25⁰ = முதல் காற்பகுதியில் அமையும்.

cos 135^o = cos (90^o + 45^o) = - sin(45^o) = \(-\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \)
(அல்லது) cos 135^o = cos (180^o - 45^o) = - cos (45^o) = \(-\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \)

cos 105° = cos (60° + 45°) = cos 60° . cos 45° - sin 60° sin 45°
= \(\frac { 1 }{ 2 } .\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } -\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } .\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \)
= \(\frac { 1-\sqrt { 3 } }{ 2\sqrt { 2 } } \)

ac cos θ = bc மற்றும் ac sin θ = ad ஆகியவற்றை வர்க்கப்படுத்திக் கூட்டக் கிடைப்பது
a² c² = b² c² + a² d²

கயிற்றின் நீளம் = 12 மீ.
முக்கோணத்தின் சுற்றளவு = 12 மீ.
நிலையான சுற்றளவு கொண்ட சமபக்க பரப்பு மீப்பெரும் மதிப்பாகும்.
சமபக்க Δ-ன் பக்கம் = a என்க 
a + a + a = 12
3a =12
a = 4 மீ.
சமபக்க Δ-ன் உயரம் AD = \(\sqrt { { AB }^{ 2 }-{ BD }^{ 2 } } \)
= \(\sqrt { { 4 }^{ 2 }-{ 2 }^{ 2 } } =\sqrt { 16-4 } =\sqrt { 12 } =2\sqrt { 3 } \)
ABC = \(\frac { 1 }{ 2 } \) x  BC x AD

cos θ = \(\frac { 1 }{ 2 } \left[ { a }^{ }+\frac { 1 }{ { a }^{ } } \right] \) கொடுக்கப்பட்டுள்ளது 
⇒ cos 3θ = \(\frac { 1 }{ 2 } \left[ { a }^{ 3 }+\frac { 1 }{ { a }^{ 3 } } \right] \)
L.H.S = cos 3θ = 4 cos³ θ - 3 cos θ
= \(4\left[ { \left( \frac { 1 }{ 2 } \left( a+\frac { 1 }{ a } \right) \right) }^{ 3 } \right] -\left[ 3.\frac { 1 }{ 2 } \left( a+\frac { 1 }{ a } \right) \right] \)
= \(4\left[ \frac { 1 }{ 8 } \left( { a }^{ 3 }+3{ a }^{ 2 }.\frac { 1 }{ a } +3a\frac { 1 }{ { a }^{ 2 } } +\frac { 1 }{ { a }^{ 3 } } \right) \right] -\left[ \frac { 3 }{ 2 } \left( a+\frac { 1 }{ a } \right) \right] \)
= \(\frac { 1 }{ 2 } \left( { a }^{ 3 }+3{ a }+\frac { 3 }{ { a } } +\frac { 1 }{ { a }^{ 3 } } \right) -\frac { 3 }{ 2 } \left( a+\frac { 1 }{ a } \right) \)
= \(\frac { 1 }{ 2 } \left( { a }^{ 3 }+\frac { 1 }{ { a }^{ 3 } } \right) +\frac { 1 }{ 2 } \left( 3a+\frac { 3 }{ a } \right) -\frac { 3 }{ 2 } \left( a+\frac { 1 }{ a } \right) \)

= \(\frac { 1 }{ 2 } \left( { a }^{ 3 }+\frac { 1 }{ { a }^{ 3 } } \right) \) = RHS.எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

வட்டத்தின் ஆரம் = r என்க 
வட்டக்கோணப்பகுதியின் சுற்றளவு = l + 2r 
l = rθ, ∴ = rθ + 2r

⇒ 2 + θ = π
θ = (π - 2) ஆரையன் = (π - 2) x \(\frac { 180 }{ \pi } \)
= 180 - \(\frac { 360 }{ \pi } \) = 180 - 360 x \(\frac { 7 }{ 22 } \)
[ \(\frac { 360 }{ \pi } =360\times \frac { 7 }{ 22 } \)
= \({ 114 }^{ 0 }\frac { 12 }{ 22 } \)
= \({ 114 }^{ 0 }\left( \frac { 12 }{ 22 } \times 60 \right) \)
= 114⁰32'44"
180⁰ = 179⁰ 60' 60''
\(\frac { -360 }{ \pi } =\frac { { 114 }^{ 0 }\pm 32'44'' }{ { 65 }^{ 0 }28'16'' } \) ]
= 180⁰ - 114⁰32'44''
= 65⁰ 28' 16''

ஆரம் = 100 செ.மீ.
வில்லின் நீளம் = 22 செ.மீ.
வில் l ஆனது மையத்தில் தாங்கும் கோணம் θ என்க 
∴ θ = \(\frac { l }{ r } =\frac { 22 }{ 100 } \)
⇒ π ஆரையன் = 180⁰
⇒ 1 ஆரையன் = \(\frac { { 180 }^{ 0 } }{ \pi } \)

⇒ \(\theta =\frac { 63 }{ 5 } ={ 12 }^{ 0 }\frac { 3 }{ 5 } \left[ \frac { { 3 }^{ 0 } }{ 5 } =\frac { 3 }{ 5 } \times 60={ 36 }^{ ' } \right] \)
⇒ θ = 12⁰ 36'.

