\(3{ p }^{ 2 }+2\sqrt { 5 } p-5\)-ஐ  ax² + bx + c = 0 உடன் ஒப்பிட,
a = 3, b = \(2\sqrt { 5 } \), c = -5.
p = \({-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)
a, b மற்றும் c யின் மதிப்புகளைச் சூத்திரத்தில் பிரதியிட,
\(p =\frac { -2\sqrt { 5 } \pm \sqrt { { \left( 2\sqrt { 5 } \right) }^{ 2 }-4\left( 3 \right) \left( -5 \right) } }{ 2\left( 3 \right) } =\frac { -2\sqrt { 5 } \pm \sqrt { 80 } }{ 6 } =\frac { -\sqrt { 5 } \pm 2\sqrt { 5 } }{ 3 } \)
எனவே, x = \(\frac { \sqrt { 5 } }{ 3 } ,-\sqrt { 5 } \)

5, -25, 125, ....
இங்குத் தொடர்வரிசையின் அடுத்தடுத்த உறுப்புகளில் + மற்றும் – எனக் குறிகள் மாறி மாறி வந்துள்ளன. மேலும் உறுப்புகள் 5-ன் அடுக்குகளாகவும் அமைந்துள்ளன. எனவே பொது உறுப்பு a_n = (-1)ⁿ⁺¹5ⁿ, n \(\in \) N.

\(\angle OPQ={ 90 }°-{ 50 }°={ 40 }°\)(தொடுகோட்டிற்கும், ஆரத்திற்கும் இடையேயுள்ள கோணம் 90°)
OP = OQ (வட்டத்தின் ஆரங்கள் சமம்)
\(\angle OPQ=\angle OQP={ 40 }°\) (\(\Delta OPQ\) ஆனது இரு சமபக்க முக்கோணம்)
\(\angle POQ={ 180 }°-\angle OPQ-\angle OQP\)
\(\angle POQ={ 180 }°-{ 40 }°-{ 40 }°={ 100 }°\)

A என்ற அணியின் வரிசை 2 x 3 மற்றும் B என்ற அணியின் வரிசை 3 × 3 என்பதால் AB என்ற அணி வரையறுக்கப்படுகிறது. மேலும் AB யின் வரிசை 2 × 3 ஆகும்.
கொடுக்கப்பட்டுள்ள அணிகள் \(A=\left( \begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 5 \end{matrix} \right) _{ 2\times 3 },B=\left( \begin{matrix} 8 & 3 & 1 \\ 2 & 4 & 1 \\ 5 & 3 & 1 \end{matrix} \right) _{ 3 \times 3 }\)
\(AB=\left( \begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 5 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} 8 & 3 & 1 \\ 2 & 4 & 1 \\ 5 & 3 & 1 \end{matrix} \right) \)
= \(\left( \begin{matrix} 8+4+0 \\ 24+2+25 \end{matrix}\begin{matrix} 3+8+0 \\ 9+4+15 \end{matrix}\begin{matrix} 1+2+0 \\ 3+1+5 \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} 12 \\ 51 \end{matrix}\begin{matrix} 11 \\ 28 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ 9 \end{matrix} \right) \)

tan²θ - sin²θ = tan²θ - \(\frac { { \sin }^{ 2 }\theta }{ { \cos }^{ 2 }\theta } .{ \cos }^{ 2 }\theta \)
= tan²θ - (1 - cos² θ) = tan²θ sin²θ

முதல் 17 உறுப்புகளின் கூடுதலிலிருந்து முதல் 16 உறுப்புகளின் கூடுதலைக் கழித்தால் 17-வது உறுப்பைக் காணலாம்.
S₁₇ = \(\frac { 5\times (17)^{ 2 } }{ 2 } +\frac { 3\times 17 }{ 2 } =\frac { 1445 }{ 2 } +\frac { 51 }{ 2 } \) = 748
S₁₆ = \(\frac { 5\times (16)^{ 2 } }{ 2 } +\frac { 3\times 16 }{ 2 } =\frac { 1280 }{ 2 } +\frac { 48 }{ 2 } \) = 664
t₁₇ = S₁₇ - S₁₆ = 748 - 664 = 84

x² - 3x - 2 = 0
x² - 3x = 2 (மாறிலியை வலப்புறம் மாற்றுக)

\(\left( x-\cfrac { 3 }{ 2 } \right) ^{ 2 }=\cfrac { 17 }{ 4 } \) (இடப்புறத்தை முழு வர்க்கமாக எழுத)
\(x-\cfrac { 3 }{ 2 } =\pm \cfrac { \sqrt { 17 } }{ 2 } \) (இருபுறமும் வர்க்கமூலம் காண)
\(x=\cfrac { 3 }{ 2 } +\cfrac { \sqrt { 17 } }{ 2 } \) அல்லது \(x=\cfrac { 3 }{ 2 } =\cfrac { \sqrt { 17 } }{ 2 } \)
எனவே,\(x=\cfrac { 3+\sqrt { 17 } }{ 2 } ,\cfrac { 3-\sqrt { 17 } }{ 2 } \) தீர்வுகளாகும்.

