\(\frac { 8! }{ 5!\times 2! } =\frac { 8\times 7\times 6\times 5! }{ 5!\times 2! } =\frac { 8\times 7\times 6 }{ 2 } =168\)

6! - 5! = 6 x 5! - 5! = (6 - 1) x 5! = 5 x 120 = 600

ஒரு நாணயத்தைச் சுண்டும் போது {தலை, பூ} என 2 விளைவுகள் கிடைக்கும். எண்ணுதல் விதிப்படி, 5 நாணயங்களைச் சுண்டும் போது ஏற்படும் விளைவுகளின் எண்ணிக்கை 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 2⁵ = 32.

⁸P₄= 8×7×6×5 = 1680

⁵P₃ = 5×4×3 = 60

(i) 

இலக்கங்கள்  திரும்ப  வரும் வழியில் 
ஒன்றாம் இடம்  = 1
பத்தாம் இடம்  = 10
நூறாம் இடம்  = 9 (0 வைத் தவிர  ) 
பெருக்கலின்  அடிப்படைக் கொள்கையின் படி 
3 ஆனது ஒன்றாம்  இலக்க  இடத்தில்  திரும்ப  வரும் நிலைகள்  = 1 x 10 x 9 = 90
(ii)  இலக்கங்கள்  திரும்ப வராதவாறு 

 ஒன்றாம் இடம்  = 1 வழியில் 
பத்தாம் இடம்  = 8 வழிகளில் 
நூறாம் இடம்  = 8 வழிகளில் 1,2,3,4,5,6,7,8, (0 மற்றும்  9 ஐத்  தவிர  )
\(\therefore \)  மொத்த வழிகள்  = 1 x 8 x  8 = 64 

P(n)=1+3+5+...+(2n-1) என்க.
எனவே, P(1)=1=1² என்பது உண்மை.
n = k-க்கு இந்த கூற்றை உண்மை எனக் கொள்வோம்.
எனவே,
P(k)=1+3+5+...+(2k-1)
அதாவது P(k)=k²
இப்பொழுது P(k+1)=(k+1)² என நிறுவவேண்டும்.
P(k+1)=1+3+5+...+(2(k+1)-1)
=\(\underbrace { 1+3+5+7+...+(2k-1) } +2k+1\)
=P(k)+2k+1
=k²+2k+1=(k+1)²
எனவே, P(k+1) என்பது உண்மை.
P(k) உண்மை எனக் கொண்டு P(k+1) உண்மை என நிறுவியுள்ளோம்.
எனவே, கணிதத் தொகுத்தறிதல் மூலம், எல்லா முழு எண்கள் n≥1-க்கும்,முதல் n ஒற்றை மிகை எண்களின் கூடுதல் n² என நிறுவப்பட்டது.

இதில் 11 எழுத்துகள் உள்ளன. இதில் 4 வெவ்வேறான எழுத்துகள் (R,S,T,N) 2 ஓரே மாதிரியான எழுத்துகள் கொண்ட 2 தொகுப்புகள் (PP, II) மற்றும் 3 ஓரே எழுத்துகளை கொண்ட ஒரு தொகுப்பு (OOO) ஆகியவை உள்ளன.
கீழ்க்கண்ட அட்டவணையானது, மேற்கண்ட தொகுப்பிற்கு சாதகமான பல்வேறு சேர்வுகளையும் மற்றும் அதற்கான வார்த்தைகளின் எண்ணிக்கையையும் தருகின்றது.

ஆகவே, மொத்த எழுத்துச்சரங்களின் எண்ணிக்கை
2520 + 20 + 300 + 450 + 3600 = 6890.

