கொடுக்கப்பட்டது XY||AC

ஆகையால் ∠BXY = ∠A மற்றும்
∠BYX = ∠C  (ஒத்த கோணங்கள்)
∴ ΔABC~ΔXBY (SAS விதிமுறைப்படி)
ஆகையால் \(\frac { ar(ABC) }{ ar(XBY) } ={ \left( \frac { AB }{ XB } \right) }^{ 2 }\) ...(1)
ar(ABC) = 2ar(XBY)
\(\frac { ar(ABC) }{ ar(XBY) } =\frac { 2 }{ 1 } \) ...(2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து,
\({ \left( \frac { AB }{ XB } \right) }^{ 2 }=\frac { 2 }{ 1 } \) i.e.  \(\frac { AB }{ XB } =\frac { \sqrt { 2 } }{ 1 } \)
\(\frac { XB }{ AB } =\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \)
\(1-\frac { XB }{ AB } =1-\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \)
\(\frac { AB-XB }{ AB } =\frac { \sqrt { 2 } -1 }{ \sqrt { 2 } } \)
\(\frac { AX }{ AB } =\frac { \sqrt { 2 } -1 }{ \sqrt { 2 } } =\frac { 2-\sqrt { 2 } }{ 2 } \)

OA.OB = OC.OD (கொடுக்கப்பட்டுள்ளது)

ஆகையால், \(\frac { OA }{ OC } =\frac { OD }{ OB } \) ...(1)
மேலும் ∠AOD = ∠COB (குத்தெதிர் கோணங்கள்) ....(2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து
∴ ΔAOD~ΔCOB (SAS விதிமுறைப்படி)
ஆகையால் ∠A = ∠C மற்றும் ∠B = ∠D
(வடிவொத்த முக்கோணங்களின் ஒத்த கோணங்கள்)

PQ||RS

அதனால், ∠P = ∠S (ஒன்றுவிட்ட கோணங்கள்)
∠Q = ∠R
∠PQR = ∠SOR(குத்தெதிர் கோணங்கள் சமம்)
∴ ΔPOQ∼ΔSOR (AAA  விதிமுறைப்படி)

\(\Delta BAC\) மற்றும் \(\Delta PRQ\) -ல் \(\cfrac { AB }{ RQ } =\cfrac { 3 }{ 6 } =\cfrac { 1 }{ 2 } ;\)
\(\cfrac { BC }{ QP } =\cfrac { 6 }{ 12 } =\cfrac { 1 }{ 2 } ;\cfrac { CA }{ PR } =\cfrac { 3\sqrt { 3 } }{ 6\sqrt { 3 } } =\cfrac { 1 }{ 2 } \)
எனவே \(\cfrac { AB }{ RQ } =\cfrac { BC }{ QP } =\cfrac { CA }{ PR } \)
SSS விதிமுறைப்படி நாம் பெறுவது,\(\Delta BAC\sim \Delta QRP\)
\(\angle P=\angle C\) (வடிவொத்த முக்கோணத்தின் ஒத்த கோணங்கள் சமம்)
\(\angle P=\angle C={ 180 }^{ 0 }-\left( \angle A+\angle B \right) ={ 180 }^{ 0 }-\left( 90^{ 0 }+{ 60 }^{ 0 } \right) \)
\(\angle P={ 180 }^{ 0 }-{ 150 }^{ 0 }={ 30 }^{ 0 }\)

நிரூபணம்:

ΔABC ஒரு செங்கோண முக்கோணம்
∠B செங்கோணம்
நிரூபிக்க வேண்டியது: AC² = AB² + BC²
அமைப்பு: BC 丄 AC
ΔABC = ΔABC
\(\frac { AD }{ AB } =\frac { AB }{ AC } \)
(பக்கங்களின் விகிதம்)
AD · AC = AB² ...(1)
மேலும், ΔBDC ~ ΔABC
\(\frac { CD }{ BC } =\frac { BC }{ AC } \)
CD · AC =BC² ...(2)
(1) மற்றும் (2) ஐக் கூட்ட
AD.AC+CD.AC = AB²+ BC²
AC(AD+CD) = AB² + BC²
AC.AC = AB²+ BC²
AC² = AB² + BC²

BL மற்றும் CM என்பன ΔABC யின் நடுக்கோடுகள்
A = ∠90°.
ΔABC யிலிருந்து
BC² = AB² + AC² ...(1)
(பிதாகரஸ் தேற்றத்தின்படி)

ΔABL லிருந்து,
BL² = AL² + AB²
\(BL^{ 2 }={ \left( \frac { AC }{ 2 } \right) }^{ 2 }+{ AB }^{ 2 }\)....(1)
(L ஆனது BC யின் நடுப்புள்ளி)
\({ BL }^{ 2 }=\frac { { AC }^{ 2 } }{ 4 } +{ AB }^{ 2 }\)
4BL² = AC² + 4AB² ...(2)
ΔCMA லிருந்து,
CM² = AC² + AM²
\({ CM }^{ 2 }={ AC }^{ 2 }+{ \left( \frac { AB }{ 2 } \right) }^{ 2 }\)
(M ஆனது AB யின் நடுப்புள்ளி)
\({ CM }^{ 2 }={ AC }^{ 2 }+\frac { { AB }^{ 2 } }{ 4 } \) 
4CM² = 4AC² + AB² ...(3)
(2) மற்றும் (3) ஐ கூட்ட கிடைப்பது
4(BL² + CM²) = 5(AC² + AB²)
4(BL² + CM²) = 5BC² [(1) லிருந்து]

