\(m=\cfrac { -v }{ u } =\pm 3\) (கொடுக்கப்பட்டது)
நிலை i:
\(v=-3u\) 
\(\cfrac { 1 }{ f } =\cfrac { 1 }{ u } +\cfrac { 1 }{ v } \)
\(\cfrac { 1 }{ u } -\cfrac { 1 }{ 3u } \)
\(\cfrac { 1 }{ f } =\cfrac { 2 }{ 3u } \)
\(3u=2f\)
\(u=\cfrac { 2f }{ 3 } =\cfrac { 2\times \left( -20 \right) }{ 3 } \)
\(u=\cfrac { -40 }{ 3 } cm\)
நிலை ii:
\(v=3u\)
\(\cfrac { 1 }{ f } =\cfrac { 1 }{ u } +\cfrac { 1 }{ 3u } \)
\(=\cfrac { 4 }{ 3u } \)
\(3u=4f\)
\(=-4\times 20\)
\(u=\cfrac { -4\times 20 }{ 3 } \)
\(u=\cfrac { -80 }{ 3 } cm\)
பொருளை வைக்க சாத்தியமான தொலைவுகள் = \(\left( \cfrac { -40 }{ 3 } cm,\cfrac { -80 }{ 3 } cm \right) \)

1, 2 என்ற இரண்டு லென்ஸ்களைக் கருதுக. அவை ஒன்றை ஒன்று தொட்டுக் கொண்டுள்ளவாறு ஒரே அச்சில் வைக்கப்பட்டுள்ளன. இவற்றின் குவியதூரங்கள் முறையே f₁ மற்றும் f₂ ஆகும். இவை இரண்டும் ஒரே அச்சில் வைக்கப்பட்டுள்ளதால் அவற்றின் முதன்மை அச்சுகள் ஒன்றே O என்ற பொருள் ஒன்று முதன்மை அச்சில் முதல் லென்ஸின் குவியதூரத்திற்கு அப்பால் பிம்பம் இரண்டாவது லென்ஸ்க்கு பொருளாகச் செயல்படுகின்றது. இந்த பிம்பம் இரண்டாவது லென்ஸும் மெல்லிய லென்ஸ்கள் ஆகும். அளவீடுகள்  அனைத்தும்‌ இரண்டு லென்ஸ்களின்‌ பொதுவான லென்ஸ்‌ முனையிலிருந்து 'P' அதாவது இரண்டு லென்ஸ்களின் மையத்திலிருந்து அளக்கப்படுகின்றன.
பொருளின் தொலைவு PO = u, மற்றும் முதல் லென்ஸ்க்கான (1) பிம்பத்தின் தொலைவு P₂^' = v^' இரண்டாவது லென்ஸ்க்கான (2) பிம்பத்தின் தொலைவு PI = v
முதல் லென்ஸுக்கு லென்ஸ் விதியை எழுதும்போது
\(\cfrac { 1 }{ V' } -\cfrac { 1 }{ u } =\cfrac { 1 }{ { f }_{ 1 } } \)   ...(1)
இரண்டாவது லென்ஸுக்கு லென்ஸ் விதியை எழுதும்போது 
\(\cfrac { 1 }{ v } -\cfrac { 1 }{ v' } =\cfrac { 1 }{ { f }_{ 2 } } \)    ...(2)
சமன்பாடுகள் (1) மற்றும் (2) இரண்டையும் கூட்டும்போது 
\(\cfrac { 1 }{ v } -\cfrac { 1 }{ u } =\cfrac { 1 }{ { f }_{ 1 } } +\cfrac { 1 }{ { f }_{ 2 } } \)    ..(3)
இரு லென்ஸ்களின் கூட்டமைப்பு, f குவியதூரம் கொண்ட ஒற்றை லென்ஸ் போன்று செயல்படுகின்றது. எனவே, O புள்ளியில் உள்ள பொருளின் பிம்பம் I  ஏற்படுகின்றது எனக் கருதினால் 
\(\cfrac { 1 }{ v } -\cfrac { 1 }{ u } =\cfrac { 1 }{ F } \)   ...(4) 
சமன்பாடுகள் 3 மற்றும் 4 இரண்டையும் ஒப்பிடும்போது 
\(\cfrac { 1 }{ F } =\cfrac { 1 }{ { f }_{ 1 } } +\cfrac { 1 }{ { f }_{ 2 } } \) ...(5) 
மேற்கண்ட சமன்பாட்டை, எத்தனை லென்ஸ்கள் கூட்டமைப்பிற்கும் நாம் விரிவுபடுத்தி எழுதலாம்.
\(\cfrac { 1 }{ F } =\cfrac { 1 }{ { f }_{ 1 } } +\cfrac { 1 }{ { f }_{ 2 } } +\cfrac { 1 }{ { f }_{ 3 } } +\cfrac { 1 }{ { f }_{ 4 } } +...\) (6)
இச்சமன்பாட்டை லென்ஸ்களின் திறன்களை அடிப்படையாக கொண்டு எழுதும்போது 
\(P={ P }_{ 1 }+{ P }_{ 2 }+{ P }_{ 3 }+{ P }_{ 4 }+...\) (7)

நீர் நிரப்பப்பட்ட தொட்டியினுள் பார்க்கும் பொழுது, தொட்டியின் அடிப்பரப்பு சற்று மேலே தெரிவது போல தோன்றும்.
படத்தில், d - உண்மையான ஆழம்
d' - தோற்ற ஆழம்
படத்திலிருந்து n₁ sin i, = n₂ sin r
n₁ tan i, = n₂ tan r
(சிறிய கோணத்திற்கு (sin \(\theta\) = tan \(\theta\)) d
\(\frac{ n _ 1 } { d } =\frac{ n _ 2 } { d' }\)
n₁ = n, n₂ = 1  (காற்று) என பிரதியிட
தோற்ற ஆழம் = d' = d/n
தொட்டியின் அடிப்பரப்பு d - d' அளவு மேலே எழும்பித் தெரியும். எனவே
d - d' = d' = d/n

