\(\frac{1}{x}\) = z 
3z+2y=12, 2z+3z=13
\(\therefore \Delta =\left| \begin{matrix} 3 & 2 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right| =9-4=5\)
\({ \Delta }_{ 1 }=\left| \begin{matrix} 12 & 2 \\ 13 & 3 \end{matrix} \right| =36-26=10\)
\({ \Delta }_{ 2 }=\left| \begin{matrix} 3 & 12 \\ 2 & 13 \end{matrix} \right| =39-24=15\)
\(\therefore z=\frac { { \Delta }_{ 1 } }{ \Delta } =\frac { 10 }{ 5 } =2\Rightarrow x=\frac { 1 }{ 2 } \)
\(y=\frac { { \Delta }_{ 2 } }{ \Delta } =\frac { 15 }{ 5 } =3\)
∴ தீர்வுக் கணம் {\(\frac{1}{2}\),3}

திசையிலி முப்பெருக்கலின் வரையறையைப் பயன்படுத்தி நாம் பெறுவது
\(\left[ \vec { a } \times \vec { b } ,\vec { b } \times \vec { c } ,\vec { c } \times \vec { a } \right] =\left( \vec { a } \times \vec { b } \right) .\left( \vec { b } \times \vec { c } \right) .\left[ \left( \vec { c } \times \vec { a } \right) \right] \)
\(\left( \vec { b } \times \vec { c } \right) \)-ஐ வெக்டர் முப்பெருக்கலின் முதல் வெக்டராக எடுத்துக்கொண்டு
\(\left( \vec { b } \times \vec { c } \right) \times \left( \vec { c } \times \vec { a } \right) \)-ன் விரிவாக்கம் காண்போம். எனவே
\(\left( \vec { b } \times \vec { c } \right) \times \left( \vec { c } \times \vec { a } \right) =\left( \left( \vec { b } \times \vec { c } \right) .\vec { a } \right) \vec { c } -\left( \vec { b } \times \vec { c } \right) \vec { c } =\left[ \vec { a } ,\vec { b } ,\vec { c } \right] \vec { c } \)
இம்மதிப்பினை (1)-ல் பிரதியிட, நாம் பெறுவது,
\(\left[ \vec { a } \times \vec { b } ,\vec { b } \times \vec { c } ,\vec { c } \times \vec { a } \right] =\left( \vec { a } \times \vec { b } \right) .\left( \left[ \vec { a } ,\vec { b } ,\vec { c } \right] \vec { c } \right) =\left[ \vec { a } ,\vec { b } ,\vec { c } \right] \left( \vec { a } \times \vec { b } \right) .\vec { c } =\left[ \vec { a } ,\vec { b } ,\vec { c } \right] ^{ 2 }\)

கொடுக்கப்பட்ட p(x) எனும் பல்லுறுப்புக்கோவை சமன்பாட்டிற்கு தெளிவாகவே 2 முறை குறிமாற்றங்கள் இருப்பதால் p(x) -மிகையெண் மூலங்களின் எண்ணிக்கை இரண்டிற்கு மேலிராது. மேலும் p(-x) = 9x⁹ + 2x⁵ − x⁴ − 7x² + 2-ல்  p(-x) -க்கு ஒரே ஒரு முறை குறிமாற்றம் இருப்பதால் குறையெண் மூலங்களின் எண்ணிக்கை ஒன்றுக்கு மேற்பட்டு இல்லை. தெளிவாகவே 0 ஒரு மூலம் இல்லை. எனவே மெய்யெண் மூலங்களின் எண்ணிக்கை அதிகபட்சம் 3 ஆகும். எனவே குறைந்தபட்சம் ஆறு மெய்யற்ற கலப்பெண் மூலங்கள் உண்டு.

\(\sqrt { \frac { \sqrt { 2 } }{ \sqrt { 3 } } } \) என்பது ஒரு மூலம் என்பதால் x-\(\sqrt { \frac { \sqrt { 2 } }{ \sqrt { 3 } } } \) என்பது ஒரு காரணியாகும். வெளிப்புறமுள்ள வர்க்கமூலத்தை நீக்க x+\(\sqrt { \frac { \sqrt { 2 } }{ \sqrt { 3 } } } \)  என்பதை மற்றொரு காரணியாக எடுத்துக்கொண்டு இவை இரண்டையும் பெருக்க \(\left( x+\sqrt { \frac { \sqrt { 2 } }{ \sqrt { 3 } } } \right) \left( x-\sqrt { \frac { \sqrt { 2 } }{ \sqrt { 3 } } } \right) ={ x }^{ 2 }-\frac { \sqrt { 2 } }{ \sqrt { 3 } } \)எனப் பெறுகிறோம்.
இருப்பினும் நாம் இன்னும் இலக்கை அடையவில்லை. எனவே x²+\(\frac { \sqrt { 2 } }{ \sqrt { 3 } } \) என்பதை மற்றொரு காரணியாகக் கொண்டு இரண்டையும் பெருக்கினால் \(\left( x^2-\sqrt { \frac { \sqrt { 2 } }{ \sqrt { 3 } } } \right) \left( x^2+\sqrt { \frac { \sqrt { 2 } }{ \sqrt { 3 } } } \right) ={ x }^{ 4 }-\frac { 2 }{ 3 } \) எனக் கிடைக்கிறது. எனவே, தேவையானப் பண்புகளுடைய பல்லுறுப்புக் கோவைச் சமன்பாடு 3x⁴-2=0 ஆகும்.

இதற்கு நாம் முக்கோணத்தின் பக்கங்களின் நீளங்கள் சமம் என நிறுவினால் போதும்.
z₁ = 1, z₂ = \(\frac { -1 }{ 2 } +i\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \\ \)மற்றும் z₃ = \(\frac { -1 }{ 2 } -i\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \) என்க .
முக்கோணத்தின் பக்கங்களின் நீளங்களை காண்போம்
\(\left| { { z }_{ 1 }-z }_{ 2 } \right| =\left| 1-\left( \frac { -1 }{ 2 } +i \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \right) \right| =\left| \frac { 3 }{ 2 } -\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } i \right | =\sqrt { \frac { 9 }{ 4 } +\frac { 3 }{ 4 } } =\frac { 2\sqrt { 3 } }{ 2 } =\sqrt { 3 } \)
\(\left| { { z }_{ 2 }-z }_{ 3 } \right| =\left| \left( \frac { -1 }{ 2 } +i\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \right) -\left( \frac { -1 }{ 2 } -i\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \right) \right| =\sqrt { { \left( \sqrt { 3 } \right) }^{ 2 } } =\sqrt { 3 } \)
\(\left| { { z }_{ 3 }-z }_{ 1 } \right| =\left| \left( \frac { -1 }{ 2 } +i\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \right)-1 \right| =\left| \frac { -3 }{ 2 } -\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } i \right| =\sqrt { \frac { 9 }{ 4 } +\frac { 3 }{ 4 } } =\sqrt { 3 } \)
பக்கங்களின் நீளங்கள் சமம் எனவே, கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் ஒரு சமபக்க முக்கோணத்தை அமைக்கும்.

கருதுக. tan^-1 (x - 1) + tan^-1 (x + 1)
= tan^-1 \(\left( \frac { x-1+x+1 }{ 1-(x-1)(x+1) } \right) ={\tan }^{ -1 }\left( \frac { 2x }{ 1-\left( { x }^{ 2 }-1 \right) } \right) \)
= tan^-1 \(\left( \frac { 2x }{ 1-{ x }^{ 2 }+1 } \right) \)
= tan^-1 \(\left( \frac { 2x }{ 2-{ x }^{ 2 } } \right) \)
∴ tan^-1 \(\left( \frac { 2x }{ 2-{ x }^{ 2 } } \right) \) = tan^-1 (x) = tan^-1 (3x)
⇒ tan^-1 \(\left( \frac { 2x }{ 2-{ x }^{ 2 } } \right) \) = tan^-1 (3x) - tan^-1 (x)
\({ \tan }^{ -1 }\left( \frac { 2x }{ 2-{ x }^{ 2 } } \right) ={ \tan }^{ -1 }\left( \frac { 3x-x }{ 1+{ 3x }^{ 2 } } \right) \)
⇒ \(\frac { 2x }{ 2-{ x }^{ 2 } } =\frac { 2x }{ 1+{ 3x }^{ 2 } } \)
குறுக்கு பெருக்கல் மூலம் நமக்கு கிடைப்பது முப்படி சமன்பாடாகும்.
ஆகையால் கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டிற்கு மூன்று தீர்வுகள் இருக்கும்.

