16 + 17 + 18+...+75 = (1 + 2 + 3+...+75) - (1 + 2 + 3+...+15)
= \(\frac { 75(75+1) }{ 2 } -\frac { 15(15+1) }{ 2 } \)
= 2850 - 120 = 2730

(i) 1 + 2 + 3+....+ 50
1 + 2 + 3+...+ n = \(\frac { n(n+1) }{ 2 } \) என்ற சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த,
1 + 2 + 3+...+50 = \(\frac { 50\times (50+1) }{ 2 } \) = 1275
(ii) 16 + 17 + 18+...+75 = (1 + 2 + 3+...+75) - (1 + 2 + 3+...+15)
= \(\frac { 75(75+1) }{ 2 } -\frac { 15(15+1) }{ 2 } \)
= 2850 - 120 = 2730

8-வது உறுப்பைக் காண t_n = ar^n-1 என்ற n-வது சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தலாம்.
முதல் உறுப்பு a = 9, பொது விகிதம் r = \(\frac { { t }_{ 2 } }{ { t }_{ 1 } } =\frac { 3 }{ 9 } =\frac { 1 }{ 3 } \)
t₈ = \(9\times \left( \frac { 1 }{ 3 } \right) ^{ 8-1 }=9\times \left( \frac { 1 }{ 3 } \right) ^{ 7 }=\frac { 1 }{ 243 } \)
எனவே, பெருக்குத் தொடர்வரிசையின் 8-வது உறுப்பு \(\\ \frac { 1 }{ 243 } \).

t₁,t₂,t₃,t₄,.... என்பது தேவையான கூட்டுத் தொடர்வரிசை என்க.
t₇ = -1 மற்றும் t₁₆ = 17 எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
a + (7 - 1)d = -1 மற்றும் a + (16 - 1)d = 17
a + 6d = -1  ......(1)
a + 15d = 17   ....(2)
சமன்பாடு (2) -லிருந்து சமன்பாடு (1) ஐ கழிக்க, நாம் பெறுவது 9d = 18 -லிருந்து d = 2. d = 2 எனச் சமன்பாடு (1)-யில் பிரதியிட நாம் பெறுவது, a + 12 = -1. எனவே a = –13
ஆகவே, பொது உறுப்பு t_n = a + (n - 1)d
= -13 + (n - 1) x 2 = 2n - 15

நாம் இங்கு ஒவ்வொரு வார நாளுக்கும் ஓர் எண்ணைப் பின்வருமாறு எடுத்துக் கொள்வோம். 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 என்பன முறையே ஞாயிறு முதல் சனி வரை உள்ள கிழமைகளைக் குறிப்பதாக எடுத்துக் கொள்வோம்.
வாணி இன்று திங்கள் கிழமை என்று கூறியதால், அதற்கான எண் 1. வாணியின் பிறந்தநாள் 75 நாட்களுக்கு முன் வருவதால் நாம் 1 -லிருந்து 75 ஐக் கழித்து மட்டு 7 காண வேண்டும், ஏனெனில் 1 வாரத்திற்கு 7 நாட்கள்.
-74 (மட்டு 7) ≡ -4 (மட்டு 7) ≡ 7-4 (மட்டு 7) ≡ 3 (மட்டு 7)
ஏனெனில், -74-3 = -77 ஆனது 7 ஆல் வகுபடும்)
எனவே, 1-75 ≡ 3 (மட்டு 7)
3 என்ற எண் புதன்கிழமையைக் குறிக்கும்.
எனவே, வாணி தனது பிறந்தநாளைப் புதன்கிழமை கொண்டாடியிருப்பாள்.

3x ≡ 1 (மட்டு 15) என்பதை
3x - 1 = 15k, k என்பது ஏதேனும் ஒரு முழு என எழுதலாம்.
3x = 15k + 1
x = \(\frac { 15k+1 }{ 3 } \)
x = \(5k+\frac { 1 }{ 3 } \)
5k என்பது ஒரு முழு எண் என்பதால், \(5k+\frac { 1 }{ 3 } \) என்பது ஒரு முழு எண் அல்ல. எனவே இச்சமன்பாட்டிற்கு முழு எண் தீர்வே இல்லை.