ஊடகம்‌ ஒன்றில்‌ ஒளி (d) தொலைவைக்‌ கடக்க எவ்வளவு நேரத்தை எடுத்துக்‌ கொள்கிறதோ, அதே நேர இடைவெளியில்‌ வெற்றிடத்தின்‌ வழியே ஒளி கடந்து செல்லும்‌ தொலைவு d' ஊடகத்தின்‌ ஒளிப்பாதை என்று வரையறுக்கப்படுகிறது.
ஒளிவிலகல்‌ எண்‌ (n) மற்றும்‌ தடிமன்‌ (d) கொண்ட ஊடகம்‌ ஒன்றைக்‌ கருதுக. அந்த ஊடகத்தின்‌ வழியாக (v) வேகத்தில்‌ (t) நேரத்தில்‌ ஒளி பயணம்‌ செய்கிறது எனில்‌,
\(v=\frac { d }{ t } ;\) சமன்பாட்டை (t) க்கு மாற்றியமைக்கும்‌ போது, \(t=\cfrac { d }{ v } \) 
இதே நேர இடைவெளியில்‌ வெற்றிடத்தில்‌ ஒளி நெடுந்தொலைவு (d') சென்றிருக்கும்‌, ஏனெனில்‌, ஒளி வெற்றிடத்தின்‌ வழியே பெரும் வேகத்தில்‌ (இ) செல்லும்‌. எனவே,
\(c=\cfrac { d }{ t } \) சமன்பாட்டை (t) க்கு மாற்றியமைக்கும்‌ போது \(t=\cfrac { d' }{ c } \)
இரண்டு நிகழ்வுகளிலும்‌ எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட நேரம்‌ (0) சமம்‌. எனவே இரண்டு நிகழ்வுகளின்‌ நேரத்தையும்‌ சமன்‌ செய்து பார்க்கலாம்‌. அதன்படி
\(\cfrac { d' }{ c } =\cfrac { d }{ v } \)
ஒளிப்பாதை (d^') க்கு மாற்றி அமைக்கும்‌ போது \(d'=\cfrac { c }{ v } d\)
இங்கு, \(\cfrac { c }{ v } =n\) எனவே ஒளிப்பாதை
\(d'=nd\)
ஒரு ஊடகத்திற்கு n எப்போதும்‌ 1 ஐவிட அதிகமாகும்‌. எனவே, ஊடகத்தின்‌ ஒளிப்பாதை d' எப்போதும்‌ d ஐ விட அதிகமாக இருக்கும்‌.

குவியதூரம் f மற்றும் வளைவு ஆரம் R இவற்றுக்கு இடையேயான தொடர்பு:
கோளக ஆடி ஒன்றின் வளைவு மையம் C என்க. முதன்மை அச்சுக்கு இணையாகச் செல்லும் ஒளிக்கதிர் ஆடியில் M என்ற புள்ளியில் பட்டு எதிரொளித்து முதன்மைக் குவியம் F வழியாகச் செல்லும். இதற்கான வடிவியல் விளக்கம் படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது. M புள்ளியில் ஆடிக்குச் செங்குத்துக்கோடு CM ஆகும். படுகோணம் (i) என்பது எதிரொளிப்பு கோணத்திற்குச் சமம்.
M புள்ளியிலிருந்து முதன்மை அச்சுக்குச் செங்குத்தாக வரையப்பட்ட கோடு MP எனில் வடிவியல்படி,

முக்கோணங்கள் \(\angle MCP = i\) ,மற்றும் \(\angle MFP = 2i\) 
முக்கோணங்கள் ΔMCP, மற்றும் ΔMFP 
\(i=\cfrac { PM }{ PC } \) மற்றும் \(tan2i=\cfrac { PM }{ PF } \) 
சிறிய கோணங்களுக்கு, \(tani=i, tan 2i = 2i\) 
\(i=\cfrac { PM }{ PC } \) மற்றும் \(2i=\cfrac { PM }{ PF } \) 
மேலும் சுருங்கும்போது 
\(2\cfrac { PM }{ PC } =\cfrac { PM }{ PF } ;2PF=PC\) 
PF என்பது குவியதூரம் (f) மற்றும் PC என்பது வளைவு ஆரம் (R) எனவே.
\(2f=R\) அல்லது \( f=\cfrac { R }{ 2 } \) 
இச்சமன்பாடு f மற்றும் Rக்கு இடையேயான தொடர்பினைத் தருகின்றது. 

