A∨B =  \(\left[ \begin{matrix} \begin{matrix} 0 & 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 & 1 \end{matrix} \end{matrix} \right] \)v\(\left[ \begin{matrix} \begin{matrix} 1 & 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 & 1 \end{matrix} \end{matrix} \right] \) = \(\left[ \begin{matrix} \begin{matrix} 0\quad \vee & 1 \\ 1\quad \vee & 0 \end{matrix} & \begin{matrix} 1\quad \vee & 1 \\ 1\quad \vee & 1 \end{matrix} \end{matrix} \right] \) = \(\left[ \begin{matrix} \begin{matrix} 1 & 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 & 1 \end{matrix} \end{matrix} \right] \)
A∧B =  \(\left[ \begin{matrix} \begin{matrix} 0 & 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 & 1 \end{matrix} \end{matrix} \right] \)∧\(\left[ \begin{matrix} \begin{matrix} 1 & 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 & 1 \end{matrix} \end{matrix} \right] \) = \(\left[ \begin{matrix} \begin{matrix} 0\quad \wedge & 1 \\ 1\quad \wedge & 0 \end{matrix} & \begin{matrix} 1\quad \wedge & 1 \\ 1\quad \wedge & 1 \end{matrix} \end{matrix} \right] \) = \(\left[ \begin{matrix} \begin{matrix} 0 & 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 & 1 \end{matrix} \end{matrix} \right] \)

அட்டவணையிலிருந்து \(p\rightarrow \left( \neg q\vee r \right) \) மற்றும் \(\neg p\vee \left( \neg q\vee r \right) \) ஆகியவற்றின் நிரல்கள் ஒரே மாதிரியாக உள்ளன என்பது தெளிவாகிறது.
\(\therefore p\rightarrow \left( \neg q\vee r \right) =\neg p\vee \left( \neg q\vee r \right) \)  எனவே நிறுவப்பட்டது.

சமனிப் பண்பு: 
\(\mathrm{E}=\left(\begin{array}{ll} e & e \\ e & e \end{array}\right) \in M\) என்க.
மேலும் AE = A, எல்லா \(A \in M\)
\(\left(\begin{array}{ll} x & x \\ x & x \end{array}\right)\left(\begin{array}{ll} e & e \\ e & e \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll} x & x \\ x & x \end{array}\right)\)
அதாவது \(\left(\begin{array}{ll} 2 x e & 2 x e \\ 2 x e & 2 x e \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll} x & x \\ x & x \end{array}\right)\)
\(\Rightarrow 2 x \mathrm{e}=x \Rightarrow \mathrm{e}=\frac{1}{2}\)
எனவே M-ல், \(E=\left(\begin{array}{ll} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{array}\right)\)
மேலும் EA = A என்பதையும் காண்கிறோம்.
எனவே, E என்பது Mல் சமனி உறுப்பு ஆகும்.
எதிர்மறைப் பண்பு:
\(\mathrm{B}=\left(\begin{array}{ll} y & y \\ y & y \end{array}\right) \in \mathrm{M}\) என்க. மேலும் \(\left(\begin{array}{ll} y & y \\ y & y \end{array}\right) \mathrm{A}=\mathrm{E}\)
எனவே \(\left(\begin{array}{ll} y & y \\ y & y \end{array}\right)\left(\begin{array}{ll} x & x \\ x & x \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{array}\right)\)
\(\Rightarrow\left(\begin{array}{ll} 2 x y & 2 x y \\ 2 x y & 2 x y \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{array}\right)\)
எனவே \(2 x y=\frac{1}{2} \Rightarrow y=\frac{1}{4 x}\)
இது BA = E என்பதைக் காட்டுகிறது.
இதேபோல் AB = E
அதாவது \(\mathrm{B}=\left(\begin{array}{cc} \frac{1}{4 x} & \frac{1}{4 x} \\ \frac{1}{4 x} & \frac{1}{4 x} \end{array}\right)\) என்பது A \(\in\) M - ன் எதிர்மறையாகும்.

