கோபுரத்தின் உயரம் AB = 50 மீ
மரத்தின் உயரம் CD = y மற்றும் BD = x என்க.
படத்திலிருந்து,  ㄥXAC = 30° = ㄥACM மற்றும் ㄥXAD = 45° = ㄥADB

செங்கோண Δ ABD-ல்
tan45°= \(\frac {AB }{BD }\)
1 = \(\frac {50}{x }\) ⇒ x = 50 மீ
செங்கோண Δ AMC – ல்
tan30° = \(\frac {AM }{CM }\)
\(\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } =\frac { AM }{ 50 } \) [DB = CM என்பதால்]
\(AM=\frac { 50 }{ \sqrt { 3 } } =\frac { 50\sqrt { 3 } }{ 3 } =\frac { 50\times 1.732 }{ 3 } \) = 28.87 மீ.
CD = MB = AB - AM = 50–28.87 = 21.13
எனவே, மரத்தின் உயரம் 21.13 மீ ஆகும்.

தொலைக்காட்சிக் கோபுரத்தின் உயரம் AB என்க.
கால்வாயின் அகலம் BC என்க.

இங்கு, CD = 20 மீ.
செங்கோண Δ ABC – ல்
tan 58°= \(\frac { AB }{ BC } \)
1.6003 = \(\frac { AB }{ BC } \) ....(1)
செங்கோண Δ ABD – ல்
tan 30° = \(\frac { AB }{ BC } \) = \(\frac { AB }{ BC+CD } \)
\(\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } =\frac { AB }{ BC+20 } \) ....(2)
(1)-ஐ (2) -ஆல் வகுக்கக் கிடைப்பது \(\frac { 1.6003 }{ \frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } } =\frac { BC+20 }{ BC } \)
BC = \(\frac {20 }{1.7717}\) = 11.29 மீ ....(3)
1.6003 = \(\frac {AB }{11.29}\) [ (1), (3) -லிருந்து]
AB = 18.07
எனவே, கோபுரத்தின் உயரம் = 18.07 மீ கால்வாயின் அகலம் = 11.29 மீ.

கோபுரத்தின் உயரம் AC என்க. கட்டடத்தின் உயரம் AB என்க.
மேலும் AC = h மீ, AB = 30 மீ
செங்கோண Δ CBP- ல் ㄥCPB = 60°

tan θ = \(\frac {BC}{BP}\)
tan 60° = \(\frac { AB+AC }{ BP } \) ⇒ \(\sqrt { 3 } =\frac { 30+h }{ BP } \) ...(1)
செங்கோண Δ ABP-ல், ㄥAPB = 45°
tan θ = \(\frac{AB}{BP}\) 
tan 45^o =\(\frac{30}{BP}\)⇒ BP = 30  .....(2)
(1) ஐ (1) ல் பிரதியிட்டால் கிடைப்பது \(\sqrt { 3 } =\frac { 30+h }{ 30 } \)
h = 30(\(\sqrt { 3}\) - 1) = 30(1.732 - 1) = 30(0.732) = 21.96
எனவே, கோபுரத்தின் உயரம் = 21.96 மீ.

தரையிலிருந்து பட்டத்தின் உயரம் AB = 75 மீ என்க
நூலின் நீளம் AC என்க.
செங்கோண Δ ABC–ல், ㄥACB =  60°

sin θ = \(\frac{AB}{AC}\)
sin 60° = \(\frac{75}{AC}\) 
\(\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{75}{A C}\) ஆகவே, AC= \(\frac{150}{\sqrt3}\) = 50\(\sqrt3\)
எனவே, நூலின் நீளம் 50\(\sqrt3\) மீ ஆகும்.

