Given \(\vec { a } =2\hat { i } +3\hat { j } -\hat { k } ,\vec { b } =-\hat { i } +2\hat { j } -4\hat { k } ,\vec { c } =\hat { i } +\hat { j } +\hat { k } \)
\(\vec { a } \times \vec { b } =\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ 2 & 3 & -1 \\ -1 & 2 & -4 \end{matrix} \right| \)
= \(\hat { i } \left| \begin{matrix} 3 & -1 \\ 2 & -4 \end{matrix} \right| -\hat { j } \left| \begin{matrix} 2 & -1 \\ -1 & -4 \end{matrix} \right| +\hat { k } \left| \begin{matrix} 2 & 3 \\ -1 & 2 \end{matrix} \right| \)
= \(\hat { i } (-12+2)-\hat { j } (-8-1)+\hat { k } (4+3)\)
= \(-10\hat { i } +9\hat { j } +7\hat { k } \)
\(\vec { a } \times \vec { c } =\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ 2 & 3 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix} \right| =\hat { i } \left| \begin{matrix} 3 & -1 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right| -\hat { j } \left| \begin{matrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right| +\hat { k } \left| \begin{matrix} 2 & 3 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right| \)
= \(\hat { i } (3+1)-\hat { j } (2+1)+\hat { k } (2-3)\)
= \(4\hat { i } -3\hat { j } -\hat { k } \)
∴ \((\vec { a } \times \vec { b } ).(\vec { a } \times \vec { c } )=(-10\hat { i } +9\hat { j } +7\hat { k } ).(4\hat { i } -3\hat { j } -\hat { k } )\)
= -40-27-7 = -74