\(\frac { 1+i }{ 1-i } =\frac { \left( 1+i \right) \left( 1+i \right) }{ \left( 1-i \right) \left( 1+i \right) } =\frac { 1-2i-1 }{ 1+1 } =\frac { 2i }{ 2 } =i\)
மேலும் \(\frac { 1-i }{ 1+i } ={ \left( \frac { 1+1 }{ 1-i } \right) }^{ -1 }=\frac { 1 }{ i } =-i\)
எனவே, \({ \left( \frac { 1+i }{ 1-i } \right) }^{ 3 }-{ \left( \frac { 1-i }{ 1+i } \right) }^{ 3 }\) = \({ i }^{ 3 }-{ (-i) }^{ 3 }\) = -i - i =- 2i 

|A|=(2)(7)-(9)(1) = 14-9=5. எனவே, A^-1 =\(\frac { 1 }{ 5 } \left[ \begin{matrix} 7 & -9 \\ -1 & 2 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} \frac { 7 }{ 5 } & -\frac { 9 }{ 5 } \\ -\frac { 1 }{ 5 } & \frac { 2 }{ 5 } \end{matrix} \right] \)
எனவே, (A^-1)^T = \(\left[ \begin{matrix} \frac { 7 }{ 5 } & -\frac { 1 }{ 5 } \\ -\frac { 9 }{ 5 } & \frac { 2 }{ 5 } \end{matrix} \right] =\frac { 1 }{ 5 } \left[ \begin{matrix} 7 & -1 \\ -9 & 2 \end{matrix} \right] \) ... (1)
A^T=\(\left[ \begin{matrix} 2 & 1 \\ 9 & 7 \end{matrix} \right] \)எனவே |A^T| =(2)(7)-(1)(9) = 5
(A^T)^-1 = \(\frac { 1 }{ 5 } \left[ \begin{matrix} 7 & -1 \\ -9 & 2 \end{matrix} \right] \)... (2)
(1) மற்றும் (2)-லிருந்து கிடைப்பது, (A^-1)^T =(A^T)^-1 எனவே கொடுத்துள்ள பண்பு சரிபார்க்கப்பட்டது.

இணைகரத்தின் கனஅளவு = \(\vec { a } .\left( \vec { b } \times \vec { c } \right) \) 
கொடுக்கப்பட்ட \(\vec { a } .\left( \vec { b } \times \vec { c } \right) =90\) 
\(\Rightarrow \left| \begin{matrix} 7 & \lambda & -3 \\ 1 & 2 & -1 \\ -3 & 7 & 5 \end{matrix} \right| =90\) 
\(\Rightarrow 7\left| \begin{matrix} 2 & -1 \\ 7 & 5 \end{matrix} \right| -\lambda \left| \begin{matrix} 1 & -1 \\ -3 & 5 \end{matrix} \right| -3\left| \begin{matrix} 1 & 2 \\ -3 & 7 \end{matrix} \right| =90\) 

\(\Rightarrow 7(10+7)-\lambda \left( 5-3 \right) -3\left( 7+6 \right) =90\) 
\(\Rightarrow 7(17)-\lambda \left( 2 \right) -3\left( 13 \right) =90\) 
\(\Rightarrow 119-2\gamma -39=90\) 
\(\Rightarrow 119-39-90=2\lambda \) 
\(\Rightarrow -10=2\lambda \) 
\(\Rightarrow \lambda =-5\)

வட்டத்தின் சமன்பாடு x²+y²+x+2y-3 = 0
இங்கு\(2g=-1\Rightarrow g=\cfrac { -1 }{ 2 } \)
2f = 2
\(\Rightarrow\) f = 1 மற்றும் c = -3
மையம் \((-g,-f)=\left( \cfrac { 1 }{ 2 } ,-1 \right) \)
மற்றும் \(r=\sqrt { { g }^{ 2 }+{ f }^{ 2 }-c } \)
= \(\sqrt { \cfrac { 1 }{ 4 } +1+3 } \)
= \(\sqrt { \cfrac { 1 }{ 4 } +4 } =\sqrt { \cfrac { 1+16 }{ 2 } } \)
\(r=\sqrt { \cfrac { 17 }{ 2 } } \) அலகுகள்

கொடுக்கப்பட்ட வெக்டர்கள் ஒரு தள வெக்டர்கள் என்பதால் \(\left| \begin{matrix} 2 & -1 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \\ 1 & m & 4 \end{matrix} \right| \) = 0 ⇒ m = -3

கொடுக்கப்பட்ட 2i+3 என்பது ஒரு மூலம்.
∴ அதனுடைய இணை 3-2i பல்லுறுப்புக்கோவையின் ஒரு மூலமாகும்.

மூலங்களின் பெருக்கற்பலன்
=(3+2i)(3-2i)
=3²+2²=9+4=13
∴ எனவே குறைந்தபட்ச படியுடன் விகிதமுறு கெழுக்களையுடைய பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாடு
x²-x (மூலங்களின் கூடுதல்) + மூலங்களின் பெருக்கல் பலன் =0
⇒ x²-x(6)+13=0
⇒ x²-6x+13=0

\(7\le \left|z +6-8i \right| \le 13\) எனக் கொடுக்கப்பட்டது 
\(\left| z+6-8i \right| \le \left| z \right| +\left| 6-8i \right| \) [முக்கோணச் சமனிலி]
\(\le 3\sqrt { { 6 }^{ 2 }+{ (-8) }^{ 2 } } \le 3+\sqrt { 36+64 } \le 3\sqrt { 1w } \)
\(\left| z+6-8i \right| \le 3+10\le 13\) ...(1)
மேலும் \(\left| z+6-8i \right| \ge \left| z \right| -\left| 6-8i \right| \ge \left| 3\sqrt { { 6 }^{ 2 }+{ (-8) }^{ 2 } } \right| \)
\(\ge \left| 3-\sqrt { 36+84 } \right| \ge \left| 3-10 \right| \ge \left| -7 \right| \ge 7\) ...(2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து கிடைப்பது,
\(7\le \left| z+6-8i \right| \le 13\) எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

\(\left| 6-8i \right| =\sqrt { { 6 }^{ 2 }+({ -8) }^{ 2 } } =10\) மற்றும் வர்க்கமூலம் காண சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த
\(\sqrt { 6-8i } =\pm \left( \sqrt { \frac { 10+6 }{ 2 } } -i\sqrt { \frac { 10-6 }{ 2 } } \right) \) \((\because \) b குறை, \(\frac { b }{ \left| b \right| } =-1\))
 \(=\pm (\sqrt { 8 } -i\sqrt { 2 } )\)
\(=\pm (2\sqrt { 2 } -i\sqrt { 2 } )\).

