \right| +a }{ 2 } } +i\frac { b }{ \left| b \right| } \sqrt { \frac { \left| z \right| -a }{ 2 } } \) [இங்கு \(\left| z \right| =5,a=4,b=3\)]
\(\sqrt { 4+3i } =\pm \sqrt { \frac { \left| z \right| +a }{ 2 } } +i\frac { 3 }{ \left| 3 \right| } \sqrt { \frac { 5-4 }{ 2 } } \)
\(=\pm \sqrt { \frac { 9 }{ 2 } } +i\frac { 3 }{ 3 } \sqrt { \frac { 1 }{ 2 } } \)
\(=\pm \frac { 3 }{ \sqrt { 2 } } +i.\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \)

\(7\le \left|z +6-8i \right| \le 13\) எனக் கொடுக்கப்பட்டது 
\(\left| z+6-8i \right| \le \left| z \right| +\left| 6-8i \right| \) [முக்கோணச் சமனிலி]
\(\le 3\sqrt { { 6 }^{ 2 }+{ (-8) }^{ 2 } } \le 3+\sqrt { 36+64 } \le 3\sqrt { 1w } \)
\(\left| z+6-8i \right| \le 3+10\le 13\) ...(1)
மேலும் \(\left| z+6-8i \right| \ge \left| z \right| -\left| 6-8i \right| \ge \left| 3\sqrt { { 6 }^{ 2 }+{ (-8) }^{ 2 } } \right| \)
\(\ge \left| 3-\sqrt { 36+84 } \right| \ge \left| 3-10 \right| \ge \left| -7 \right| \ge 7\) ...(2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து கிடைப்பது,
\(7\le \left| z+6-8i \right| \le 13\) எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

கொடுக்கப்பட்ட z₁ = 2 - i மற்றும் z₂ = - 4 + 3i
z₁ z₂ = (2 + i)(- 4 + 3i)
= - 8 + 6i + 4i - 3i²
= -8 + 10i - 3(-1)
= -8 + 10i + 3 = - 5 + 10i
z₁ z₂ -ன் நேர்மாறு என்பது \(\frac { 1 }{ { z }_{ 1 }{ z }_{ 2 } } \)
= \(\frac { 1 }{ -5+10i } \times \frac { -5-10i }{ -5-10i } \)
= \(\frac { -5-10i }{ { (-5) }^{ 2 }-({ 10i })^{ 2 } } \)
= \(\frac { -5-10i }{ { 25-{ 100i }^{ 2 } } } \)
= \(\frac { -5-10i }{ 25+100 } \)  [∵ i²=1]

∴ z₁z₂ - ன் நேர்மாறு என்பது \(\frac { 1 }{ 25 } (-1-2i)\)
\(\frac { { z }_{ 1 } }{ { z }_{ 2 } } \) - ன் நேர்மாறு என்பது \(\frac { 1 }{ \frac { { z }_{ 1 } }{ { z }_{ 2 } } } =\frac { { z }_{ 2 } }{ { z }_{ 1 } } \)
∴ நேர்மாறு \(\frac { { z }_{ 1 } }{ { z }_{ 2 } } =\frac { { z }_{ 2 } }{ { z }_{ 1 } } =\frac { -4+3i }{ 2-i } \times \frac { 2+i }{ 2+i } \)
\(=\frac { -4+3i }{ 2-i } \times \frac { 2+i }{ 2+i } \)
\(=\frac { -8-4i+6i+{ 3 }i^{ 2 } }{ { 2 }^{ 2 }-{ (i }^{ 2 }) } \)
\(=\frac { -8+2i-3 }{ 4+1 } =\frac { -11+2i }{ 5 } =\frac { 1 }{ 5 } (-11+2i)\)
∴ \(\frac { { z }_{ 1 } }{ { z }_{ 2 } } \) - ன் நேர்மாறு என்பது \(\frac { 1 }{ 5 } (-11+2i)\)

z = (2 +3i)(1 - i) = (2 + 3)+ (3 - 2)i = 5 + i
⇒ z⁻¹ = \(\frac { 1 }{ z } =\frac { 1 }{ 5+i } \)
தொகுதி மற்றும் பகுதியை பகுதியின் இணை எண்ணால் பெருக்க
z⁻¹ = \(\frac { (5-i) }{ (5+i)(5-i) } =\frac { 5-i }{ { 5 }^{ 2 }+{ 1 }^{ 2 } } =\frac { 5 }{ 26 } -i\frac { 1 }{ 26 } \)
⇒ z⁻¹ = \(\frac { 5 }{ 26 } -i\frac { 1 }{ 26 } \)