  Given \(\vec { a } =2\hat { i } +3\hat { j } -\hat { k } ,\vec { b } =3\hat { i } +5\hat { j } +2\hat { k } \) and \(\vec { c } =-\hat { i } -2\hat { j } +3\hat { k } \)
Consider \((\vec { a } \times \vec { b } )=\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ 2 & 3 & -1 \\ 3 & 5 & 2 \end{matrix} \right| \)
= \(\hat { i } \left| \begin{matrix} 3 & -1 \\ 5 & 2 \end{matrix} \right| -\hat { j } \left| \begin{matrix} 2 & -1 \\ 3 & 2 \end{matrix} \right| +\hat { k } \left| \begin{matrix} 2 & 3 \\ 3 & 5 \end{matrix} \right| \)
= \(\\ \hat { i } (6+5)-\hat { j } (4+3)+\hat { k } (10-9)=11\hat { i } -7\hat { j } +\hat { k } \)
∴ LHS = \((\vec { a } \times \vec { b } )\times \vec { c } \)
= \(\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ 2 & 3 & -1 \\ 3 & 5 & 2 \end{matrix} \right| =\hat { i } \left| \begin{matrix} -7 & 1 \\ -2 & 3 \end{matrix} \right| -\hat { j } \left| \begin{matrix} 11 & 1 \\ -1 & 3 \end{matrix} \right| +\hat { k } \left| \begin{matrix} 11 & -7 \\ -1 & -2 \end{matrix} \right| \)
= \(\hat { i } (-21+2)+\hat { j } (33+1)+\hat { k } (-22-7)\)
= \(-19\hat { i } -34\hat { j } -29\hat { k } \) ..............(1)
For RHS
\(\vec { a } .\vec { i } =(2\hat { i } +3\hat { j } -\hat { k } ).(-\hat { i } -2\hat { j } +3\hat { k } )\)
= -2-6-3 = -11
\(\vec { b } .\vec { c } =(3\hat { i } +5\hat { j } +2\hat { k } ).(-\hat { i } -2\hat { j } +3\hat { k } )\)
= -3-10+6 = -7
∴ RHS = \((\vec { a } .\vec { c } )\vec { b } -(\vec { b } .\vec { c } )\vec { a } \)
= \(-11(3\hat { i } +5\hat { j } +2\hat { k } )+7(2\hat { i } +3\hat { j } -\hat { k } )\)
= \(-33\hat { i } -55\hat { j } -22\hat { k } +14\hat { i } +21\hat { j } -7\hat { k } \)
= \(-19\hat { i } -34\hat { j } -29\hat { k } \)  ............... (2)
From (1) & (2), LHS = RHS
Hence \((\vec { a } \times \vec { b } )\times \vec { c } =(\vec { a } .\vec { c } )\vec { b } -(\vec { b } .\vec { c } )\vec { a } \)
(ii) \(\vec { b } \times \vec { c } =\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ 3 & 5 & 2 \\ -1 & -2 & 3 \end{matrix} \right| \)
= \(\hat { i } \left| \begin{matrix} 5 & 2 \\ -2 & 3 \end{matrix} \right| -\hat { j } \left| \begin{matrix} 3 & 2 \\ -1 & 3 \end{matrix} \right| +\hat { k } \left| \begin{matrix} 3 & 5 \\ -1 & -2 \end{matrix} \right| \)
= \(\hat { i } (15+4)-\hat { j } (9+2)+\hat { k } (-6+5)\)
= \(19\hat { i } -11\hat { j } -\hat { k } \)
∴ \(\vec { a } (\vec { b } \times \vec { c } )=\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ 2 & 3 & -1 \\ 19 & -11 & -1 \end{matrix} \right| \)
= \(\hat { i } \left| \begin{matrix} 3 & -1 \\ -11 & -1 \end{matrix} \right| -\hat { j } \left| \begin{matrix} 2 & -1 \\ 19 & -1 \end{matrix} \right| +\hat { k } \left| \begin{matrix} 2 & 3 \\ 19 & -11 \end{matrix} \right| \)
= \(\hat { i } (-3-11)-\hat { j } (-2+19)+\hat { k } (-22-57)\)
= \(-14\hat { i } -17\hat { j } -79\hat { k } \) ............(1)
For RHS
\(\vec { a } .\vec { c } =-11\Rightarrow (\vec { a } .\vec { c } )\vec { b } =-11(3\hat { i } +5\hat { j } +2\hat { k } )\)
= -\(33\hat { i } -55\hat { j } -22\hat { k } \)
\(\vec { a } .\vec { b } =(2\hat { i } +3\hat { j } -\hat { k } ).(3\hat { i } +5\hat { j } +2\hat { k } )\)
= 6+15-2 = 19
\((\vec { a } .\vec { b } )\vec { c } =19(-\hat { i } -2\hat { j } +3\hat { k } )=-19\hat { i } -38\hat { j } +57\hat { k } \)
RHS = \((\vec { a } .\vec { c } )\vec { b } -(\vec { a } .\vec { b } )\vec { c } \)
= \(-33\hat { i } -55\hat { j } -22\hat { k } -(-19\hat { i } -38\hat { j } +57\hat { k } )\)
= \(-14\hat { i } -17\hat { j } -79\hat { k } \) ............(2)
From (1) & (2), LHS = RHS
∴ \(\vec { a } \times (\vec { b } \times \vec { c } )=(\vec { a } .\vec { c } )\vec { b } -(\vec { a } .\vec { b } )\vec { c } \)

By definition,
\(\vec { a } \times \vec { b } =\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ 1 & -1 & 0 \\ 1 & -1 & -4 \end{matrix} \right| =4\hat { i } +4\hat { j } ,\vec { c } \times \vec { d } =\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ 0 & 3 & -1 \\ 2 & 5 & 1 \end{matrix} \right| =8\hat { i } -2\hat { j } -6\hat { k } \)
\((\vec { a } \times \vec { b } )(\vec { c } \times \vec { d } )=\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ 4 & 4 & 0 \\ 8 & -2 & -6 \end{matrix} \right| =-24\hat { i } +24\hat { j } -40\hat { k } \) ..............(1)
On the other hand, we have
\([\vec { a }, \vec { b }, \vec { d } ]\vec { c } -[\vec { a } ,\vec { b } ,\vec { c } ]\vec { d } =28(3\vec { j } -\vec { k } )-12(2\hat { i } +5\hat { j } +\hat { k } )=-24\hat { i } +24\hat { j } -40\hat { k } \) ..............(2)
Therefore, from equations (1) and (2), identity (i) is verified.
The verification of identity (ii) is left as an exercise to the reader