LHS = \(\left[ \vec { a } -\vec { b } ,\quad \vec { b } -\vec { c } ,\quad \vec { c } -\vec { a } \right] =0\)
[\(\therefore\) குறுக்குப் பெருக்கல் பங்கீட்டுடையது ]
= \(\left( \vec { a } -\vec { b } \right) .\left[ \left( \vec { b } -\vec { v } \right) \times \left( \vec { c } -\vec { a } \right) \right] \)
= \(\left( \vec { a } -\vec { b } \right) .\left[ \vec { b } \times \vec { c } -\vec { b } \times \vec { a } -\vec { c } \times \vec { c } +\vec { c } \times \vec { a } \right] \) 
= \(\left( \vec { a } -\vec { b } \right) .\left[ \vec { b } \times \vec { c } -\vec { b } \times \vec { a } -0+\vec { c } \times \vec { a } \right] \)
\(\left[ \because \vec { c } \times \vec { c } =0 \right] \)
= \(\left[ \vec { a } \vec { b } \vec { c } \right] -\left[ \vec { a } \vec { b } \vec { a } \right] +\left[ \vec { a } \vec { c } \vec { a } \right] -\left[ \vec { b } \vec { b } \vec { c } \right] +\left[ \vec { b } \vec { b } \vec { a } \right] -\left[ \vec { b } \vec { c } \vec { a } \right] \)
= \(\left[ \vec { a } \vec { b } \vec { c } \right] -0+0-0+0-\left[ \vec { b } \vec { c } \vec { a } \right] \) 
= \(\left[ \because \left[ \vec { a } \vec { b } \vec { a } \right] =\left[ \vec { b } \vec { b } \vec { c } \right] =0 \right] \)
= \(\left[ \vec { a } \vec { b } \vec { c } \right] -\left[ \vec { a } \vec { b } \vec { c } \right] \)
= 0 = RHS.எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

\( \vec{a} =a_1 \hat{i}+a_2 \hat{j}+a_3 \hat{k} \\ \vec{a} \times \hat{i} =\left|\begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ 1 & 0 & 0 \end{array}\right| \\ =\hat{i}(0)-\hat{j}\left(-a_3\right)+\hat{k}\left(0-a_2\right) \\ =a_3 \hat{j}-a_2 \hat{k} \\ \hat{i} \times(\vec{a} \times \hat{i}) =\left|\begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & a_3 & -a_2 \end{array}\right| \\ =\hat{i}(0)-\hat{j}\left(-a_2\right)+\hat{k}\left(a_3\right)=a_2 \hat{j}+a_3 \hat{k} \hat{j} \times(\vec{a} \times \hat{j})=a_1 \hat{i}+a_3 \hat{k} \\ \hat{k} \times(\vec{a} \times \hat{k})=a_1 \hat{i}+a_2 \hat{j} \)
\( \hat{i} \times(\vec{a} \times \hat{i})+\hat{j} \times(\vec{a} \times \hat{j}) +\hat{k} \times(\vec{a} \times \hat{k}) \\ =2 a_1 \hat{i}+2 a_2 \hat{j}+2 a_3 \hat{k} \\ =2\left(a_1 \hat{i}+a_2 \hat{j}+a_3 \hat{k}\right)=2 \vec{a} \)

\(adj\quad (A)=\left[ \begin{matrix} 0 \\ 6 \\ -3 \end{matrix}\begin{matrix} -2 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ -6 \\ 6 \end{matrix} \right] \)
\({ A }^{ -1 }=\pm \frac { 1 }{ \sqrt { |adjA| } } (adj\ A)\) என அறிவோம். ...(1)
|adj A| = 0 + 2(36 - 18) + 0 = 2(18) = 36
\(|adj\ A|=0+2\left| \begin{matrix} 6 & -6 \\ -3 & 6 \end{matrix} \right| +0\)
[R₁ மூலம் விரிவுபடுத்தப்பட்டது]
\(\therefore { A }^{ -1 }=\pm \frac { 1 }{ \sqrt { 36 } } \left[ \begin{matrix} 0 \\ 6 \\ -3 \end{matrix}\begin{matrix} -2 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ -6 \\ 6 \end{matrix} \right] \)
\(\pm \frac { 1 }{ 6 } \left[ \begin{matrix} 0 & -2 & 0 \\ 6 & 2 & -6 \\ -3 & 0 & 6 \end{matrix} \right] \)

tan^-1(\(\sqrt3\)) = y  என்க.
எனவே tan y =\(\sqrt3\).
ஆகையால், y = \(\frac{\pi}{3}\).
ஏனெனில் \(\frac{\pi}{3}\) \(\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\)
எனவே, tan^-1(\(\sqrt3\)) ன் முதன்மை மதிப்பு \(\frac{\pi}{3}\)ஆகும்.

A =\(\left[ \begin{matrix} cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \end{matrix} \right] \)பின்பு, A^T = \(\left[ \begin{matrix} cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \end{matrix} \right] ^{ T }=\left[ \begin{matrix} cos\theta & sin\theta \\ -sin\theta & cos\theta \end{matrix} \right] \)
எனவே
AA^T = \(\left[ \begin{matrix} cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} cos\theta & sin\theta \\ -sin\theta & cos\theta \end{matrix} \right] \)
= \(\left[ \begin{matrix} { cos }^{ 2 }\theta +{ sin }^{ 2 }\theta & cos\theta sin\theta -sin\theta cos\theta \\ sin\theta cos\theta -cos\theta sin\theta & { sin }^{ 2 }\theta +{ cos }^{ 2 }\theta \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right] \) = I₂
இதேபோல் A^TA = I₂. எனவே AA^T = A^TA = I₂ ⇒ A ஆனது செங்குத்து அணியாகும்.

\(\frac { 1 }{ x } =u,\frac { 1 }{ y } =v,\frac { 1 }{ z } =w\), என பிரதியிடு நமக்கு கிடைப்பது
3u - 4v - 2w = 1,
u + 2v + w = 2,
2u=5v-4w=-1
\(\therefore \Delta =\left| \begin{matrix} 3 & -4 & -2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & -5 & -4 \end{matrix} \right| =3\left| \begin{matrix} 2 & 1 \\ -5 & -4 \end{matrix} \right| +4\left| \begin{matrix} 1 & 1 \\ 2 & -4 \end{matrix} \right| -2\left| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & -5 \end{matrix} \right| \\ \)
=3(-8+5)+4(-4-2)-2(-5-4)
=3(-3)+5(-6)-2(-9)
=-9-24+18=-15
\({ \Delta }_{ 1 }=\left| \begin{matrix} 1 & -4 & -2 \\ 2 & 2 & 1 \\ -1 & -5 & -4 \end{matrix} \right| \)
\(=1\left| \begin{matrix} 2 & 1 \\ -5 & -4 \end{matrix} \right| +4\left| \begin{matrix} 2 & 1 \\ -1 & -4 \end{matrix} \right| -2\left| \begin{matrix} 2 & 2 \\ -1 & -5 \end{matrix} \right| \)
=1(-8+5)+4(-8+1)-2(-10+2)
=1(-3)+4(-7)-2(-8)
=-3-28+16=-15
\({ \Delta }_{ 2 }\left| \begin{matrix} 3 & 1 & -2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & -1 & -4 \end{matrix} \right| \)
\(=3\left| \begin{matrix} 2 & 1 \\ -1 & -4 \end{matrix} \right| -1\left| \begin{matrix} 1 & 1 \\ 2 & -4 \end{matrix} \right| -2\left| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & -1 \end{matrix} \right| \)
=3(-8+1)-1(-4-2)-2(-1-4)
=3(-7)-1(-6)-2(-5)
=-21+6+10=-5
\({ \Delta }_{ 3 }=\left| \begin{matrix} 3 & -4 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 2 & -5 & -1 \end{matrix} \right| \)
\(=3\left| \begin{matrix} 2 & 2 \\ -5 & -1 \end{matrix} \right| +4\left| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & -1 \end{matrix} \right| +1\left| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & -5 \end{matrix} \right| \)
=3(-2+10)+4(-1-4)+1(-5-4)
=3(8)+4(-5)+1(-9)
=24-20-9=-5
\(\therefore u=\frac { { \Delta }_{ 1 } }{ \Delta } =\frac { -15 }{ -15 } =1\Rightarrow \frac { 1 }{ x } =1\Rightarrow x=1\)
\(v=\frac { { \Delta }_{ 2 } }{ \Delta } =\frac { -5 }{ -15 } =\frac { 1 }{ 3 } \Rightarrow \frac { 1 }{ y } =\frac { 1 }{ 3 } \Rightarrow y=3\)
\(w=\frac { { \Delta }_{ 3 } }{ \Delta } =\frac { -5 }{ -15 } =\frac { 1 }{ 3 } \Rightarrow \frac { 1 }{ z } =\frac { 1 }{ 3 } \Rightarrow z=3\)
∴ தீர்வு கணம் {1, 3, 3}

