\(\begin{aligned} (p \vee q) & \rightarrow r \end{aligned}\)
நேர்மாறு \(\begin{aligned} \neg r & \rightarrow \neg(p \vee q) \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \neg r & \rightarrow(\neg p \wedge \neg q) \end{aligned}\)

\(\begin{aligned} (p \vee q) & \rightarrow(p \wedge q) \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \neg(p \vee q) & \rightarrow \neg(p \wedge q) \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} (\neg p \wedge \neg q) & \rightarrow(\neg p \vee \neg q) \end{aligned}\)

கூற்றுகளின் எண்ணிக்கை =3
மெய்மை அட்டவணையில் நிரைகளின் எண்ணிக்கை = 2³ = 8 நிரைகள்

\(\begin{aligned} a * b & =\sqrt{a^2+b^2} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} b * a & =\sqrt{b^2+a^2} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \Rightarrow a * b & =b * a \end{aligned}\)
\(\therefore\) \(*\) என்பது பரிமாற்றுப் பண்பை நிறைவு செய்கிறது.
\(\begin{aligned} (\mathrm{a} * \mathrm{~b}) * \mathrm{c} & =\sqrt{a^2+b^2} * \mathrm{c} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} =\sqrt{\left(\sqrt{a^2+b^2}\right)^2+c^2}=\sqrt{a^2+b^2+c^2} \end{aligned}\)
\(\mathrm{a} *(\mathrm{~b} * \mathrm{c})=\mathrm{a} * \sqrt{b^2+c^2}\)
\(\begin{aligned} =\sqrt{a^2+\left(\sqrt{b^2+c^2}\right)^2}=\sqrt{a^2+b^2+c^2} \end{aligned}\)
\(\therefore\) \(\begin{aligned} (\mathrm{a} * \mathrm{~b}) * \mathrm{c} & =\mathrm{a} *(\mathrm{~b} * \mathrm{c}) \end{aligned}\)
\(*\) என்பது சேர்ப்புப் பண்பை நிறைவு செய்கிறது.

\(\begin{aligned} a \odot b=a+b+a b \end{aligned}\)
கொடுக்கப்பட்டது \(\begin{aligned} 3 \odot(y \odot 5)=7 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} 3 \odot(y+5+5 y) & =7 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} 3 \odot(6 y+5) & =7 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} 3+6 y+5+3(6 y+5) & =7 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} 8+6 y+18 y+15 & =7 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} 24 y & =7-23=-16 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} y & =-\frac{16}{24}=-\frac{2}{3} \end{aligned}\)

\(\mathbb{Z}\) என்பது அனைத்து முழு எண்களின் கணம் என்பதால்
\(\mathrm{a} * \mathrm{~b}=\frac{a b}{7} \notin \mathbb{Z}\)

a ஆனது குறைமதிப்பாகவும் b ஆனது பின்னமதிப்பாகவும் .: இருக்கும் பொழுது, \(\mathrm{a}^{\mathrm{b}} \notin \mathbb{R}\)
எ.கா: \((-2)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{-2} \notin \mathbb{R},\) இங்கு \(-2, \frac{1}{2} \in \mathbb{R}\)
\((-5)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{-5} \notin \mathbb{R}\), இங்கு \(-5, \frac{1}{2} \in \mathbb{R}\)
\(\therefore \mathrm{a} * \mathrm{~b}=\mathrm{a}^{\mathrm{b}}\) ஆனது ஈருறுப்புச் செயலி அல்ல.

p மற்றும் q என்பன ஏதேனும் இரு கூற்றுகள் எனில்
p ↔ q என்பது ஒரு மெய்மம் ஆகும்.
p ↔q என்பது ஒரு நிச்சயமின்மை.

(a) F மற்றும் T = F     (b) T மற்றும் T = T
(c) T மற்றும் F = F      (d) T மற்றும் T = T

\(\mathrm{p} \wedge(\neg \mathrm{p} \vee \mathrm{q}) \equiv(\mathrm{p} \wedge \neg \mathrm{p}) \vee(\mathrm{p} \vee \mathrm{q}) \equiv \mathbb{F} \vee(\mathrm{p} \wedge \mathrm{q}) \equiv \mathrm{p} \wedge \mathrm{q}\)

இரட்டைத் தன்மை என்பது Λ, V ஆகியவற்றுக்கு முறையே V, Λ களை பதிலிடுவதன் மூலம் பெறப்படுகிறது.