By definition, \(\vec { a } \times \vec { b } \) \(=\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ -2 & 3 & -2 \\ 3 & -1 & 3 \end{matrix} \right| =7\hat { i } -7\hat { k } \)
Then, \((\vec { a } \times \vec { b } )\times \vec { c } =\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ 7 & 0 & -7 \\ 2 & -5 & 1 \end{matrix} \right| =-35\hat { i } -21\hat { j } -35\hat { k } \)......(1)
\(\vec { b } \times \vec { c } =\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ 3 & -1 & 3 \\ 2 & -5 & 1 \end{matrix} \right| =14\hat { i } +3\hat { j } -13\hat { k } \)
\(\vec { a } (\vec { b } \times \vec { c } )=\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ -2 & 3 & -2 \\ 14 & 3 & -13 \end{matrix} \right| =-33\hat { i } -54\hat { j } -48\hat { k } \)....(2)
Therefore, equations (1) and (2) show that \((\vec { a } \times \vec { b } )\times \vec { c } \)\(​​\neq \)\((\vec { a } \times \vec { b } )\times \vec { c } \)
 

Let A = (6, -7, 0), B = (16, -19, -4), C = (0, 3, -6), D = (2, -5, 10). To show that the four points A, B, C, D lie on a plane,
we have to prove that the three vectors \(\vec { AB } ,\vec { AC } ,\vec { AD } \)  are coplanar.
Now, \(\vec { AB } =\vec { OB } -\vec { OA } =(16\hat { i } -19\hat { j } -4\hat { k } )-(6\hat { i } -7\hat { j } )=10\hat { i } -12\hat { j } -4\hat { k } \)
\(\vec { AC } =\vec { OC } -\vec { OA } =-6\hat { i } +10\hat { j } -6\hat { k } \) and \(\vec { AC } =\vec { OC } -\vec { OA } =-6\hat { i } +10\hat { j } -6\hat { k } \)
We have \([\vec { AB } ,\vec { AC } ,\vec { AD } ]\) = \(\left| \begin{matrix} 10 & -12 & -4 \\ -6 & 10 & -6 \\ -4 & 2 & 10 \end{matrix} \right| \) = 0
Therefore, the three vectors \(\vec { AB } ,\vec { AC } ,\vec { AD } \) are coplanar and hence the four points A, B, C and D lie on a plane

Let \(\hat { a } =\vec { OA } \) and \(\hat { b } =\vec { OB } \) be the unit vectors and which make angles α,β respectively with positive x-axis
Draw AL and BM 丄 to x-axis
Then \(|\vec { OL } |=|\vec { OA } |cos\alpha \Rightarrow \vec { OL } =\vec { |OL| } \hat { i } =cos\alpha \hat { i } \)
\(|\vec { LA } |=|\vec { OB } |\) sin α
⇒ \(\vec { LA } =|\vec { OB } |\hat { j } =sin\alpha (-\hat { j } )=-sin\alpha \hat { j } \)
[\(\vec { LA } \) is in the opp direction of y axis]
\(\hat { a } =\vec { OA } =\vec { OL } +\vec { LA } =cos\alpha \hat { i } -sin\alpha \check { j } \) ..(1)
Similarly \(\hat { b } =\vec { OB } =\vec { OM } +\vec { MB } =cos\beta \hat { i } +sin\beta \hat { j } \) ...(2)
Now \(\hat { a } \times \hat { b } =|\hat { a } ||\hat { b } |sin(\alpha +\beta )\hat { k } =sin(\alpha +\beta )\hat { k } \) ....(3)
[\(|\hat { a } |=|\hat { b } |\) = 1]
Also \(\hat { a } \times \hat { b } =\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ cos\alpha & -sin\alpha & 0 \\ cos\beta & cos\beta & 0 \end{matrix} \right| \)
= \(\hat { i } (0)-\hat { j } (0)+\hat { k } \)(cosα sinβ + sinα cosβ)
= (sin α cos β + cos α sin β)\(\hat { k } \) .(4)
using (3) and (4), sin(α+β) = sin α cos β + cos α sin β