z³ +8i = 0 என்க.
⇒ z³ = -8i
= 8(-i) = 8\(\left( cos\left( -\frac { \pi }{ 2 } +2k\pi \right) +isin\left( -\frac { \pi }{ 2 } +2k\pi \right) \right) \), k \(∈\) Z எனவே,
z = \(\sqrt [ 3 ]{ 8 } \left( cos\left( \frac { -\pi +4k\pi }{ 6 } \right) +isin\left( \frac { -\pi +4k\pi }{ 6 } \right) \right) \), k = 0,1,2.
k = 0, 1, 2 எனப் பிரதியிட
k = 0, z = 2\((cos\left( -\frac { \pi }{ 6 } \right) +isin\left( -\frac { \pi }{ 6 } \right) )=2\left( \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } -i\frac { 1 }{ 2 } \right) \) = \(\sqrt { 3 } \) - i
k=1, z = \(2\left( cos\left( \frac { \pi }{ 2 } \right) +isin\left( \frac { \pi }{ 2 } \right) \right) \) = 2 = 2(0 + i) = 0 + 2i = 2i
k = 2, z = \(2\left( cos\left( \frac { 7\pi }{ 6 } \right) +isin\left( \frac { 7\pi }{ 6 } \right) \right) \) = \(2\left( cos\left( \pi +\frac { \pi }{ 6 } \right) +isin\left( \pi +\frac { \pi }{ 6 } \right) \right) \)
= \(2\left( -cos\left( \frac { \pi }{ 6 } \right) +isin\left( \frac { \pi }{ 6 } \right) \right) \) = \(2\left( -\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } -i\frac { 1 }{ 2 } \right) \)  = \(-\sqrt { 3 } \) - i 
z-ன் மதிப்புகள் = \(\sqrt { 3 } \) - i , 2i, மற்றும் -\(\sqrt { 3 } \) - i

நாம் \({ 1 }^{ \frac { 1 }{ 3 } }\) ஐ காணவேண்டும் z = \({ 1 }^{ \frac { 1 }{ 3 } }\) எனில, z³ = 1 ஆகும்.
z³= 1 என்ற சமன்பாட்டை துருவ வடிவில் எழுத
z³ = cos(0 + 2kπ) + isin(0 + 2kπ) = e^i2kπ, k = 0,1,2...,
எனவே, z \(=cos\left( \frac { 2k\pi }{ 3 } \right) +isin\left( \frac { 2k\pi }{ 3 } \right) ={ e }^{ i\frac { 2k\pi }{ 3 } }\),  k = 0,1,2.
k=0,1,2, எனப்பிரதியிட
k=0, z =cos 0 + i sin 0 = 1
k=1, \(z=cos\frac { 2\pi }{ 3 } +isin\frac { 2\pi }{ 3 } =cos\left( \pi -\frac { \pi }{ 3 } \right) +isin\left( \pi -\frac { \pi }{ 3 } \right) \)
\(=-cos\frac { \pi }{ 3 } +isin\frac { \pi }{ 3 } =-\frac { 1 }{ 2 } +i\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \)
k=2, z \(=cos\frac { 4\pi }{ 3 } +isin\frac { 4\pi }{ 3 } =cos\left( \pi +\frac { \pi }{ 3 } \right) +isin\left( \pi +\frac { \pi }{ 3 } \right) \)
\(=-cos\frac { \pi }{ 3 } +isin\frac { \pi }{ 3 } =-\frac { 1 }{ 2 } -i\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \)
ஆகவே, ஒன்றின் மூன்றாம் படிமூலங்கள்
1, \(\frac { -i+i\sqrt { 3 } }{ 2 } ,\frac { -1-i\sqrt { 3 } }{ 2 } \Rightarrow 1,\omega \), மற்றும் \({ \omega }^{ 2 }\), இங்கு \(\omega ={ e }^{ i\frac { 2\pi }{ 3 } }\)=\(\frac { -i+i\sqrt { 3 } }{ 2 } \)

