தரம் \(=\frac { 5 }{ 2! } \times 5!+\frac { 0 }{ 2! } \times 4!+\frac { 0 }{ 2! } \times 3!+\frac { 1 }{ 0! } \times 2!+\frac { 1 }{ 0! } \times 1!\times \frac { 0 }{ 0! } \times 1!+1\)
=303

³⁵C₅ + \(\sum _{ r=0 }^{ 4 }{ ^{ (39-r) } } \) C₄ = ⁴⁰C₅
= ³⁵C₅ + ³⁹C₄ +³⁸C₄ +³⁷C₄ + ³⁶C₄ + ³⁵C₄
= ³⁵C₅ + ³⁵C₄ + ₃₉C₄ + ₃₈C₄ + ³⁷C₄ + ³⁶C₄
= ³⁶C₅ + ³⁹C₄ + ³⁸C₄ + ³⁷C₄ + ³⁶C₄
= (³⁶C₅ +³⁶C₄) + ³⁹C₄ + ³⁸C₄ + ³⁷C₄
 = ³⁷C₅ + ³⁹C₄ + ³⁸C₄ + ³⁷C₄  = (³⁷C₅ + ³⁷C₄) + ³⁹C₄ + ³⁸C₄
 = ³⁸C₅ + ³⁸C₃ + ³⁹C₄ = ³⁸C₅ + ³⁹C₄ + ³⁸C₄
 = ³⁹C₅ + ³⁹C₄      [\(\because\) ⁿC_r-1 + ⁿC_r = n + 1C_r ]
= ⁴⁰C₅ = RHS  

கொடுக்கப்பட்ட வார்த்தையில் 6 எழுத்துகள் (V, O, W, E, L, S) உள்ளன.
(i) எல்லா எழுத்துச் சரங்களும் E இல் துவங்க வேண்டும். எனவே, மீதமுள்ள 5 எழுத்துகளை வரிசைப்படுத்த ⁵P₅ = 5! வழிகள் உள்ளன. ஆகவே, E இல் தொடங்கும் எழுத்துச் சரங்களின் எண்ணிக்கை 5! = 120.
(ii) எல்லா எழுத்துச் சரங்களும் E இல் தொடங்கி, W இல் முடிக்க வேண்டும், 5! = 120.

எனவே, E ஐ முதலிலும், W ஐ கடைசியிலும் வைக்கவேண்டும். மீதமுள்ள 4 எழுத்துகளை ⁴P₄ = 4! வழிகளில் வரிசைப்படுத்தலாம்.
ஆகவே, E இல் தொடங்கி, W இல் முடிக்கும் எழுத்துச் சரங்களின் எண்ணிக்கை 4! = 24.

n≥2-க்கு  3ⁿ ≥n² என்பதை P(n) என்ற கூற்று என்க. முதல்படி n = 2 ஆகும்.
P(2)=3²=9 மேலும் 2²=4
9 > 4 ஆதலால் P(2) உண்மை.
n = k-க்கு P(n) உண்மை எனக் கொள்க.
எனவே, P(k) > k²
P(k+1) = 3 × 3k = 3 × P(k)
>3k²
>(k+1)² 
எனவே n≥2 என உள்ள அனைத்து முழு எண்களுக்கும் 3ⁿ>n².

