கொடுக்கப்பட்ட வளைவரைகள் xy=2 ...(1)
\({ x }^{ 2 }+4y=0\)                                                 ...(2)
(1) மற்றும் (2) ஐத் தீர்க்க 
\(\Rightarrow { x }^{ 2 }+4\left( 2/x \right) =0\) 
\({ x }^{ 3 }+8=0\) 
\({ x }^{ 3 }=-8\) 
\(x=-2\) 
(1) ல் பிரதியிட,\(y=\cfrac { 2 }{ -2 } =1\) 
\(\therefore\) (1) மற்றும் (2)ன் வெட்டும் புள்ளி (-2, -1)
 \(xy=2\Rightarrow y=\cfrac { 2 }{ x } \)                            ...(1) 
தொடுகோட்டின் சாய்வு \('{ m }_{ 1 }'=\left( \cfrac { dy }{ dx } \right) _{ \left( -2,-1 \right) }\) 
= \(-\cfrac { 2 }{ 4 } =-\cfrac { 1 }{ 2 } \) 
=  \({ x }^{ 2 }+4y=0\Rightarrow y=-\cfrac { { x }^{ 2 } }{ 4 } \) 
'x' ஐப் பொறுத்து வகைப்படுத்த 
\(\cfrac { dy }{ dx } =-\cfrac { 2x }{ 4 } =-\cfrac { x }{ 2 } \)
தொடுகோட்டின் சாய்வு \('{ m }_{ 2 }'=\left( \cfrac { dy }{ dx } \right) _{ \left( -2,-1 \right) }\) 
= \(\cfrac { 2 }{ 2 } =1\) 
வளைவரைகளுக்கு இடைப்பட்ட கோணம் 
\(\theta ={ \tan }^{ -1 }\left| \cfrac { { m }_{ 1 }-{ m }_{ 2 } }{ 1+{ m }_{ 1 }{ m }_{ 2 } } \right| \) 
\(\theta ={ \tan }^{ -1 }\left| \cfrac { \frac { -1 }{ 2 } -1 }{ 1-\frac { 1 }{ 2 } } \right| \) 
= \({ \tan }^{ -1 }\left| \cfrac { -\frac { 3 }{ 2 } }{ \frac { 1 }{ 2 } } \right| \) 
\(\theta ={ \tan }^{ -1 }\left( 3 \right) \)

கொடுக்கப்பட்ட இரு வளைவரைகளும் வெட்டும் புள்ளியை (a, b) என்க.
ஆகவே, a² + 4b² = 8  மற்றும் a² - 2b² = 4   ...(4)   
நாம் (a, b) என்ற புள்ளியில் இவ்விரு வளைவரைகளின் சாய்வுகளின் பெருக்கல் பலன் −1 என நிறுவ வேண்டும்.
x² + 4y² = 8 -ஐ x -ஐப் பொருத்து வகையிட
\(\begin{aligned} 2 x+8 y \frac{d y}{d x} & =0 \end{aligned}\)
எனவே, \(\begin{aligned} \frac{d y}{d x} & =-\frac{x}{4 y} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \left(\frac{d y}{d x}\right)_{(a, b)} & =m_1=-\frac{a}{4 b} . \end{aligned}\)
x² - 2y² = 4 -ஐ x -ஐப் பொருத்து வகையிட
\(2x-4y\frac{dy}{dx}=0\)
எனவே, \(\frac{dy}{dx}=\frac{x}{2y}\)
\(\left ( \frac{dy}{dx} \right )_{(a,b)}=m_{2}=\frac{a}{2b}\)
எனவே , \(m_{1}\times m_{2}=\left ( -\frac{a}{4b} \right )\times \left ( \frac{a}{2b} \right )=-\frac{a^{2}}{8b^{2}}\)  ..... (5)
(4)-ல் விகிதச் சமக் கொள்கையை பயன்படுத்த ,
\(\frac{a^{2}}{-16-16}=\frac{b^{2}}{-8+4}=\frac{1}{-2-4}\)எனப்பெறலாம்.
எனவே, \(\frac{a^{2}}{b^{2}}=\frac{32}{4}=8\) ஆகும். இதனை (5)-ல் பிரதியிட, நாம்  m₁ \(\times\) m₂ = -1 எனப் பெறலாம். ஆகவே, இவ்விரு வளைவரைகளும் செங்குத்தாக வெட்டிக்கொள்ளும்.

