கொடுக்கப்பட்டது\(y={ ae }^{ 3x }+{ be }^{ 5x }\) ...(1)
இங்கு a மற்றும் b என்பது தனித்த மாறிலிகள் 
சமன்பாடு (1)ஐ இருமுறை வகைப்படுத்த 
\(\cfrac { dy }{ dx } ={ ae }^{ 3x }3+{ be }^{ 5x }+5\) 
\({ y }^{ ' }-3ae^{ 3x }={ 5be }^{ 5x }\) 
மீண்டும் வகைப்படுத்த கிடைப்பது 
= \(\cfrac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } =3{ ae }^{ 3x }+5\quad 5{ be }^{ 5x }\) 
= \(3\left( { y }^{ ' }-{ 5be }^{ 5x } \right) +5\left( y'-3{ ae }^{ 3x } \right) \) 
= \({ 3y }^{ ' }-{ 15be }^{ 5x }+5y'-{ 15ae }^{ 3x }\) 
= \(8y'-15\left[ { ae }^{ 3x }+{ be }^{ 5x } \right] \) 
= \(8y'-15y\)

சமன்பாட்டை \(\cfrac { dy }{ dx } =\cfrac { 1+{ y }^{ 2 } }{ 1+{ x }^{ 2 } } \) எனுமாறு எழுதலாம்.
\(\cfrac { dy }{ 1+{ y }^{ 2 } } =\cfrac { dx }{ 1+{ x }^{ 2 } } \) 
இருபுறமும் தொகையிடக் கிடைப்பது 
\(\int { \cfrac { dy }{ 1+{ y }^{ 2 } } } =\int { \cfrac { dx }{ 1+{ x }^{ 2 } } } \) 
\({ tan }^{ -1 }(y)=-{ tan }^{ -1 }(x)+c\) 
\({ tan }^{ -1 }(y)+{ tan }^{ -1 }(x)=c\)

கொடுக்கப்பட்ட வகைக்கெழுச் சமன்பாடு 
\(cos\cfrac { dy }{ dx } =a\) 
இச்சமன்பாட்டை \(\cfrac { dy }{ dx } ={ cos }^{ -1 }a\) என எழுதலாம்.
\(dy=\left( { cos }^{ -1 }a \right) dx\) 
இருபுறமும் தொகையிடக் கிடைப்பது 
\(\int { dy } =\int { \left( { cos }^{ -1 }a \right) } dx\) 
\(y=\left[ { cos }^{ -1 }\left( a \right) \right] x+c\)    ...(1)
கொடுக்கப்பட்ட கட்டுப்பாடு:
x=0 எனும்போது y=2
சமன்பாடு (1),\(2=\left[ { cos }^{ -1 }\left( a \right) \right] 0+c\) என மாறுகிறது.
2=c 
\(y=\left[ { cos }^{ -1 }(a) \right] x+2\) 
\(\cfrac { y-2 }{ x } ={ cos }^{ -1 }(a)\Rightarrow cos\left( \cfrac { y-2 }{ x } \right) =a\)

\(\cfrac { dy }{ dx } =\cfrac { 1 }{ 4y } \) 
\(\Rightarrow 4ydy=dx\)  
சமன்பாடு (1) ஐ இருபுறமும் தொகைப்படுத்தக் கிடைப்பது 
\(4\int { ydy } =\int { dx } \) 
\(4\left( \cfrac { { y }^{ 2 } }{ 2 } \right) =x+c\) 
\({ 2y }^{ 2 }=x+c\) 
வளைவரை (2,5) புள்ளி வழிச் செல்வதால்,
\(2\left( 5 \right) ^{ 2 }=2+c\) 
\(50=2+c\) 
 50-2=c
48=c 
ஃ c ன் மதிப்பை சமன்பாடு (2) ல் பிரதியிடக் கிடைப்பது 
 \({ 2y }^{ 2 }=x+48\)