தேவையான தளம் கொடுக்கப்பட்ட கோட்டிற்கு இணை என்பதால், அத்தளம் \(\vec { c } =\hat { i } +\hat { j } -\hat { k } \) என்ற வெக்டருக்கு இணையாகும் மற்றும் \(\vec { a } =-\hat { i } +2\hat { j } ,\vec { b } =2\hat{ i } +2\hat { j } -\hat { k } \) என்ற புள்ளிகள் வழியாகச் செல்லும்.
தளத்தின் துணையலகு வடிவ வெக்டர் சமன்பாடு \(\vec { r } =\vec { a } +s\left( \vec { b } -\vec { a } \right) +t\vec { c } \) இங்கு s, t \(\in\) R.
\(\Rightarrow \vec { r } =\left( -\hat { i } +2\hat { j } \right) +s\left( 3\hat { i } -\hat { k } \right) +t\left( \hat { i } +\hat { j } -\hat { k } \right) \)இங்கு s,t \(\in\) R.
தளத்தின் துணையலகு அல்லாத வெக்டர் சமன்பாடு \(\left( \vec { r } -\vec { a } \right) .\left( \left( \vec { b } -\vec { a } \right) \times \vec { c } \right) =0\)
இங்கு,\(\left( \vec { b } -\vec { a } \right) \times \vec { c } =\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ 3 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \end{matrix} \right| =\hat { i } +2\hat { j } +3\hat { k } \),
எனவே,\(\left( \vec { r } -\left( -\hat { i } +2\hat { j } \right) \right) .\left( \hat { i } +2\hat { j } +3\hat { k } \right) =0\Rightarrow \vec { r } .\left( \hat { i } +2\hat { j } +3\hat { k } \right) =3\)
\(\vec { r } =x\hat { i } +y\hat { j } +z\hat { k } \) என்பது தளத்தில் உள்ள ஏதேனும் ஒரு புள்ளியின் நிலைவெக்டர் எனில், மேற்கண்ட சமன்பாட்டிலிருந்து தளத்தின் கார்டீசியன் சமன்பாட்டை x + 2y + 3z = 3 எனப் பெறுகிறோம்.

\(\hat { a } =\vec { OA } \) மற்றும் \(\hat { b } =\vec { OB } \) என்ற அலகு வெக்டர்கள் x-அச்சின் மிகை திசையுடன் முறையே α , β என்ற கோணங்களை ஏற்படுத்துகிறது என்க. இங்கு A, B என்பன படம் -ல் காட்டப்பட்டுள்ளன.
AL மற்றும் BM என்பவற்றை x-அச்சுக்கு செங்குத்தாக வரைக.
ஆகவே, \(\left| \vec { OL } \right| =\left| \vec { OA } \right| \) cos α = cos α, \(\left| \vec { LA } \right| =\left| \vec { OA } \right| \) sin α = sin α.
\(\vec { OL } =\left| \vec { OL } \right| \)\(\hat { i } \) =  cos α \(\hat { i } \), \(\overrightarrow { LA } \) = sin α (-\(\hat { j } \))
எனவே, \(\hat { a } =\overrightarrow {OA}=\overrightarrow { OL } +\overrightarrow { LA } \) = cosα\(\hat { i } \) - sinα\(\hat { j } \) .....(1)
இதேபோல்,  \(\hat { b } \) = cos β \(\hat { i } \)+ sin β \(\hat { j } \)                          .......(2)
 \(\hat { a } \), \(\hat{b}\) வெக்டர்களுக்கு இடைப்பட்டக் கோணம் α + β என்பதால்,
\(\hat { a } .\hat { b } =\left| \hat { a } \right| \left| \hat { b } \right| \)cos (α + β) = cos (α + β) ..... (3)
மாறாக, சமன்பாடுகள் (1) மற்றும் (2)-லிருந்து
\(\hat { a } .\hat { b } =(cos\alpha \hat { i } -sina\hat { j } )(cos\beta \hat { i } -sin\beta \hat { j } )\) = cos α cos β - sin α sin β .......(4)
சமன்பாடுகள் (3) மற்றும் (4)லிருந்து, cos(α + β) = cos α cos β - sin α sin β

இது இரட்டைப்படை இரண்டாம் வகை தலைகீழ் சமன்பாடாகும். எனவே இதனை பின்வருமாறு மாற்றி எழுதலாம்.
\(6\left( { x }^{ 2 }+\frac { 1 }{ { x }^{ 2 } } \right) -5\left( { x }+\frac { 1 }{ x } \right) -38\)              ......(1)
பிரதியிடு \({ x }+\frac { 1 }{ x } =y\Rightarrow \left( { x }+\frac { 1 }{ x } \right) ^{ 2 }\)=y²
⇒ \({ x^{ 2 } }+\frac { 1 }{ x } +2={ y }^{ 2 }\Rightarrow { x^{ 2 } }+\frac { 1 }{ x } \)=y2-2
∴ (1)லிருந்து,
6(y²-2)-5y-38 =0
⇒ 6y²-12-5y-38 =0
⇒ 6y²-5y-50 =0
⇒ (3y-10)(2y+5)=0
⇒ y=\(\frac { 10 }{ 3 } ,\frac { -5 }{ 2 } \)
நிலை (i)
y=\(\frac { +10 }{ 3 } \) எனில்,
\({ x }+\frac { 1 }{ x } =\frac { +10 }{ 3 } \)
\(\frac { x^{ 2 }+1 }{ x } =\frac { +10 }{ 3 } \)
⇒ 3x²-10x+3 =0
\((x-3)(x-\frac { 1 }{ 3 } )=0\Rightarrow x=3,\frac { 1 }{ 3 } \)
நிலை (ii)
y=-\(\frac { 5 }{ 2 } \) எனில்,
⇒ \(x+\frac { 1 }{ x } =-\frac { 5 }{ 2 } \Rightarrow \frac { { x }^{ 2 }+1 }{ x } =\frac { -5 }{ 2 } \)
⇒ 2x²+2+5x=0 ⇒ 2x²+5x+2=0
⇒ (x+2)(2x+1) =0 ⇒ x=-2, \(\frac { -1 }{ 2 } \)
∴ மூலங்கள் \(3,\frac { 1 }{ 3 } ,-2,\frac { -1 }{ 2 } \).

ஆதியில் முனையை கொண்டால் பரவளையம் கீழ் நோக்கிய திறப்புடையது.

அதனுடைய சமன்பாடு x² = -4ay
இது(6, -4) வழிச் செல்கிறது 
\(\therefore 36=-4a\left( -4 \right) \Rightarrow 4a=\cfrac { 36 }{ 4 } =9\) 
\(\therefore\) (1) லிருந்து x² = -9y
(-6, -4) ல் சாய்வைக் காண 
(1) ஐ 'x' பொறுத்து வகையிட கிடைப்பது 
\(2x=-9\cfrac { dy }{ dx } \) 
\(\Rightarrow \cfrac { dy }{ dx } =\cfrac { -2x }{ 9 } \) 
(-6, -4) ல் \(\cfrac { dy }{ dx } =\cfrac { 2(-6) }{ -9 } =\cfrac { 12 }{ 9 } =\cfrac { 4 }{ 3 } \) 
\(\therefore \tan\theta =\cfrac { 4 }{ 3 } \Rightarrow \theta= { \tan }^{ -1 }\left( \cfrac { 4 }{ 3 } \right) \) 
\(\therefore\) தரையுடன் ஏற்படுத்தும் எறிகோணம் 
=\(\tan^{ -1 }\left( \cfrac { 4 }{ 3 } \right) \)

சமன்பாட்டின் கெழுக்கள் அனைத்தும் விகிதமுறு எண்கள் என்பதாலும் 2+i மற்றும் 3-\(\sqrt { 2 } \)  ஆகியவை மூலங்கள் என்பதாலும் கொடுக்கப்பட்ட பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாட்டிற்கு 2-i மற்றும் 3+\(\sqrt { 2 } \) ஆகியவையும் மூலங்களாக அமையும். எனவே (x − (2 + i)) (x − (2 − i)) (x − (3− \(\sqrt { 2 } \))) மற்றும் (x − (3 + \(\sqrt { 2 } \))) ஆகியவையும் காரணிகளாகும். ஆகையால் இவற்றின் பெருக்கல்
((x − (2 + i)) (x − (2 − i)) (x − (3− \(\sqrt { 2 } \))) (x − (3 + \(\sqrt { 2 } \))) என்பதும் கொடுக்கப்பட்ட பல்லுறுப்புக்கோவை சமன்பாட்டிற்கு ஒரு காரணியாகும். அதாவது (x²-4x+5)(x²-6x+7)
என்பது ஒரு காரணி. கொடுக்கப்பட்ட பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாட்டை இக்காரணியால் வகுக்க, மற்றொரு காரணியாக (x²-3x-4) பெறப்படுகிறது. இதிலிருந்து 4 மற்றும் −1ஆகியவை மற்ற இரு மூலங்களாகும். எனவே 2+i, 2-i, 3+\(\sqrt { 2 } \), 3-\(\sqrt { 2 } \), -1, மற்றும் 4 ஆகியவை கொடுக்கப்பட்ட பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாட்டின் மூலங்களாகும்.