கடைசி நிரலில் உள்ள 'F' களின் எண்ணிக்கை 3

n = 1 எனில், x = 0, 1
n = 2 எனில், x = -2, 0, 2
n = 3 எனில், x = -3, -1, 1, 3
x = 2i - n என்க.
n = 2 எனும்போது
x = 2i - 2      i = 0, 1, 2
i = 0 எனில்,     x = -2
i = 1 எனில்,     x = 0
i = 2 எனில்,     x = 2
                          x = -2, 0, 2
n = 3 எனும்போது
x = 2i - 3            i = 0, 1, 2, 3
i = 0 எனில்,   x = -3
i = 1 எனில்,   x = -1
i = 2 எனில்,   x = 1
i = 3 எனில்,   x = 3
                        x = -3, -1, 1, 3
\(\therefore\) 2i - n, i = 0, 1, 2, ............n.

\(\mathrm{n}=25, \mathrm{p}=\frac{4}{5}, \mathrm{q}=\frac{1}{5}\)
திட்ட விலக்கம் \(=\sqrt{n p q}=\sqrt{25 \times \frac{4}{5} \times \frac{1}{5}}=2\)

X^-1(7) = {(3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)} = 4
7 - இன் நேர்மாறு பிம்பத்தின் உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை = 4

நிகழ்தகவு நிரைச் சார்பு

\(E(X)=\frac{36}{6}-\frac{1}{6}-\frac{4}{6}-\frac{9}{6}-\frac{16}{6}-\frac{25}{6}=-\frac{19}{6}\)

சராசரி = \(\mathrm{E}(X)=\int_0^1 x \times \frac{1}{l} d x=\frac{1}{l}\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^l=\frac{l}{2}\)
பரவற்படி :
\(\begin{aligned} \mathrm{E}\left(X^2\right) & =\int_0^1 x^2 \times \frac{1}{l} d x=\frac{1}{l}\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1=\frac{l^2}{3} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \mathrm{~V}(X) & =E\left(X^2\right)-[E(X)]^2 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} =\frac{l^2}{3}-\frac{l^2}{4}=\frac{l^2}{12} \end{aligned}\)

சராசரி:
\(\begin{aligned} \mathrm{E}(X) & =2 \int_1^{\infty} x \times \frac{1}{x^3} d x=2 \int_1^{\infty} \frac{1}{x^2} d x \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} =-2\left[\frac{1}{x}\right]_1^{\infty}=2 \end{aligned}\)
பரவற்படி:
\(\begin{aligned} \mathrm{E}\left(X^2\right) & =2 \int_1^{\infty} x^2 \times \frac{1}{x^3} d x \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} =2 \int_1^{\infty} \frac{1}{x} d x=2[\log x]_1^{\infty} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} =2[\log \infty-\log 1]=2 \log \infty \end{aligned}\)
=வரையறுக்கப்படாதது

\( 2 g =-8 \\ g =-4 \\ 2 f=-4 \\ f=-2 \\ \mathrm{C}(-g,-f) =(4,2) \\ \frac{x_1+x_2}{2} =4 \\ \frac{x_1+11}{2} =4 \\ x_1 =8-11 \\ x_1 =-3\\ \)
\( \frac{y_1+y_2}{2} =2 \\ \frac{y_1+2}{2} =2 \\ y_1 =4-2 \\ y_1 =2 \)
\(\therefore\) மற்றொரு முனை (-3, 2).

கொடுக்கப்பட்ட கோடு \(y=\mathrm{m} x+2 \sqrt{5}\)
இங்கு 
\( m=m ; c=2 \sqrt{5} \\  a^2=9 \quad b^2=16 \\  a=3 \quad b=4 \\  c^2=a^2 m^2-b^2 \\  (2 \sqrt{5})^2=9 m^2-16 \\  20+16=9 m^2 \Rightarrow m^2=\frac{36}{9}=4 \)
\(\therefore m= \pm 2 \) என்பது \(x^2-(a+b) x-4=0\)
\(2^2-(a+b) 2-4=0 \Rightarrow a+b=0\)

\( P(h, k) \\ x=-\frac{9}{2} \Rightarrow 2 x+9=0 \\ P Q=\frac{2}{3} \mathrm{PM} \\ \sqrt{(h+2)^2+k^2}=\frac{2}{3}\left|\frac{2 h+9}{2}\right| \\ (h+2)^2+k^2=\frac{1}{9}(2 h+9)^2 \\ h^2+4+4 h+k^2=\frac{1}{9}\left(4 h^2+36 h+81\right) \\ 9 h^2+36+36 h+9 k^2=4 h^2+36 h+81 \\ 5 h^2+9 k^2=45 \\ \frac{h^2}{9}+\frac{k^2}{5}=1\\ \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1 \) 
நீள்வட்டமாகும்.