(i) சமதள ஆடியில் தோன்றும் பிம்பம், இட வல மாற்றம் கொண்ட நேரான மாய பிம்பமாகும்.
(ii) பொருளின் அளவும் பிம்பத்தின் அளவும் ஒன்றுக்கொன்று சமமாகும்.
(iii) சமதள ஆடிக்கு முன்பாகப் பொருள் எவ்வளவு தொலைவில் வைக்கப்பட்டுள்ளதோ, அதே தொலைவில் ஆடிக்கு உள்ளே பிம்பம் தோன்றும்.
(iv) பொருளொன்றை \(\\ \theta \) கோணத்தில் அமைக்கப்பட்டுள்ள இரண்டு சமதள ஆடுகளுக்கு நடுவே வைக்கும்போது தோன்றும் பிம்பங்களின் எண்ணிக்கையைப் பின்வருமாறு அறியலாம்.
1. சமச்சீரான அல்லது சமச்சீரற்ற நிலையில் பொருள் வைக்கப்பட்டிருந்தால் \(\left( \cfrac { 360 }{ \theta } \right) \) இரட்டைப்படை எனில், \(n=\left( \cfrac { 360 }{ \theta } -1 \right) \).
2. சமச்சீரான நிலையில் பொருள் வைக்கப்பட்டிருந்தால் \(\left( \cfrac { 360 }{ \theta } \right) \) ஒற்றைப்படை எனில் \(n=\left( \cfrac { 360 }{ \theta } -1 \right) \). .
3. சமச்சீரற்ற நிலையில் பொருள் வைக்கப்பட்டிருந்தால் \(\left( \cfrac { 360 }{ \theta } \right) \) ஒற்றைப்படை எனில் \(n=\left( \cfrac { 360 }{ \theta } \right) \).

கொடுக்கப்பட்ட முப்பட்டகம் ஒரு சமபக்க முப்பட்டகம்
எனவே, A = 60^o ; i₁ = 30^o ; i₂ = 75^o 
திசை மாற்றக்கோணச் சமன்பாட்டின்படி d = i₁ + i₂ – A
மதிப்புகளைப் பிரதியிடும் போது, d = 30° + 75°– 60° = 45°
முப்பட்டகம் ஏற்படுத்திய திசைமாற்றக்கோணம், d = 45^o 

இரண்டு அடுத்தடுத்த பொலிவுப்பட்டை அல்லது கரும்பட்டைகளுக்கு இடையே உள்ள தொலைவு பட்டை அகலம் என அழைக்கப்படுகிறது. 

பகுதி வெள்ளி பூசப்பட்ட கண்ணாடி வழியே ஒளியைச் செலுத்தும்போது, ஒரே நேரத்தில் ஒளி எதிரொளிப்பு மற்றும் ஒளிவிலகல் இரண்டும் ஏற்படும். ஒரே ஒளி மூலத்திலிருந்து இரண்டு ஒளிக்கற்றைகளைப் பெறுவதால் பிரிக்கப்பட்ட இவ்விரு ஒளிக்கற்றைகளும் ஓரியல் மூலங்களாக செயல்படும். (எ.கா) மைக்கல்சன் குறுக்கீட்டுமானி.    

மேகங்களில்‌ உள்ள துகள்களின்‌ அளவு பெரியதாக இருப்பதால்‌ ஒளியின்‌ அலைநீளத்தை பொறுத்து ஒளிச்சிதறல்‌ ஏற்படாமல்‌ அனைத்து வண்ணங்களும்‌ சம அளவில்‌ சிதறலடைகின்றன, இதன்‌ காரணமாக மேகம்‌ வெண்மையாகக்‌ காட்சியளிக்கிறது

ஒளியின் ‌அலைநீளத்தை விட மிகவும்‌ குறைவான அளவுடைய அணுக்கள்‌ மற்றும்‌ மூலக்கூறுகளினால் ‌ ஏற்படும்‌ ஒளிச்சிதறலுக்கு ராலே ஒளிச்சிதறல்‌ என்று பெயர். ஒளிச்சிதறலின்‌ செறிவு, அலைநீளத்தின்‌ நான்கு மடி மதிப்புக்கு எதிர்விகிதத்தில்‌ இருக்கும்‌.
\(I\alpha \cfrac { I }{ { \lambda }^{ 4 } } \)

அடர்மிகு ஊடகத்தில் எந்த படுகோண மதிப்பிற்கு விலகு கதிர் ஊடகங்களைப்  பிரிக்கும் எல்லையைத் தழுவிச் செல்கிறதோ அந்த படுகோணம் மாறுநிலைக்கோணம் எனப்படும்.
அடர்மிகு ஊடகத்தில், படுகோணத்தின் மதிப்பு மாறுநிலைக் கோணத்தை விட அதிகரிக்கும் போது அடர்குறை ஊடகத்தில் ஒளிவிலகல் ஏற்படாமல் ஒளி முழுவதும் அடர்மிகு ஊடகத்திலேயே எதிரொளிப்பு அடையும். இந்நிகழ்வு முழு அக எதிரொளிப்பு எனப்படும்.

வளிமண்டலம் வெவ்வேறு ஒளிவிலகல் எண்களைக் கொண்ட வெவ்வேறு அடுக்குகளைக் கொண்டுள்ளது. அவற்றின் வழியே ஒளி செல்லும்போது தொடர் ஒளிவிலகல் ஏற்பட்டு ஒளியின் பாதை தொடர்ந்து விலகலடையும். மேலும் இவ்வளிமண்டல அடுக்குகள் நிலையாக இல்லாமல் இயங்கிக் கொண்டே இருப்பதால் விண்மீன்களிலிருந்து வரும் ஒளியின் பாதையில் மாற்றம் ஏற்பட்டு விண்மீன்கள் மின்னவதுபோல் தோன்றும்.

தெளிவாகப் பார்க்க இயலும் குறைந்தபட்சத் தொலைவு, y = 75
குறைபாட்டைச் சரிசெய்வதற்குப் பயன்படும் லென்சின் குவியத்தூரம் f என்க.
f = \(\frac { y\times 25cm }{ y-25cm } \)
f = \(\frac { 75cm\times 25cm }{ 75cm-25cm } \) = 37.5 cm
இது ஒரு குவிலென்ஸ் அல்லது குவிக்கும் லென்ஸ் ஆகும்.
லென்சின் திறன், P = \(\frac { 1 }{ 0.375 } \) = 2.67 டயாப்டர்.