8x ≡ 1 (மட்டு 11) என்பதை 8x - 1 = 11k, இங்கு k என்பது ஏதேனும் ஒரு முழுக்கள், என எழுதலாம்.
x = \(\frac { 11k+1 }{ 8 } \)
k = 5,13,21,29,... என நாம் பிரதியிடும் போது 11k + 1 ஆனது 8 ஆல் வகுபடுகிறது.
x = \(\frac { 11\times 5+1 }{ 8 } \) = 7
x = \(\frac { 11\times 13+1 }{ 8 } \) = 18
∴ 7,18,29,40, … என்பது தீர்வாகும்.

15 ≡ 3 (மட்டு d) என்பதன் பொருள் 15 - 3 = kd, இங்கு k என்பது ஏதேனும் ஒரு முழு.
12 = kd
d ஆனது 12 ஐ வகுக்கும்.
12 -யின் வகுத்திகளாவன 1,2,3,4,6,12
d ஆனது 3 ஐ விட அதிகமாக இருக்க வேண்டும், ஏனெனில் மீதி 3 வந்துள்ளது. எனவே, d- க்கு சாதகமான மதிப்புகள் 4,6,12 ஆகும்.

யூக்ளிடின் வகுத்தல் வழிமுறையைப் பயன்படுத்திக் கொடுக்கப்பட்ட எண்களுக்கு மீ.பொ.வ காண்போம்.
210 = 55 x 3 + 45
55 = 45 x 1 + 10
45 = 10 x 4 + 5
10 = 5 x 2 + 0
மீதி = 0
ஆகவே, கடைசி படிநிலையின் வகுத்தி 5 ஆனது 210 மற்றும் 55 –யின் மீப்பெரு பொது வகுத்தியாகும். மீப்பெரு பொது வகுத்தியை 55x - 325 = 5 எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளதால்,
55x = 330
x = 6

30 கேக்குகளை வைக்க 6 பெட்டிகள் தேவைப்படுகின்றன. அதில் 4 கேக்குகள் மீதமிருக்கும். கேக்குகளைப் பெட்டிகளில் வைக்கும் இம்முறையைப் பின்வருமாறு புரிந்து கொள்ளலாம்.

9³ + 10³+...+21³ = (1 + 2³ + 3³+...+21³) - (1³ + 2³ + 3³+...+8³)
=\(\left[ \frac { 21\times (21+1) }{ 2 } \right] ^{ 2 }-\left[ \frac { 8\times (8+1) }{ 2 } \right] ^{ 2 }\)= (231)² - (36)² = 52065

கொடுக்கப்பட்ட தொடர்வரிசை, பெருக்குத் தொடர்வரிசையா எனக் கண்டறிய அவற்றின் அடுத்தடுத்த உறுப்புகளின் விகிதம் சமமாக உள்ளதா எனக் கண்டறிய வேண்டும்.
(i) 7, 14, 21, 28,....
\(\frac { t_{ 2 } }{ { t }_{ 1 } } =\frac { 14 }{ 7 } =2;\frac { { t }_{ 3 } }{ { t }_{ 2 } } =\frac { 21 }{ 14 } =\frac { 3 }{ 4 } ;\frac { { t }_{ 4 } }{ { t }_{ 3 } } =\frac { 28 }{ 21 } =\frac { 4 }{ 3 } \)
அடுத்தடுத்த உறுப்புகளின் விகிதங்கள் சமமாக இல்லாததால் 7, 14, 21, 28, … என்ற தொடர்வரிசை ஒரு பெருக்குத் தொடர்வரிசையல்ல.
(ii) \(\frac { 1 }{ 2 } \), 1, 2, 4,...
\(\frac { { t }_{ 2 } }{ { t }_{ 1 } } =\frac { 1 }{ 1/2 } =2;\frac { { t }_{ 3 } }{ { t }_{ 2 } } =\frac { 2 }{ 1 } =2;\frac { { t }_{ 4 } }{ { t }_{ 3 } } =\frac { 4 }{ 2 } =2\)
இங்கு அடுத்தடுத்த உறுப்புகளின் விகிதங்கள் சமம் என்பதால் \(\frac { 1 }{ 2 } \), 1, 2, 4,.... என்ற தொடர்வரிசையின் பொது விகிதம் r = 2 என்பது ஒரு பெருக்குத் தொடர்வரிசையாகும்.
(iii) 5, 25, 50, 75,...
\(\frac { { t }_{ 2 } }{ t_{ 1 } } =\frac { 25 }{ 5 } =5;\frac { { t }_{ 3 } }{ { t }_{ 2 } } =\frac { 50 }{ 25 } =2;\frac { { t }_{ 4 } }{ { t }_{ 3 } } =\frac { 75 }{ 50 } =\frac { 3 }{ 2 } \)
அடுத்தடுத்த உறுப்புகளின் விகிதங்கள் சமமாக இல்லாததால் 5, 25, 50, 75,... என்ற தொடர்வரிசை ஒரு பெருக்குத் தொடர்வரிசையல்ல.