நீள்வட்டத்தின் சமன்பாடு c² + 3y² = 12
\(\div \) 12 கிடைப்பது \(\cfrac { { x }^{ 2 } }{ 12 } +\cfrac { { y }^{ 2 } }{ 4 } =1\) 
\(\therefore\) a² = 12, b² = 4
கோடு x - y + 4 = 0 ஐ y = x + 4 என திருத்தி எழுதலாம் .
\(\therefore\) m = 1, c = 4
y = mx + 4 நீள் வட்டத்தின் தொடுகோடாக இருக்க கட்டுப்பாடு c² = a²m² + b²
\(\therefore \) (4)² = 12(1)² + 4
\(\Rightarrow\) 16 = 12 + 4
\(\Rightarrow\) 16 = 16
நிபந்தனை நிறைவு செய்யப்படுவதால், கோடு x - y + 4 = 0 நீள் வட்டம் x² + 3y² = 12க்கு தொடுகோடாகும்.
மேலும் தொடும்புள்ளி \(\left( \cfrac { { -a }^{ 2 }m }{ c } ,\cfrac { { b }^{ 2 } }{ c } \right) \)
\(\Rightarrow \left( -\cfrac { 12(1) }{ 4 } ,\cfrac { 4 }{ 4 } \right) \Rightarrow \left( -3,1 \right) \)
\(\therefore\) தொடுபுள்ளி (-3, 1)

கொடுக்கப்பட்டது z = x + iy
\(Im\left( \frac { 2z+1 }{ iz+1 } \right) =0\)
\(\Rightarrow Im\left( \frac { 2(x+iy)+1 }{ i(x+iy)+1 } \right) =0\)
\(\Rightarrow Im\left( \frac { (2x+1)+2iy }{ ix+{ i }^{ 2 }y+1 } \right) =0\)
\(\Rightarrow Im\left( \frac { (2x+1)+2iy }{ ix-y+1 } \right) =0\)
\(\Rightarrow Im\left( \frac { (2x+1)+iy }{ (1-y)+ix } \right) =0\)
பகுதியின் இணையால் தொகுதி மற்றும் பகுதியை பெருக்க கிடைப்பது.
\(Im\left( \frac { (2x+1)+2iy }{ (1-y)+ix } \times \frac { (1-y)-ix }{ (1-y)-ix } \right) =0\)
\(\Rightarrow Im\left( \frac { (2x+1)+2iy\times (1-y)-ix }{ (1-{ y })^{ 2 }+{ x }^{ 2 } } \right) =0\)
கற்பனை பகுதியை தேர்ந்தெடுக்க கிடைப்பது,
\(\frac { (2x+1)+(-x)\times 2y(1-y) }{ (1-{ y })^{ 2 }+{ x }^{ 2 } } =0\)
⇒ (2x+ 1)-x+2y(1-y) = 0
⇒ -2x² - x + 2y - 2y² = 0
⇒ 2x² + 2y² + x - 2y = 0
எனவே z - ன் நியமப்பாதை
2x² + 2y² + x - 2y = 0

கொடுக்கப்பட்டது \(\left| { z }_{ 1 } \right| =1,\left| { z }_{ 2 } \right| =2,\left| z_{ 3 } \right| =3\),
\(\left| { z }_{ 1 }+{ z }_{ 2 }+{ z }_{ 3 } \right| =1\)
\({ \left| { z }_{ 1 } \right| }^{ 2 }={ 1 }^{ 2 }\Rightarrow { z }_{ 1 }\overline { { z }_{ 1 } } \Rightarrow { z }_{ 1 }=\frac { 1 }{ { z }_{ 1 } } \)
\({ \left| { z }_{ 2 } \right| }^{ 2 }=4\Rightarrow { z }_{ 2 }\overline { { z }_{ 2 } } =4\Rightarrow { z }_{ 2 }=\frac { 4 }{ { z }_{ 2 } } \)
\({ \left| { z }_{ 3 } \right| }^{ 2 }=9\Rightarrow { z }_{ 3 }\overline { { z }_{ 3 } } =9\Rightarrow { z }_{ 3 }=\frac { 9 }{ { z }_{ 3 } } \)
\(\therefore \left| 9{ z }_{ 1 }{ z }_{ 2 }+4{ z }_{ 1 }{ z }_{ 3 }+{ z }_{ 2 }{ z }_{ 3 } \right| \)
\(=\left| 9.\frac { 1 }{ { z }_{ 1 } } .\frac { 4 }{ { z }_{ 2 } } +4.\frac { 1 }{ { z }_{ 1 } } .\frac { 9 }{ { z }_{ 3 } } +\frac { 4 }{ { z }_{ 2 } } .\frac { 9 }{ { z }_{ 3 } } \right| \)
\(\left| \frac { 36 }{ \overline { { z }_{ 1 } } \overline { { z }_{ 2 } } } +\frac { 36 }{ \overline { { z }_{ 1 } } \overline { { z }_{ 3 } } } +\frac { 36 }{ \overline { { z }_{ 2 } } \overline { { z }_{ 3 } } } \right| =\left| \left( \frac { \overline { { z }_{ 3 } } +\overline { { z }_{ 2 } } +\overline { { z }_{ 1 } } }{ \overline { { z }_{ 1 } } \overline { { z }_{ 2 } } \overline { { z }_{ 3 } } } \right) \right| \)
\([\therefore \left| \overline { { z }_{ 1 } } +\overline { { z }_{ 2 } } +\overline { { z }_{ 3 } } = \right| =\overline { { z }_{ 1 }+{ z }_{ 2 }+{ z }_{ 3 } } ]\)
\(\frac { 36\left| \overline { { z }_{ 1 }+{ z }_{ 2 }+{ z }_{ 3 } } \right| }{ \left| \overline { { z }_{ 1 } } \right| \left| \overline { { z }_{ 2 } } \right| \left| \overline { { z }_{ 3 } } \right| } =36\frac { 36\left| \overline { { z }_{ 1 }+{ z }_{ 2 }+{ z }_{ 3 } } \right| }{ \left| \overline { { z }_{ 1 } } \right| \left| \overline { { z }_{ 2 } } \right| \left| \overline { { z }_{ 3 } } \right| } \)

\([\because \left| { \overline { z } }_{ 1 } \right| =\left| { z }_{ 1 } \right| ,\left| { \overline { z } }_{ 2 } \right| =\left| { z }_{ 2 } \right| ,\left| { \overline { z } }_{ 3 } \right| \left| { z }_{ 3 } \right| ]\)