முழு அக எதிரொளிப்புக்கு நிபந்தனை, sin i > sin C
n = 1/ sin C
sin C = 1/n
sin i > 1/ n
n> 1/sin i
n > \(\sqrt 2\)
n > 1.414 = 1.5

\(\frac{1}{f_1} = (n-1)(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2})\\ (1.5-1)(\frac{1}{\infty}-\frac{1}{-10}\\ = 0.5\frac{1}{10}\\ \frac{1}{f_1} = \frac{1}{20}\\ \frac{1}{f} = \frac{2}{f_1}+\frac{2}{f_m}\\ \frac{1}{F}= \frac{2}{20}+\frac{1}{\infty}\\ F = \frac{20}{2} =10cm\)

குவி ஆடி ஒரு விரிக்கும் ஆடியாகும். பொருளின் எல்லா நிலைகளுக்கும் ஏற்படும் பிம்பம் நேரானது மற்றும் மாயபிம்பமாகும்.

v = n
திசையொப்பு பண்பினைப் பெற்ற ஊடகத்தின் வழியே ஒளிக்கதிர் செல்லும்போது ஒளியின் அதிர்வெண்ணில் மாற்றம் இல்லை. எனவே, ஒளியின் வேகம் அலைநீளத்தைப் பொருத்தே அமைந்துள்ளது.

வெள்ளை ஒளியில் உள்ள வண்ணங்கள் தனித்தனியாகப் பிரியும் நிறப்பிரிகை என்று பெயர். வெள்ளை ஒளிக்கற்றை ஒன்றைக் கருதுக. இவ்வொளிக்கற்றை முப்பட்டகத்தின் வழியாகச் செல்லும்போது, வெள்ளை ஒளியிலுள்ள வண்ணங்கள் நிறப்பிரிகை அடையும். இவை படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது. \({ \delta }_{ v },{ \delta }_{ R }\) என்பன, முறையே ஊதா மற்றும் சிவப்பு அலைநீளங்களுக்கான திசைமாற்றிக் கோணங்கள் என்க.

 

முப்பட்டகப் பொருளின் ஒளிவிலகல் எண்ணிற்கான சமன்பாட்டில் கொடுக்கப்பட்டது.
\(n=\frac { \sin\left( \frac { A+\delta }{ 2 } \right) }{ \sin(A/2) } \) இங்கு A என்பது முப்பட்டகக்கோணம் மற்றும் D என்பது சிறும திசைமாற்றக் கோணமாகும். முப்பட்டகக்கோணம் 10^o என்ற சிறிய அளவில் உள்ள முப்பட்டகங்களுக்கு சிறுகோண முப்பட்டகங்கள் என்று பெயர். இவ்வகையான முப்பட்டகங்களின் வழியே ஒளிக்கதிர் செல்லும்போது ஏற்படும் திசைமாற்றக்கோணமும் சிறியதாகும். A என்பதை முப்பட்டக்கோணமாகவும் \(\delta \) என்பதை திசைமாற்றக்கோணமாகவும் கொண்டால், முப்பட்டகச் சமன்பாடு பின்வரும் வடிவைபெறும்.
\(n=\frac { \sin\left( \frac { A+\delta }{ 2 } \right) }{ \sin(A/2) } \) 
A மற்றும் \({ \delta }_{ m }\) சிறிய கோணங்கள்.எனவே 
\(sin=\cfrac { A+\delta }{ A } \approx \cfrac { A+\delta }{ A } \) 
\(sin\cfrac { A }{ 2 } \approx \cfrac { A+\delta }{ A } \)
\( sin\cfrac { A }{ 2 } \approx \cfrac { A }{ 2 } \)
\(n=\cfrac { \left( A+\delta \right) }{ \left( A/2 \right) } =\cfrac { A+\delta }{ A } =1+\cfrac { \delta }{ A } \)
மேலும் சுருங்கும்போது,\(\cfrac { \delta }{ A } =n-1\) 
\(\delta =(n-1)A\) 
வெள்ளை ஒளி முப்பட்டகத்தினுள் நுழையும்போது, வெவ்வேறு வண்ணங்களுக்கான திசைமாற்றமும் வெவ்வேறாக இருக்கும். எனவே, வெவ்வேறு வண்ணங்களுக்கான ஒளிவிலகல் எண்ணும் வெவ்வேறானவையாகும்.
ஊதா வண்ணத்திற்கு, \({ \delta }_{ v }=\left( { n }_{ n }-1 \right) A\) 
சிவப்பு வண்ணத்திற்கு \({ \delta }_{ R }=\left( { n }_{ R }-1 \right) A\) 
ஊதா வண்ணத்தின் திசைமாற்றக்கோணம் \({ \delta }_{ v }\) சிவப்பு வண்ணத்தின் திசைமாற்றக் கோணத்தைவிட \({ \delta }_{ R }\)அதிகமாக உள்ளதால், ஊதா வண்ணத்தின் ஒளிவிலகல் எண் (n_v) சிவப்பு வண்ணத்தின் \(\delta _{ V }\) யிலிருந்து \({ \delta }_{ R }\) ஐ கழிக்கும்பொழுது, பின்வரும் சமன்பாடு கிடைக்கும்.
\(\delta _{ V }-{ \delta }_{ R }=\left( { n }_{ V }-{ n }_{ R } \right) A\) 
மேற்கண்ட சமன்பாட்டில் உள்ள \(\left( { \delta }_{ v }-{ \delta }_{ R } \right) \) பதம், நிறமாலையில் உள்ள இரண்டு எல்லை வண்ணங்களுக்கு இடையேயான (ஊதா மற்றும் சிவப்பு) கோணப்பிரிகையைக் கொடுக்கிறது. இக்கோணப்பிரிகைக்கு கோண நிறப்பிரிகை என்று பெயர்.
சராசரி கதிர் ஒன்றின் திசைமாற்றக்கோணத்தை \(\delta \) என்றும்,இதற்கான ஒளிவிலகல் எண்ணை n எனவும் கொண்டால் 
\(\delta =(n-1)A\) 