\(M=\left\{\left(\begin{array}{ll} x & x \\ x & x \end{array}\right): x \in R-\{0\}\right\}\) என்க
அடைவுப் பண்பு:
\(A=\left\{ \begin{matrix} x & x \\ x & x \end{matrix} \right\} \in M\) மற்றும் 
\(B=\left( \begin{matrix} y & y \\ y & y \end{matrix} \right) \in M\) என்க.
எனவே,\(AB=\left( \begin{matrix} 2xy & 2xy \\ 2xy & 2xy \end{matrix} \right) \) 
\(x\neq 0,y\neq 0\) என்பதால் \(2xy\neq 0\) என்பதைக் காண்கிறோம்.மேலும் \(AB \in M\) .இது அணிப்பெருக்கலின் கீழ் M என்பது அடைவைப் பெற்றுள்ளது என்பதைக் காட்டுகிறது.
பரிமாற்றுப் பண்பு:
\(AB=\left( \begin{matrix} 2xy & 2xy \\ 2xy & 2xy \end{matrix} \right) \) 
= BA எல்லா \(A, B \in M\) 
இங்கு அணிப்பெருக்கல் என்பது பரிமாற்றுப் பண்பை நிறைவு செய்கிறது.
சேர்ப்புப் பண்பு:
அணிப்பெருக்கல் எப்போதும் சேர்ப்புப் பண்பை நிறைவு செய்யும்.எனவே M-ன் மீது அணிப்பெருக்கல் சேர்ப்புப் பண்பை நிறைவு செய்கிறது.

\(\mathbb{Z}_5\) = {[0], [1], [2], [3], [4]} மட்டு 5 கூட்டல் செயலி அட்டவணை பின்வருமாறு பெறப்படுகிறது. மீதிகளின் கணமானது {0,1,2,3,4} {[0],[1],[2],[3],[4]} என்ற தொகுப்பு அமைப்பைக் குறிக்கிறது.

(i) செயலி அட்டவணையில் உள்ள எல்லா வெற்றிடங்களும் ℤ₅ -ன் சரியாக ஓர் உறுப்பு மூலம் நிரப்பப்பட்டிருந்தால் a+ ₅ b  -ன் விளைவு ஒருமைத்தன்மை வாய்ந்தது. எனவே , +₅ ஆனது ℤ₅ –ன் மீது அடைவு பெற்றுள்ளது.
(ii) அட்டவணையில் உள்ள பதிவுகள் முதன்மை மூலைவிட்டத்துடன் சமச்சீராக வைக்கப்பட்டுள்ளதால் +₅ ஆனது பரிமாற்றுப் பண்புடையது.
(iii) சேர்ப்புப் பண்பை சரிபார்ப்பதற்கு செயலி அட்டவணையை நேரடியாகப் பயன்படுத்த முடியாது. எனவே , இதை வழக்கம்போல ஓர் எடுத்துக்காட்டின் மூலம் சரிபார்க்க வேண்டும்.
2,3,4 ∈ ℤ₅ எனில், (2 +₅ 3) + ₅ 4 = 0 + ₅ 4 = 4  (மட்டு 5)
2 +₅(3 + ₅4) =  2 +₅ 2 = 4 (மட்டு 5)
எனவே , (2 +₅3) + ₅ 4  =  2 +₅ (3 + ₅ 4) .
இது போன்று தொடர்ந்தால் எல்லா சாத்தியமான மும்மூன்று உறுப்புகளின் தொகுப்பிற்கும் இதை சரிபார்க்க முடியும். முடிவாக, +₅ ஆனது சேர்ப்புப் பண்பை நிறைவு செய்யும் எனக் காட்டலாம்.
(iv) 0 தலைமையிலான நிரை மற்றும் நிரல் ஒரே மாதிரியானவை . எனவே , 0 ∈ ℤ₅  என்பது சமனி உறுப்பாகும்.
(v) ஒவ்வொரு நிரை மற்றும் நிரலிலும் சமனி உறுப்பு 0 உள்ளதால் எதிர்மறை உறுப்பு உறுதி செய்யப்படுகிறது. எனவே, அட்டவணை -லிருந்து எதிர்மறைப் பண்பு உண்மை என்பது தெளிவாகிறது.
எடுத்துக்காட்டாக
1. ℤ₅ -ன் உறுப்புகளில் ஏதேனும் ஓர் உறுப்பு ‘2’ இன் எதிர்மறையைக் காணும் முறை கீழே கோடிட்டுக் காட்டப்பட்டுள்ளது.
2. 2 தலைமையிலான III வது நிரையில் சமனி உறுப்பின் நிலையை முதலில் கண்டறியவும். III வது நிரையில் கிடைமட்டமாக நகர்ந்து 0 ஐ அடைந்த பிறகு IV வது நிரலில் 0 –க்கு மேலே நகரும்போது கிடைக்கும் 3-ஐதான் 2-ன் எதிர்மறை உறுப்பாகக் கொள்வர். மேலும் இதற்கு அத்தாட்சியாக 2 + 3 ≡ 0 (மட்டு 5) என்பதும் உண்மையாவதாகக் காணலாம். ஏனெனில், 0 ஆனது III வது நிரை மற்றும் IVவது நிரலை இணைக்கும் உறுப்பாகும். IV வது நிரலில் மிக உயர்ந்த நிலையில் கிடைக்கப்பெற்ற உறுப்பு 3 ஆகும். எனவே 2-ன் எதிர்மறை உறுப்பு 3 ஐத் தவிர வேறில்லை. இதேவழியில் ℤ₅ -ன் ஒவ்வோர் உறுப்பின் எதிர்மறையைப் பெறலாம்.   
3. இவ்வாறாக 0-ன் எதிர்மறை 0∈ℤ₅ 1 –ன் எதிர்மறை 4∈ℤ₅ , 2–ன் எதிர்மறை 3∈ℤ₅ , 3–ன் எதிர்மறை 2∈ℤ₅ , 4 –ன் எதிர்மறை 1∈ℤ₅ ஆகும்.