\(\vec { a } =2\hat { i } +3\hat { j } -\hat { k } ,\vec { b } =3\hat { i } +5\hat { j } +2\hat { k } \) மற்றும் \(\vec { c } =-\hat { i } -2\hat { j } +3\hat { k } \)
\((\vec { a } \times \vec { b } )=\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ 2 & 3 & -1 \\ 3 & 5 & 2 \end{matrix} \right| \)
= \(\hat { i } \left| \begin{matrix} 3 & -1 \\ 5 & 2 \end{matrix} \right| -\hat { j } \left| \begin{matrix} 2 & -1 \\ 3 & 2 \end{matrix} \right| +\hat { k } \left| \begin{matrix} 2 & 3 \\ 3 & 5 \end{matrix} \right| \)
= \(\\ \hat { i } (6+5)-\hat { j } (4+3)+\hat { k } (10-9)=11\hat { i } -7\hat { j } +\hat { k } \)
∴ LHS = \((\vec { a } \times \vec { b } )\times \vec { c } \)
= \(\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ 2 & 3 & -1 \\ 3 & 5 & 2 \end{matrix} \right| =\hat { i } \left| \begin{matrix} -7 & 1 \\ -2 & 3 \end{matrix} \right| -\hat { j } \left| \begin{matrix} 11 & 1 \\ -1 & 3 \end{matrix} \right| +\hat { k } \left| \begin{matrix} 11 & -7 \\ -1 & -2 \end{matrix} \right| \)
= \(\hat { i } (-21+2)+\hat { j } (33+1)+\hat { k } (-22-7)\)
= \(-19\hat { i } -34\hat { j } -29\hat { k } \) ..............(1)
RHS :
\(\vec { a } .\vec { i } =(2\hat { i } +3\hat { j } -\hat { k } ).(-\hat { i } -2\hat { j } +3\hat { k } )\)
= -2-6-3 = -11
\(\vec { b } .\vec { c } =(3\hat { i } +5\hat { j } +2\hat { k } ).(-\hat { i } -2\hat { j } +3\hat { k } )\)
= -3-10+6 = -7
∴ RHS = \((\vec { a } .\vec { c } )\vec { b } -(\vec { b } .\vec { c } )\vec { a } \)
= \(-11(3\hat { i } +5\hat { j } +2\hat { k } )+7(2\hat { i } +3\hat { j } -\hat { k } )\)
= \(-33\hat { i } -55\hat { j } -22\hat { k } +14\hat { i } +21\hat { j } -7\hat { k } \)
= \(-19\hat { i } -34\hat { j } -29\hat { k } \)  .......... (2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து LHS = RHS
எனவே \((\vec { a } \times \vec { b } )\times \vec { c } =(\vec { a } .\vec { c } )\vec { b } -(\vec { b } .\vec { c } )\vec { a } \)
(ii) \(\vec { b } \times \vec { c } =\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ 3 & 5 & 2 \\ -1 & -2 & 3 \end{matrix} \right| \)
= \(\hat { i } \left| \begin{matrix} 5 & 2 \\ -2 & 3 \end{matrix} \right| -\hat { j } \left| \begin{matrix} 3 & 2 \\ -1 & 3 \end{matrix} \right| +\hat { k } \left| \begin{matrix} 3 & 5 \\ -1 & -2 \end{matrix} \right| \)
= \(\hat { i } (15+4)-\hat { j } (9+2)+\hat { k } (-6+5)\)
= \(19\hat { i } -11\hat { j } -\hat { k } \)
∴ \(\vec { a } (\vec { b } \times \vec { c } )=\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ 2 & 3 & -1 \\ 19 & -11 & -1 \end{matrix} \right| \)
= \(\hat { i } \left| \begin{matrix} 3 & -1 \\ -11 & -1 \end{matrix} \right| -\hat { j } \left| \begin{matrix} 2 & -1 \\ 19 & -1 \end{matrix} \right| +\hat { k } \left| \begin{matrix} 2 & 3 \\ 19 & -11 \end{matrix} \right| \)
= \(\hat { i } (-3-11)-\hat { j } (-2+19)+\hat { k } (-22-57)\)
= \(-14\hat { i } -17\hat { j } -79\hat { k } \) ......(1)
RHS : 
\(\vec { a } .\vec { c } =-11\Rightarrow (\vec { a } .\vec { c } )\vec { b } =-11(3\hat { i } +5\hat { j } +2\hat { k } )\)
= -\(33\hat { i } -55\hat { j } -22\hat { k } \)
\(\vec { a } .\vec { b } =(2\hat { i } +3\hat { j } -\hat { k } ).(3\hat { i } +5\hat { j } +2\hat { k } )\)
= 6+15-2 = 19
\((\vec { a } .\vec { b } )\vec { c } =19(-\hat { i } -2\hat { j } +3\hat { k } )=-19\hat { i } -38\hat { j } +57\hat { k } \)
RHS = \((\vec { a } .\vec { c } )\vec { b } -(\vec { a } .\vec { b } )\vec { c } \)
= \(-33\hat { i } -55\hat { j } -22\hat { k } -(-19\hat { i } -38\hat { j } +57\hat { k } )\)
= \(-14\hat { i } -17\hat { j } -79\hat { k } \) .......(2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து LHS = RHS
∴ \(\vec { a } \times (\vec { b } \times \vec { c } )=(\vec { a } .\vec { c } )\vec { b } -(\vec { a } .\vec { b } )\vec { c } \)

i) z = \({ (2+i\sqrt { 3 } ) }^{ 10 }+{ (2-i\sqrt { 3 } ) }^{ 10 }\) என்க.
இதிலிருந்து, \(\bar { z } =\overline { { (2+i\sqrt { 3 } ) }^{ 10 }+{ (2-i\sqrt { 3 } ) }^{ 10 } } \)
= \(\overline { { (2+i\sqrt { 3 } ) }^{ 10 } } +\overline { { (2-i\sqrt { 3 } ) }^{ 10 } } \)  \(\overline { (\because { z }_{ 1 }+{ z }_{ 2 } } =\bar { { z }_{ 1 } } +\bar { { z }_{ 2 } } )\)
= \({\overline { (2+i\sqrt { 3 } ) } }^{ 10 }+{ \overline { (2-i\sqrt { 3 } ) } }^{ 10 }\)  \((\because \bar { { (z }^{ n }) } ={ (\bar { z } ) }^{ n })\)
= \({ { (2+i\sqrt { 3 } ) } }^{ 10 }+{ { (2+i\sqrt { 3 } ) } }^{ 10 }\) = z
\(\bar { z } \)= z ⇒ z ஒரு மெய்யெண் ஆகும்.
ii)  \({ \left( \frac { 19+9i }{ 5-3i } \right) }^{ 15 }-{ \left( \frac { 8+i }{ 1+2i } \right) }^{ 15 }\) என்க.
இங்கு, \(\frac { 19+9i }{ 5-3i } =\frac { (19+9i)(5+3i) }{ (5-3i)(5+3i) } \)
= \(\frac { (95-27)+i(45+57) }{ { 5 }^{ 2 }+{ 3 }^{ 2 } } =\frac { 68+102i }{ 34 } \)
= 2 + 3i    ....(1)
மற்றும், \(\frac { 8+i }{ 1+2i } =\frac { (8+i)(1-2i) }{ (1+2i)(1-2i) } \)
= \(\frac { (8+2)+i(1-16) }{ { 1 }^{ 2 }+{ 2 }^{ 2 } } =\frac { 10-15i }{ 5 } \)
= 2 - 3i     ...(2)
இப்பொழுது, z = \({ \left( \frac { 19+9i }{ 5-3i } \right) }^{ 15 }-{ \left( \frac { 8+i }{ 1+2i } \right) }^{ 15 }\)
⇒ z = (2 + 3i)¹⁵ - (2 - 3i)¹⁵ ((1) மற்றும் (2)லிருந்து)
வரையறையிலிருந்து, \(\bar { z } \) = \(\overline { { (2+3i) }^{ 15 }-{ (2-3i) }^{ 15 } } \)
= \({ \overline{ (2+3i) } }^{ 15 }-{ \overline { (2-3i) } }^{ 15 }\) (இணை எண் பண்புகளின்படி)
= (2 + 3i)¹⁵ - (2 - 3i)¹⁵ = - ((2 + 3i)¹⁵ - (2 - 3i)¹⁵ )
⇒ \(\bar { z } \) = −z.
ஆகவே, z = \({ \left( \frac { 19+9i }{ 5-3i } \right) }^{ 15 }-{ \left( \frac { 8+i }{ 1+2i } \right) }^{ 15 }\) என்பது முழுவதும் கற்பனை எண் ஆகும்.