முப்பட்டகத்தின் கோண நிறப்பிரிகை பின்வருவனவற்றைச் சார்ந்துள்ளது.
(i) முப்பட்டகக் கோணம் மற்றும் 
(ii) முப்பட்டகம் செய்யப்பட்ட பொருளின் தன்மை சார்ந்திருக்கும்

n₁ மற்றும் n₂  ஒளிவிலகல் எண் கொண்ட இரண்டு ஒளிபுகும் ஊடகங்கள் படத்தில் காட்டியுள்ளவாறு கோளகப்பரப்பு ஒன்றினால் பிரிக்கப்பட்டுள்ளன. கோளகப்பரப்பின் வளைவு மையத்தை C என்க.  O என்ற புள்ளிப்பொருளொன்று n₁, ஒளிவிலகல் கொண்ட ஊடகத்தில் உள்ளது எனக் கருதுக. OC கோடு, கோளகப்பரப்பை பரப்புமுனை P-யில் வெட்டுகிறது. ஒளிக்கதிர்களை அண்மை அச்சுக்கதிர்களாக கருதுவதால் படும்புள்ளிக்கும், முதன்மை அச்சுக்கும் வரையப்பட்ட செங்குத்துக்கோடு பரப்புமுனை Pக்கு நெருக்கமாக அல்லது P வழியே செல்கிறது.
புள்ளி O  விலிருந்து வரும் ஒளிக்கதிர் ஒளிவிலகு பரப்பின் மீது N என்ற புள்ளியில் விழுகிறது. இப்படுபுள்ளிக்கு வரையப்பட்ட செங்குத்துக்கோடு வளைவு மையம் C வழியே செல்கிறது. இங்கு \({ n }_{ 2 }>{ n }_{ 1 }\). எனவே, அடர்மிகு ஊடகத்தில் உள்ள ஒளிக்கதிர் செங்குத்துக்கோட்டினை நோக்கி விலகி முதன்மை அச்சை I  என்ற புள்ளியில் சந்திக்கிறது. அப்புள்ளியில் பிம்பம் ஏற்படுகிறது.
N புள்ளியில் ஏற்படும் ஒளிவிலகலுக்கான, ஸ்நெல் விதியின் பெருக்கல் வடிவம் பின்வருமாறு
\({ n }_{ 1 }\sin i={ n }_{ 2 }\sin r\)
கோணங்கள் மிகச்சிறியவை. எனவே, கோணங்களின் சைன் மதிப்புகளை, நேரடியாகக் கோணங்களாகவே எடுத்துக்கொள்ளலாம். 
\({ n }_{ 1 }i={ n }_{ 2 }r\) 
கோணங்கள் 
\(\angle NOP=\alpha ,\angle NCP=\beta ,\angle NIP=\gamma \) 
\(\tan\alpha =\frac { PN }{ PO } ;\tan\beta =\frac { PN }{ PC } ;\tan\gamma =\frac { PN }{ PI } \) 
இந்தக் கோணங்களும் மிகச்சிறியவைகளாகும், எனவே கோணங்களின் டேன் மதிப்புக்கு பதிலாக கோணங்களையே எடுத்துக்கொள்ளலாம்.
\(\alpha =\cfrac { PN }{ PO } ;\beta =\cfrac { PN }{ PC } '\gamma =\cfrac { PN }{ PI } \) 
முக்கோணம், \(\Delta \)ONC, யிலிருந்து,
\(i=\alpha +\beta \) 
முக்கோணம் \(\Delta INC\) யிலிருந்து 
\(\beta =r+\gamma \quad r=\beta -\gamma \) 
i மற்றும் r மதிப்புகளைச் சமன்பாடு (2) ல் பிரதியிட்டால்,
\(\\ { n }_{ 1 }\left( \alpha +\beta \right) ={ n }_{ 2 }\left( \beta -\gamma \right) \\ { n }_{ 1 }\alpha +{ n }_{ 2 }\gamma =\left( { n }_{ 2 }-{ n }_{ 1 } \right) \beta \) 
\(\alpha ,\beta \) மற்றும் \(\gamma \) மதிப்புகளைப் பிரதியிட்டால் 
\({ n }_{ 1 }\left[ \cfrac { PN }{ PO } \right] +{ n }_{ 2 }\left[ \cfrac { PN }{ PI } \right] =\left( { n }_{ 2 }-{ n }_{ 1 } \right) \left[ \cfrac { PN }{ PC } \right] \) 
\(\cfrac { { n }_{ 1 } }{ PO } +\cfrac { { n }_{ 2 } }{ PI } =\cfrac { \left( { N }_{ 2 }-{ N }_{ 1 } \right) }{ PC } \) 
சமன்பாடு (6)ல் குறியீட்டு மரபினைப் பின்பற்றும்போது, \(PO=-u,PI=+V\) மற்றும் \(PC=+R\) .
எனவே, சமன்பாடு (6) பின்வருமாறு எழுதலாம்
\(\cfrac { { n }_{ 1 } }{ V } +\cfrac { { n }_{ 2 } }{ u } =\cfrac { \left( { n }_{ 2 }-{ n }_{ 1 } \right) }{ R } \) 
சமன்பாட்டினை மாற்றி அமைத்தால்,
\(\cfrac { { n }_{ 12} }{ V } +\cfrac { { n }_{ 1 } }{ u } =\cfrac { \left( { n }_{ 2 }-{ n }_{ 1 } \right) }{ R } \) 
இச்சமன்பாடு எந்த ஒரு வளைபரப்பிற்கும் அல்லது கோளகப்பரப்பிற்கும் பொருந்தும். முதல் ஊடகம் காற்று எனில் n₁ = 1 மேலும், இரண்டாவது ஊடகத்தின் ஒளிவிலகல் எண் n₂, வை n எனவும் கொண்டால், மேற்கண்ட சமன்பாடு பின்வருமாறு சுருங்கும்.
\(\cfrac { n }{ v } -\cfrac { 1 }{ u } =\cfrac { \left( n-1 \right) }{ R } \)