கொடுக்கப்பட்டது y = 2x²
'x'ஐப் பொறுத்து வகைப்படுத்த,நாம் பெறுவது 
\(\cfrac { dy }{ dx } =2.2x\) 
இருபுறமும் x ஆல் பெருக்கக் கிடைப்பது 
\(x\cfrac { dy }{ dx } =2.2{ x }^{ 2 }\) 
xy'=2y என்பது கொடுக்கப்பட்ட வகைக்கெழுச் சமன்பாடாகும்.
எனவே y=2x² என்பது xy'=2y என்ற வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டை நிறைவு செய்கிறது.எனவே,y=2x² என்பது xy'=2y என்ற வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டின் தீர்வாகும்.

செவ்வகலம் 4a மற்றும் x அச்சுக்கு இணையான அச்சுகளைக் கொண்ட பரவளையத் தொகுப்பின் சமன்பாடு \(\left( y-b \right) ^{ 2 }=4a\left( x-a \right) \) ,இங்கு (a,b) என்பது பரவளையத்தின் முனை.
\({ y }^{ 2 }-2yb+{ b }^{ 2 }=4ax-4{ a }^{ 2 }\) ...(1)
சமன்பாடு (1)ஐப் பொறுத்து வகைப்படுத்த நாம் பெறுவது 
\(2y\cfrac { dy }{ dx } -2b\cfrac { dy }{ dx } +0=4a-0\) 
\(2\left( y\cfrac { dy }{ dx } -b\cfrac { dy }{ dx } \right) =4a\) 
\(\cfrac { dy }{ dx } \left( y-b \right) =\cfrac { 4a }{ 2 } \) 
\(\cfrac { dy }{ dx } \left( y-b \right) =2a\) 
 \(y\cfrac { dy }{ dx } -2a=b\cfrac { dy }{ dx } \) 
\(\because \cfrac { dy }{ dx } =y'\) 
\(\therefore yy'-2a=by'\)  ...(2)
சமன்பாடு (2) ஐ 'x' ஐப் பொறுத்து வகைப்படுத்த நாம் பெறுவது 
\(yy''+y'y=by''\) 
\(yy''+y^{ '2 }=by''\)   ...(3)
b-ன் மதிப்பை (3) ல் பிரதியிட,நாம் பெறுவது 
\(yy''+\left( y' \right) ^{ 2 }=\left( \cfrac { yy'-2a }{ y' } \right) y''\) 
\(yy''+\left( y' \right) ^{ 2 }-y''\left( \cfrac { yy'-2a }{ y' } \right) =0\) 
 \(yy''+(y')^{ 2 }-\cfrac { yy''y' }{ y' } +\cfrac { 2ay' }{ y' } =0\) 
 \(yy''+\left( y' \right) ^{ 2 }-\cfrac { yy''y' }{ y' } +\cfrac { 2ay'' }{ y' } =0\) 
\(yy''+\left( y' \right) ^{ 2 }-{ yy }^{ '' }+\cfrac { 2ay'' }{ y' } =0\) 
\(\left( y' \right) ^{ 2 }+\cfrac { 2ay'' }{ y' } =0\) 
'y' ஆல் வகுக்க 
\(\left( y' \right) ^{ 3 }+\cfrac { 2ay''\times { y }^{ 1 } }{ y' } =0\) 
\(\left( y' \right) ^{ 3 }+2ay''=0\) 
என்பது தேவையான வகைக்கெழுச் சமன்பாடாகும்.

பரவளையக் குடும்பத்தின் சமன்பாடு y² = 4ax,
இங்கு a என்பது ஏதேனும் ஒரு மாறிலியாகும். ... (1)
சமன்பாட்டின் இருபக்கமும் xஐப் பொருத்து வகைக்கெழு காண, நாம் பெறுவது
\(2y\frac { dy }{ dx } =4a\Rightarrow a=\frac { y }{ 2 } \frac { dy }{ dx } \)
a இன் மதிப்பை சமன்பாடு (1)-ல் பிரதியிட, நாம் பெறுவது \(\frac { dy }{ dx } =\frac { y }{ 2x } \) எனும் தேவையான வகைக்கெழுச் சமன்பாடாகும்.