படத்திலிருந்து,\(\cfrac { r }{ h } =\cfrac { 5 }{ 12 } \) \(\Rightarrow\) \(r=\cfrac { 5h }{ 12 } \) 
கொடுக்கப்பட்ட கன அளவின் மாறுவீதம் \(\cfrac { dv }{ dt } =10\) 
h=8 எனும்போது \(\cfrac { dh }{ dt } \) ஐக் காண வேண்டும்
கூம்பின் கன அளவு \(V=\cfrac { 1 }{ 3 } { \pi r }^{ 2 }\)h 
\(V=\cfrac { \pi }{ 3 } \left( \cfrac { 5h }{ 12 } \right) ^{ 2 }h\) 
\(V=\cfrac { \pi }{ 3 } \left( \cfrac { 25{ h }^{ 3 } }{ 144 } \right) =\cfrac { 25\pi }{ 432 } { h }^{ 3 }\) 
't' ஐப் பொறுத்து வகைப்படுத்த 
\(\cfrac { dv }{ dt } =\cfrac { 25\pi }{ 432 } \left( 3{ h }^{ 2 } \right) \cfrac { dh }{ dt } \) 
\(10=\cfrac { 25\pi }{ 432 } \left( 3\left( 8 \right) ^{ 2 } \right) \cfrac { dh }{ dt } \)  \(\left[ \therefore h=8 \right] \) 
\(\therefore \cfrac { dh }{ dt } =\cfrac { 1 }{ \pi } \cfrac { 432\times 10 }{ 3\times 25\times 64 } =\cfrac { 4320 }{ 4800\pi } \) 
= \(\cfrac { 0.9 }{ \pi } =\cfrac { 9 }{ 10\pi } \) 
ஃ  நீரின் ஆழம் நிமிடத்திற்கு \(\cfrac { 9 }{ 10\pi } \) மீ வேகத்தில் அதிகரிக்கிறது. 

r ஆரமுள்ள ஊதுபையின் கன அளவானது \(V =\frac{4}{3}\pi r ^{3} \) ஆகும்.
\(\frac{dV }{dt }=1000 \) எனக்கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
\(\frac{dr }{dt} \) - யினை r = 7 எனும் போது காணவேண்டும்.

\(\frac{dV}{dt}=3\times\frac{4}{3}\pi r^{2}\times \frac{dr}{dt}\).
r = 7 மற்றும் \(\frac{dV}{dt}\) =1000 எனப்பிரதியிட, 1000 \(= 4\pi \times 49 \times \frac{dr}{dt}\).
ஆகையால் , \(\frac{dr}{dt}=\frac{1000}{4\times49\times \pi}=\frac{250}{49\pi}\)
ஊதுபையின் மேற்பரப்பு S=4\(\pi r^{2}\) எனவே , \(\frac{dS}{dt}=8\pi \times r \times \frac{dr}{dt}\).
\(\frac{dr}{dt}=\frac{250}{49\pi}\) மற்றும் r = 7 எனப் பிரதியிட, 
\(\frac{dS}{dt}=8\pi\times7\times \frac{250}{49\pi}=\frac{2000}{7}\) எனப் பெறுகிறோம்.
எனவே , ஆரத்தின் மாறுபாட்டு வீதம் \(\frac{250}{49 \pi}\) செ மீ / வினாடி வீதம் மற்றும் பரப்பளவின் மாறுபாட்டு வீதம் \(\frac{2000}{7}\) செமீ² /வினாடி  ஆகும்.