ஒளி இழையின்‌ உட்பகுதியில்‌, உள்ளகம்‌ வெளிப்பூச்சு சந்திக்கும்‌. பரப்பில்‌ விழும்‌ ஒளிக்கதிரின்‌ படுகோணம்‌, மாறுநிலைக்கோணத்தில்‌ இருக்கவேண்டுமெனில்‌, ஒளி இழையின்‌ முனையில்‌ ஒரு குறிப்பிட்ட படுகோணத்தின்‌ ஒளிக்கதிரை செலுத்த வேண்டும்‌. இப்படுகோணத்திற்கு ஒளி இழையின்‌ ஏற்புக்கோணம்‌ என்று பெயர்‌. ஏற்புக்கோணம்‌ உள்ளகத்தின்‌ ஒளிவிலகல்‌ எண்‌ ॥, வெளிப்பூச்சின்‌ ஒளிவிலகல்‌ எண்‌ n₁ மற்றும்‌ வெளிப்புற ஊடகத்தின்‌ ஒளிவிலகல்‌ எண்‌  n₂ ஆகியவற்றைச்‌ சார்ந்துள்ளது. வெளிப்புற ஊடகம்‌, உள்ளகம்‌. சந்திக்கும்‌ பரப்பில்‌ A புள்ளியில்‌ ஒளி ஏற்புக்கோணத்தில்‌ i_a விழுகிறது எனக்‌ கருதுக. படத்தில்‌ காட்டியுள்ளவாறு A புள்ளியில்‌ ஏற்படும்‌ ஒளிவிலகலுக்கான ஸ்னெல்‌ விதியின்‌ பெருக்கல்‌ வடிவம்‌ பின்வருமாறு.
\({ n }_{ 3 }\sin{ i }_{ c }={ n }_{ 1 }{\sin r }_{ a }\)   ...(1)
ஒளி இழையின்‌ உட்புறம்‌ முழுஅக எதிரொளிப்பு நடைபெற வேண்டுமென்றால்‌, உள்ளகம்‌ வெளிப்பூச்சு சந்திக்கும்‌ பரப்பில்‌ B புள்ளியில்‌ விழும்‌ ஒளியின்‌ படுகோணம்‌ குறைந்தபட்சம்‌ மாறுநிலைக்‌ கோணமாக i_c இருக்க வேண்டும்‌. ஸ்னெல்‌ விதியின்‌ பெருக்கல்‌ வடிவம்‌ பின்வருமாறு.
\({ n }_{ 1 }{ \sin i }_{ a }={ n }_{ 2 }{ \sin 90 }^{ 0 }\) 
\({ n }_{ 1 }{ \sin i }_{ c }={ n }_{ 2 }\).
\(\therefore { \sin i }_{ c }=\frac { { n }_{ 2 } }{ { n }_{ 1 } } \quad \therefore { \sin 90 }^{ o }=1\)..(2) 
செங்கோண முக்கோணம் \(\Delta ABC\) யிலிருந்து 
\({ i }_{ c }={ 90 }^{ o }-{ r }_{ a }\)    ...(3)
சமன்பாடு (3) பின்வருமாறு மாற்றமடைகிறது 
\(sin\left( { 90 }^{ o }-{ r }_{ a } \right) =\cfrac { { n }_{ 2 } }{ { n }_{ 1 } } \) 
திரிகோணமிதி சார்புகளைப் பயன்படுத்தி \(cos{ r }_{ a }=\cfrac { { n }_{ 2 } }{ { n }_{ 1 } } \)    ..(4)
\(sin{ r }_{ a }=\sqrt { 1-{ cos }^{ 2 }{ r }_{ a } } \) 
\({ cosr }_{ a }\) வின் மதிப்பை பிரதியிட 
\({ sinr }_{ a }=\sqrt { 1-\left[ \cfrac { { n }_{ 2 } }{ { n }_{ 1 } } \right] ^{ 2 } } =\sqrt { \cfrac { { n }_{ 1 }^{ 2 }-{ n }_{ 2 }^{ 2 } }{ { n }_{ 1 }^{ 2 } } } \) 
இதனை சமன்பாடு (1) ல் பிரதியிட 
\({ n }_{ 3 }sin{ i }_{ a }={ n }_{ 1 }\sqrt { \cfrac { { n }_{ 1 }^{ 2 }-{ n }_{ 2 }^{ 2 } }{ { n }_{ 1 }^{ 2 } } } =\sqrt { { n }_{ 1 }^{ 2 }-{ n }_{ 2 }^{ 2 } } \) 
மேலும் இதனைச் சுருங்கும்போது 
\({ sini }_{ a }=\cfrac { \sqrt { { n }_{ 1 }^{ 2 }-{ n }_{ 2 }^{ 2 } } }{ { n }_{ 2 } } \) (அல்லது) \(sin{ i }_{ a }=\sqrt { \cfrac { { n }_{ 1 }^{ 2 }-{ n }_{ 2 }^{ 3 } }{ { n }_{ 3 }^{ 2 } } } \) 
\({ i }_{ a }={ sin }^{ -1 }\left[ \sqrt { \cfrac { { n }_{ 1 }^{ 2 }-{ n }_{ 2 }^{ 2 } }{ { n }_{ 3 } } } \right] \)