இச்சமன்பாட்டில் உயர்ந்த வரிசை வகைக்கெழு என்பது \(\frac { dy }{ dx } \) ,எனவே இதன் வரிசை 1.
இதில் \({ e }^{ xy\left( \frac { dy }{ dx } \right) }\) என்ற உறுப்பு உள்ளதால் இதன் படி வரையறுக்கப்படவில்லை.

கொடுக்கப்பட்ட வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டில் காணப்படும் மிக உயர்ந்த வரிசை கொண்ட வகைக்கெழு \(\frac { { d }^{ 2}y }{ { dx }^{ 2} } \) ஆகும். மேலும், இதன் அடுக்கு 1 ஆகும்.
எனவே, இச்சமன்பாட்டின் வரிசை 2 ஆகும்.
கொடுக்கப்பட்ட வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டை அதனுடைய வகைக்கெழுக்களைக் கொண்டு பல்லுறுப்புக் கோவைச் சமன்பாடாக எழுத முடியாது. ஆகவே, இச்சமன்பாட்டின் படி வரையறுக்கப்படவில்லை.

வளைவரைத் தொகுப்பின் சமன்பாடு 
\(y={ Ae }^{ -x }+{ Be }^{ x }\) 
A மற்றும் B என்பன தனித்த மாறிலிகள் சமன்பாடு (1) ஐப் பொறுத்து வகைப்படுத்த 
\(\cfrac { dy }{ dx } ={ Ae }^{ -x }(-1)+{ Be }^{ x }\left( 1 \right) \) 
= \(-{ Ae }^{ -x }+{ Be }^{ x }\) 
மீண்டும் சமன்பாடு (2)ஐ,xஐப் பொறுத்து வகைப்படுத்தக் கிடைப்பது 
\(\cfrac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } =-{ Ae }^{ -x }(-1)+{ Be }^{ x }\) 
\(\cfrac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } ={ Ae }^{ -x }+{ Be }^{ x14.3 }\Rightarrow \cfrac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } =y\) 
\(\cfrac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } -y=0\) என்பது தேவையான வகைக்கெழுச் சமன்பாடாகும்.

கொடுக்கப்பட்டது \(\cfrac { dy }{ dx } =\cfrac { 1+{ y }^{ 2 } }{ 1+{ x }^{ 2 } } \) 
சமன்பாட்டை \(\cfrac { dy }{ 1+{ y }^{ 2 } } =\cfrac { dx }{ 1+{ x }^{ 2 } } \) எனுமாறு எழுதலாம்.
இருபுறமும் தொகையிடக் கிடைப்பது 
\(\int { \cfrac { dy }{ 1+{ y }^{ 2 } } } =\int { \cfrac { dx }{ 1+{ x }^{ 2 } } } \) 
\({ tan }^{ -1 }(y)={ tan }^{ -1 }(x)+c\) 
\({ tan }^{ -1 }(y)-{ tan }^{ -1 }\left( x \right) =c\) 
\(\cfrac { y-x }{ 1+yx } =tanc=C\) 
\(\cfrac { y-x }{ 1+yx } =tanc=C\) ,இங்கு C=tanc 
\(\cfrac { y-x }{ 1+yx } =C\) இங்கு C=tanC 
\(\cfrac { y-x }{ 1+yx } =C\) என்பது வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டின் தீர்வாகும்.

