தொகுதி =1,3,5,7,9,...
a=1, d=3-1=2
∴ a_n=1+(n-1)2=2n-1
பகுதி =2,4,6,8,10,...
a=2, d=4-2=2
∴ a_n=2+(n-1)2=2n
கொடுக்கப்பட்ட தொடரின் n-ம் உறுப்பு \(\frac { 2n-1 }{ 2n } ,\forall n\epsilon N\).

\(a_{ n }=\frac { 2n+3 }{ 3n+4 } \) என்க.
\(a_{ 1 }=\frac { 2+3 }{ 3+4 } =\frac { 5 }{ 7 } \)
\(a_{ 2 }=\frac { 4+3 }{ 6+4 } =\frac { 7 }{ 10 } \)
\(a_{ 3 }=\frac { 6+3 }{ 9+4 } =\frac { 9 }{ 13 } \)
\(a_{ 4 }=\frac { 8+3 }{ 12+4 } =\frac { 11 }{ 16 } \)
\(a_{ 5 }=\frac { 10+3 }{ 15+4 } =\frac { 13 }{ 9 } \)
\(a_{ 6 }=\frac { 12+3 }{ 18+4 } =\frac { 15 }{ 22 } \)
∴ தொடர் =\(\frac { 5 }{ 7 } ,\frac { 7 }{ 10 } ,\frac { 9 }{ 13 } ,\frac { 11 }{ 16 } ,\frac { 13 }{ 19 } ,\frac { 15 }{ 22 } \) இது ஒரு AP-யும் அல்ல, இது ஒரு GP-யும் அல்ல. எது ஒரு AGP-யும் அல்ல.

n = 7 என்பது ஒற்றைப்படை எண். எனவே , இரண்டு மைய உறுப்புகள், அதாவது x⁴y³ மற்றும் x³y⁴ -ஐ கொண்டவையாக இருக்கும். அவை ,⁷C₃x⁴y³  மற்றும் ⁷C₄x³y⁴ ஆகும். எனவே மைய உறுப்புகள் 35x⁴y³ மற்றும் 35x³y⁴ ஆகும்.

(a+b)ⁿ என்ற ஈருறுப்புத் தேற்றத்தின் விரிவில் a = 2x, b = 3 மற்றும் n = 5 எனப் பிரதியிட
(2x + 3)⁵ = (2x)⁵+ 5(2x)⁴3 + 10(2x)³3² +10(2x)²3³ +5(2x)3⁴ + 3⁵
= 32x⁵ + 240x⁴ + 720x³ + 1080x² + 810x + 243

\({ e }^{ \frac { 1 }{ 2 } x }=1+\frac { \left( \frac { x }{ 2 } \right) }{ 1! } +\frac { \left( \frac { x }{ 2 } \right) ^{ 2 } }{ 2! } +\frac { \left( \frac { x }{ 2 } \right) ^{ 3 } }{ 3! } +\frac { \left( \frac { x }{ 2 } \right) ^{ 4 } }{ 4! } +\frac { \left( \frac { x }{ 2 } \right) ^{ 5 } }{ 5! } +...\)
=\(1+\frac { x }{ 2 } +\frac { x^{ 2 } }{ 8 } +\frac { { x }^{ 3 } }{ 48 } +\frac { { x }^{ 4 } }{ 384 } +\frac { x^{ 5 } }{ 3840 } +...\)

இங்கு, a = 1 , d = 3 மற்றும் r=\(\frac{1}{5}\)
\({ S }_{ \infty }=\frac { a }{ 1-r } +\frac { dr }{ { (1-r) }^{ 2 } } \)
\(=\frac { 1 }{ 1-\frac { 1 }{ 5 } } +\frac { 3\times \frac { 1 }{ 5 } }{ { (1-\frac { 1 }{ 5 } ) }^{ 2 } } \)
\(=\frac { 5 }{ 4 } +\left( \frac { 3 }{ 5 } \right) \left( \frac { 25 }{ 16 } \right) \)
\(=\frac { 35 }{ 26 } \)

n ஆம் உறுப்பு T_n என்க.
T_n =1+4+4²+4³+.....
=\(\frac { 1({ 4 }^{ n }-1) }{ 4-1 } =\frac { { 4 }^{ n }-1 }{ 3 } \)
n உறுப்புகளின் கூடுதல் S_n என்க.
S_n =\(\overset { n }{ \underset { k=1 }{ \Sigma } } { T }_{ k }=\overset { n }{ \underset { k=1 }{ \Sigma } } \frac { { 4 }^{ k }-3 }{ 3 } =\frac { 1 }{ 3 } \left( \overset { n }{ \underset { k=1 }{ \Sigma } } 4^{ k }-\overset { n }{ \underset { k=1 }{ \Sigma } } 3 \right) \)
⇒ S_n=\(\frac{1}{3}\)[4¹+4²+...+4ⁿ-3ⁿ]
⇒ S_n=\(\frac { 1 }{ 3 } \left[ 4\frac { ({ 4 }^{ n }-1) }{ 4-1 } -3n \right] \)
⇒ S_n=\(\frac { 1 }{ 3 } \left[ 4\frac { ({ 4 }^{ n }-1) }{ 3 } -3n \right] =\frac { 1 }{ 3 } \left[ 4\frac { ({ 4 }^{ n }-1)-9n }{ 3 } \right] \)

