1 

0

\(LHS=\frac { cosec\theta +cot\theta }{ cosec\theta -cot\theta } =\frac { \frac { 1 }{ sin\theta } +\frac { cos\theta }{ sin\theta } }{ \frac { 1 }{ sin\theta } -\frac { cos\theta }{ sin\theta } } \)
\(=\frac { (1+cos\theta )/sin\theta }{ (1-cos\theta )/sin\theta } =\frac { 1+cos\theta }{ 1-cos\theta } \)
\(=\frac { 1+cos\theta }{ 1-cos\theta } \times \frac { 1+cos\theta }{ 1+cos\theta } \)
\(=\frac { { \left( 1+cos\theta \right) }^{ 2 } }{ (1-cos\theta )(1+cos\theta ) } =\frac { { \left( 1+cos\theta \right) }^{ 2 } }{ 1-{ cos }^{ 2 }\theta } \)
\(=\frac { 1+{ cos }^{ 2 }\theta +2cos\theta }{ { sin }^{ 2 }\theta } \)
\(=\frac { 1 }{ { sin }^{ 2 }\theta } +\frac { { cos }^{ 2 }\theta }{ { sin }^{ 2 }\theta } +\frac { 2cos\theta }{ { sin }^{ 2 }\theta } \)
\(={ cosec }^{ 2 }\theta +{ cot }^{ 2 }\theta +2{ cosec }^{ 2 }\theta cos\theta \)
\(=1+{ cot }^{ 2 }\theta +{ cot }^{ 2 }\theta +2{ cosec }^{ 2 }\theta cos\theta \)
\(=1+2{ cot }^{ 2 }\theta +2{ cosec }^{ 2 }\theta cos\theta =RHS\)

LHS = \(\cos { \theta } \sin { \theta } -\frac { \sin { \theta } \sin { \theta } \cos { \theta } }{ cosec\theta } -\frac { \cos { \theta } \cos { \theta } \sin { \theta } }{ \sec { \theta } } +\sec { \theta } \)
\(=\cos { \theta } \sin { \theta } -\sin ^{ 3 }{ \theta } \cos { \theta } -\cos ^{ 3 }{ \theta } \sin { \theta } +\sec { \theta } \)
\(\\ =\cos { \theta } \sin { \theta } -\sin { \theta } \cos { \theta } (\sin ^{ 2 }{ \theta } +\cos ^{ 2 }{ \theta } )+\sec { \theta } \)

We have, \(\frac { \sec ^{ 2 }{ (\sin { { 90 }^{ 0 } } -\theta ) } -\cot ^{ 2 }{ \theta } }{ 2(\sin ^{ 2 }{ { 25 }^{ 0 } } +\sin ^{ 2 }{ { 65 }^{ 0 } } ) } +\frac { 2\cos ^{ 2 }{ { 60 }^{ 0 } } \tan ^{ 2 }{ { 28 }^{ 0 } } \tan ^{ 2 }{ { 62 }^{ 0 } } }{ \sin ^{ 2 }{ { 30 }^{ 0 } } \cos ^{ 2 }{ { 60 }^{ 0 } } } \)
\(=\frac { { cosec }^{ 2 }\theta -\cot ^{ 2 }{ \theta } }{ 2[\sin ^{ 2 }{ { ({ 90 }^{ 0 }-65 }^{ 0 }) } +\sin ^{ 2 }{ { 65 }^{ 0 } } ] } +\frac { 2\cos ^{ 2 }{ { 60 }^{ 0 } } \tan ^{ 2 }{ { ({ 90 }^{ 0 }-62 }^{ 0 }) } \tan ^{ 2 }{ { 62 }^{ 0 } } }{ \sin ^{ 2 }{ { 30 }^{ 0 } } } \)
\(=\frac { 1 }{ 2(\cos ^{ 2 }{ { 65 }^{ 0 } } +\sin ^{ 2 }{ { 65 }^{ 0 } } ) } +\frac { 2.\frac { 1 }{ 2 } \cot ^{ 2 }{ { 62 }^{ 0 } } \tan ^{ 2 }{ { 62 }^{ 0 } } }{ \frac { 1 }{ 2 } } \)
\(=\frac { 5 }{ 2 } \) 

