OA = 4 செ.மீ, OB = 5 செ.மீ, மேலும் \(OA\bot BC\)
OB² = OA² + AB²
5² = 4² + AB² ⇒ AB² = 9
எனவே, AB = 3 செ.மீ
BC = 2AB எனவே,BC = 2 x 3 = 6 செ.மீ

கொடுக்கப்பட்டது OP = 5 செ.மீ, ஆரம் r = 3 செ.மீ
தொடுகோட்டின் நீளம் PT ஐ காண செங்கோண முக்கோணம் OTP -யில்
OP² = OT² + PT² (பிதாகரஸ் தேற்றத்தின்படி)
5² + 3² + PT² ⇒ PT² = 5² = 3² + PT²
தொடுகோட்டின் நீளம் PT = 4 செ.மீ

BD = x செ.மீ என்க. DC = (6 – x) செ.மீ
∠A -யின் இருசமவெட்டி AD ஆகும்.
எனவே, கோண இருசமவெட்டி தேற்றத்தின்படி,.
\(\cfrac { AB }{ AC } =\cfrac { BD }{ DC } \)
\(\cfrac { 10 }{ 14 } =\cfrac { x }{ 6-x } \) ⇒ \(\cfrac { 5 }{ 7 } =\cfrac { x }{ 6-x } \)
12x = 30 எனவே, \(x=\cfrac { 30 }{ 12 } =2.5\) செ.மீ
ஆகவே, BD = 2.5 செ.மீ, DC = 6 - x = 6 - 2.5 = 3.5 செ.மீ

ஆரம், r = 3 செ.மீ எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது
வரைமுறை
படி 1 : O -வை மையமாகக் கொண்டு 3 செ.மீ ஆரமுள்ள வட்டம் வரைக
படி 2 : வட்டத்தின் மேல் P என்ற புள்ளியைக் குறித்து OP -ஐ இணைக்கவும்
படி 3 : P என்ற புள்ளி வழியே OP -க்கு செங்குத்தாக TT' வரைக
படி 4 : TT' ஆனது தேவையான தொடுகோடு ஆகும்.

TR = y என்க. OT ஆனது PQ -யின் செங்குத்து இருசம வெட்டி ஆகும்.
PR = QR = 4 செ.மீ
\(\Delta ORP\) -ல் OP² = OR² + PR²
OR² = OP² - PR²
OR² = 5² - 4² = 25 - 16 = 9 ⇒ OR = 3 செ.மீ
OT = OR + RT = 3 + y   ...(1)
\(\Delta PRT\) -ல் TP² = TR² + PR² ....(2)
\(\Delta OPT\) -ல்,OT² = TP² + OP²
OT² =(TR² + PR²) + OP² ((2)-லிருந்து, TP²-ஐ பிரதியிட)
(3 + y)² = y²  + 4² + 5²  ((1) -லிருந்து, OT-ஐ பிரதியிட)
9 + 6y + y² = y² + 16 + 25
6y = 41 - 9 எனவே, \(y=\cfrac { 16 }{ 3 } \) (2) -லிருந்து TP² = TR² + PR²
\({ TP }^{ 2 }=\left( \cfrac { 16 }{ 3 } \right) ^2+{ 4 }^{ 2 }=\cfrac { 256 }{ 9 } +16=\cfrac { 400 }{ 9 } \) எனவே,\(TP=\cfrac { 20 }{ 3 } \) செ.மீ.

நிரூபணம்:

ΔABC ஒரு செங்கோண முக்கோணம்
∠B செங்கோணம்
நிரூபிக்க வேண்டியது: AC² = AB² + BC²
அமைப்பு: BC 丄 AC
ΔABC = ΔABC
\(\frac { AD }{ AB } =\frac { AB }{ AC } \)
(பக்கங்களின் விகிதம்)
AD · AC = AB² ...(1)
மேலும், ΔBDC ~ ΔABC
\(\frac { CD }{ BC } =\frac { BC }{ AC } \)
CD · AC =BC² ...(2)
(1) மற்றும் (2) ஐக் கூட்ட
AD.AC+CD.AC = AB²+ BC²
AC(AD+CD) = AB² + BC²
AC.AC = AB²+ BC²
AC² = AB² + BC²