\(\sec ^4 \theta\left(1-\sin ^4 \theta\right)-2 \tan ^2 \theta=1\)
இடப்பக்கம் \(=\sec ^4 \theta\left(1-\sin ^4 \theta\right)-2 \tan ^2 \theta\)
\(=\sec ^4 \theta\left(1^2-\left(\sin ^2 \theta\right)^2\right)-2 \tan ^2 \theta \)
\(=\sec ^4 \theta\left(1+\sin ^2 \theta\right)\left(1-\sin ^2 \theta\right)-2 \tan ^2 \theta \)
\(\left[\because a^2-b^2=(a+b)(a-b) ]\right. \)
\(=\sec ^4 \theta\left(1+\sin ^2 \theta\right) \cos ^2 \theta-2 \tan ^2 \theta \)
\(=\frac{1}{\cos ^4 \theta}\left(1+\sin ^2 \theta\right) \cos ^2 \theta-2 \tan ^2 \theta \)
\(=\frac{1}{\cos ^2 \theta}\left(1+\sin ^2 \theta\right)-2 \frac{\sin ^2 \theta}{\cos ^2 \theta} \)
\(=\frac{1+\sin ^2 \theta}{\cos ^2 \theta}-\frac{2 \sin ^2 \theta}{\cos ^2 \theta} \)
\(=\frac{1^2+\sin ^2 \theta-2 \sin ^2 \theta}{\cos ^2 \theta} \)
\(=\frac{1-\sin ^2 \theta}{\cos ^2 \theta} \)
\(=\frac{\left(\cos ^2 \theta\right)}{\operatorname{cos}^2 \theta}=1\)= வலப்பக்கம்

\(\sec ^6 \theta=\tan ^6 \theta+3 \tan ^2 \theta \sec ^2 \theta+1 \)
இடப்பக்கம் \(=\sec ^6 \theta \)
\(=\left(\sec ^2 \theta\right)^3 \)
\(=\left(1+\tan ^2 \theta\right)^3 \quad\left[\because 1+\tan ^2 \theta=\sec ^2 \theta\right) \)
\(=1^3+\left(\tan ^2 \theta\right)^3+3(1)\left(\tan ^2 \theta\right)\left(1+\tan ^2 \theta\right) \)
\(\left[\because(a+b)^3=a^3+b^3+3 a b(a+b)\right] \)
\(= 1+\tan ^6 \theta+3 \tan ^2 \theta\left(\sec ^2 \theta\right) \)
\(\left[\because 1+\tan ^2 \theta=\sec ^2 \theta\right]\)
\(= \tan ^6 \theta+3 \tan ^2 \theta \sec ^2 \theta+1\)= வலப்பக்கம்

\(\left( \frac { { \cos }^{ 3 }A-{ \sin }^{ 3 }A }{ \cos A-\sin A } \right) -\left( \frac { { \cos }^{ 3 }A+{ \sin }^{ 3 }A }{ \cos A+\sin A } \right) \)
= \(\left( \frac { (\cos A-\sin A)({ \cos }^{ 2 }A+{ \sin }^{ 2 }A+\cos A \sin A }{ \cos A-\sin A } \right) \)
= \(\left( \frac { (\cos A-\sin A)({ \cos }^{ 2 }A+{ \sin }^{ 2 }A-\cos A \sin A }{ \cos A+\sin A } \right) \) [ஏனெனில் a³ - b³ = (a - b)(a² + b² + ab), a³ + b³ = (a + b)(a² + b² - ab)]
= (1 + cos A sin A) - (1 - cos A sin A)
= 2 cos A sin A

இப்பொழுது, cos θ + sin θ = \(\sqrt2\) cos θ என்பதை இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்துக.
(cos θ + sin θ)² = (\(\sqrt2\) cos θ)²
cos² θ +  sin² θ + 2 sin θ cos θ = 2 cos² θ
2 cos² θ - cos² θ -  sin² θ = 2 sin θ cos θ
cos² θ -  sin² θ = 2 sin θ cos θ
(cos θ + sin θ)(cos θ - sin θ) =  2 sin θ cos θ
cos θ - sin θ = \(\frac { 2\sin\theta \cos\theta }{ \cos\theta +\sin\theta } =\frac { 2 \sin\theta \cos\theta }{ \sqrt { 2 } \cos\theta } =\sqrt { 2 } \sin\theta \)
(ஏனெனில் cos θ + sin θ \(\sqrt { 2 } \cos\theta \) )
\(\therefore\) cos θ - sin θ = \(\sqrt { 2 } \sin\theta \)