Let \(\hat { a } =\vec { OA } \) and \(\hat { b } =\vec { OB } \) be the unit vectors and which make angles α and β, respectively, with positive x-axis, where A and B are as in the diagram.
Draw AL and BM perpendicular to the x-axis. Then \(\left| \vec { OL } \right| =\left| \vec { OA } \right| \) cos α = cos α, \(\left| \vec { LA } \right| =\left| \vec { OA } \right| \) sin α =  sin α
So, \(\vec { OL } =\left| \vec { OL } \right| \)\(\hat { i } \) =  cos,α \(\hat { i } \), \(\overrightarrow { LA } \) = sin α (-\(\hat { j } \))
Therefore, \(\hat { a } =\overrightarrow { OA} = \overrightarrow { OL } +\overrightarrow { LA } \) = cos α \(\hat { i } \) - sin α \(\hat { j } \) ..(1)
Similarly \(\hat { b } \) = cos β \(\hat { i } \)+ sin β \(\hat { j } \) ....(2)
The angle between \(\hat { a } \) and \(\hat{b}\) is α + β and so,
\(\hat { a } .\hat { b } =\left| \hat { a } \right| \left| \hat { b } \right| \) cos (α + β) = cos (α + β) ... (3)

On the other hand, from (1) and (2)
\(\hat { a } .\hat { b } =(cos\alpha \hat { i } -sina\hat { j } )(cos\beta \hat { i } -sin\beta \hat { j } )\) = cos α cos β - sin α sin β....(4)
From (3) and (4), we get cos(α + β) = cos α cos β - sin α sin β

Cartesian equation of straight line passing through two points (2, 1,4) and (a - 1,4, -1) is
\(\frac { x-{ x }_{ 1 } }{ { x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 } } =\frac { y-{ y }_{ 1 } }{ { y }_{ 2 }-{ y }_{ 1 } } =\frac { z-{ z }_{ 1 } }{ { z }_{ 2 }-{ z }_{ 1 } } \)
[∵ (x₁, y₁, z₁) = (2, 1, 4) (x₂, y₂, z₂) = (a, -1, 4, -1)]
⇒ \(\frac { x-2 }{ a-1-2 } =\frac { y-1 }{ 4-1 } =\frac { z-4 }{ -1-4 } \)
⇒ \(\frac { x-2 }{ a-3 } =\frac { y-1 }{ 3 } =\frac { z-4 }{ -5 } \)
Similarly, Cartesian equation of straight liens passing through two points (0, 2, b - 1) and (5, 3, -2) is
\(\frac { x-5 }{ 5-0 } =\frac { y-3 }{ 2-3 } =\frac { z+3 }{ b-1+2 } \)
[∵ (x₁,y₁,z₁)=(5,3,-2) (x₂,y₂,z₂) is (0,2,b)...(1)
⇒ \(\frac { x-5 }{ -5 } =\frac { y-3 }{ -1 } =\frac { z+2 }{ b+1 } \)
(1) and (2) are parallel if their direction cosines are equal
∴ Direction ratios ofline (1) are a - 3, 3, -5   ........... (3)
Direction ratios of line (2) are -5, -1, b + 1  ............ (4)
To make the direction ratios equal, multiply (4) by-3.
∴ (4) ⟶ +15, 3, -3b-3
(3) ⟶ a-3, 3, -5
∴ a-3 = +5 ⇒ a = 15+3 = 18
3 = 3
-3b-3 = -15 ⇒ -3b = -5+3 = -2
⇒ b = \(\frac { -2 }{ -3 } =\frac { 2 }{ 3 } \)
∴ a = 18 and b = \(\frac { 2 }{ 3 } \).