\(\frac { \sin { { 70 }^{ 0 } } }{ \cos { { 20 }^{ 0 } } } +\frac { cosec{ 36 }^{ 0 } }{ \sec { { 54 }^{ 0 } } } -\frac { 2\cos { { 43 }^{ 0 } } cosec{ 47 }^{ 0 } }{ \tan { { 10 }^{ 0 } } \tan { { 40 }^{ 0 } } \tan { { 50 }^{ 0 } } \tan { { 80 }^{ 0 } } } \)
\(=\frac { \sin { { ({ 90 }^{ 0 }-20 }^{ 0 }) } }{ \cos { { 20 }^{ 0 } } } +\frac { cosec{ ({ 90 }^{ 0 }-54 }^{ 0 }) }{ \sec { { 54 }^{ 0 } } } -\frac { 2\cos { { 43 }^{ 0 } } cosec{ ({ 90 }^{ 0 }-43 }^{ 0 }) }{ \tan { { ({ 90 }^{ 0 }-80 }^{ 0 }) } \tan { { ({ 90 }^{ 0 }-50 }^{ 0 }) } \tan { { 50 }^{ 0 } } \tan { { 80 }^{ 0 } } } \)
\(=\frac { \cos { { 20 }^{ 0 } } }{ \cos { { 20 }^{ 0 } } } +\frac { \sec { { 54 }^{ 0 } } }{ \sec { { 54 }^{ 0 } } } -\frac { 2\cos { { 43 }^{ 0 } } \sec { { 43 }^{ 0 } } }{ \cot { { 80 }^{ 0 } } \cot { { 50 }^{ 0 } } \tan { { 50 }^{ 0 } } \tan { { 80 }^{ 0 } } } \)
\(\left[ \because \sin { ({ 90 }^{ 0 }-\theta ) } =\cos { \theta } ,cosec({ 90 }^{ 0 }-\theta )=\sec { \theta } ,\tan { ({ 90 }^{ 0 }-\theta ) } =\cot { \theta } \right] \)
\(=2-\frac { 2.1 }{ 2.1 } =2-2=0\) 

We have, sec 5A = cosec (A + 30⁰)
\(\Rightarrow\) sec 5A = sec[90⁰- (A + 30⁰)]  \([\because sec({ 90 }^{ 0 }-\theta )=cosec\theta ]\)
\(\Rightarrow\) sec 5A = sec(60⁰ - A)
\(\Rightarrow\) 5A = 60⁰ - A  [\(\therefore\) 5A and (60⁰- A) are acute angles]
\(\Rightarrow\) 6A = 60⁰
\(\therefore\) A = 10⁰ 

Given, sin 3A = cos (A - 26⁰)    ...(i)
where, 3A is an acute angle.
We know that, \(\sin { \theta } =\cos { ({ 90 }^{ 0 }-\theta ) } \)  
From Eq. (i), \(\cos { ({ 90 }^{ 0 }-3A) } =\cos { ({ A-26 }^{ 0 }) } \)
Since, (90⁰ - 3A) and (A - 26⁰) both are acute angles.
90⁰ - 3A = A - 26⁰
\(\Rightarrow\) 4A = 116⁰ \(\Rightarrow A=\frac { { 116 }^{ 0 } }{ 4 } ={ 29 }^{ 0 }\) 

Given expression
\(\frac { \tan { { 50 }^{ 0 } } +\sec { { 50 }^{ 0 } } }{ \cot { { 40 }^{ 0 } } +cosec{ 40 }^{ 0 } } +\cos { { 40 }^{ 0 } } cosec{ 50 }^{ 0 }\)
\(=\frac { \tan { { 50 }^{ 0 } } +\sec { { 50 }^{ 0 } } }{ \cot { { (90 }^{ 0 }-{ 50 }^{ 0 }) } +cosec{ (90 }^{ 0 }-{ 50 }^{ 0 }) } +\cos { { 40 }^{ 0 } } cosec { { (90 }^{ 0 }-{ 40 }^{ 0 }) } \)
\(=\frac { \tan { { 50 }^{ 0 } } +\sec { { 50 }^{ 0 } } }{ \tan { { 50 }^{ 0 } } +\sec { { 50 }^{ 0 } } } +\cos { { 40 }^{ 0 } } sec{ 40 }^{ 0 }\)  \(\left[ \because \cot { ({ 90 }^{ 0 }-\theta ) } =\tan { \theta } ,\quad cosec({ 90 }^{ 0 }-\theta )=\sec { \theta } \right] \)
= (1 + 1) = 2