BL மற்றும் CM என்பன ΔABC யின் நடுக்கோடுகள்
A = ∠90°.
ΔABC யிலிருந்து
BC² = AB² + AC² ...(1)
(பிதாகரஸ் தேற்றத்தின்படி)

ΔABL லிருந்து,
BL² = AL² + AB²
\(BL^{ 2 }={ \left( \frac { AC }{ 2 } \right) }^{ 2 }+{ AB }^{ 2 }\)....(1)
(L ஆனது BC யின் நடுப்புள்ளி)
\({ BL }^{ 2 }=\frac { { AC }^{ 2 } }{ 4 } +{ AB }^{ 2 }\)
4BL² = AC² + 4AB² ...(2)
ΔCMA லிருந்து,
CM² = AC² + AM²
\({ CM }^{ 2 }={ AC }^{ 2 }+{ \left( \frac { AB }{ 2 } \right) }^{ 2 }\)
(M ஆனது AB யின் நடுப்புள்ளி)
\({ CM }^{ 2 }={ AC }^{ 2 }+\frac { { AB }^{ 2 } }{ 4 } \) 
4CM² = 4AC² + AB² ...(3)
(2) மற்றும் (3) ஐ கூட்ட கிடைப்பது
4(BL² + CM²) = 5(AC² + AB²)
4(BL² + CM²) = 5BC² [(1) லிருந்து]

ΔADC யில்
AC² = AD² + CD²  ...(1)
(பிதாகரஸ் தேற்றத்தின்படி)
ΔADB யில்,
AB² = AD² + BD² ...(2)
(பிதாகரஸ் தேற்றத்தின்படி)
(1) ஐ (2) லிருந்து கழிக்க
AB² - AC² = BD² - CD²
AB² + CD² = BD² + AC²

கொடுக்கப்பட்டது AB = 13, AC = 14 மற்றும் BC = 15.
BD = x மற்றும் DC = y என்க.
சீவாஸ் தேற்றத்தின்படி,\(\cfrac { BD }{ DC } \times \cfrac { CE }{ EA } \times \cfrac { AF }{ FB } =1\)
\(\cfrac { AF }{ FB } \) மற்றும் \(\cfrac { CE }{ EA } \) -யின் மதிப்புகளை (1) –யில் பிரதியிட,
\(\cfrac { BD }{ DC } \times \cfrac { 5 }{ 8 } \times \cfrac { 2 }{ 5 } =1\)
\(\cfrac { x }{ y } \times \cfrac { 10 }{ 40 } =1\) ⇒, \(\cfrac { x }{ y } \times \cfrac { 1 }{ 4 } =1\). எனவே, x = 4y  ..(2)
BC = BD + DC = 15. எனவே, x + y = 15  ...(3)
x = 4y ஐ (3) –யில் பிரதியிட 
4y + y = 15 ⇒ 5y = 15 எனவே y = 3
y = 3 -ஐ (3) –யில் பிரதியிட, x = 12. எனவே, BD = 12, DC = 3.

முக்கோணத்தின் ஒவ்வொரு முனையிலிருந்தும் அதன் எதிர் பக்கத்தின் மையப்புள்ளிக்கு வரையப்படும் கோட்டுத்துண்டு நடுக்கோடு எனப்படும்.
பக்கங்கள் BC, CA மற்றும் AB -யின் மையப்புள்ளிகள் முறையே D, E மற்றும் F-க்கு வரையப்படும் நடுக்கோடுகளானது சீவியன்களாகவும் இருக்கும்
BC-ன் நடுப்புள்ளி D. எனவே, BD = DC அதாவது,\(\cfrac { BD }{ DC } =1\) ...(1)
CA-ன் நடுப்புள்ளி E. எனவே, CE = EA அதாவது.\(\cfrac { CE }{ EA } =1\) ...(2)
AB-ன் நடுப்புள்ளி F. எனவே, AF= FB அதாவது,\(\cfrac { AF }{ FB } =1\)  ...(3)
(1), (2) மற்றும் (3) – ஐ பெருக்க நாம் பெறுவது,
\(\cfrac { BD }{ DC } \times \cfrac { CE }{ EA } \times \cfrac { AF }{ FB } =1\times 1=1\)
எனவே, சீவாஸ் தேற்றம் நிரூபிக்கப்பட்டது.
ஆகையால், நடுக்கோடுகள் ஒரு புள்ளி வழிச் செல்கின்றன.