வெளிப்புற ஊடகம் காற்று எனக்கருதினால் n₃ = 1. எனவே ஏற்புக்கோணம் i_a பின்வருமாறு மாற்றமடையும்.
\({ i }_{ a }={ sin }^{ -1 }\left( \sqrt { { n }_{ 1 }^{ 2 }- } { n }_{ 2 }^{ 2 } \right) \) 
இந்த ஏற்புக்கோணம் (ia) ஒளி இழையின் முனையின் மீது ஒரு கூம்புவடிவ ஏற்படுத்தும், இக்கூம்பிற்கு ஏற்புக்கூம்பு என்று பெயர். இக்கூம்பினுள் ஒளி எந்தத் திசையிலும் ஒளி இழையின் உள்ளே நுழையலாம். இதற்கு ஒளி இழையின் எண்ணியல் துளை NA என்று பெயர். 
\(NA={ n }_{ 3 }sin{ i }_{ a }=\sqrt { { n }_{ 1 }^{ 2 }-{ n }_{ 2 }^{ 2 } } \) வெளிப்புற ஊடகம் காற்று எனில் \({ n }_{ 3 }=1\). எனவே எண்ணியல் துளை (NA) பின்வருமாறு மாற்றமடையும்.
\(NA=sin{ i }_{ a }=\sqrt { { n }_{ 1 }^{ 2 }-{ n }_{ 2 }^{ 2 } } \)

1. ஒளியானது d ஆழத்திலுள்ள, A-என்ற புள்ளியிலிருந்து பார்க்கப்படுகிறது.
2. இரண்டு ஊடகங்களையும்‌ பிரிக்கும்‌ தளத்தில்‌ B புள்ளியில்‌ ஏற்படும்‌ ஒளிவிலகலுக்கு ஸ்னெல்‌ விதியின்‌ பெருக்கல்‌ வடிவினைப்‌ பயன்படுத்தும்போது
\({ n }_{ i }{ \sin i }_{ c }={ n }_{ 2 }\sin{ 90 }^{ o }\)
\( { sini }_{ c }=\cfrac { { n }_{ 2 } }{ { n }_{ 1 } } \) ..(1)  
செங்கோண முக்கோணம் \(\Delta ABC\) யிலிருந்து,
\({ sini }_{ c }=\cfrac { CB }{ AB } =\cfrac { R }{ \sqrt { { d }^{ 2 }+{ R }^{ 2 } } } \) ..(2) 
சமன்பாடுகள்‌ (2) மற்றும்‌ (4) ஐ ஒப்பிடும்போது, \(\cfrac { R }{ \sqrt { { d }^{ 2 }+{ R }^{ 2 } } } =\cfrac { { n }_{ 2 } }{ { n }_{ 1 } } \) ..(3) 
இரண்டு பக்கமும்‌ வர்க்கப்படுத்தி, மாற்றி அமைக்கும்போது \(\cfrac { { R }_{ 2 } }{ { R }^{ 2 }+{ d }^{ 2 } } =\left[ \cfrac { { n }_{ 2 } }{ { n }_{ 1 } } \right] ^{ 2 }\) 
தலைகீழாக்கும்போது\(\cfrac { { R }_{ 2 } +{ d }^{ 2 }}{ { R }^{ 2 } } =\left[ \cfrac { { n }_{ 2 } }{ { n }_{ 1 } } \right] ^{ 2 }\) 
மேலும்‌ சுருக்கும்போது,
\(1+\cfrac { { d }^{ 2 } }{ { R }^{ 2 } } =\left[ \cfrac { { n }_{ 1 } }{ { n }_{ 2 } } \right] ^{ 2 };\cfrac { { d }^{ 2 } }{ { R }^{ 2 } } =\left[ \cfrac { { n }_{ 1 } }{ { n }_{ 2 } } \right] ^{ 2 }-1;\) 
\(\cfrac { { d }^{ 2 } }{ { R }^{ 2 } } =\cfrac { { n }_{ 2 }^{ 2 } }{ n_{ 2 }^{ 2 } } -1=\cfrac { { n }_{ 1 }^{ 2 }-{ n }_{ 2 }^{ 2 } }{ { n }_{ 2 }^{ 2 } } \) 
மீண்டும் வர்க்கப்படுத்தி, மாற்றியமைக்கும்போது 
\(\cfrac { { R }^{ 2 } }{ { d }^{ 2 } } =\cfrac { { n }_{ 2 }^{ 2 } }{ { n }_{ 1 }^{ 2 }-{ n }_{ 2 }^{ 2 } } ;{ R }^{ 2 }-{ d }^{ 2 }\left( \cfrac { { n }_{ 2 }^{ 2 } }{ { n }_{ 1 }^{ 2 }-{ n }_{ 2 }^{ 2 } } \right) \) 
ஒளியூட்டப்பட்டப்‌ பரப்பின்‌ ஆரம்‌ 
\(R=d\sqrt { \cfrac { { n }^{ 2 } }{ { n }_{ 1 }^{ 2 }-{ n }_{ 2 }^{ 2 } } } \) ...(4) 
வெளிப்புறம்‌ உள்ள அடர்குறை ஊடகம்‌ காற்று எனில்‌, n₂ = 1, மேலும்‌ n₁= n  எனக்‌ கருதினால்‌
\(R=d\left( \cfrac { 1 }{ \sqrt { { n }^{ 2 }-1 } } \right) \quad R=\cfrac { d }{ \sqrt { { n }^{ 2 }-1 } } \) ..(5)