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டை \(\frac { dy }{ dx } +\frac { (x \tan x-1) }{ x } y=x \cos x\) என எழுதலாம்.
இது நேரியல் வகைக்கெழுச் சமன்பாடாகும். இங்கு \(p=\frac { (xtanx-1) }{ x } ;\quad Q=xcosx.\) 
\(\int { pdx } =\int { \frac { (xtanx-1) }{ x } } dx=-log\left| cosx \right| -log\left| x \right| =-log\left| xcosx \right| =log\frac { 1 }{ \left| xcosx \right| } .\)
தொகையீட்டுக் காரணி = \({ e }^{ \int { pdx } }={ e }^{ log\frac { 1 }{ \left| xcosx \right| } }=\frac { 1 }{ xcosx } \) 
கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டின் தீர்வு \({ ye }^{ \int { pdx } }={ Qe }^{ \int { pdx } }dx+c\) 
i.e., \(y\frac { 1 }{ xcosx } =\int { (xcosx) } \frac { 1 }{ xcosx } dx+c\) 
அல்லது \(y\frac { 1 }{ xcosx } =x+c\) 
அல்லது \(y={ x }^{ 2 }cosx+Cxcosx\) இதுவே தேவையான தீர்வு ஆகும்.

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டை \(\frac { dx }{ dy } =\frac { \left( \frac { x }{ y } -1 \right) 2{ e }^{ x/y } }{ { 1+2e }^{ x/y } } =g\left( \frac { x }{ y } \right) \) என எழுதலாம்.
சமன்பாடு (1)-ல் \(\frac { x }{ y } \) எனும் உறுப்பு காணப்படுவதால், இச்சமன்பாட்டில் x = vy எனப் பிரதியிடுவது பொருத்தமாக இருக்கும்.
x = vy என சமன்பாடு (1)-ல் பிரதியிட, \(y\frac { dv }{ dy } =\frac { { 2e }^{ v }+v }{ { 1+2e }^{ v } } \) எனக்கிடைக்கிறது.
மாறிகளைப் பிரித்தெழுத, \(\frac { { 1+2e }^{ v } }{ v+{ 2e }^{ v } } dv=-\frac { dy }{ y } .\)
இரு பக்கமும் தொகையிட,
\(log\left| { 2e }^{ v }+v \right| =-log\left| y \right| +log\left| C \right| \) அல்லது \(log\left| { 2ye }^{ v }+vy \right| =log\left| C \right| \) அல்லது \({ 2ye }^{ v }+vy=\pm C\)
v = \(\frac { x }{ y } \) எனப்பிரதியிட, 2ye^{x/ y} + x = k, இங்கு k = \(\pm \)C ஆகும்.
இதுவே தேவையான தீர்வு ஆகும்.

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு சமபடித்தான சமன்பாடாகும் என்பது நமக்குத் தெரியும். ஆகவே, கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டை \(\frac { dy }{ dx } =\frac { 3y }{ 2x } -\frac { x }{ 2y } \) என எழுதலாம்.
y = vx எனில், v + x \(\frac { dv }{ dx } =\frac { 3v }{ 2 } -\frac { 1 }{ 2v } \) அல்லது x \(\frac { dv }{ dx } =\frac { { v }^{ 2 }-1 }{ 2v } \).
மாறிகளைப் பிரித்து எழுத \(\frac { 2vdv }{ { v }^{ 2 }-1 } =\frac { dx }{ x } \) எனப் பெறுகிறோம்.
இருபுறமும் தொகையிட log, \(\left| { v }^{ 2 }-1 \right| =log\left| x \right| +log\left| c \right| ,\)
எனவே, \(\left| { v }^{ 2 }-1 \right| =\left| Cx \right| \) இங்கு C என்பது எதேச்சை மாறிலி v க்குப் பதிலாக \(\frac { y }{ x } \) எனப் பிரதியிட, நமக்குக் கிடைப்பது
\(\left| \frac { { y }^{ 2 } }{ { x }^{ 2 } } -1 \right| =\left| Cx \right| .\) 
எனவே, \(\left| { y }^{ 2 }-{ x }^{ 2 } \right| =\left| C{ x }^{ 3 } \right| \)
ஆகவே, \({ y }^{ 2 }-{ x }^{ 2 }=\pm C{ x }^{ 3 }\) (அல்லது) y² - x² = kx³
இதுவே கொடுக்கப்பட்ட வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டின் பொதுத் தீர்வாகும்.