வட்டத்தின் சமன்பாடு\((x - 3) ^ 2 + (y + r) ^ 2 = r ^ 2 \) ....(1)
இது (1, -2) என்ற புள்ளி வழிச் செல்கிறது
\( (1-3)^2+(-2+r)^2 =r^2 \\ 4+4-4 r+r^2 =r^2 \Rightarrow r=2 \\ (x-3)^2+(y+2)^2 =4 \)
\((5-3)^2+(-2+2)^2=4 \Rightarrow 4=4\)

P-ன் நியமப்பாதை = y²-ன் இயக்குவரை = 4x
4a = 4
a = 1
இயக்குவரையின் சமன்பாடு x = -a = -1
x = -1

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடானது SP² =  e²PM²என்ற வடிவில் இல்லை. ........ (1)
ஏனெனில் SP என்பது P(x, y) என்ற நீள்வட்டத்தின் மீதுள்ள புள்ளிக்கும் S(ae, 0) என்ற குவியத்திற்கும் இடையேயுள்ள தூரம்.
\(\therefore \text { (1) } \Rightarrow(x-a e)^2+(y-0)^2=\left(x-\frac{y^2}{9}\right)^2\)
கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு
\((x-3)^2+(y-4)^2=\frac{y^2}{9}\)
\( \Rightarrow \quad(x-3)^2+y^2-8 y+16-\frac{y^2}{9}=0 \\ 9(x-3)^2+8 y^2-72 y+144=0 \\ 9(x-3)^2+8\left(y^2-9 y\right)=-144 \\ 9(x-3)^2+8\left[y^2-9 y+\left(\frac{9}{2}\right)^2-\left(\frac{9}{2}\right)^2\right]=-144 \\ 9(x-3)^2+8\left(y-\frac{9}{2}\right)^2=8 \times \frac{81}{4}-144=18 \\ \frac{(x-3)^2}{2}+\frac{(y-9 / 2)^2}{(9 / 4)}=1 \)
இது நீள்வட்டத்தின் சமன்பாட்டின் திட்ட நிலை  
\(\because a^2>\mathrm{b}^2, a^2=\frac{9}{4}, \mathrm{~b}^2=2\\ \therefore b^2  =a^2\left(1-e^2\right) \\ \therefore e  =\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1-\frac{2}{(9 / 4)}}=\sqrt{1-\frac{8}{9}}=\sqrt{\frac{1}{9}} \\ \therefore e  =\frac{1}{3}\)

x = a cos \(\theta\); y = b sin \(\theta\)
நீளம் = 2acos\(\theta\); அகலம் = 2bsin\(\theta\)
பரப்பு A = l \(\times\) b = 4absin\(\theta\)cos\(\theta\)
A = 2ab sin 2\(\theta\)
\(\frac{dA}{d \theta}\)= 2ab cos2\(\theta\) (2) = 4ab cos2\(\theta\)
மீப்பெரும பரப்பிற்கு
\(\frac{dA}{d \theta}\) = 0 \(\Rightarrow\) cos2\(\theta\) = 0
\(\begin{aligned} 2 \theta & =\frac{\pi}{2} \Rightarrow \theta=\frac{\pi}{4} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \therefore A = 2 a b \sin 2\left(\frac{\pi}{4}\right)=2 a b \sin \frac{\pi}{2} \end{aligned}\)
A = 2ab

\( e =\frac{3}{5} \\ 2 a e =6 \Rightarrow 2 a\left(\frac{3}{5}\right)=6 \Rightarrow a=5 \\ b^2 =a^2-a^2 e^2 \\ b^2 =25-19=16 \Rightarrow \mathrm{b}=4 \\ =4 \times \frac{1}{2} \times a b=2 a b \\ =2 \times 5 \times 4=40 \)

\(\triangle O O^{\prime} A ,\\ (1+y)^2  =(1-y)^2+1 \\ 1+y^2+2 y  =1+y^2-2 y+1 \\ 4 y  =1 \Rightarrow y=\frac{1}{4} \)