1,2,3,4,5 என்ற ஐந்து எண்களைக் கொண்டு நான்கு இலக்க எண்களை உருவாக்கும் வழிகள்  = 5P₄ = 120  
ஒன்றுக்கான இடத்தில் உள்ள எண்களின் கூடுதலாக காண்போம் 
ஒன்றாம் இடத்தில் 1 வருமாறு அமையும்  4 இலக்க எண்கள்  = 4P₃ = 24
இதைப்போலவே  மற்ற எண்கள்  2,3,4,5 இவற்றை ஒன்றாம் இடத்தில் வருமாறு அமையும் எண்கள் 24 தடவைகள்.
\(\therefore \) 120 எண்களின் கூடுதல்  = (4P₃ x 1)  + (4P₃ x 2)+ (4P₃ x 3) + (4P₃ x 4) + (4P₃ x 5)   
= 4P₃ (1 + 2 + 3 + 4 + 5)
= 4P 15 = 24 x 15 = 360
10ம் இலக்கங்களின் கூடுதல்  = 3600
100ம் இலக்கங்களின் கூடுதல் = 36000
1000ம் இலக்கங்களின் கூடுதல் = 360000
\(\therefore \)  கிடைக்கும் 4 இலக்க எண்களின் கூடுதல்  = 360 + 3600 + 36000 + 360000 = 399960   

THING -ல் உள்ள எழுத்துகள்  = 5
அவற்றை ஆங்கில அகராதியில்  உள்ளது  போல் எழுத G,H,I, N, T என பெறலாம்
\(\therefore \) G  வை முதல் எழுத்தாக வைத்து எழுதப்படும் சொற்களின் எண்ணிக்கை  = 4! = 24
H  வை முதல் எழுத்தாக வைத்து எழுதப்படும் சொற்களின் எண்ணிக்கை  = 4! = 24
I வை முதல் எழுத்தாக வைத்து எழுதப்படும் சொற்களின் எண்ணிக்கை  = 4! = 24
NG  யை முதலில்  வைத்து எழுதப்படும் சொற்களின் எண்ணிக்கை = 3! = 6
NGH யை முதலில்  வைத்து எழுதப்படும் சொற்களின் எண்ணிக்கை = 2! = 2
NGHI யை முதலில்  வைத்து எழுதப்படும் சொற்களின் எண்ணிக்கை = 1! = 1
NGHIT யை முதலில்  வைத்து எழுதப்படும் சொற்களின் எண்ணிக்கை = 1! = 1
= 24 + 24 +24 + 6 + 2 +1 + 1 = 85
\(\therefore \) 85 வது எழுத்துச்சரம்  = NIGHT          

⁽ⁿ⁺¹⁾C₈: ^(n-3)P₄ = 57 : 16
\(\Rightarrow\)  \(\frac { ^{ (n+1) }{ C }_{ 8 } }{ ^{ (n-3) }{ C }_{ 8 } } =\frac { 57 }{ 16 } \) \(\left[ \because { nP }_{ r }=\frac { n! }{ \left( n-r \right) ! } ,{ nC }_{ r }=\frac { n! }{ r!\left( n-r \right) ! } \right] \)
\(\Rightarrow\)  16 (n + 6)C8 = 57. (n - 3)P₄ 
\(\Rightarrow\) \(\frac { 16\left( n+1 \right) ! }{ 8!\left( n+1-8 \right) ! } =\frac { 57\left( n-3 \right) ! }{ \left( n-3-4 \right) ! } \)

(n + 1)n (n - 1) (n - 2) = \(\frac { 57\times 8! }{ 16 } \)

 