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு \(\frac { dy }{ dx } =\sqrt { 4x+2y-1 } .\)
z = 4x + 2y - 1 எனப் பிரதியிடக் கிடைப்பது
\(\frac { dy }{ dx } =4+2\frac { dy }{ dx } =4+2\sqrt { z } \)
எனவே, \(\frac { dz }{ 4+2\sqrt { z } } =dx\).
தொகையிட, \(\int { \frac { dz }{ 4+2\sqrt { z } } } =x+C.\)
z = u² எனப்பிரதியிட
\(\int { \frac { dz }{ 4+2\sqrt { z } } } =\quad \int { \frac { udu }{ u+2 } } =u-2log\left| u+2 \right| +C,\)
அல்லது \(\sqrt { z } -2log\left| \sqrt { z } +2 \right| =x+C\)
z = 4x + 2y -1 எனப் பிரதியிட, நாம் பெறும் பொதுத் தீர்வு
\(\sqrt { 4x+2y-1 } +2\log\left| \sqrt { 4x+2y-1 } +2 \right| =x+C.\)

y' = sin² (x - y + 1)
z = x - y + 1 என்க. எனவே, \(\frac { dz }{ dx } =1-\frac { dy }{ dx } .\)
ஆகவே, கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு 1 - \(\frac { dz }{ dx } =\) sin² z என மாறுகிறது.
அதாவது, \(\frac { dz }{ dx } =\) 1 - sin² z = cos² z.
மாறிகளைப் பிரித்து எழுதக்கிடைப்பது \(\frac { dz }{ { cos }^{ 2 }z } \) = dx (அல்லது) sec² zdz = dx.
தொகையிட நாம் பெறுவது tan z = x + C (அல்லது) tan (x - y + 1) = x + C

\((1+{ x }^{ 2 })\frac { dy }{ dx } =1+{ y }^{ 2 }\) ...(1)
கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டின் மாறிகளைப் பிரித்து
\(\frac { dy }{ { 1+y }^{ 2 } } =\frac { dx }{ { 1+x }^{ x } } \) ...(2)
என எழுதலாம்.
சமன்பாடு (2)-ன் இருபக்கமும் தொகையிடக் கிடைப்பது tan^-1 y = tan^-1 x + C. ...( 3)
ஆனால் tan^-1 y - tan^-1 x = tan^-1 \(\left( \frac { y-x }{ 1+xy } \right) \) ...(4)
சமன்பாடு (4)ஐ (3)-ல் பயன்படுத்தக் கிடைப்பது
tan^-1 \(\left( \frac { y-x }{ 1+xy } \right)\) = C ⇒ \(\frac { y-x }{ 1+xy } \) = tan C = a (என்க).
ஆகவே , y − x = a(1+ xy) . இதுவே தேவையான தீர்வு ஆகும்.

மக்கள்தொகை அதிகரிக்கும் வீதம் t நேரத்தில் \(\frac { dp }{ dt } \) மற்றும் இதன் மாறுவீதம் மக்கள் தொகைக்கு நேர்விகிதத்தில் உள்ளதால் \(\frac { dp }{ dt } =kp.\) மேலும் 5,00,000க்கும் மக்கள் தொகைக்கும் உள்ள வேறுபாடு,மக்கள் தொகை ஆகியவற்றை பெருக்கக் கிடைக்கும் மதிப்பு ஆகியவற்றிக்கு நேர்விகிதத்தில் உள்ளதால் \(\frac { dp }{ dt } =kp\) (5,00,000-P )என்பது தேவையான வகைக்கெழுச் சமன்பாடாகும்.