Let (x₁, y₁, z₁) is (6, 7, 4) and (x₂, y₂, z₂) (8, 4, 9)
The cartesian equation of a straight line passing through two points is
\(\frac { x-{ x }_{ 1 } }{ { x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 } } =\frac { y-{ y }_{ 1 } }{ { y }_{ 2 }-{ y }_{ 1 } } =\frac { z-{ z }_{ 1 } }{ { z }_{ 2 }-{ z }_{ 1 } } \)
⇒ \(\frac { x-6 }{ 8-6 } =\frac { y-7 }{ 4-7 } =\frac { z-4 }{ 9-4 } \)
⇒ \(\frac { x-6 }{ 2 } =\frac { y-7 }{ -3 } =\frac { z-4 }{ 5 } \) = s...(1)
⇒ x-6 = 2s 
⇒ y-7 = -3s 
⇒ y = -3s+7
\(\frac { y-7 }{ -3 } \)=s ⇒ y-7 = -3s ⇒ -3s + 7
\(\frac { z-4 }{ 5 } \) = s 
⇒ z-4 = 5s 
⇒ z = 5s + 4
∴ Point on the line is (2s + 6, -3s + 7, 5x + 4)...(2)
To find the point of intersection of (1) and x z plane, put y = 0, in (2)
∴ -3s+7 = 0
⇒ -s = -7 
⇒ s = \(\frac{7}{3}\)
Put s = \(\frac{7}{3}\) in (2) we get, the point of intersection
as \(\left( 2\left( \frac { 7 }{ 3 } \right) +6,0,5\left( \frac { 7 }{ 3 } \right) +4 \right) \)
⇒ \(\left( \frac { 14 }{ 3 } +6,0,\frac { 35 }{ 3 } +4 \right) \)
⇒ \(\left( \frac { 14+18 }{ 3 } ,0,\frac { 35+12 }{ 3 } \right) \Rightarrow \left( \frac { 32 }{ 3 } ,0,\frac { 47 }{ 3 } \right) \)
To find the point of intersection of (1) and yz plane, put x = 0 in  (2)
∴ 2s + 6 = 0
⇒ 2s = -6 
⇒ s = -3
∴ (2) ⟶ (2(-3) + 6, -3(-3) + 7, 5(-3)+4)
= (0, 16, -11)

Comparing the given lines with the general Cartesian equations of straight lines,
\(\frac { x-{ x }_{ 1 } }{ { b }_{ 1 } } =\frac { y-{ y }_{ 1 } }{ { b }_{ 2 } } =\frac { z-{ z }_{ 1 } }{ { b }_{ 3 } } \)and \(\frac { x-{ x }_{ 2 } }{ { d }_{ 1 } } =\frac { y-{ y }_{ 2 } }{ { d }_{ 2 } } =\frac { z-{ z }_{ 2 } }{ { d }_{ 3 } } \)
we find (b₁, b₂, b₃) = (2, 1, -2) and (d₁, d₂, d₃) = (4, -4, 2). Therefore, the angle between the two straight lines is 
\(\theta ={ cos }^{ -1 }\left( \frac { \left| (2)(4)+(1)(-4)+(-2)(2) \right| }{ \sqrt { { 2 }^{ 2 }+{ 1 }^{ 2 }+({ -2) }^{ 2 } } \sqrt { { 4 }^{ 2 }+(-{ 4 })^{ 2 }+{ 2 }^{ 2 } } } \right) ={ cos }^{ -1 }\left( 0 \right) =\frac { \pi }{ 2 } \)
Thus the two straight lines are perpendicular.

Rewriting the given equations as\(​​\frac { x+2 }{ 4 } =\frac { y+3 }{ -2 } =\frac { 2z-6 }{ 3/2 } \) and comparing with \(\frac { x-{ x }_{ 1 } }{ { b }_{ 1 } } =\frac { y-{ y }_{ 1 } }{ { b }_{ 2 } } =\frac { z-{ z }_{ 1 } }{ { b }_{ 3 } } \) we have \(\vec { b } ={ b }_{ 1 }\hat { i } +{ b }_{ 2 }\hat { j } +{ b }_{ 3 }\hat { k } \) = \(-4\hat { i } -2\hat { j } +\frac { 3 }{ 2 } \hat { k } =-\frac { 1 }{ 2 } (8\hat { i } +4\hat { j } -3\hat { k } )\). Clearly, \(\vec { b } \) is parallel to the vector \(8\hat { i } +4\hat { j } -3\hat { k } \). Therefore, a vector equation of the required straight line passing through the given point (-4, 2, -3) and parallel to the vector \(8\hat { i } +4\hat { j } -3\hat { k } \) in parametric form is
\(\vec { r } =(-4\hat { i } +2\hat { j } -3\hat { k } )+t(8\hat { i } +4\hat { j } -3\hat { k } )\), t ∈ R
Therefore, Cartesian equations of the required straight line are given by
\(\frac { x-4 }{ 8 } =\frac { y-2 }{ 4 } =\frac { z+3 }{ -3 } \)