ΔADC யில்
AC² = AD² + CD²  ...(1)
(பிதாகரஸ் தேற்றத்தின்படி)
ΔADB யில்,
AB² = AD² + BD² ...(2)
(பிதாகரஸ் தேற்றத்தின்படி)
(1) ஐ (2) லிருந்து கழிக்க
AB² - AC² = BD² - CD²
AB² + CD² = BD² + AC²

\(\angle A E D=90^{\circ}[\because A E \perp B C]\)
\(\mathrm{BC}=\mathrm{a}, \mathrm{AC}=\mathrm{b}, \mathrm{AB}=\mathrm{c}, \mathrm{ED}=\mathrm{x}, \mathrm{AD}=\mathrm{p}\) மற்றும் AE = h என தரப்பட்டுள்ளது.
ΔAEC இல், பிதாகரஸ் தேற்றத்தின்படி
\(A C^2=\mathrm{AE}^2+\mathrm{EC}^2  \)
\(\mathrm{AC}^2=\mathrm{AE}^2+(\mathrm{ED}+\mathrm{DC})^2  \)
\(\mathrm{AC}^2=\mathrm{AE}^2+\mathrm{ED}^2+\mathrm{DC}^2+2 \cdot \mathrm{ED} \cdot \mathrm{DC}  \)
\(\mathrm{AC}^2=\left(\mathrm{AE}^2+\mathrm{ED}^2\right)+\mathrm{DC}^2+2 \mathrm{ED} \cdot \mathrm{DC}  \)
\(\mathrm{AC}^2=\mathrm{AD}^2+\mathrm{DC}^2+2 \mathrm{ED} \cdot \mathrm{DC}  \)
\(\mathrm{AC}^2=\mathrm{AD}^2+\left(\frac{1}{2} B C\right)^2+2\left(\frac{1}{2} B C\right) D E\)
[∵ D ஆனது BC இன் மையப்புள்ளி, BD = DC]
\(\mathrm{AC}^2 =\mathrm{AD}^2+\mathrm{BC} \cdot \mathrm{DE}+\frac{1}{4} B C^2  \)
\(\mathrm{~b}^2 =\mathrm{P}^2+\mathrm{ax}+\frac{1}{4} a^2  \)
\(\mathrm{~b}^2 =\mathrm{P}^2+\mathrm{ax}+\frac{a^2}{4}\)

வேகம் = 1.2 மீ/வினாடி, என்பது கொடுக்கப்பட்டது.
நேரம் = 4 வினாடி,
தொலைவு = வேகம் × நேரம்
= 1.2 x 4 = 4.8 மீ
4 வினாடிகளுக்குப் பிறகு சிறுவனுடைய நிழலின் நீளம் x என்க
\(\Delta ABE\sim \Delta CDE\) ஆகையால்,\(\cfrac { BE }{ DE } =\cfrac { AB }{ CD } \) எனவே \(\cfrac { 4.8+x }{ x } =\cfrac { 3.6 }{ 0.9 } =4\) (90 செ.மீ = 0.9 மீ)
4.8 + x = 4x  ⇒ 3x = 4.8 ஆகவே, x = 1.6 மீ
சிறுவனுடைய நிழலின் நீளம் DE = 1.6 மீ

60 x 2 = 120^o

\(\mathrm{PQ}^2 =6^2+8^2=36+64=100 \)
PQ = 10 செ.மீ
எனவே \( \mathrm{PQ}^2+\mathrm{QR}^2 =10^2+24^2 \)
= 100 + 576 = 676 
\(=26^2=\mathrm{PR}^2  \)
\(\therefore \angle P Q R =90^{\circ}\)

DB = 3 CD
BC = BD + DC
BC = 3CD + CD
BC = 4CD
CD = \(\frac 14\)BC
CD = \(\frac 14\) BC
BD = 3CD = \(\frac 34\) BC

ΔABD ஒரு செங்கோண முக்கோணம் D = 90°
AB² = AD² + BD²...(ii)
ΔACD ஒரு செங்கோண முக்கோணம் ㄥD = 90°
AC² = AD² + CD² ...(iii)
(ii) லிருந்து (iii) ஐக் கழிக்க.,
AB² - AC² = BD² - CD²
⇒ AB² - AC² = \({ AB }^{ 2 }-{ AC }^{ 2 }={ \left( \frac { 3 }{ 4 } BC \right) }^{ 2 }-{ \left( \frac { 1 }{ 4 } BC \right) }^{ 2 }\) (i) லிருந்து
CD = \(\frac 14\)BC, BD = \(\frac 34\)BD
⇒ AB² - AC² = \(\frac {9}{16}\) BC²  - \(\frac {1}{16}\) BC²
⇒ AB² - AC² = \(\frac 12\) BC²
⇒ 2(AB² - AC²) = BC²
⇒2AB² = 2AC²+ BC²
என நிரூபிக்கப்பட்டது.

ΔACD ~ ΔABC
ஆகையால்,
\(\frac { AC }{ AB } =\frac { AD }{ AC } \)
AC2 = AB·AD ...(1)
எனவே \(\frac { BC }{ BA } =\frac { BD }{ BC } \)
BC² = BA·BD ...(2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து
\(\frac { { BC }^{ 2 } }{ { AC }^{ 2 } } =\frac { BA.BD }{ AB.AD } =\frac { BD }{ AD } \)