LHS = (1 - ω + ω²)⁶ + (1 + ω - ω²)⁶ 
=(1 - ω + ω²)⁶ + (- ω - ω²)⁶ [∵ 1 +  ω + ω²=0]
⇒ 1 + ω = -ω²
1 + ω = -ω
= (-ω - ω)⁶ + (-2ω²)⁶
=(-2ω)⁶+(-2 ω²)⁶
=2⁶.ω⁶ + 2⁶. ω¹²
=2⁶[(ω³)² + (ω³)⁴]
=2⁶[1+1] [∵ ω³ = 1]
= 2⁶ x 2¹= 2⁷ = 128 = RHS

(i) cos3 α + cos3 β + cos3 ⋎ = 3cos (α+ β + ⋎) 
கொடுக்கப்பட்ட cos α + cos β + cos ⋎ = sin α + sin β + sin ⋎ = 0 
ஃ (cos α + cos β + cos ⋎) +  (cos α + cos β + cos ⋎)
⇒ (cos α + i sin α) + (cos β + i sin β) + (cos ⋎ + i sin ⋎) = 0
⇒ a + b + c = 0 இங்கு a = cos α + i sin α, b = cos β + i sin β, c = cos ⋎ + i sin ⋎
a + b + c = 0 எனில் a³ + b³ + c³ = 3abc.
∴ (cos α+ i sin α)³ + (cos β + i sin β)³ + (cos ⋎ + i sin ⋎)³ = 3[(cos α+ i sin α) + (cos β + i sin β) + (cos ⋎ + i sin ⋎)]
டி மாய்வரின் தேற்றப்படி,
⇒ cos 3α + i sin 3α + cos 3β + i sin 3β + cos 3⋎ + i sin 3⋎
= 3[(cos (α + β + ⋎) i sin (α + β + ⋎)]
⇒ (cos 3α + cos 3β + cos 3⋎) +i [sin 3α + sin 3β + sin 3⋎)]
= 3[(cos (α + β + ⋎) i sin (α + β + ⋎)]
மெய் மற்றும் கற்பனைப் பகுதிகளைச் சமப்படுத்த கிடைப்பது.
cos3 α + cos3 β + cos3 ⋎ = 3cos (α+ β + ⋎)
மற்றும் sin3 α + sin3 β + sin3 ⋎ = 3 sin (α+ β + ⋎)
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

z = x + iy என்க.
அதாவது \(\frac { 1+z }{ 1-z } =cos2\theta +isin2\theta \)
\(\Rightarrow \frac { 1+x+iy }{ 1-x-iy } =cos2\theta +isin2\theta \)  ...(1)
மட்டு மதிப்பு காண கிடைப்பது
\(\left| \frac { 1+x+iy }{ 1-x-iy } \right| =\left| cos2\theta +isin2\theta \right| \Rightarrow \left| \frac { 1+x+iy }{ 1-x-iy } \right| \)
\(=\sqrt { { cos }^{ 2 }2\theta +{ sin }^{ 2 }\theta } =1\)
\(\Rightarrow \left| 1+x+iy \right| =\left| 1-x-iy \right| \)
\(\Rightarrow \sqrt { { (1+x) }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } =\sqrt { { (1-x) }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } \)
\(\Rightarrow (1+{ x })^{ 2 }+{ y }^{ 2 }=(1-{ x) }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }\)

⇒ 4x = 0 ⇒ x = 0
(1) லிருந்து \(\frac { (1+x)+iy }{ (1-x)-iy } \times \frac { (1-x)+iy }{ (1-x)+iy } =cos2\theta +isin2\theta \)
கற்பனை பகுதியை தனியாக எடுக்க கிடைப்பது.
\(\frac { y(1+x)+y(1+x) }{ { (1+x) }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } =sin2\theta \)

\(\frac { 2y }{ 1+{ y }^{ 2 } } =sin2\theta \)  [∵ x = 0]
\(\Rightarrow \frac { 2tan\theta }{ 1+{ tan }^{ 2 }\theta } =sin2\theta \)
∴ y ஆனது tan θ ற்கு சமமாக இருக்க வேண்டும்.
y = \( tan \theta \)
∴ z = 0 + i tan θ ⇒ z = tan θ