\(y^{ 2 }-{ x }^{ 2 }=xy\cfrac { dy }{ dx } \\ { y }^{ 2 }-{ x }^{ 2 }\cfrac { dy }{ dx } =xy\cfrac { dy }{ dx } \) 
\(\cfrac { dy }{ dx } =\cfrac { { y }^{ 2 } }{ { x }^{ 2 }+xy } \)  ...(1)
y=vx எனப் பிரதியிட \(v=\cfrac { y }{ x } \) 
\(\cfrac { dy }{ dx } =v+x\cfrac { dv }{ dx } \\ v+x\cfrac { dv }{ dx } =\cfrac { { v }^{ 2 }{ x }^{ 2 } }{ { x }^{ 2 }+{ x }^{ 2 }V } \\ x\cfrac { dv }{ dx } =\cfrac { { v }^{ 2 } }{ 1+v } -v\\ x\cfrac { dv }{ dx } =\cfrac { { v }^{ 2 }-v-{ v }^{ 2 } }{ 1+v } \\ \int { \left( \cfrac { 1+v }{ v } \right) dv=-\int { \cfrac { dx }{ x } } } \\ \int { \left( \cfrac { 1 }{ v } +1 \right) dv } =-\int { \cfrac { dx }{ x } } \\ log|v|+v=-log|x|+log(c)\\ v=log|\cfrac { c }{ x } |-logv\) 
\(v=log\left| \cfrac { c/x }{ v } \right| \\ v=log\left| \cfrac { c }{ x(y/x) } \right| \\ \cfrac { y }{ x } =log\left| \cfrac { c }{ y } \right| \\ { e }^{ y/x }=\cfrac { c }{ y } \\ y={ ce }^{ -y/x }\)

x என்பது t வருடத்தில் உள்ள மக்கள்தொகை மற்றும் x₀ என்பது t=0 எனும்போது உள்ள மக்கள்தொகை என்க.
கொடுக்கப்பட்டது \(\cfrac { dx }{ dt } =kx\) இங்கு k என்பது மாறிலி 
சமன்பாட்டை \(\cfrac { dx }{ x } =kdt\) ...(1) என எழுதலாம்

சமன்பாடு (1) ஐ தொகையிடக் கிடைப்பது 
\(\int { \cfrac { dx }{ x } } =\int { kdt } \) 
\(\\ logx=kt+logc\) 
\(logx-logc=kt\) 
\(log\cfrac { x }{ c } =kt\) 
\(\cfrac { x }{ c } ={ e }^{ kt }\) 
\(x={ ce }^{ kt }\) 
\(t=0\) நேரத்தில் \(\quad x={ x }_{ 0 }\) 
\(x={ ce }^{ t }\) 
\({ x }_{ 0 }={ ce }^{ k(0) }\) 
\({ x }_{ 0 }={ ce }^{ 0 }\) 
\({ x }_{ 0 }=c(1)\) 
\(\therefore c={ x }_{ 0 }\) 
\(c={ x }_{ 0 }\) என சமன்பாடு (2)ல் பிரதியிடக் கிடைப்பது 
\(x={ x }_{ 0 }{ e }^{ kt }\) 
t=50 எனும்போது \(x={ 2x }_{ 0 }\) 
(3)
\({ 2x }_{ 0 }={ x }_{ 0 }{ e }^{ kt }\) 
\(2={ e }^{ 50k }\) 
\(\therefore { e }^{ 50k }=2\) 
\(x=3{ x }_{ 0 }\) எனும்போது, t ஐக் காண வேண்டும்.
\((3)\Rightarrow { 3x }_{ 0 }={ x }_{ 0 }{ e }^{ kt }\) 
\(e^{ kt }=3\) 
\(\therefore 3={ e }^{ kt }\) 
\(\\ { 3 }^{ 50 }={ e }^{ 50kt }\) 
\(3^{ 50 }=\left( { e }^{ 50 } \right) ^{ t }=2t\) 
இருபுறமும் மடக்கை எடுக்கக் கிடைப்பது 
\(tlog2=50log3\) 
\(t=\cfrac { log3 }{ log2 } \) 
= 79 வருடங்கள்  