\(\vec { a } =\hat { i } +2\hat { j } +3\hat { k } ,\vec { b } =2\hat { i } -\hat { j } +\hat { k } ,\vec { c } =3\hat { i } +2\hat { j } +\hat { k } \)
\(\vec { a } .\vec { c } =(\hat { i } +2\hat { j } +3\hat { k } ),(3\hat { i } +2\hat { j } +\hat { k } )\)
= 3+4+3 = 10
\(\vec { a } .\vec { b } =(\hat { i } +2\hat { j } +3\hat { k } ).(2\hat { i } -\hat { j } +\hat { k } )\)
= 2 - 2 + 3 = 3
∴ \((\vec { a } .\vec { c } )\vec { b } -(\vec { a } .\vec { b } )\vec { c } =10\vec { b } -3\vec { c } \)
⇒ \(\vec { a } \times (\vec { b } \times \vec { c } )=10\vec { b } -3\vec { c } \) ..(1)
\([\vec { a } \times (\vec { b } \times \vec { c } )=(\vec { a } .\vec { c } )\vec { b } -(\vec { a } .\vec { b } )\vec { c } ]\)
Given \(\vec { a } \times (\vec { b } \times \vec { c } )=l\vec { a } +m\vec { b } +n\vec { c } \)..(2)
From (1) & (2)
\(10\vec { b } -3\vec { c } =l\vec { a } +m\vec { b } +n\vec { c } \)
Comparing the co-efficients of like terms, we get
l = 0, m = 10 and n = -3

Resultant force \(\vec { F } =\vec { { F }_{ 1 } } +\vec { F_{ 2 } } +\vec { F_{ 3 } } \)
\(\vec { F } \) = (\(-\hat { 3i } +\hat { 6j } +\hat { 3k } \))+(\(\hat { 4i } -\hat { 10j } +\hat { 12k } \))+(\(\hat { 4i } +\hat { 7j } \))
= \(5\hat { i } +3\hat { j } +9\hat { k } \)
\(\vec { r } \)= (Force acting at the point) - (force acting about the point)
\((8\hat { i } -6\hat { j } -4\hat { k } )-(18\hat { i } +3\hat { j } -9\hat { k } )\)
= \(-10\hat { i } -9\hat { j } +5\hat { k } \)
Torque \((\vec { i } )=\vec { r } \times \vec { F } \)
= \(\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ -10 & -9 & 5 \\ 5 & 3 & 9 \end{matrix} \right| \)
= \(\hat { i } \left| \begin{matrix} -9 & 5 \\ 3 & 9 \end{matrix} \right| -\hat { j } \left| \begin{matrix} -10 & 5 \\ 5 & 9 \end{matrix} \right| +\hat { k } \left| \begin{matrix} -10 & -9 \\ 5 & 3 \end{matrix} \right| \)
= \(\hat { i } (-18-15)-\hat { j } (-90-25)+\hat { k } (-30+45)\)
\(\vec { i } =-96\hat { i } +115\hat { j } +15\hat { k } \).

Let \(\vec { { F }_{ 1 } } \) and \(\vec { { F }_{ 2 } } \) be the two forces given
Given \(|\vec { { F }_{ 1 } } |=5\sqrt { 2 } \) and its direction is along \(3\hat { i } +4\hat { j } +5\hat { k } \)
∴ \(\vec { { F }_{ 1 } } =5\sqrt { 2 } \) (unit vector of \(3\hat { i } +4\hat { j } +5\hat { k } \))
= \(5\sqrt { 2 } \frac { (3\hat { i } +4\hat { j } +5\hat { k } ) }{ \sqrt { { 3 }^{ 2 }+{ 4 }^{ 2 }+{ 5 }^{ 2 } } } \)   \(\left[ \because \hat { n } =\frac { \vec { n } }{ |\vec { n } | } \right] \)
= \(5\sqrt { 2 } \frac { (3\hat { i } +4\hat { j } +5\hat { k } ) }{ \sqrt { 9+16+25 } } =\frac { 5\sqrt { 2 } (3\hat { i } +4\hat { j } +5\hat { k } ) }{ 5\sqrt { 2 } } \)
= \(3\hat { i } +4\hat { j } +5\hat { k } \)
and  \(\vec { { F }_{ 2 } } =10\sqrt { 2 } \) (unit vector of \(10\hat { i } +6\hat { j } -8\hat { k } \))
= \(10\sqrt { 2 } \frac { (10\hat { i } +6\hat { j } -8\hat { k } ) }{ \sqrt { { 10 }^{ 2 }+{ 6 }^{ 2 }+(-8)^{ 2 } } } \)
\(=\frac{10 \sqrt{\not 2}(10 \hat{i}+6 \hat{j}-8 \hat{k})}{10 \sqrt\not {2}}\)
= \(10\hat { i } +6\hat { j } -8\hat { k } \)
∴ Resistant force \(\vec { F } =\vec { { F }_{ 1 } } +\vec { { F }_{ 2 } } \)
=\((3\hat { i } +4\hat { j } +5\hat { k } )+(10\hat { i } +6\hat { j } -8\hat { k } )\)
\(\vec { F } =13\hat { i } +10\hat { j } -3\hat { k } \)
\(\hat { d } \) = displacement to the point - displacement from the point
= \((6\hat { i } +\hat { j } -3\hat { k } )-(4\hat { i } -3\hat { j } -2\hat { k } )\)
= \(2\hat { i } +4\hat { j } -\hat { k } \)
∴ Work done
w = \(\vec { F } .\vec { d } =(13\hat { i } +10\hat { j } -3\hat { k } ).(2\hat { i } +4\hat { j } -\hat { k } )\)
w = 13(2) + 10(4) - 3(-1) = 26 + 40 + 3
w = 69 units.