கொடுக்கப்பட்டது z = x + iy
\(Im\left( \frac { 2z+1 }{ iz+1 } \right) =0\)
\(\Rightarrow Im\left( \frac { 2(x+iy)+1 }{ i(x+iy)+1 } \right) =0\)
\(\Rightarrow Im\left( \frac { (2x+1)+2iy }{ ix+{ i }^{ 2 }y+1 } \right) =0\)
\(\Rightarrow Im\left( \frac { (2x+1)+2iy }{ ix-y+1 } \right) =0\)
\(\Rightarrow Im\left( \frac { (2x+1)+iy }{ (1-y)+ix } \right) =0\)
பகுதியின் இணையால் தொகுதி மற்றும் பகுதியை பெருக்க கிடைப்பது.
\(Im\left( \frac { (2x+1)+2iy }{ (1-y)+ix } \times \frac { (1-y)-ix }{ (1-y)-ix } \right) =0\)
\(\Rightarrow Im\left( \frac { (2x+1)+2iy\times (1-y)-ix }{ (1-{ y })^{ 2 }+{ x }^{ 2 } } \right) =0\)
கற்பனை பகுதியை தேர்ந்தெடுக்க கிடைப்பது,
\(\frac { (2x+1)+(-x)\times 2y(1-y) }{ (1-{ y })^{ 2 }+{ x }^{ 2 } } =0\)
⇒ (2x+ 1)-x+2y(1-y) = 0
⇒ -2x² - x + 2y - 2y² = 0
⇒ 2x² + 2y² + x - 2y = 0
எனவே z - ன் நியமப்பாதை
2x² + 2y² + x - 2y = 0

கொடுக்கப்பட்டது \(\left| { z }_{ 1 } \right| =1,\left| { z }_{ 2 } \right| =2,\left| z_{ 3 } \right| =3\),
\(\left| { z }_{ 1 }+{ z }_{ 2 }+{ z }_{ 3 } \right| =1\)
\({ \left| { z }_{ 1 } \right| }^{ 2 }={ 1 }^{ 2 }\Rightarrow { z }_{ 1 }\overline { { z }_{ 1 } } \Rightarrow { z }_{ 1 }=\frac { 1 }{ { z }_{ 1 } } \)
\({ \left| { z }_{ 2 } \right| }^{ 2 }=4\Rightarrow { z }_{ 2 }\overline { { z }_{ 2 } } =4\Rightarrow { z }_{ 2 }=\frac { 4 }{ { z }_{ 2 } } \)
\({ \left| { z }_{ 3 } \right| }^{ 2 }=9\Rightarrow { z }_{ 3 }\overline { { z }_{ 3 } } =9\Rightarrow { z }_{ 3 }=\frac { 9 }{ { z }_{ 3 } } \)
\(\therefore \left| 9{ z }_{ 1 }{ z }_{ 2 }+4{ z }_{ 1 }{ z }_{ 3 }+{ z }_{ 2 }{ z }_{ 3 } \right| \)
\(=\left| 9.\frac { 1 }{ { z }_{ 1 } } .\frac { 4 }{ { z }_{ 2 } } +4.\frac { 1 }{ { z }_{ 1 } } .\frac { 9 }{ { z }_{ 3 } } +\frac { 4 }{ { z }_{ 2 } } .\frac { 9 }{ { z }_{ 3 } } \right| \)
\(\left| \frac { 36 }{ \overline { { z }_{ 1 } } \overline { { z }_{ 2 } } } +\frac { 36 }{ \overline { { z }_{ 1 } } \overline { { z }_{ 3 } } } +\frac { 36 }{ \overline { { z }_{ 2 } } \overline { { z }_{ 3 } } } \right| =\left| \left( \frac { \overline { { z }_{ 3 } } +\overline { { z }_{ 2 } } +\overline { { z }_{ 1 } } }{ \overline { { z }_{ 1 } } \overline { { z }_{ 2 } } \overline { { z }_{ 3 } } } \right) \right| \)
\([\therefore \left| \overline { { z }_{ 1 } } +\overline { { z }_{ 2 } } +\overline { { z }_{ 3 } } = \right| =\overline { { z }_{ 1 }+{ z }_{ 2 }+{ z }_{ 3 } } ]\)
\(\frac { 36\left| \overline { { z }_{ 1 }+{ z }_{ 2 }+{ z }_{ 3 } } \right| }{ \left| \overline { { z }_{ 1 } } \right| \left| \overline { { z }_{ 2 } } \right| \left| \overline { { z }_{ 3 } } \right| } =36\frac { 36\left| \overline { { z }_{ 1 }+{ z }_{ 2 }+{ z }_{ 3 } } \right| }{ \left| \overline { { z }_{ 1 } } \right| \left| \overline { { z }_{ 2 } } \right| \left| \overline { { z }_{ 3 } } \right| } \)