\(\frac { \sin A }{ 1+\cos A } +\frac { \sin A }{ 1-\cos A }\)
\(=\frac { \sin A(1-\cos A)+\sin A(1+\cos A) }{ (1+\cos A)(1-\cos A) } \)
\(=\frac { \sin A-\sin A \cos A+\sin A+\sin A \cos A }{ 1-{ \cos }^{ 2 }A } \)
\(=\frac { 2\sin A }{ 1-{ \cos }^{ 2 }A } \frac { 2\sin A }{ { \sin }^{ 2 }A } =2 \ cosec \ A\)

\(\sin ^2 A \cos ^2 B+ \cos ^2 A \sin ^2 B+\cos ^2 A \cos ^2 B+\sin ^2 A \sin ^2 B \)
\(=\sin ^2 A \cos ^2 B+\sin ^2 A \sin ^2 B+\cos ^2 A \sin ^2 B+\cos ^2 A \cos ^2 B \)
\(=\sin ^2 A\left(\cos ^2 B+\sin ^2 B\right)+\cos ^2 A\left(\sin ^2 B+\cos ^2 B\right) \)
\(=\sin ^2 A(1)+\cos ^2 A(1) \) (ஏனெனில் \( \sin ^2 B+\cos ^2 B=1)\)
\(=\sin ^2 A+\cos ^2 A=1\)

\(\frac { \sin A }{ \sec A+\tan A-1 } +\frac { \cos A }{ cosecA+\cot A-1 } =1\)
=  \(\frac { \sin A(cosecA+\cot A-1)+\cos A(\sec A+\tan A-1) }{ (\sec A+\tan A-1)(cosec A+\cot A-1) } \)
=  \(\frac { \sin A cosecA+\sin A \cot A-\sin A+\cos A \sec A+\cos A\tan A-\cos A }{ (\sec A+\tan A-1)(cosecA+\cot A-1) } \)
= \(\frac { 1+\cos A-\sin A+1+\sin A-\cos A }{ \left( \frac { 1 }{ \cos A } +\frac { \sin A }{ \cos A } -1 \right) \left( \frac { 1 }{ \sin A } +\frac { \cos A }{ \sin A } -1 \right) } \)
= \(\frac { 2 }{ \left( \frac { 1+sinA-cosA }{ cosA } \right) \left( \frac { 1+cosA-sinA }{ sinA } \right) } \)
=  \(\frac { 2sinAcosA }{ (1+sinA-cosA)(1+cosA-sinA) } \)
=  \(\frac { 2sinAcosA }{ [1+(sinA-cosA)][1-(sinA-cosA)] } =\frac { 2sinAcosA }{ 1-{ (sinA-cosA) }^{ 2 } } \)
=  \(\frac { 2sinAcosA }{ 1-({ sin }^{ 2 }A+{ cos }^{ 2 }A-2sinAcosA) } =\frac { 2sinAcosA }{ 1-(1-2sinAcosA) } \)
= \(\frac { 2sinAcosA }{ 1-(1+2sinAcosA) } \) = \(\frac { 2sinAcosA }{ 2sinAcosA} \) = 1

\(\operatorname{cosec} \theta+\cot \theta=P\) எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது   .....(1)
\(\operatorname{cosec}^2 \theta-\cot ^2 \theta =1\)  (முற்றொருமை)
\(\operatorname{cosec} \theta-\cot \theta =\frac{1}{\operatorname{cosec} \theta+\cot \theta} \)
\(\operatorname{cosec} \theta-\cot \theta =\frac{1}{P}\)   .....(2)
(1) மற்றும் (2) ஆகியவற்றைக் கூட்டக்கிடைப்பது, \(2 \operatorname{cosec} \theta=P+\frac{1}{P}\)
\(2 \operatorname{cosec} \theta=\frac{P^2+1}{P} \quad \ldots \text { (3) }\)
(2) -லிருந்து (1) -ஐ கழித்தால் கிடைப்பது, \(2 \cot \theta=P-\frac{1}{P}\)
\(2 \cot \theta=\frac{P^2-1}{P} \quad \ldots(4)\)
(4) -ஐ (3) -ஆல் வகுக்கக் கிடைப்பது, \(\frac{2 \cot \theta}{2 \operatorname{cosec} \theta}=\frac{P^2-1}{P} \times \frac{P}{P^2+1}\)
\(\Rightarrow \cos \theta=\frac{P^2-1}{P^2+1}\) எனக் கிடைக்கிறது.