AB என்ற பொருளைக்‌ கருதுக, இப்பொருள்‌, குழி ஆடி ஒன்றின்‌ முதன்மை அச்சில்‌, வளைவு மையம்‌ C க்கு அப்பால்‌ வைக்கப்பட்டுள்ளது என்க. இப்பொருளினால்‌ ஏற்படும்‌ பிம்பம்‌ படத்தில்‌ காட்டப்பட்டுள்ளது. பொருளின்‌ B  புள்ளியிலிருந்து, புறப்படும்‌ மூன்று அண்மை அச்சுக்‌ கதிர்களைக்‌ கருதுக. முதல்‌ அண்மை அச்சுக்கதிர்‌ BD முதன்மை அச்சுக்கு இணையாகச்‌ சென்று ஆடிமுனை P க்கு அருகே உள்ள D என்ற புள்ளியில்‌ விழுகிறது. எதிரொளிப்புக்குப்‌ பின்பு இக்கதிர்‌ முதன்மைக்‌ குவியம்‌ F வழியாகச்‌ செல்கிறது. இரண்டாவது அண்மை அச்சுக்கதிர்‌ BP  ஆடிமுனையில்‌ பட்டு PB' வழியே எதிரொளிக்கிறது. மூன்றாவது அண்மை அச்சுக்கதிர்‌ BC வளைவு மையம்‌ C வழியே சென்று ஆடியின்‌ E புள்ளியில்‌ எதிரொளித்து வளைவு மையம்‌ B வழியாகவே வெளியேறும்‌. இம்மூன்று எதிரொளிப்புக்‌ கதிர்களும்‌ B என்ற புள்ளியில்‌ ஒன்றை ஒன்று வெட்டும்‌. முதன்மை அச்சுக்குச்‌ செங்குத்தாகக்‌ வரையப்படும்‌ A'B 'என்பது பொருள்‌களின்  மெய்‌ மற்றும்‌ தலைகீழான பிம்பமாகும்‌.
எதிரொளிப்பு விதியின்படி, படுகோணம்‌ \(\angle BPA\) ,எதிரொளிப்புக்‌ கோணம்‌ \(\angle B'PA''\)‌ சமம்‌. முக்கோணங்கள்‌ \(\Delta BPA\) மற்றும்‌ \(\Delta B'P'A\)' இரண்டும்‌ ஒத்த முக்கோணங்களாகும்‌. எனவே
\(\cfrac { A'B' }{ Ab } =\cfrac { PA' }{ PA } \)   ...(1)
மற்ற ஒத்த முக்கோண இணை \(\\ \Delta DPF\) மற்றும் \(\Delta B'A'F\) குச் சமம். (இங்கு PD கிட்டத்தட்ட நேரான செங்குத்துக் கோடாகும்)
\(\cfrac { A'B' }{ PD } =\cfrac { A'F }{ PF } \)    
தூரங்கள் PD = AB. எனவே, மேற்கண்ட சமன்பாடு பின்வருமாறு மாற்றமடையும்.
\(\cfrac { A'B' }{ AB } =\cfrac { A'F }{ PF } \)   ..(2) 
சமன்பாடுகள் (1) மற்றும் (2) லிருந்து  
\(\cfrac { PA' }{ PA } =\cfrac { A'F }{ PF } \) ...(2)
\(A'F=PA'-PF\) .எனவே, மேற்கண்ட சமன்பாடு பின்வருமாறு மாற்றமடையும்.
\(\cfrac { PA' }{ PA } =\cfrac { PA'-PF }{ PF } \) 
மேற்கண்ட சமன்பாட்டின் வெவ்வேறு தூரங்களுக்குச் கார்டீசியன் குறியீட்டு மரபைப் பின்பற்றும்போது 
\(PA=-u,PA'=-v,PF=-f\) 
கார்ட்டீசியன் குறியீட்டு மரபின் அடிப்படையில் மூன்று தூரங்களுக்கு எதிர்க்குறி மதிப்பைப் பெற்றுள்ளன. ஏனெனில் இவை அனைத்தும் ஆடிமுனைக்கும் இடப்புறமாக அளக்கப்பட்டவைகளாகும். எனவே, சமன்பாடு (3) ல் பின்வருமாறு மாற்றமடையும்.
\(\cfrac { -v }{ -u } =\cfrac { -v-(-f) }{ -f } \) 
மேலும்‌ இதனைச்‌ சுருக்கும்போது,
\(\cfrac { v }{ u } =\cfrac { 1 }{ f } -\cfrac { 1 }{ v } \) 
முறைப்படுத்தப்பட்ட பின்னர்,
\(\cfrac { 1 }{ v } +\cfrac { 1 }{ u } =\cfrac { 1 }{ f } \) 
கோளக ஆடுகளில் ஏற்படும் பக்கவாட்டு உருப்பெருக்கம்
பிம்பத்தின் உயரத்திற்கும் உள்ள விகிதம், பக்கவாட்டு அல்லது குறுக்கு உருப்பெருக்கம் என வரையறுக்கப்படுகிறது. பொருளின் உயரம் மற்றும் பிம்பத்தின் உயரம் இரண்டும் முதன்மை அச்சுக்கு செங்குத்தாக, முதன்மை அச்சிலிருந்து அளக்கப்பட வேண்டும்.