இது \((\frac{0}{0})\) என்ற தீரப்பெறா வடிவத்தில் உள்ளதால், லோபிதாலின் விதியை பயன்படுத்த,
\(\underset{\theta \rightarrow 0}{\lim} (\frac{1-\cos m\theta}{1-\cos n\theta})\)=\(\underset{\theta \rightarrow 0}{\lim} (\frac{m \sin m\theta}{n \sin n\theta})\)
எடுத்துக்காட்டு
\(\underset{x\rightarrow 0}{\lim}(\frac{\sin mx}{x})\)=\(\underset{x\rightarrow 0}{\lim}(\frac{m\times \cos mx}{1})\) -ஐ பயன்படுத்த
\(\underset{\theta \rightarrow 0}{\lim} \frac{m}{n} \times (\frac{\frac{\sin m\theta}{\theta}}{\frac{\sin n\theta}{\theta}}) =\frac{m^{2}}{n^{2}}\)
ஆகவே , m² = n²
அதாவது, \(m=\pm n\).

\(f(x)=\left| 3x+1 \right| ,x \in \left[ -1,3 \right] \) 

f(x) என்பது [-1, 3] ல் தொடர்ச்சியானது. ஆனால்,
f(x) என்பது x = -\(\frac{1}{3}\) ல் வகையிடத்தக்கதல்ல.
LHL = \(f'\left ( -\frac{1^{-}}{3} \right )=\displaystyle \lim_{ x \to \frac{-1^{-}}{3}}\frac{-(3x+1)-0}{x-\left ( -\frac{1}{3} \right )}=\) \(\displaystyle \lim_{x\to \frac{-1^{+}}{3}}\frac{3(3x+1)}{(3x+1)}\)
\(\because\)  LHL \(\neq\) RHL, \(f'\left (-\frac{1}{3} \right )\) ஐ காண இயலாது.
எனவே, லெக்ராஞ்சியின் சராசரி மதிப்புத் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்த முடியாது.

கன சதுரத்தின் கன அளவு \(v={ x }^{ 3 }\) 
மாறுவீதம் \(\cfrac { dv }{ dx } ={ 3x }^{ 2 }\) 
x = 5 அலகுகள் எனும்போது \(\cfrac { dv }{ dx } =3(5)^{ 2 }=3(25)\) 
= 75 அலகுகள்.

\(\underset{x\rightarrow \frac{\pi}{2}}{\lim}(\sin x)^{\tan x}\) [1^∞ தேரப்பெறா வடிவம் 
\(g(x)=(\sin x)^{ \tan x }\) என்க 
இருபுறமும் மடக்கை எடுக்க 
log g(x) = tan x log sin x 
\(\underset { x\rightarrow \frac { \pi }{ 2 } }{ \lim } \log g(x)=\underset { x\rightarrow \frac { \pi }{ 2 } }{ \lim } \cfrac { \log \sin x }{ \cot x } \) [\(\cfrac { 0 }{ 0 } \) தேரப்பெறா வடிவம் 
லோபிதாலின் விதியைப் பயன்படுத்த,
= \(\underset { x\rightarrow \frac { \pi }{ 2 } }{ \lim } \left( \cfrac { \cot x }{ -{ cosec }^{ 2 }x } \right) =0\) 
அடுக்கைச் சார்பாக மாற்ற,
\(\underset { x\rightarrow \frac { \pi }{ 2 } }{ \lim } g(x)={ e }^{ 0 }=1\)