கொடுக்கப்பட்ட மூன்று எண்களின் மீ.பொ.வ காண, நாம் முதலில் முதல் இரு எண்களின் மீ.பொ.வ காண்போம்.
396 மற்றும் 504 ஆகியவற்றின் மீ.பொ.வ காண,
யூக்ளிடின் வகுத்தல் வழிமுறையைப் பயன்படுத்த நாம் பெறுவது 504 = 396 x 1 + 108
இங்கு மீதி 108 ≠ 0
மீண்டும் யூக்ளிடின் வகுத்தல் வழிமுறையைப் பயன்படுத்த 396 = 108 x 3 + 72
இங்கு மீதி 72 ≠ 0
மீண்டும் யூக்ளிடின் வகுத்தல் வழிமுறையைப் பயன்படுத்த நாம் பெறுவது 108 = 72 x 1 + 36
இங்கு மீதி 36 ≠ 0
மீண்டும் யூக்ளிடின் வகுத்தல் வழிமுறையைப் பயன்படுத்த நாம் பெறுவது 72 = 36 x 2 + 0
இங்கு மீதி = 0. எனவே 396 மற்றும் 504–யின் மீ.பொ.வ 36 ஆகும். 636 மற்றும் 36 –யின் மீ.பொ.வ காண, யூக்ளிடின் வகுத்தல் வழிமுறையைப் பயன்படுத்த நாம் பெறுவது 636 = 36 x 17 + 24
இங்கு மீதி 24 ≠ 0
மீண்டும் யூக்ளிடின் வகுத்தல் வழிமுறையைப் பயன்படுத்த நாம் பெறுவது 36 = 24 x 1 + 12
இங்கு மீதி 12 ≠ 0
மீண்டும் யூக்ளிடின் வகுத்தல் வழிமுறையைப் பயன்படுத்த நாம் பெறுவது 24 = 12 x 2 + 0
இங்கு மீதி = 0. எனவே, 636 மற்றும் 36 –யின் மீ.பொ.வ = 12
எனவே 396, 504 மற்றும் 636 –யின் மீப்பெரு பொது வகுத்தி 12 ஆகும்.

(i) a = −12, b = 5
யூக்ளிடின் வகுத்தல் துணைத்தேற்றத்தின்படி
a = bq + r,  இங்கு 0 ≤ r < |b|
-12 = 5 x (-3) + 3 0 ≤ r < |5|
எனவே, ஈவு q = -3, மீதி r = 3
(ii) a = 17, b = -3
யூக்ளிடின் வகுத்தல் துணைத்தேற்றத்தின்படி
a = bq + r, இங்கு 0 ≤ r < |b|
17 = (-3) x (-5) + 2  0 ≤ r < |-3|
எனவே, ஈவு q = -5, மீதி r = 2
(iii) a = -19, b = -4
யூக்ளிடின் வகுத்தல் துணைத்தேற்றத்தின்படி
a = bq + r,  0 ≤ r < |b|
-19 = (-4) x (5) + 1 0 ≤ r < |-4|
எனவே, ஈவு q = 5, மீதி r = 1