30 கேக்குகளை வைக்க 6 பெட்டிகள் தேவைப்படுகின்றன. அதில் 4 கேக்குகள் மீதமிருக்கும். கேக்குகளைப் பெட்டிகளில் வைக்கும் இம்முறையைப் பின்வருமாறு புரிந்து கொள்ளலாம்.

(i) இங்கு சாய்வு = 5, மற்றும் y வெட்டுத்துண்டு c = - 9
எனவே, நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடு y = mx + c
y = 5x − 9 ⇒ 5x − y − 9 = 0
(ii) இங்கு, θ = 45°, y வெட்டுத்துண்டு c = 11
சாய்வு m = tan θ = tan 45°= 1
எனவே, நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடு y = mx + c
y = x +11 ⇒ x − y + 11 = 0

(i) \(\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^2-1 \)
\(f \circ f(x)=\mathrm{f}[\mathrm{f}(\mathrm{x})]=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}^2-1\right)=\left(\mathrm{x}^2-1\right)^2-1 \)
\(=\mathrm{x}^4-2 \mathrm{x}^2+1-1=\mathrm{x}^4-2 \mathrm{x}^2\)
(ii)  \(f \circ f \circ f=\mathrm{f}[\mathrm{f}[\mathrm{f}(\mathrm{x})]]=\mathrm{f}\left[\mathrm{f}\left(\mathrm{x}^2-1\right)\right]=\mathrm{f}\left[\mathrm{x}^4-2 \mathrm{x}^2\right] \)
\(=\left(x^4-2 x^2\right)^2-1=x^8-4 x^6+4 x^4-1\)

f o f(k) = f(f(k)) = 2(2k - 1) - 1 = 4k - 3
எனவே, f o f(k) =4k - 3
ஆனால் f o f(k) = 5 எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
\(4 k-3=5 \Rightarrow k=2\)

(i) இங்கு θ = 30°
சாய்வு m = tan  θ
எனவே, சாய்வு m = tan 30° = \(\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \)
(ii) சாய்வு \(\sqrt 3\) ,  θ என்பது கோட்டின் சாய்வுக் கோணம் என்க.
tan  θ = \(\sqrt 3\)
⇒  θ = 60°

r₁ h₁ என்பன முதல் கூம்பின் ஆரம் மற்றும் உயரம் என்க. r₂ மற்றும் h₂ என்பன இரண்டாம் கூம்பின் ஆரம் மற்றும் உயரம் என்க.
இங்கு, h₂ = 2h₁ மற்றும் 
\(\frac { \frac { 1 }{ 3 } { \pi r }_{ 1 }^{ 2 }{ h }_{ 1 } }{ \frac { 1 }{ 3 } { \pi r }_{ 2 }^{ 2 }{ h }_{ 2 } } =\frac { 2 }{ 3 } \)
\(\frac{r_1^2}{r_2^2} \times \frac{h_1}{2 h_1}=\frac{2}{3}\) 
\(\frac { { r }_{ 1 }^{ 2 } }{ { r }_{ 2 }^{ 2 } } =\frac { 4 }{ 3 } \) இதிலிருந்து \(\frac { { r }_{ 1 } }{ { r }_{ 2 } } =\frac { 2 }{ \sqrt { 3 } } \)
ஆகவே, ஆரங்களின் விகிதம் =2:1\(\sqrt{3}\)

கோளத்தின் ஆரம் 'r' என்க 
கோளத்தின் புறப்பரப்பு = 154 ச.மீ 
4\(\pi\)r² = 154
\(4\times \frac { 22 }{ 7 } \times { r }^{ 2 }=154\)
\({ r }^{ 2 }=154\times \frac { 1 }{ 4 } \times \frac { 7 }{ 22 } \)
எனவே, r² = \(\frac{49}{4}\)⇒ r = \(\frac{7}{2}\)
ஆகவே, விட்டம் 7 மீ ஆகும்.

A x B = {(3,1), (3,7), (3,10), (4,1), (4,7), (4,10), (7,1), (7,7), (7,10), (8,1), (8,7), (8,10)}
(i) R₁ \(\subseteq\) A x B என்பதைக் காணலாம். எனவே, R₁ என்பது A-லிருந்து B-க்கு ஆன உறவு ஆகும்.
(ii) இங்கு, (4,12) ∈ R₂, ஆனால் (4,12) \(\notin \) A x B எனவே, R₂ ஆனது A-லிருந்து B-க்கு ஆன உறவு இல்லை.
(iii) இங்கு, (7,8) ∈ R₃, ஆனால் (7,8) \(\notin \) A x B எனவே, R₃ ஆனது A-லிருந்து B-க்கு ஆன உறவு இல்லை.