(n+1)n (n -1) (n - 2) = 21 x 20 x 19 x 18
 n = 20

கொடுக்கப்பட்ட 5 இலக்கங்களை கொண்டு உருவாக்கப்படும் 4-இலக்க எண்களின் எண்ணிக்கை ⁵P₄ = 120 நாம் முதலில் ஒன்றாம் இடத்தில் உள்ள எல்லா 120 எண்களின் கூடுதலைக் காண்போம். ஒன்றாம் இடத்தில் 1ஐ அமைத்து, மற்ற இடங்களில் மீதமுள்ள 4 எண்களை ⁴P₃ = 24 வழிகளில் வரிசைப்படுத்தலாம். இதுபோலவே, 2, 4, 6, 8 ஆகிய இலக்கங்கள் ஒன்றாம் இடத்தில் 24 முறை வருகின்றன. எல்லா 120 எண்களின் ஒன்றாம் இடத்தில் வரும் இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகை கிடைக்கும். எனவே
\(\left( ^{ 4 }{ P }_{ 3 }\times 1 \right) +\left( ^{ 4 }{ P }_{ 3 }\times 2 \right) +\left( ^{ 4 }{ P }_{ 3 }\times 4 \right) +\left( ^{ 4 }{ P }_{ 3 }\times 6 \right) +\left( ^{ 4 }{ P }_{ 3 }\times 8 \right) \)
\(=^{ 4 }{ P }_{ 3 }\times \left( 1+2+4+6+8 \right) \)
\(=^{ 4 }{ P }_{ 3 }\times \)(இலக்கங்களின் கூடுதல்)
\(=^{ 4 }{ P }_{ 3 }\times 21\)
இதுபோலவே, 10ஆம் இடத்தில் உள்ள எண்களின் கூட்டுத்தொகை .\(^{ 4 }{ P }_{ 3 }\times 21\) இது 10ஆம் இடத்தில் உள்ளதால் இதன் மதிப்பு .\(^{ 4 }{ P }_{ 3 }\times 21\times 10\) இதுபோலவே, 100ஆம் இடம் மற்றும் 1000மாவது இடத்தில் உள்ள எண்களின் மதிப்புகள் முறையே \(^{ 4 }{ P }_{ 3 }\times 21\times 100\)மற்றும் .\(^{ 4 }{ P }_{ 3 }\times 21\times 1000\) எனவே, 1, 2, 4, 6, 8 என்ற இலக்கங்களைக் கொண்டு உருவாகும் எல்லா 4-இலக்க எண்களின் கூட்டுத்தொகை
\(\left( ^{ 4 }{ P }_{ 3 }\times 21 \right) +\left( ^{ 4 }{ P }_{ 3 }\times 21\times 10 \right) +\left( ^{ 4 }{ P }_{ 3 }\times 21\times 100 \right) +\left( ^{ 4 }{ P }_{ 3 }\times 21\times 1000 \right) \)
\(=^{ 4 }{ P }_{ 3 }\left( 21\times 1111 \right) \)
\(=24\times 21\times 1111\)
= 559944

IITJEE யில் உள்ள எழுத்துகள் அகராதி வரிசையில் E,E,I,I,J,T என்றவாறு இருக்கும். அகராதியில் E யில் துவங்கும் வார்த்தைகள் முதலில் வரும். முதல் இடத்தை E ஆல் நிரப்பி, மீதமுள்ள 5 (E,I,I,J,T) எழுத்துகளை \(\frac { 5! }{ 2! } \)வழிகளில் வரிசைப்படுத்தலாம்.
இதுபோல் தொடர நமக்கு கிடைப்பது,
E _ _ _ _ _ = \(\frac { 5! }{ 2! } \) = 60 வழிகள்
E _ _ _ _ _ = 4! = 24 வழிகள்
I I E _ _ _ = 3! = 6 வழிகள்
I I J _ _ _ = \(\frac { 3! }{ 2! } \) = 3 வழிகள்
I I T E _ _ = 2! = 2 வழிகள்
I I T J E E = 1 வழி.
எனவே, IITJEE என்ற வார்த்தையின் தரம் 60 + 24 + 6 + 3 + 2 + 1 = 96 ஆகும்.

ⁿC_x = ⁿC_y
¹⁵C_2r-1 = ¹⁵C_{2r + 4}  என கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. 
ⁿC_x = ⁿC_y  \(\Rightarrow\)  x = y  அல்லது   x+y = n
நமக்கு கிடைப்பது 2r - 1 = 2r  + 4r
1 \(\neq \)  4  ஆக இருக்க முடியாது  (அல்லது )
2r - 1 +2r + 4 = 15
4r + 3 = 15; 4r = 12
\(\Rightarrow\)  r = \(\frac { 12 }{ 4 } \) = 3
\(\therefore\)  r = 3