y = ax² + bx + c என்ற பாதையானது (10,8), (20,16), (40,22) என்ற புள்ளிகள் வழிச் செல்கிறது ஆதலால் 100a + 10b + c = 8, 400a + 20b + c = 16, 1600a + 40b + c = 22 என்ற  சமன்பாடுகள் கிடைக்கின்றன. கிராமரின் விதியை பயன்படுத்த பின்வருவனவற்றைக் காண்போம்.
\(\ \triangle =\left| \begin{matrix} 100 & 10 & 1 \\ 400 & 20 & 1 \\ 1600 & 40 & 1 \end{matrix} \right| =1000\left| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 4 & 2 & 1 \\ 16 & 4 & 1 \end{matrix} \right| \)= 1000 [-2 + 12 - 16] = -6000
\({ \triangle }_{ 1 }=\left| \begin{matrix} 8 & 10 & 1 \\ 16 & 20 & 1 \\ 22 & 40 & 1 \end{matrix} \right| =20\left| \begin{matrix} 4 & 1 & 1 \\ 8 & 2 & 1 \\ 11 & 4 & 1 \end{matrix} \right| \) = 20[-8 + 3 + 10] = 100,
\({ \triangle }_{ 2 }=\left| \begin{matrix} 100 & 8 & 1 \\ 400 & 16 & 1 \\ 1600 & 22 & 1 \end{matrix} \right| =200\left| \begin{matrix} 1 & 4 & 1 \\ 4 & 8 & 1 \\ 16 & 11 & 1 \end{matrix} \right| \) = 200 [-3 + 48 - 84] = -7800,
\({ \triangle }_{ 3 }=\left| \begin{matrix} 100 & 10 & 8 \\ 400 & 20 & 16 \\ 1600 & 40 & 22 \end{matrix} \right| =2000\left| \begin{matrix} 1 & 1 & 4 \\ 4 & 2 & 8 \\ 16 & 4 & 11 \end{matrix} \right| \)= 2000 [-10 + 84 - 64] = 20000.
கிராமரின் விதிப்படி, a = \(\frac { { \triangle }_{ 1 } }{ \triangle } =-\frac { 1 }{ 60 } ,b=\frac { { \triangle }_{ 2 } }{ \triangle } =\frac { 7800 }{ 6000 } =\frac { 78 }{ 60 } =\frac { 13 }{ 10 } ,c=\frac { { \triangle }_{ 3 } }{ \triangle } =\frac { 20000 }{ 6000 } =-\frac { 20 }{ 6 } =\frac { 10 }{ 3 } \)
எனவே பாதையின் சமன்பாடு \(y =-\frac { 1 }{ 60 } { x }^{ 2 }+\frac { 13 }{ 10 } x-\frac { 10 }{ 3 } \)
x = 70 எனில் y = 6எனக் கிடைக்கிறது. எனவே பந்தானது எல்லைக்கோட்டிற்கு நேர் மேலாக 6 மீ உயரத்தில் செல்கிறது மற்றும் எல்லைக் கோட்டின் அருகில் உள்ள ஆட்டக்காரர் எகிறிக் குதித்துப் பிடிக்க முயன்றாலும் அவரால் அப்பந்தினைப் பிடிக்க இயலாது. எனவே அப்பந்து மிகப்பெரிய 6 ஆகச் சென்றது மற்றும் அவ்வணி ஆட்டத்தினை வென்றது.

AB = \(\left[ \begin{matrix} -4 & 4 & 4 \\ -7 & 1 & 3 \\ 5 & -3 & -1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & -2 & -2 \\ 2 & 1 & 3 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} -4+4+8 & 4-8+4 & -4-8+12 \\ -7+1+6 & 7-2+3 & -7-2+9 \\ 5-3-2 & -5+6-1 & 5+6-3 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 8 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 8 \end{matrix} \right] \)= 8I₃

மற்றும் BA = \( \left[ \begin{matrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & -2 & -2 \\ 2 & 1 & 3 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} -4 & 4 & 4 \\ -7 & 1 & 3 \\ 5 & -3 & -1 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} -4+7+5 & 4-1-3 & 4-3-1 \\ -4+14-10 & 4-2+6 & 4-6+2 \\ -8-7+15 & 8+1-9 & 8+3-3 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 8 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 8 \end{matrix} \right] \)= 8I₃
எனவே நாம் பெறுவது AB = BA = 8I₃ அதாவது \(\left( \frac { 1 }{ 8 } A \right) B = B\left( \frac { 1 }{ 8 } A \right) \) = I₃ எனவே, B^-1 = \(\frac { 1 }{ 8 } \)A.
கொடுத்துள்ள நேரியச் சமன்பாட்டுத் தொகுப்பை அணி வடிவில் எழுதக் கிடைப்பது.
\(\\ \left[ \begin{matrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & -2 & -2 \\ 2 & 1 & 3 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 4 \\ 9 \\ 1 \end{matrix} \right] \) அதாவது, B = \(\left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 4 \\ 9 \\ 1 \end{matrix} \right] \)
எனவே, \(\left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right] ={ B }^{ -1 }\left[ \begin{matrix} 4 \\ 9 \\ 1 \end{matrix} \right] =\left( \frac { 1 }{ 8 } A \right) \left[ \begin{matrix} 4 \\ 9 \\ 1 \end{matrix} \right] =\frac { 1 }{ 8 } \left[ \begin{matrix} -4 & 4 & 4 \\ -7 & 1 & 3 \\ 5 & -3 & -1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 4 \\ 9 \\ 1 \end{matrix} \right] =\frac { 1 }{ 8 } \left[ \begin{matrix} -16+36+4 \\ -28+9+3 \\ 20-27-1 \end{matrix} \right] =\frac { 1 }{ 8 } \left[ \begin{matrix} 24 \\ -16 \\ -8 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 3 \\ -2 \\ -1 \end{matrix} \right] \)
எனவே தீர்வானது (x = 3, y = -2, z = -1)

\(\vec{r}=(\hat{i}-2 \hat{j}-\hat{k})+t(6 \hat{j}-\hat{k})\\ \vec{r}=\vec{a}+t(\vec{b}-\vec{a})\ i.e\ \vec{a}, \vec{b}\\ \vec{a}  =\hat{i}-2 \hat{j}-\hat{k} \\ \vec{b}-\vec{a}  =6 \hat{j}-\hat{k} \Rightarrow \vec{b}=6 \hat{j}-\hat{k}+\vec{a} \\ \vec{b}  =6 \hat{j}-\hat{k}+\hat{i}-2 \hat{j}-\hat{k}=\hat{i}+4 \hat{j}-2 \hat{k}\)
புள்ளிகள் (1,-2,-1) மற்றும் (1,4,-2)

\( {[\vec{a} \times \vec{b}, \vec{b} \times \vec{c}, \vec{c} \times \vec{a}]^2 } =\left[[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]^2\right]^2=[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]^4 \\ =3^4=81 \)

\(\bar{a}.\bar{c}\) = 1 மற்றும் \(\vec{b}.\vec{c}=1\)
\( (\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}=\lambda \vec{a}+\mu \vec{b} \Rightarrow(\vec{c} \cdot \vec{a}) \vec{b}-(\vec{c} \cdot \vec{b}) \vec{a}=\lambda \vec{a}+\mu \vec{b} \\ \Rightarrow \mu=\vec{c} \cdot \vec{a}=1 \quad \& \quad \lambda=-(\vec{c} \cdot \vec{b})=-1 \\ \mu+\lambda=1-1=0 \)