Resultant of the given forces is \(\vec { F } \) = \((\hat { 3i } -\hat { 2j } +\hat { 2k } )\) + \((\hat { 2i } +\hat { j } -\hat { k } )\) = \(​​\hat { 5i } -\hat { j } +\hat { k } \)
The displacement of the particle is given by
\(\vec { d } \) =  \((\hat { 4i } -\hat { j } +\hat { \lambda k } )-(\hat { i } +3\hat { j } -\hat { k } )\) =  \((3\hat { i } -\hat { 4j } +(\lambda +1)\hat { k } )\)
As the work done by the forces is 16 units, we have
\(\vec { F } \).\(\vec { d } \) = 16
That is \((\hat { 5i } -\hat { j } +\hat { k } ).(3\hat { i } -\hat { 4j } +(\lambda +1))\hat { k } \)  = 16 ⇒ λ + 20 = 16
So, λ = - 4

Resultant of the given forces is \(\hat{F}\) = ( \(\hat { 2j } +\hat { 5j } +\hat { 6k } \) )+ (\(-\hat { i } -\hat { 2j } -\hat { k } \) ) = \(\hat { i } +\hat { 3j } +\hat {5 k } \)
Let A and B be the points (4, −3, −2) and (6, 1,  −3) respectively.
Then the displacement vector of the particle is 
\(\vec { d } =\vec { AB } =\vec { OB } -\vec { OA } =(\hat { 6i } +\hat { j } -\hat { 3k } )-(\hat { 4i } -\hat { 3j } -\hat { 2k } )=\hat { 2i } +\hat { 4j } -\hat { k } \)
Therefore the work done
w = \(\vec { f } .\vec { d } =(\hat { i } +\hat { 3j } +\hat { 5k } ).(\hat { 2j } +\hat { 4j } -\hat { k } )\) = 9 units.

We observe that the straight line \(\frac { x-1 }{ 4 } =\frac { 2-y }{ 6 } =\frac { z-4 }{ 12 } \) is parallel to the vector \(4\hat { i } -6\hat { j } +12\hat { k } \) and the straight line \(\frac { x-3 }{ -2 } =\frac { y-3 }{ 3 } =\frac { 5-z }{ 6 } \) is parallel to the vector \(2\hat { i } +3\hat { j } -6\hat { k } \)
Since \(4\hat { i } -6\hat { j } +12\hat { k } =-2(-2\hat { i } +3\hat { j } -6\hat { k } )\), two vectors are parallel, and hence the two straight lines are parallel.

Since the given three vectors are coplanar, we have \(\left| \begin{matrix} 2 & -1 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \\ 1 & m & 4 \end{matrix} \right| \) = 0 ⇒ m = -3

By the defination of scalar triple product of three vectors,
We find, \(\hat { a } .(\hat { b } \times \hat { c } )\) = \(\left| \begin{matrix} -3 & -1 & 5 \\ 1 & -2 & 1 \\ 0 & 4 & -5 \end{matrix} \right| =-3\)