We have, sin (A + 2B) = \(\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \)=60⁰   \(\left[ \because \sin { { 60 }^{ 0 } } =\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \right] \)
\( \Rightarrow\) A + 2B = 60⁰      ....(i)
Again, cos (A + 4B) =0⁰ = cos 90⁰  [cos 90⁰ = 0]
\( \Rightarrow\) A + 4B = 90⁰       ....(ii)
On subtracting Eq. (i) from Eq. (ii), we get
A + 4B = 90⁰
A+2B = 60⁰
2B = 30⁰
\(\Rightarrow \ B=\frac { { 30 }^{ 0 } }{ 2 } ={ 15 }^{ 0 }\)
On substituting B = 15⁰ in Eq. (i), we get
A + 2 x 15⁰=60⁰ \(\Rightarrow\)  A+30⁰ = 60⁰
\( \Rightarrow\) A = 60 ⁰- 30⁰ = 30⁰
Hence, A = 30⁰ and B = 15⁰

We have tan (3x+30⁰)=1
\(\Rightarrow\) tan (3x + 30⁰)=tan 45⁰   [\(\because\)tan 45⁰ = 1]
\(\Rightarrow\)3x  + 30⁰ = 45⁰
\(\Rightarrow\)3x = 45⁰ - 30⁰ = 15⁰ \(\Rightarrow\) x = 5⁰

since, sin (A - B) = \(\frac{1}{2}\), therefore, A - B = 30°              (1)
Also, since cos (A + B) = \(\frac{1}{2}\), therefore, A + B = 60°   (2)
Solving (1) and (2), we get : A = 45° and B = 15°.

We have, \(2\cos { 3\theta } =\sqrt { 3 } \)
\(\Rightarrow \quad \cos { 3\theta } =\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \)
\(\Rightarrow \cos { 3\theta } =\cos { { 30 }^{ 0 } } \)     \(\left[ \because \cos { { 30 }^{ 0 } } =\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \right] \)
\(\Rightarrow \quad 3\theta ={ 30 }^{ 0 },\)   as 3\(\theta\) and 30⁰ are are acute angles.
\(\therefore \quad \theta ={ 10 }^{ 0 }\)

We have, \(\frac { \cos { { 60 }^{ 0 } } +\sin { { 45 }^{ 0 } } -\cot { { 30 }^{ 0 } } }{ \tan { { 60 }^{ 0 } } +\sec { { 45 }^{ 0 } } -cosec{ 30 }^{ 0 } } \)
\(=\frac { \frac { 1 }{ 2 } +\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } -\sqrt { 3 } }{ \sqrt { 3 } +\sqrt { 2 } -2 } =\frac { \frac { \sqrt { 2 } +2-2\sqrt { 2 } \times \sqrt { 3 } }{ 2\sqrt { 2 } } }{ \sqrt { 3 } +\sqrt { 2 } -2 } \)
\([ \because \cos { { 60 }^{ 0 } } =1/2,\sin { { 45 }^{ 0 } } =1/\sqrt { 2 } ,\cot { { 30 }^{ 0 } } =\sqrt { 3 }\)
\( \tan { { 60 }^{ 0 } } =\sqrt { 3 } ,\sec { { 45 }^{ 0 } } =\sqrt { 2 } \quad and\quad cosec{ 30 }^{ 0 }=2 ] \)
\(=\frac { \sqrt { 2 } +2-2\sqrt { 6 } }{ 2\sqrt { 2 } (\sqrt { 3 } +\sqrt { 2 } -2) } \)
\(=\frac { \sqrt { 2 } +2-2\sqrt { 6 } }{ 2\sqrt { 6 } +2\sqrt { 2 } \times \sqrt { 2 } -2\sqrt { 2 } \times 2 } =\frac { \sqrt { 2 } +2-2\sqrt { 6 } }{ 2\sqrt { 6 } +4-4\sqrt { 2 } } \) 

We have, cos²30⁰ + sin²45⁰ -\(\frac {1}{3}\) tan²60⁰
= (cos 30⁰)² + (sin 45⁰)² -\(\frac {1}{3}\) tan²60⁰
\(={ \left( \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \right) }^{ 2 }+\left( \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \right) ^{ 2 }-\frac { 1 }{ 3 } { \left( \sqrt { 3 } \right) }^{ 2 }\)    \(\left[ \therefore \cos { { 30 }^{ 0 } } =\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } ,\sin { { 45 }^{ 0 } } =\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \quad and\quad \tan { { 60 }^{ 0 } } =\sqrt { 3 } \right] \)
\(=\frac { 3 }{ 2 } +\frac { 1 }{ 2 } -\frac { 3 }{ 3 } =\frac { 3+2 }{ 4 } -1=\frac { 5 }{ 4 } -1=\frac { 5-4 }{ 4 } =\frac { 1 }{ 4 } \)