இது \(\infty^{0}\) எனும் தேரப்பெறா வடிவில் உள்ளது.
\(g(x)=(1+2x)^{\frac{1}{2\log x}}\) என்க .
மடக்கை எடுக்க ,
log g(x)=\(\frac{\log(1+2x)}{2 \log x}\)
\(\underset{x\rightarrow \infty}{\lim}\log g(x)=\underset{x\rightarrow \infty}{\lim}(\frac{\log(1+2x)}{2\log x})\) (\(\frac{\infty}{\infty}\) வடிவம்)
\(=\underset{x\rightarrow \infty}{\lim}(\frac{\frac{2}{1+2x}}{\frac{2}{x}})\) (லோபிதாலின் விதிப்படி) 
=\(\underset{x\rightarrow \infty}{\lim}(\frac{x}{1+2x})\)(\(\frac{\infty}{\infty}\) வடிவம்)
=\(\underset{x\rightarrow \infty}{\lim}(\frac{1}{2})=\frac{1}{2}\) ஆனால் ,
\(\underset{x\rightarrow \infty}{\lim}\log g(x)=\log (\underset{x\rightarrow \infty}{\lim}g(x))\).
ஆகவே அடுக்குப்படுத்த , நமக்குத் தேவையான எல்லையினை  \(\sqrt{e}\) எனப் பெறலாம்.

\(f(x)=log\left( 1-x \right)\) என்க\(-1\le x<1\) 
\(f(x)=log\left( 1-x \right) \quad f(0)=0\) 
\(f'(x)=-\cfrac { 1 }{ 1-x } \quad f'(0)=-1\) 
\(f''(x)=-\cfrac { 1 }{ \left( 1-x \right) ^{ 2 } } \quad f''(0)=-1\) 
\(f'''(x)=-\cfrac { 2 }{ (1-x)^{ 3 } } f'''(0)=-2\) 
\({ f }^{ IV }\left( x \right) =-\cfrac { 6 }{ (1-x)^{ 4 } } { f }^{ IV }(0)=-6\) 
மெக்லாரின் விரிவு 
\(f(x)=\overset { \infty }{ \underset { n=0 }{ \Sigma } } \cfrac { { f }^{ (n) }(0){ x }^{ n } }{ n! } \) 
\(f(0)+\cfrac { f'(0) }{ 1! } x+\cfrac { f''(0) { x }^{ 2 }}{ 2! }+...+\cfrac { { f }^{ (n) }(0){ x }^{ n } }{ n! } +...\) 
\(\log(1-x)=0\cfrac { 1 }{ 1! } x-\cfrac { 1 }{ 2! } { x }^{ 2 }-\cfrac { 2 }{ 3! } { x }^{ 3 }-\cfrac { 6 }{ 4! } { x }^{ 4 }+...\) 
\(=-\left[ x+\cfrac { { x }^{ 2 } }{ 2 } +\cfrac { { x }^{ 3 } }{ 3 } +\cfrac { { x }^{ 4 } }{ 4 } +... \right] \)

சராசரி மதிப்புத் தேற்றப்படி 'c' \(\in\) (2,7) -ஐ
\(\frac{f(7)-f(2)}{7-2}=f'(c)\le 29\) எனக் காணலாம்.
ஆகவே , \(f(7)\le 5\times 29+17=162\) 
எனவே , f (7) -ன் அதிகபட்ச மதிப்பு 162 ஆகும்.

\(x=a,{ cos }^{ 3 }t,y=bsin^{ 3 }t\)
't' ஐப் பொறுத்து வகைப்படுத்த 
\(\cfrac { dx }{ dt } =-3a{ cos }^{ 2 }tsint\) 
\(\cfrac { dy }{ dt } =3b{ sin }^{ 2 }tcost\) 
\(\cfrac { dy }{ dx } =\cfrac { \frac { dy }{ dt } }{ \frac { dx }{ dt } } =\cfrac { 3b{ sin }^{ 2 }tcost }{ -3a{ cos }^{ 2 }tsint } \) 
= \(-\cfrac { b }{ a } \cfrac { sint }{ cost } =- \cfrac { b }{ a } tant\) 
தொடுகோட்டின் சாய்வு \(\left( \cfrac { dy }{ dx } \right) _{ (t=\pi /2) }\) 
= \(-\cfrac { b }{ a } tan\cfrac { \pi }{ 2 } =\infty \)