\([\because \left| { \overline { z } }_{ 1 } \right| =\left| { z }_{ 1 } \right| ,\left| { \overline { z } }_{ 2 } \right| =\left| { z }_{ 2 } \right| ,\left| { \overline { z } }_{ 3 } \right| \left| { z }_{ 3 } \right| ]\)

\({ (2+i\sqrt { 3 } ) }^{ 10 }-(2-i{ \sqrt { 3 } })^{ 10 }\)
இப்பொழுது \(\overline { z } =\overline { (2+i{ \sqrt { 3 } ) }^{ 10 }-(2-i{ \sqrt { 3 } ) }^{ 10 } } \)
\(\overline { z } =\overline { (2+i{ \sqrt { 3 } ) }^{ 10 } } -(2-i{ \sqrt { 3 } ) }^{ 10 }\) \([\because \overline { { z }_{ 1 }-{ z }_{ 2 } } =\overline { { z }_{ 1 } } -\overline { { z }_{ 2 } } ]\)
\(=(2-i{ \sqrt { 3 } ) }^{ 10 }-(2+i{ \sqrt { 3 } ) }^{ 10 }\)
\(=-[(2+i{ \sqrt { 3 } ) }^{ 10 }-(2-i{ \sqrt { 3 } ) }^{ 10 }]=-z\)
\(\therefore \overline { z } =-\overline { z } \Rightarrow z\) முழுவதும் கற்பனை எண்
எனவே \({ (2+i\sqrt { 3 } ) }^{ 10 }-(2-i{ \sqrt { 3 } })^{ 10 }\) முழுவதும் கற்பனை எண்.

i) z = \({ (2+i\sqrt { 3 } ) }^{ 10 }+{ (2-i\sqrt { 3 } ) }^{ 10 }\) என்க.
இதிலிருந்து, \(\bar { z } =\overline { { (2+i\sqrt { 3 } ) }^{ 10 }+{ (2-i\sqrt { 3 } ) }^{ 10 } } \)
= \(\overline { { (2+i\sqrt { 3 } ) }^{ 10 } } +\overline { { (2-i\sqrt { 3 } ) }^{ 10 } } \)  \(\overline { (\because { z }_{ 1 }+{ z }_{ 2 } } =\bar { { z }_{ 1 } } +\bar { { z }_{ 2 } } )\)
= \({\overline { (2+i\sqrt { 3 } ) } }^{ 10 }+{ \overline { (2-i\sqrt { 3 } ) } }^{ 10 }\)  \((\because \bar { { (z }^{ n }) } ={ (\bar { z } ) }^{ n })\)
= \({ { (2+i\sqrt { 3 } ) } }^{ 10 }+{ { (2+i\sqrt { 3 } ) } }^{ 10 }\) = z
\(\bar { z } \)= z ⇒ z ஒரு மெய்யெண் ஆகும்.
ii)  \({ \left( \frac { 19+9i }{ 5-3i } \right) }^{ 15 }-{ \left( \frac { 8+i }{ 1+2i } \right) }^{ 15 }\) என்க.
இங்கு, \(\frac { 19+9i }{ 5-3i } =\frac { (19+9i)(5+3i) }{ (5-3i)(5+3i) } \)
= \(\frac { (95-27)+i(45+57) }{ { 5 }^{ 2 }+{ 3 }^{ 2 } } =\frac { 68+102i }{ 34 } \)
= 2 + 3i    ....(1)
மற்றும், \(\frac { 8+i }{ 1+2i } =\frac { (8+i)(1-2i) }{ (1+2i)(1-2i) } \)
= \(\frac { (8+2)+i(1-16) }{ { 1 }^{ 2 }+{ 2 }^{ 2 } } =\frac { 10-15i }{ 5 } \)
= 2 - 3i     ...(2)
இப்பொழுது, z = \({ \left( \frac { 19+9i }{ 5-3i } \right) }^{ 15 }-{ \left( \frac { 8+i }{ 1+2i } \right) }^{ 15 }\)
⇒ z = (2 + 3i)¹⁵ - (2 - 3i)¹⁵ ((1) மற்றும் (2)லிருந்து)
வரையறையிலிருந்து, \(\bar { z } \) = \(\overline { { (2+3i) }^{ 15 }-{ (2-3i) }^{ 15 } } \)
= \({ \overline{ (2+3i) } }^{ 15 }-{ \overline { (2-3i) } }^{ 15 }\) (இணை எண் பண்புகளின்படி)
= (2 + 3i)¹⁵ - (2 - 3i)¹⁵ = - ((2 + 3i)¹⁵ - (2 - 3i)¹⁵ )
⇒ \(\bar { z } \) = −z.
ஆகவே, z = \({ \left( \frac { 19+9i }{ 5-3i } \right) }^{ 15 }-{ \left( \frac { 8+i }{ 1+2i } \right) }^{ 15 }\) என்பது முழுவதும் கற்பனை எண் ஆகும்.