S_n=\(\frac { 4 }{ 9 } \)(4n-1)-n

\({ \left( { 2x }^{ 3 }-\frac { 1 }{ { 3x }^{ 2 } } \right) }^{ 5 }\), n=5, x=2x³, a=\(\frac { -1 }{ 3x^{ 2 } } \)
பொது உறுப்பு
=T_r+1=\({ n }_{ { C }_{ r } }{ x }^{ n-r }{ a }^{ r }={ 5 }_{ C_{ r } }({ 2x }^{ 3 })^{ 5-r }\left( \frac { -1 }{ 3x^{ 2 } } \right) ^{ r }\)
=\({ 5 }_{ { C }_{ r } }{ 2 }^{ 5-r }{ x }^{ 15-3r }\frac { (-1)^{ r } }{ { 3 }^{ r }{ x }^{ 2r } } \)
=\({ 5 }_{ { C }_{ r } }\frac { 2^{ 5-r }(-1)^{ r } }{ { 3 }^{ r } } \).x^15-3r-2r
மாறிலி உறுப்பை காண,
15-3r-2r=0 என்க
⇒ 15-5r=0 ⇒ 15=5r ⇒ r=\(\frac{15}{5}\)=3
r=3 ஐ (1) ல் பிரதியிட
T₄=\({ 5 }_{ { C }_{ 3 } }\frac { { 2 }^{ 2 } }{ { 3 }^{ 3 } } (-1)^{ 3 }{ x }^{ 0 }=-{ 5 }_{ { C }_{ 0 } }\frac { 4 }{ 27 } =\frac { -5\times 4\times 3 }{ 3\times 2\times 1 } \times \frac { 4 }{ 27 } =\frac { -40 }{ 27 } \)
∴ மாறிலி உறுப்பு  = \(\frac { -40 }{ 27 } \).

\({ \left( { x }^{ 2 }-\frac { 1 }{ { x }^{ 3 } } \right) }^{ 6 }\), n=6, x=x², a=\(\frac { -1 }{ { x }^{ 3 } } \)
∴ பொது உறுப்பு ⇒ T_r+1=ⁿC_rx^n-ra^r
⇒ T_r+1=⁶C_r(x^r)^6-r \(\left( \frac { -1 }{ { x }^{ 3 } } \right) ^{ r }\)
=(-1)^r6C_rx^12-5r  ...(1)
x⁶ ன் கெழுவினைக்கான 12-5r=6 எனக் கொள்க.
12-5r=6 ⇒ 12-6=5r ⇒ 6=5r
r=\(\frac{6}{5}\) இங்கு x⁶ இருக்கமுடியாது
x²-ன் கெழுவைக் காண 12-5r=2 என பிரதியிட
12-5r=2
⇒ 12-2=5r ⇒ 10=5r ⇒ r=2
r=2 என (1) ல் பிரதியிட
T₃=(-1)²⁶C₂x^12-10=\(\frac { 6\times 5 }{ 2\times 1 } \)x²=15x²
∴ x² ன் கெழு =15

இங்கு நாம் (1+x)² -ன் விரிவாக்கத்தினைப் பயன்படுத்துவோம்.
அதற்கு (3+2x) ஐ \(3\left( 1+\frac { 2x }{ 3 } \right) \) என எழுதுவோம்.
எனவே \(\frac { 1 }{ { (3+2x) }^{ 2 } } =\frac { 1 }{ 3^{ 2 }\left( 1+\frac { 2x }{ 3 } \right) ^{ 2 } } \)
\(=\frac { 1 }{ 9 } \left( 1+\frac { 2x }{ 3 } \right) ^{ -2 }\)
\(=\frac { 1 }{ 9 } { (1+y) }^{ -2 }\)   (\({2x \over 3 }=y\) என்க)
\(=\frac { 1 }{ 9 } (1-2y+3{ y }^{ 2 }-4y^{ 3 }+5{ y }^{ 4 }-...),|y|<1\)
\(=\frac { 1 }{ 9 } \left( 1-2\left( \frac { 2x }{ 3 } \right) +3\left( \frac { 2x }{ 3 } \right) ^{ 2 }-4\left( \frac { 2x }{ 3 } \right) ^{ 3 }+5\left( \frac { 2x }{ 3 } \right) ^{ 4 }-... \right) ,\left| \frac { 2x }{ 3 } \right| <1\)
\(=\frac { 1 }{ 9 } \left( 1-\frac { 4 }{ 3 } x+\frac { 4 }{ 3 } { x }^{ 2 }-\frac { 32 }{ 27 } { x }^{ 3 }+\frac { 80 }{ 81 } x^{ 4 }-... \right) \left| x \right| <\frac { 3 }{ 2 } \)
எனவே\(\frac { 1 }{ { (3+2x) }^{ 2 } } =\frac { 1 }{ 9 } -\frac { 4 }{ 27 } x+\frac { 4 }{ 27 } { x }^{ 2 }-\frac { 32 }{ 243 } { x }^{ 3 }+\frac { 80 }{ 729 } x^{ 4 }-...\left| x \right| <\frac { 3 }{ 2 } \) இந்த விரிவு ஏற்புடையதாக இருக்க \(\left| x \right| <\frac { 3 }{ 2 } \)ஆக இருக்கவேண்டும்.