A x B = {(3,2), (3,4), (5,2), (5,4)}
A = {A x B-யின் முதல் ஆயத்தொலைவு உறுப்புகளின் கணம்}. எனவே A = {3,5}
B = {A x B-யின் இரண்டாம் ஆயத்தொலைவு உறுப்புகளின் கணம்}. எனவே B = {2,4} எனவே A = {3,5} மற்றும் B = {2,4}.

9³ + 10³+...+21³ = (1 + 2³ + 3³+...+21³) - (1³ + 2³ + 3³+...+8³)
=\(\left[ \frac { 21\times (21+1) }{ 2 } \right] ^{ 2 }-\left[ \frac { 8\times (8+1) }{ 2 } \right] ^{ 2 }\)= (231)² - (36)² = 52065

\(\Delta CAB\) மற்றும் \(\Delta CED\) -யில், \(\angle C\) பொதுவானது,\(\angle A=\angle CED\)
எனவே, \(\Delta CAB\sim \Delta CED\) (AA விதிமுறைப்படி)
ஆகவே,\(\cfrac { CA }{ CE } =\cfrac { AB }{ DE } =\cfrac { CB }{ CD } \)
\(\cfrac { AB }{ DE } =\cfrac { CB }{ CD } \) ⇒ \(\cfrac { 9 }{ x } =\cfrac { 10+2 }{ 8 } \) எனவே, \(x=\cfrac { 8\times 9 }{ 12 } \)= 6 செ.மீ.

கோபுரத்தின் உயரம் BC என்க. கம்பத்தின் உயரம் CD எனக் கொள்க.
உற்று நோக்குப் புள்ளி A என்க.
மேலும் BC = x மற்றும் AB = y என்க.
படத்தில்,
ㄥBAD = 60° மற்றும் ㄥXCA = 45° = ㄥBAC
செங்கோண Δ ABC - ல் tan 45° = \(\frac {BC}{AB }\)
எனவே, 1 = \(\frac {x }{y }\) ⇒ x = y ....(1)
செங்கோண Δ ABD -ல்
tan 60° = \(\frac { BD }{ AB } =\frac { BC+CD }{ AB } \)
\(\sqrt { 3 } =\frac { x+5 }{ y } \) ⇒ \(\sqrt { 3 } y=x+5\)
எனவே, \(\sqrt { 3 } x =x+5\) [(1) -லிருந்து]
ஆகவே, \(\frac { 5 }{ \sqrt { 3 } -1 } =\frac { 5 }{ \sqrt { 3 } -1 } \times \frac { \sqrt { 3 } +1 }{ \sqrt { 3 } +1 } =\frac { 5(1.732+1) }{ 2 } \) = 6.83
எனவே, கோபுரத்தின் உயரம் = 6.83 மீ.

P(A) = 0.5, P(A\(\cap\)B) = 0.3
P(A\(\cup\)B)\(\le\)1 என அறிவோம் 
P(A) + P(B) - P(A\(\cap\)B) \(\le\) 1
0.5 + P(B) - 0.3 \(\le\) 1
P(B) \(\le\) 1 - 0.2
P(B) \(\le\) 0.8
எனவே, B தேர்ந்தெடுக்கப்படுவதற்கான அதிகபட்ச நிகழ்தகவு 0.8 ஆகும்.

3x + y - 3z = 1  ..(1)
-2x - y + 2z = 1 ...(2)
-x - y + z = 2 ...(3)

இங்கு நாம் 0 = -1 என்ற தவறான முடிவைப் பெறுகிறோம். எனவே இந்தத் தொகுப்பானது ஒருங்கமைவற்றது. மேலும் கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டு தொகுப்பிற்குத் தீர்வு இல்லை.

\(\mathrm{A}=\{1,2,3,7\}, \mathrm{B}=\{3,0,-1,7\} \)
\(A \times B=\{(1,3),(1,0),(1,-1),(1,7),(2,3),(2,0),(2,-1),(2,7),(3,3),(3,0),(3,-1),(3,7),(7,3),(7,0),(7,-1),(7,7)\}\)
(i) \(\mathrm{R}_1=\{(2,1),(7,1)\}\)
(2, 1) மற்றும் (7,1) என்பன A x B-ன் உறுப்புகளாக இல்லாததால், R₁ என்பது A -யிலிருந்து B -க்கான உறவு அல்ல. மேலும், \(1 \notin B\),
(ii) \(R_2=\{(-1,1)\}(-1,1) \notin A \times B\),
\(\therefore \mathrm{R}_2\) என்பது A-யிலிருந்து B-க்கான உறவு அல்ல.
(iii) \(\mathrm{R}_3=\{(2,-1),(7,7),(1,3)\}\)
\(R_3 \subseteq A \times B\) என்பது தெளிவாகிறது.
\(\therefore \mathrm{R}_3\) என்பது A-யிலிருந்து B-க்கான உறவு ஆகும்.
(iv) \(\mathrm{R}_4=\{(7,-1),(0,3),(3,3),(0,7)\}\)
இதில் (0,3) மற்றும் \((0,7) \in R_4\)
ஆனால், (0,3) மற்றும் (0,7) ஆகியன A x B ன் உறுப்புகள் அல்ல. எனவே, R₄ என்பது A-யிலிருந்து B-க்கான உறவு அல்ல.