\(\frac{3}{-1+i}=\frac{3}{-1+i} \times \frac{-1-i}{-1-i}=\frac{3}{2}(-1-i) \)
\(\theta=\tan ^{-1}\left(\frac{-1}{-1}\right)=\frac{\pi}{4}\)
மெய் மற்றும் கற்பனைப் பகுதிகள் குறை மதிப்புகள் என்பதால் 'θ' ஆனது 3 ஆம் கால் வட்டப் பகுதியில் அமைகிறது.
முதன்மை வீச்சு \(=-\frac{3 \pi}{4} \quad\left[\because \frac{\pi}{4}-\pi\right]\)

\(z \in \mathbb{C} \backslash \mathbb{R}\) மற்றும் \(z+\frac{1}{z} \in \mathbb{R}\) எனில், 1/z ஆனது z - ன் இணை எண் ஆகும்.
ie) \(|z|^2=1 \Rightarrow|z|=1\)

கொடுக்கப்பட்டது : \(\left| z-\frac { 3 }{ z } \right| \) = 2
|z| ஐ \(\left|\left(z-\frac{3}{z}\right)+\frac{3}{z}\right|\) என எழுதலாம்.
ஏதேனும் இரு காலப்பெண்களுக்கான முக்கோண சமனிலியைப் பயன்படுத்த,
\( || z-\frac{3}{z}|-| \frac{3}{z}|| \leq\left|z-\frac{3}{z}+\frac{3}{z}\right| \leq\left|z-\frac{3}{z}\right|+\left|\frac{3}{z}\right|\)
\(\left|2-| \frac{3}{z}|\leq| z|\leq 2+| \frac{3}{z} \right\rvert\, \)
\( \left.\Rightarrow 2-\left|\frac{3}{z}\right|-|z| \leq 0 \Rightarrow|z|+\frac{3}{\mid z} \right\rvert\,-2 \geq 0\)
\( -2+\left|\frac{3}{z}\right|-|z| \leq 0 \Rightarrow|z|-\frac{3}{|z|}+2 \geq 0\)
\( |z|-2-\frac{3}{|z|} \leq 0\)
|z| = r என்க.
\(\text {(1) } \Rightarrow r^2-2 r+3 \geq 0 \)
B² - 4AC = 4 - 12 < 0, மெய் மூலங்கள் இல்லை 
\(\text {(2) } \Rightarrow r^2+2 r-3 \geq 0 \Rightarrow(r+3)(r-1) \geq 0\)
ie) \(r \in \mathbb{R}-(-3,1)\)
\(\text {(3) } \Rightarrow r^2-2 r-3 \leq 0 \Rightarrow(r-3)(r+1) \leq 0\)
ie) \(r \in[-1,3]\)
(4) மற்றும் (5) லிருந்து, \(r \in[1,3] \Rightarrow|z| \in[1,3]\)
\(\therefore|z|\) ன் மீச்சிறு மதிப்பு 1

ஒரு கலப்பெண்ணின் இணை கலப்பெண் \(\frac { 1 }{ i-2 } \) 
கலப்பெண் \(z = \frac { 1 }{ -i-2 } = \frac { 1 }{-( i-2) } = \frac { -1 }{( i+2) } \)