AB மின்கம்பம் என்க.
செங்கோண முக்கோணம் \(\triangle A B C\) லிருந்து
\(\tan 30^{\circ} =\frac{A B}{B C} \)
\(\frac{1}{\sqrt{3}} =\frac{A B}{B C} \)
\(B C =A B \sqrt{3}\)  ....(1)
செங்கோண முக்கோணம் \(\triangle D C B\) இல்
\(\tan 60^{\circ} =\frac{D C}{B C} \)
\(\sqrt{3} =\frac{b}{B C} \)
\(B C =\frac{b}{\sqrt{3}}\)   ...(2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து
\(A B \sqrt{3} =\frac{b}{\sqrt{3}} \)
\(A B =\frac{b}{\sqrt{3} \sqrt{3}}=\frac{b}{3}\)

\(\mathrm{p}^2-\mathrm{q}^2=(a \cot \theta+b \operatorname{cosec} \theta)^2-(b \cot \theta+a \operatorname{cosec} \theta)^2 \)
\(=a^2 \cot ^2 \theta+b^2 \operatorname{cosec}^2 \theta+2 a b \cot \theta \operatorname{cosec} \theta -\left(b^2 \cot ^2 \theta+a^2 \operatorname{cosec}^2 \theta+2 a b \cot \theta \operatorname{cosec} \theta\right)\)
\(=a^2 \cot ^2 \theta+b^2 \operatorname{cosec}^2 \theta+2 a b \cot \theta \operatorname{cosec} \theta -b^2 \cot ^2 \theta-a^2 \operatorname{cosec}^2 \theta-2 a b \cot \theta \operatorname{cosec} \theta\)
\(=a^2\left(\cot ^2 \theta-\operatorname{cosec}^2 \theta\right)+b^2\left(\operatorname{cosec}^2 \theta-\cot ^2 \theta\right) \)
\(=a^2(-1)+b^2(1) \)
\(=-a^2+b^2 \)
\(=\mathrm{b}^2-\mathrm{a}^2\)

\((1+\tan \theta+\sec \theta)(1+\cot \theta-\operatorname{cosec} \theta) \)
\(=\left(1+\frac{\sin \theta}{\cos \theta}+\frac{1}{\cos \theta}\right)\left(1+\frac{\cos \theta}{\sin \theta}-\frac{1}{\sin \theta}\right) \)
\(=\left(\frac{(\cos \theta+\sin \theta)+1}{\cos \theta}\right)\left(\frac{(\sin \theta+\cos \theta)-1}{\sin \theta}\right) \)
\(=\frac{(\sin \theta+\cos \theta)^2-1^2}{\sin \theta \cos \theta} \)
\(=\frac{\sin ^2 \theta+\cos ^2 \theta+2 \sin \theta \cos \theta-1}{\sin \theta \cos \theta} \)
\(=\frac{1+2 \sin \theta \cos \theta-1}{\sin \theta \cos \theta} \)
\(=\frac{2 \sin \theta \cos \theta}{\sin \theta \cos \theta} \)
= 2

\((\sin \alpha+\operatorname{cosec} \alpha)^2+(\cos \alpha+\sec \alpha)^2 \)
\(= \sin ^2 \alpha+\operatorname{cosec}^2 \alpha+2 \sin \alpha \operatorname{cosec} \alpha +\cos ^2 \alpha+\sec ^2 \alpha+2 \cos \alpha \sec \alpha \)
\(=\left(\sin ^2 \alpha+\cos ^2 \alpha\right)+\operatorname{cosec}^2 \alpha+\sec ^2 \alpha +2 \sin \alpha \frac{1}{\sin \alpha}+2 \cos \alpha \frac{1}{\cos \alpha} \)
\(= 1+\operatorname{cosec}^2 \alpha+\sec ^2 \alpha+2+2 \)
\(= 5+1+\cot ^2 \alpha+1+\tan ^2 \alpha \)
\(= 7+\tan ^2 \alpha+\cot ^2 \alpha \)
\(k+ \tan ^2 \alpha+\cot ^2 \alpha \) உடன் ஒப்பிட
k = 7

\(\sin ^2 \theta+\frac{1}{1+\tan ^2 \theta} =\sin ^2 \theta+\frac{1}{\sec ^2 \theta} \)
\(=\sin ^2 \theta+\cos ^2 \theta=1\)