⁽ⁿ⁺¹⁾C₈: ^(n-3)P₄ = 57 : 16
\(\Rightarrow\)  \(\frac { ^{ (n+1) }{ C }_{ 8 } }{ ^{ (n-3) }{ C }_{ 8 } } =\frac { 57 }{ 16 } \) \(\left[ \because { nP }_{ r }=\frac { n! }{ \left( n-r \right) ! } ,{ nC }_{ r }=\frac { n! }{ r!\left( n-r \right) ! } \right] \)
\(\Rightarrow\)  16 (n + 6)C8 = 57. (n - 3)P₄ 
\(\Rightarrow\) \(\frac { 16\left( n+1 \right) ! }{ 8!\left( n+1-8 \right) ! } =\frac { 57\left( n-3 \right) ! }{ \left( n-3-4 \right) ! } \)

(n + 1)n (n - 1) (n - 2) = \(\frac { 57\times 8! }{ 16 } \)

 

(n+1)n (n -1) (n - 2) = 21 x 20 x 19 x 18
 n = 20

(i) இலக்கங்கள் திரும்ப வரும் நிலையில்

0,1,2,3,4,5 என்ற இலக்கங்களில் 
1-ம் இடத்தில்  = 6 வழிகளில்  (6 இலக்கங்களைக் கொண்டு )
10-ம் இடத்தில்  = 6 வழிகளில்  (6 இலக்கங்களைக் கொண்டு)
100-ம் இடத்தில் = 4 வழிகளில் (1,2,3,4) ஐப் பயன்படுத்தி 
\(\therefore \) பெருக்கலின் அடிப்படைக்கொள்கையைப் பயன்படுத்தி கிடைக்கும் 3 இலக்க எண்களின் எண்ணிக்கை 
= 4 x 6 x  6 = 144            
(ii)  இலக்கங்கள் திரும்ப வராமல்

100 ம் இடம்  = 4 வழிகளில் 
10ம் இடம்  = 5 வழிகளில் 
1ம் இடம்  = 4 வழிகளில் 
 \(\therefore \) பெருக்கலின் அடிப்படைக்கொள்கையைப் பயன்படுத்தி
= 4 x  5 x  4 = 80 வழிகளில் பெறலாம். 

கொடுக்கப்பட்ட 5 இலக்கங்களை கொண்டு உருவாக்கப்படும் 4-இலக்க எண்களின் எண்ணிக்கை ⁵P₄ = 120 நாம் முதலில் ஒன்றாம் இடத்தில் உள்ள எல்லா 120 எண்களின் கூடுதலைக் காண்போம். ஒன்றாம் இடத்தில் 1ஐ அமைத்து, மற்ற இடங்களில் மீதமுள்ள 4 எண்களை ⁴P₃ = 24 வழிகளில் வரிசைப்படுத்தலாம். இதுபோலவே, 2, 4, 6, 8 ஆகிய இலக்கங்கள் ஒன்றாம் இடத்தில் 24 முறை வருகின்றன. எல்லா 120 எண்களின் ஒன்றாம் இடத்தில் வரும் இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகை கிடைக்கும். எனவே
\(\left( ^{ 4 }{ P }_{ 3 }\times 1 \right) +\left( ^{ 4 }{ P }_{ 3 }\times 2 \right) +\left( ^{ 4 }{ P }_{ 3 }\times 4 \right) +\left( ^{ 4 }{ P }_{ 3 }\times 6 \right) +\left( ^{ 4 }{ P }_{ 3 }\times 8 \right) \)
\(=^{ 4 }{ P }_{ 3 }\times \left( 1+2+4+6+8 \right) \)
\(=^{ 4 }{ P }_{ 3 }\times \)(இலக்கங்களின் கூடுதல்)
\(=^{ 4 }{ P }_{ 3 }\times 21\)
இதுபோலவே, 10ஆம் இடத்தில் உள்ள எண்களின் கூட்டுத்தொகை .\(^{ 4 }{ P }_{ 3 }\times 21\) இது 10ஆம் இடத்தில் உள்ளதால் இதன் மதிப்பு .\(^{ 4 }{ P }_{ 3 }\times 21\times 10\) இதுபோலவே, 100ஆம் இடம் மற்றும் 1000மாவது இடத்தில் உள்ள எண்களின் மதிப்புகள் முறையே \(^{ 4 }{ P }_{ 3 }\times 21\times 100\)மற்றும் .\(^{ 4 }{ P }_{ 3 }\times 21\times 1000\) எனவே, 1, 2, 4, 6, 8 என்ற இலக்கங்களைக் கொண்டு உருவாகும் எல்லா 4-இலக்க எண்களின் கூட்டுத்தொகை
\(\left( ^{ 4 }{ P }_{ 3 }\times 21 \right) +\left( ^{ 4 }{ P }_{ 3 }\times 21\times 10 \right) +\left( ^{ 4 }{ P }_{ 3 }\times 21\times 100 \right) +\left( ^{ 4 }{ P }_{ 3 }\times 21\times 1000 \right) \)
\(=^{ 4 }{ P }_{ 3 }\left( 21\times 1111 \right) \)
\(=24\times 21\times 1111\)
= 559944