கொடுக்கப்பட்ட வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டை 
\(\cfrac { dy }{ dx } +\left( \cfrac { 3 }{ x } \right) y=\cfrac { 1 }{ { x }^{ 2 } } \) 
இது \(\cfrac { dy }{ dx } +Py=Q\) என்ற வடிவில் உள்ளது.
இங்கு \(P=\cfrac { 3 }{ x } ;Q=\cfrac { 1 }{ { x }^{ 2 } } \) 
இது ஒரு நேரியல் வகைக்கெழுச் சமன்பாடாகும்.
தொ.கா = \({ e }^{ \int { Pdx } }={ e }^{ \int { \frac { 3 }{ x } dx } }={ e }^{ 3\int { \frac { 1 }{ x } dx } }\) 
= \({ e }^{ 3logx }={ e }^{ log{ x }^{ 3 } }={ x }^{ 3 }\) 
சமன்பாட்டின் தீர்வு 
\(y\times I.F==\int { \left( Q\times I.F \right) dx+c } \) 
\(y{ x }^{ 3 }=\int { \cfrac { 1 }{ { x }^{ 2 } } \times { x }^{ 3 }dx+c } \) 
= \(\int { x } dx+c\) 
\(y{ x }^{ 3 }=\cfrac { { x }^{ 2 } }{ 2 } +c\) 
\(2{ yx }^{ 3 }={ x }^{ 2 }+c\) 
கொடுக்கப்பட்டது:x=1 எனும்போது y=2
\(2(2)(1)^{ 3 }=1+C\) 
4-1=c 
c=3
\(\therefore { 2yx }^{ 3 }={ x }^{ 2 }+3\) என்பது தேவையான தீர்வாகும்.

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டை 
\(\left( { x }^{ 2 }+{ y }^{ 3 } \right) dy={ x }^{ 2 }ydx\)  எனுமாறு எழுதலாம்.
\(\cfrac { dy }{ dx } =\cfrac { { x }^{ 2 }y }{ { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } \) 
இது ஒரு சமப்படிதான வகைக்கெழுச் சமன்பாடு 
\(y=vx\) 
\(\cfrac { dy }{ dx } =v+x\cfrac { dv }{ dx } \) 
\(v+x\cfrac { dv }{ dx } =\cfrac { { x }^{ 2 }\times vx }{ { x }^{ 3 }+{ v }^{ 3 }{ x }^{ 3 } } \) 
= \(\cfrac { { x }^{ 3 }v }{ { x }^{ 3 }\left[ 1+{ v }^{ 3 } \right] } \) 
\(v+x\cfrac { dv }{ dx } =\cfrac { v }{ 1+{ v }^{ 3 } } \) 
\(x\cfrac { dv }{ dx } =\cfrac { v }{ 1+{ v }^{ 3 } } -v\) 
\(\cfrac { v-v\left( 1+{ v }^{ 2 } \right) }{ 1+{ v }^{ 2 } } \) 
\(x\cfrac { dv }{ dx } =\cfrac { v-v-{ v }^{ 4 } }{ 1+{ v }^{ 3 } } \) 
\(x\cfrac { dv }{ dv } =\cfrac { -{ v }^{ 4 } }{ 1+{ v }^{ 2 } } \) 
\(\cfrac { \left( 1+{ v }^{ 3 } \right) }{ { v }^{ 4 } } dv=\cfrac { -dx }{ x } \) 
தொகையிடைக் கிடைப்பது 
\(\int { \cfrac { 1+{ v }^{ 2 } }{ { v }^{ 4 } } dv } =-\int { \cfrac { dx }{ x } } \) 
\(\int { \left( \cfrac { 1 }{ { v }^{ 4 } } +\cfrac { { v }^{ 3 } }{ { v }^{ 4 } } \right) dv } =-logx+logc\) 
\(\int { \cfrac { 1 }{ { v }^{ 4 } } dv+\int { \cfrac { 1 }{ v } dv } =-logx+logc } \) 
\(\int { { v }^{ -4 }dv+logv=-logx+logc } \) 
\(\cfrac { { v }^{ -4+1 } }{ -4+1 } =logv=-logx+logc\) 
\(\cfrac { { v }^{ -3 } }{ -3 } +logv+logx=logc\) 
\(\cfrac { { v }^{ -3 } }{ -3 } +log\left( logvx \right) =logc\) 
\(\cfrac { -1 }{ 3{ y }^{ 2 } } +log(vx)=logc\) 
\(logc+\cfrac { 1 }{ 3\left( \frac { y }{ x } \right) ^{ 3 } } =log\left[ \frac { y }{ x } x \right] \) 
\(logy=logc+\cfrac { 1 }{ \frac { { 3y }^{ 3 } }{ { x }^{ 3 } } } \) 
\(logy=logc+\cfrac { { x }^{ 3 } }{ { 3y }^{ 3 } } \) 
\(logy-logc=\cfrac { { x }^{ 3 } }{ { 3y }^{ 3 } } \) 
 \(log\left( \cfrac { y }{ c } \right) =\cfrac { { x }^{ 3 } }{ { 3y }^{ 3 } } \)
 \(\cfrac { y }{ c } ={ e }^{ \frac { { x }^{ 3 } }{ { 3y }^{ 3 } } }\) 
 \(y={ ce }^{ \frac { { x }^{ 3 } }{ { 3y }^{ 3 } } }\)