\( a^2=16 b^2 =9 \\ (h, k) =(0,3) \\ e =\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1-\frac{9}{16}}=\sqrt{\frac{7}{16}}=\frac{\sqrt{7}}{4} \)
\(a e=4 \frac{\sqrt{7}}{4}=\sqrt{7} (x-h)^2+(y-k)^2  =r^2 \\ (\sqrt{7}-0)^2+(0-3)^2  =r^2 \Rightarrow \sqrt{7}^2+3^2=r^2 \\ 7+9  =r^2 \Rightarrow r^2=16 \\ \therefore(x-0)^2+(y-3)^2  =16 \\ x^2+y^2-6 y+9  =16 \\ x^2+y^2-6 y-7  =0\)

\(a^2=9, \quad b^2=4 \\  2 x-y=1 \Rightarrow y=2 x-1 \\  m=2 \\  c=\sqrt{a^2 m^2-b^2}=\sqrt{9(4)-4} \\  =\sqrt{36-4}=\sqrt{32} \\  c= \pm 4 \sqrt{2} \\ =\left(\frac{-a^2 m}{c}, \frac{-b^2}{c}\right) \\  =\left(\frac{-9 \times 2}{-4 \sqrt{2}}, \frac{-4}{-4 \sqrt{2}}\right) \text { (or) }\left(\frac{-9 \times 2}{4 \sqrt{2}}, \frac{-4}{4 \sqrt{2}}\right) \\  =\left(\frac{9}{2 \sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right) \text { (or) }\left(\frac{-9}{2 \sqrt{2}}, \frac{-1}{\sqrt{2}}\right) \\ \)

E₂ என்ற நீள்வட்டத்தின் சமன்பாடு \(\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1\)
இது (0, 4) என்ற புள்ளி வழிச் செல்கிறது.
a² = 16 
மேலும் இது (3, 2) வழிச் செல்கிறது.
\(\frac{9}{b^2}+\frac{4}{16}=1 \Rightarrow \frac{9}{b^2}=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\)
\( b^2=12 \\ e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1-\frac{12}{16}}=\frac{1}{2} \)

\( y^2=12 x \quad \Rightarrow 4 a =12 \Rightarrow a=3 \\ x+y =k \Rightarrow y=-x+k \\ \therefore m =-1, c=k \\ c=-2 a m-a m^2 \Rightarrow k =-2 a(-1)-a(-1)^3 \\ k =-6(-1)-3(-1)=6+3=9 \)

y² = 4x
4a = 4
a = 1
செவ்வகலத்தின் முனைப்புள்ளிகள் 
\( =(a, \pm 2 a) \\ =(1, \pm 2) \)
செங்கோட்டின் சமன்பாடு
\(x y_1+2 a y=x_1 y_1+2 a y_1\)
(1, \(\pm2\)) புள்ளியில் செங்கோட்டின் சமன்பாடு
y = - x + 3
x + y - 3 = 0
y = x + 3
x - y + 3 = 0
\( \left|\frac{a x_1+b y_1+c}{\sqrt{a^2+b^2}}\right|=\left|\frac{3-2-3}{\sqrt{1+1}}\right| =r \Rightarrow\left|\frac{-2}{\sqrt{2}}\right|=r \\ \Rightarrow \frac{2}{\sqrt{2}} =r \\ r =\sqrt{2} \Rightarrow r^2=2 \)

 \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\\ (\pm a e, 0 )\\ e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\)
\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1\\ (\pm b e, 0 )\\ e=\sqrt{1+\frac{a^2}{b^2}}\)
நாற்கரத்தின் பரப்பு \( =\frac{1}{2} A C \times B D \)
\( =\frac{1}{2} 2 a e \times 2 b e \\ =a \sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}} \times 2 b \sqrt{1+\frac{a^2}{b^2}} \\ =a \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a} \times 2 b \frac{\sqrt{b^2+a^2}}{b} \\ =2\left(a^2+b^2\right) \)

x + y = 6 ...(1)
x + 2y = 4... (2) ஆகியவற்றைத் தீர்க்க. 
(1)-(2) -y = 2
y = -2
(1) ⇒ x-2 = 6
x = 8
புள்ளி (8, -2) என்க.
மற்றொரு புள்ளி (6, 2)
\(r = \sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2} \\ =\sqrt{(8-6)^2+(2+2)^2} \\ =\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{4+16} \\ =\sqrt{20}=2 \sqrt{5} \)

\( 16 x^2+25 y^2 =400 \\ \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16} =1 \\ a^2 =25 \Rightarrow a= \pm 5 \\ P F_1+P F_2 = 2 a \\ =2 \times 5=10 \)