(i) வண்டியில் உள்ள 8 இருக்கையில் ஒரு இருக்கை ஓட்டுனருக்காக ஒதுக்கப்பட்டுள்ளது. எந்த கட்டுப்பாடும் இல்லாததால் யார் வேண்டுமானாலும் வேனை ஓட்டலாம். எனவே, ஓட்டுநர் இருக்கையில் அமர ⁷P₁ = 7 வழிகள் உள்ளன. மீதமுள்ள 7 இருக்கைகளில் மீதமுள்ள 6 நபர்கள் ⁷P₆ = 5040 வழிகளில் அமரலாம். எனவே, வண்டியில் அந்த குடும்பத்தை 7 x 5040 = 35280 வழிகளில் அமரவைக்க முடியும்.
(ii) ஓட்டுநர் இருக்கை F அல்லது M ஆல் நிரப்பப்படவுள்ளதால், இதனை நிரப்ப இரண்டு வழிகள் உள்ளன. எனவே, வண்டியில் அந்த குடும்பத்தை 2 x 5040 = 10080 வழிகளில் அமரவைக்க முடியும்
(iii) 5 சன்னலோர இருக்கைகள் மட்டுமே இருப்பதால், D₁ மற்றும் D₂ ஆகியோர் சன்னலோர இருக்கையில் அமர ⁵P₂ = 20 வழிகள் உள்ளன. ஓட்டுநர் இருக்கையில் அமர்கிறார், மீதமுள்ள 4 நபர்கள் மீதமுள்ள 5 இருக்கைகளில் அமர ⁵P₄ = 120 வழிகள் உள்ளன. எனவே, வண்டியில் அந்த குடும்பம் 20 x 1 x 120 = 2400  வழிகளில் அமரமுடியும்.

P(n)= 3²ⁿ⁺²-8n-9 ஆனது 8ஆல் வகுபடும் என்க.
n = 1 என பிரதியிட P(1)=3²⁺²-8(1)-9=64, இது 8ஆல் வகுபடும்.
எனவே P(1) உண்மை.
n = k-க்கு இந்த கூற்று உண்மை எனக்  கொள்க.
எனவே P(k)=3^2k+2-8k-9 ஆனது 8ஆல் வகுபடும்.
ஆகவே, P(k)=3^2k+2-8k-9 =8k₁,k₁∈N
ஆகவே,3^2k+2=8k₁+8k+9 என எழுதலாம்.
P(k+1)=3^2(k+1)+2-8(k+1)-9 ஆனது 8ஆல் வகுபடும் என நிறுவ வேண்டும்.
P(k+1)=3^2(k+1)+2-8(k+1)-9 
=3²3^2k+2-8k-8-9
=3²(8k₁+8k+9)-8k-17 
=72k₁+72k+81-8k-17=72k₁+64k+64
=8(9k₁+8k+1)
=8k₂,k₂=9k₁+8k+1∈N
P(k+1) என்பது 8ஆல் வகுபடும். எனவே P(k+1) என்பது உண்மை. P(k) உண்மை எனக் கொண்டு P(k+1) உண்மை என நிறுவியுள்ளோம். எனவே கணிதத் தொகுத்தறிதல்படி n≥1-க்கு 3²ⁿ⁺²-8n-9 ஆனது 8ஆல் வகுபடும்.