சமன்பாட்டை \(\cfrac { dy }{ \sqrt { 1-{ y }^{ 2 } } } =\cfrac { dx }{ \sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } } \) எனுமாறு எழுதலாம்.
இருபுறமும் தொகையிடக் கிடைப்பது 
\(\int { \cfrac { dy }{ \sqrt { 1-{ y }^{ 2 } } } } =\int { \cfrac { dx }{ \sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } } } \) 
\({ sin }^{ -1 }y={ sin }^{ -1 }x+C\)

கொடுக்கப்பட்ட வகைக்கெழுச் சமன்பாடு 
\(M\cfrac { dV }{ dt } =F-kV\) 
கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டை 
\(\cfrac { dV }{ F-kV } =\cfrac { dt }{ M } \) எனுமாறு எழுதலாம்.
தொகையிடக் கிடைப்பது 
\(\int { \cfrac { dv }{ F-kV } =\int { \cfrac { dt }{ M } } } \) 
\(\cfrac { log\left( F-kV \right) }{ -k } =\cfrac { t }{ m } +logC\) 
\(log\left[ F-kV \right] =-\cfrac { kt }{ M } +logC\) 
\(log\left[ F-kV \right] -logC=-\cfrac { kt }{ M } \) 
\(\cfrac { F-kV }{ C } =-\cfrac { kt }{ M } \) 
\(\cfrac { F-kV }{ C } =={ e }^{ \frac { -kt }{ M } }\) 
\(\cfrac { F-kV }{ { e }^{ \frac { -kt }{ M } } } =C\Rightarrow C={ e }^{ \frac { kt }{ M } }\left( F-kV \right) \) ...(1)
தொடக்கக் கட்டுப்பாடு 
கொடுக்கப்பட்டது t=0 எனும்போது V=0
\(C={ e }^{ \frac { k(0) }{ { e }^{ M } } }\left[ F-k(0) \right] \) 
= \({ e }^{ 0 }\left[ F-0 \right] \) 
C=F 
\(\therefore (1)\Rightarrow F=\left( F-kV \right) { e }^{ \frac { kt }{ M } }\)