\(x ^ 2 + y ^ 2 - 2x - 2y + 1 = 0 \)
2g = - 2
g = - 1
2f = - 2
f = - 1
இணையான கோடு 2x + 4y + \(\lambda\) = 0 என்க. மையம் (-g, -f) = (1, 1) என்பது இக்கோட்டின் மேல் அமைவதால்,
2 + 4 + 2 = 0 ⇒\(\lambda\) = -6
2x + 4y - 6 = 0
x + 2y = 3

நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடு \(x^2-8 x-12=0\)
\( x =\frac{8 \pm \sqrt{64-4(-12)}}{2}=\frac{8 \pm \sqrt{64+48}}{2} \\ =\frac{8 \pm \sqrt{112}}{2}=\frac{8 \pm 4 \sqrt{7}}{2}=4 \pm 2 \sqrt{7} \\ x =4+2 \sqrt{7}, 4-2 \sqrt{7}\)
மற்றொரு நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடு,
\( y^2-14 y+45 =0 \Rightarrow(y-5)(y-9)=0 \\ y =5,9 \)
ஃ விட்டத்தின் முனைகள் \((4+2 \sqrt{7}, 9)\) மற்றும் \((4-2 \sqrt{7}, 5)\)
மையம் என்பது \((4+2 \sqrt{7}, 9)\) மற்றும் \((4-2 \sqrt{7}, 5)\) ஆகியவற்றின் நடுப்புள்ளி.
\(\left(\frac{4+2 \sqrt{7}+4-2 \sqrt{7}}{2}, \frac{9+5}{2}\right)\) = (4, 7)

\( 3 x^2+b \mathrm{y}^2+4 b x-6 b \mathrm{y}+b^2 =0 \\ a=\mathrm{b} \ \Rightarrow \ b =3=\mathrm{a} \)
\( 3 x^2+3 y^2+12 x-18 y+9=0 \\ \Rightarrow x^2+y^2+4 x-6 y+3=0 \\ 2 g=4 ; 2 f=-6 ; c=3 \\ g=2 ; f=-3 \\ r=\sqrt{g^2+f^2-c} \\ =\sqrt{4+9-3}=\sqrt{10} \)

\( C A =C B \Rightarrow C A^2=C B^2 \\ (1-1)^2+(0-h)^2 =(2-1)^2+(3-h)^2 \\ h^2 =1+h^2+9-6 h \\ 6 h =10 \Rightarrow h=\frac{10}{6}=\frac{5}{3} \\ =2 h =2\left(\frac{5}{3}\right)=\frac{10}{3} \)

\( L: 3 x-4 y =\mathrm{m} \\ C: x^2+y^2-4 x-8 y-5 =0 \\ (x-2)^2+(y-4) =25 \)
C(2, 4); r = 5
மையத்திலிருந்து தொலைவு < r
\( \left| \frac{ah+bk+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\right|<r\)
\(\left|\frac{3\times 2-4\times 4-m}{\sqrt{9+16}} \right|<r\Rightarrow \left| \frac{-10-m}{5}\right|<5\)
\(-5<\frac{10+m}{5}<5\)
-25 < 10 + m < 25
-25 - 10 < m < 25 - 10
-35 < m < 15

செவ்வகல நீளம்
\( \frac{2 b^2}{a} =8 \\ b^2 =4 a ........ (1) \) 
துணையச்சின் நீளம் 
\( 2 b =\frac{1}{2}(2 a e) \\ b =\frac{a e}{2} \\ b^2 =\frac{a^2 e^2}{4} \)
\( \frac{a^2 e^2}{4} =a^2\left(e^2-1\right) \\ \mathrm{e}^2\left(e^2-1\right) =4 \mathrm{e}^2-4 \\ 3 \mathrm{e}^2 =4 \Rightarrow \mathrm{e}^2=\frac{4}{3} \\ \therefore \mathrm{e} =\frac{2}{\sqrt{3}}\)

x = 0 என்ற கோட்டிற்கும் மையம் (- g, - f) -க்கும் உள்ள தூரம் வட்டத்தின் ஆரம் ஆகும்.
\(\pm\left(\frac{-g}{1^2}\right)=\sqrt{g^2+f^2-c} \Rightarrow f^2=c\) ............ (1)
கொடுக்கப்பட்ட வட்டத்தின் சமன்பாட்டிலிருந்து,
\( 2 f =-6+3 \lambda, c=9-19 \lambda \\ \left(\frac{-6+3 \lambda}{2}\right)^2 =9-19 \lambda \Rightarrow \lambda=0, \frac{-40}{9} \)