x² - kx - 6 மற்றும் x² - 2x - 24 மீ.பொ.வ (x - 6)
∴ x² - kx - 6 என்பது (x - 6) ஆல் வகுபடும்.
\((6)^2-\mathrm{k}(6)-6 =0  \)
\(\Rightarrow \quad 36-6 \mathrm{k}-6 =0\)
6k = 30
\(\Rightarrow k=\frac{30}{6}=5\)

\(x^4+64+16 x^2 =x^4+16 x^2+64 \)
\(=\left(x^2\right)^2+2(8)\left(x^2\right)+(8)^2 \)
\(=\left(x^2+8\right)^2\)

\(\mathrm{b}\left(\mathrm{a}^2-1\right)=(\sec \theta+\operatorname{cosec} \theta)\left[(\sin \theta+\cos \theta)^2-1\right] \)
\(=(\sec \theta+\operatorname{cosec} \theta)\left[\sin ^2 \theta+\cos ^2 \theta+2 \sin \theta \cos \theta-1\right] \)
\(=\left(\frac{1}{\cos \theta}+\frac{1}{\sin \theta}\right)(1+2 \sin \theta \cos \theta-1) \)
\(=\frac{\sin \theta+\cos \theta}{\sin \theta \cos \theta} \times 2 \sin \theta \cos \theta=2 \mathrm{a}\)

\(\sin ^2 \theta+\frac{1}{1+\tan ^2 \theta} =\sin ^2 \theta+\frac{1}{\sec ^2 \theta} \)
\(=\sin ^2 \theta+\cos ^2 \theta=1\)

65 மற்றும் 117  இன் மீ.பொ.வ = 13 
\(65 \mathrm{~m}-117=13  \)
\(65 \mathrm{~m}=13+117=130  \)
\(\mathrm{~m}=\frac{130}{65}=2\)

S = {a, b ,.......,z} என்க
n(S) = 26
தேர்ந்தெடுக்கும் எழுத்து x க்கு முந்தைய எழுத்தாக இருக்கும் நிகழ்வு A என்க
A = {a, b, c, ......., w }
n(A) = 23
\(P(A) =\frac{\pi(A)}{\pi(5)}=\frac{23}{25}\)

வேலை கிடைக்கும் நிகழ்வு A என்க
\(P(A) + P(\bar{A}) =1 \)
\(\frac{x}{3}+\frac{2}{3} =1 \)
\(\frac{x+2}{3} =1 \)
x + 2 = 3
x = 3 - 2
x = 1 .

x = 10
இது y-அச்சிற்கு இணையான கோடு

புள்ளிகள் (-5, 0), (0, -5) மற்றும் (5, 0) முக்கோணத்தின் பரப்பளவு
\(=\frac{1}{2}\left[x_1\left(y_2-y_3\right)+x_2\left(y_3-y_1\right)+x_3\left(y_1-y_2\right)\right]\)
\(=\frac{1}{2}[-5(-5-0)+0(0-0)+5(0+5)] \)
\(=\frac{1}{2}[25+25]=\frac{50}{2}=25 \) சதுர அலகுகள்

ஆரம் மும்மடங்கானால், புதிய ஆரம் 3r.
உயரம் இரு மடங்கானால், புதிய உயரம் 2h.
கூம்பின் கன அளவு \(=\frac{1}{3} \pi r^2 h \) கன அலகுகள்
\(=\frac{1}{3} \pi(3 r)^2(2 h) \)
\(=\frac{\pi}{3}\left(9 r^2\right)(2 h) \)
\(=18\left(\frac{1}{3} \pi r^2 h\right)\)
= 18 (கூம்பின் கன அளவு)
= 18 மடங்கு

\(f(x)=(x+1)^3-(x-1)^3 \)
\(=\left(x^3+3 x^2+3 x+1\right)-\left(x^3-3 x^2+3 x-1\right) \)
\(= 6 x^2+2\), இது ஒரு இருபடிச் சார்பு

\(n(A \times B) =6 \)
\(A =\{1,3\} \Rightarrow n(A)=2 \)
\(n(B) =\frac{n(A \times B)}{n(A)}=\frac{6}{2}=3\)