கொடுக்கப்பட்டது \(\vec{a} \cdot \vec{b}=\vec{b} \cdot \vec{c}=\vec{c} \cdot \vec{a}=0\)
\(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) என்பன ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்து
\({[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] }  =(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}=(|\vec{a}||\vec{b}| \sin \theta \cdot \hat{n}) \cdot \vec{c} \\  =|\vec{a}||\vec{b}| \sin \theta|\vec{c}| \cos \alpha\)
\((\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) என்பன ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்து என்பதால், \(\alpha=0, \theta=\frac{\pi}{2})\) 
\(=\left|\vec{a}\left\|\vec{b}\left|\sin \frac{\pi}{2} \cos 0^{\circ}\right| \vec{c}|=| \vec{a}\right\| \vec{b} \| \vec{c}\right|\)

x² + x + 1 = 0 
தீர்க்கக் கிடைப்பது \(x = {-1 \pm i \sqrt{3} \over 2}\)
\( \omega=\frac{-1+i \sqrt{3}}{2} \) மற்றும் \(\omega^2=\frac{-1-i \sqrt{3}}{2} \)
\( \therefore \alpha^{2020}+\beta^{2020}=(\omega)^{2020}+\left(\omega^2\right)^{2020} \)
\( =\left(\omega^3\right)^{673} \cdot \omega+\left(\omega^3\right)^{1346} \cdot \omega^2 \)
\( =1 \cdot \omega+1 . \omega^2=\omega+\omega^2=-1 \)

\(z_1+z_2+z_3=0 \)
\( \Rightarrow\left(z_1+z_2+z_3\right)^2=0 \)
\( z_1^2+z_2^2+z_3^2+2\left(z_1 z_2+z_2 z_3+z_3 z_1\right)=0 \)
\( z_1^2+z_2^2+z_3^2=-2 z_1 z_2 z_3\left(\frac{1}{z_1}+\frac{1}{z_2}+\frac{1}{z_3}\right) \)
\(=-2 z_1 z_2 z_3\left(\bar{z}_1+\bar{z}_2+\bar{z}_3\right) \)
\(=-2 z_1 z_2 z_3\left(\overline{z_1+z_2+z_3}\right)=0\)

P(x) = x³ + 2x + 3, குறிமாற்றங்கள் இல்லை
மிகை மெய்யெண் மூலங்கள் இல்லை.
P(-x) = - x³ - 2x + 3, ஒரேயொரு குறிமாற்றம் 
ஒரு குறையெண் மூலம்
இதற்கு ஒரு குறையெண் மற்றும் இரண்டு கற்பனை மூலங்கள் உள்ளது.

a < 0 எனில், ஒரே ஒரு குறிமாற்றம் மட்டுமே கிடைக்கும்.

\(\alpha+\beta+\gamma=-p, \quad \alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha=q, \alpha \beta \gamma=-r \)
\(\sum \frac{1}{\alpha}=\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}+\frac{1}{\gamma}=\frac{\beta \gamma+\alpha \gamma+\alpha \beta}{\alpha \beta \gamma}=\frac{q}{-r}\)

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடானது SP² =  e²PM²என்ற வடிவில் இல்லை. ........ (1)
ஏனெனில் SP என்பது P(x, y) என்ற நீள்வட்டத்தின் மீதுள்ள புள்ளிக்கும் S(ae, 0) என்ற குவியத்திற்கும் இடையேயுள்ள தூரம்.
\(\therefore \text { (1) } \Rightarrow(x-a e)^2+(y-0)^2=\left(x-\frac{y^2}{9}\right)^2\)
கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு
\((x-3)^2+(y-4)^2=\frac{y^2}{9}\)
\( \Rightarrow \quad(x-3)^2+y^2-8 y+16-\frac{y^2}{9}=0 \\ 9(x-3)^2+8 y^2-72 y+144=0 \\ 9(x-3)^2+8\left(y^2-9 y\right)=-144 \\ 9(x-3)^2+8\left[y^2-9 y+\left(\frac{9}{2}\right)^2-\left(\frac{9}{2}\right)^2\right]=-144 \\ 9(x-3)^2+8\left(y-\frac{9}{2}\right)^2=8 \times \frac{81}{4}-144=18 \\ \frac{(x-3)^2}{2}+\frac{(y-9 / 2)^2}{(9 / 4)}=1 \)
இது நீள்வட்டத்தின் சமன்பாட்டின் திட்ட நிலை  
\(\because a^2>\mathrm{b}^2, a^2=\frac{9}{4}, \mathrm{~b}^2=2\\ \therefore b^2  =a^2\left(1-e^2\right) \\ \therefore e  =\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1-\frac{2}{(9 / 4)}}=\sqrt{1-\frac{8}{9}}=\sqrt{\frac{1}{9}} \\ \therefore e  =\frac{1}{3}\)

\( y^2=12 x \quad \Rightarrow 4 a =12 \Rightarrow a=3 \\ x+y =k \Rightarrow y=-x+k \\ \therefore m =-1, c=k \\ c=-2 a m-a m^2 \Rightarrow k =-2 a(-1)-a(-1)^3 \\ k =-6(-1)-3(-1)=6+3=9 \)

ஒரு கலப்பெண்ணின் இணை கலப்பெண் \(\frac { 1 }{ i-2 } \) 
கலப்பெண் \(z = \frac { 1 }{ -i-2 } = \frac { 1 }{-( i-2) } = \frac { -1 }{( i+2) } \)

\(x ^ 2 + y ^ 2 - 2x - 2y + 1 = 0 \)
2g = - 2
g = - 1
2f = - 2
f = - 1
இணையான கோடு 2x + 4y + \(\lambda\) = 0 என்க. மையம் (-g, -f) = (1, 1) என்பது இக்கோட்டின் மேல் அமைவதால்,
2 + 4 + 2 = 0 ⇒\(\lambda\) = -6
2x + 4y - 6 = 0
x + 2y = 3

\( L: 3 x-4 y =\mathrm{m} \\ C: x^2+y^2-4 x-8 y-5 =0 \\ (x-2)^2+(y-4) =25 \)
C(2, 4); r = 5
மையத்திலிருந்து தொலைவு < r
\( \left| \frac{ah+bk+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\right|<r\)
\(\left|\frac{3\times 2-4\times 4-m}{\sqrt{9+16}} \right|<r\Rightarrow \left| \frac{-10-m}{5}\right|<5\)
\(-5<\frac{10+m}{5}<5\)
-25 < 10 + m < 25
-25 - 10 < m < 25 - 10
-35 < m < 15

\(\lambda A^{-1} =A \)
\(\lambda I=A^2 =\left[\begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 5 & -2 \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 5 & -2 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} 4+15 & 6-6 \\ 10-10 & 15+4 \end{array}\right] \)
\(\lambda\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right] =\left[\begin{array}{cc} 19 & 0 \\ 0 & 19 \end{array}\right] \Rightarrow \lambda=19 \)

|adj(adj A)| = |A|⁹
\(|A|^{(n-1)^2}=|\mathrm{A}|^9\)
(n - 1)² = 9 = 3²
n - 1 = 3 \(\Rightarrow\) n = 4

\( \sin ^{-1} \frac{x}{5}+\operatorname{cosec}^{-1} \frac{5}{4}=\frac{\pi}{2}\\   \Rightarrow \sin ^{-1} \frac{x}{5}+\sin ^{-1} \frac{4}{5}=\frac{\pi}{2} \ldots . . .(1) \\   \theta=\operatorname{cosec}^{-1} \frac{5}{4} \Rightarrow \operatorname{cosec} \theta=\frac{5}{4} \\  \Rightarrow \sin \theta=\frac{4}{5} \text { and } \cos \theta=\frac{3}{5}\\    \theta=\operatorname{cosec}^{-1} \frac{5}{4}  \Rightarrow \operatorname{cosec} \theta=\frac{5}{4} \\  \Rightarrow \sin \theta=\frac{4}{5} and\ \cos \theta=\frac{3}{5}\\ (1) \Rightarrow \sin ^{-1} \frac{x}{5}+\cos ^{-1} \frac{3}{5}=\frac{\pi}{2}\)
(2) மெய் இருக்க வேண்டுமெனில்,
\(\frac{x}{5}=\frac{3}{5} \Rightarrow x=3\)

sin⁻¹\(\sqrt{x-1} \) 
\(-1  \leq \sqrt{x-1} \leq 1 \text { and } \sqrt{x-1} \geq 0 \\ \therefore 0   \leq \sqrt{x-1} \leq 1 \\ 0    \leq x-1 \leq 1 \\ 1   \leq x \leq 2 \Rightarrow x \in[1,2]  \)

\(\sin ^{-1}(\cos x)=\sin ^{-1}\left(\sin \left(\frac{\pi}{2}-x\right)\right)=\frac{\pi}{2}-x\)