hhgf

மெய்மை அட்டவணையில் p ↔ q மற்றும் ( p ⟶ q) ∧ (q ⟶ p) ஆகியவற்றிற்கான நிரல்கள் முழுவதும் ஒரே மாதிரியாக உள்ளன. எனவே அவை சமானமானவை.

\((\mathrm{a} * \mathrm{~b})=\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{ab}-7, \forall a, b \in \mathbb{R}\) 
\(a \in \mathbb{R}, b \in \mathbb{R}\) எனில் \(a b \in \mathbb{R}\) 
\(\therefore(a * b)=a+b+a b-7 \in \mathbb{R}\) 
உதாரணமாக\(\ 1,2\in R\) என்க.
\(\\ (1\ast 2)=1+2+(1)(2)-7\) 
= \(-2 \in \mathbb{R}\) 
\(\therefore \ast \) என்பது R-ன் மீது ஈருறுப்புச் செயலியாகும்.
இப்போது \(3\ast \left( -\cfrac { 7 }{ 15 } \right) =3+\left( -\cfrac { 7 }{ 15 } \right) +3\left( -\cfrac { 7 }{ 15 } \right) -7\) 
= \(3-\cfrac { 7 }{ 15 } -\cfrac { 21 }{ 15 } -7\) 
= \(-\cfrac { 88 }{ 15 } \)

a ஆனது குறைமதிப்பாகவும் b ஆனது பின்னமதிப்பாகவும் .: இருக்கும் பொழுது, \(\mathrm{a}^{\mathrm{b}} \notin \mathbb{R}\)
எ.கா: \((-2)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{-2} \notin \mathbb{R},\) இங்கு \(-2, \frac{1}{2} \in \mathbb{R}\)
\((-5)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{-5} \notin \mathbb{R}\), இங்கு \(-5, \frac{1}{2} \in \mathbb{R}\)
\(\therefore \mathrm{a} * \mathrm{~b}=\mathrm{a}^{\mathrm{b}}\) ஆனது ஈருறுப்புச் செயலி அல்ல.

p மற்றும் q என்பன ஏதேனும் இரு கூற்றுகள் எனில்
p ↔ q என்பது ஒரு மெய்மம் ஆகும்.
p ↔q என்பது ஒரு நிச்சயமின்மை.

இரட்டைத் தன்மை என்பது Λ, V ஆகியவற்றுக்கு முறையே V, Λ களை பதிலிடுவதன் மூலம் பெறப்படுகிறது.

கடைசி நிரலில் உள்ள 'F' களின் எண்ணிக்கை 3