cos 15° = cos (45° – 30°) = cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30°
= \(\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } +\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \frac { 1 }{ 2 } =\frac { \sqrt { 3 } +1 }{ 2\sqrt { 2 } } \)
மேலும், sin75^o = \(\frac { \sqrt { 3 } +1 }{ 2\sqrt { 2 } } \) எனக் குறிக்கலாம். (செய்து பார்).

tan 75⁰ = tan (45⁰ + 30⁰)
= \(\frac { \tan { { 45 }^{ 0 }+\tan { { 30 }^{ 0 } } } }{ 1-\tan { { 45 }^{ 0 }.\tan { { 30 }^{ 0 } } } } \)
tan 75⁰ = \(\frac { 1+\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } }{ 1-1.\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } } =\frac { \frac { \sqrt { 3 } +1 }{ \sqrt { 3 } } }{ \frac { \sqrt { 3 } -1 }{ \sqrt { 3 } } } \)
= \(\frac { \sqrt { 3 } +1 }{ \sqrt { 3 } -1 } \)
cot 75⁰ = \(\frac { \sqrt { 3 } -1 }{ \sqrt { 3 } +1 } \)
∴ L.H.S = tan 75⁰ + cot 75⁰
= \(\frac { \sqrt { 3 } +1 }{ \sqrt { 3 } -1 } +\frac { \sqrt { 3 } -1 }{ \sqrt { 3 } +1 } \)
= \(\frac { { \left( \sqrt { 3 } -1 \right) }^{ 2 }+{ \left( \sqrt { 3 } -1 \right) }^{ 2 } }{ { \sqrt { 3 } }^{ 2 }-{ 1 }^{ 2 } } \)
= \(\frac { 3+1+2\sqrt { 3 } +3+1-2\sqrt { 3 } }{ 3-1 } \)
= \(\frac { 8 }{ 2 } \) = 4 R.H.S எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது .

0 < A < \(\frac { \pi }{ 2 } \), 0 < B < \(\frac { \pi }{ 2 } \),
A, B, முதல் பகுதியில் அமைவன.
∴ அனைத்து முக்கோண விகிதங்களும் மிகையாகும்.
BC = \(\sqrt { { 5 }^{ 2 }-{ 3 }^{ 2 } } =\sqrt { 25-9 } \)
= \(\sqrt { 16 } \) = 4
DE = \(\sqrt { { 41 }^{ 2 }-{ 9 }^{ 2 } } \)
= 40
sin A = \(\frac { 3 }{ 5 } \)
sin B = \(\frac { 40 }{ 41 } \)
cos A = \(\frac { 4 }{ 5 } \)
cos B = \(\frac { 9 }{ 41 } \)
cos (A - B) = cosA cosB + sinA sinB
= \(\frac { 4 }{ 5 } \times \frac { 9 }{ 41 } +\frac { 3 }{ 5 } \times \frac { 40 }{ 41 } \)
= \(\frac { 36 }{ 205 } +\frac { 120 }{ 205 } \)
= \(\frac { 156 }{ 205 } \)

\(\theta =\left( 8n+1 \right) \frac { \pi }{ 4 } ,n\in Z\)

\(\sin { x } +\cos { x } =t\)
\(\Rightarrow 1+2\sin { x } \cos { x } ={ t }^{ 2 } \Rightarrow \sin { x } \cos { x } =\frac { { t }^{ 2 }-1 }{ 2 } \)
எனவே, கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு \({ t }^{ 2 }-2t+1=0\Rightarrow t=1\) என ஆகிறது.
எனவே, \(\sin { x } +\cos { x } =1\)
\(\sqrt { 2 } \left( \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \sin { x } +\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \cos { x } \right) =1\)
\(\sqrt { 2 } \cos { \left( \frac { \pi }{ 4 } -x \right) } =1 \Rightarrow \cos { \left( \frac { \pi }{ 4 } -x \right) } =\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \)
எனவே, நமக்குக் கிடைப்பது
\(x-\frac { \pi }{ 4 } =\pm \frac { \pi }{ 4 } +2n\pi ,\quad n\in Z\)
\(x=\frac { \pi }{ 2 } +2n\pi \) அல்லது \(x=2n\pi ,\quad n\in Z\)

A, B  பைலட்களின் இருப்பிடம் C படகின் இருப்பிடம்
கொசைன் விதிப்படி c²=a²+b2-2ab cosC
⇒ 10²=a²+6²-2a(6)cos60⁰
⇒ 100=a²+36-12 x \(\frac{1}{2}\)a
⇒ 100=a²+36-6a
⇒ a²-6a-64=0
⇒ a=\(\frac { 6\pm \sqrt { -{ 6 }^{ 2 }-4(1)(-64) } }{ 2\times 1 } \)    
=\(\frac { 6\pm \sqrt { 36+256 } }{ 2 } \)                 
a=\(\frac { 6\pm \sqrt { 292 } }{ 2 } \)                    
a=3±\(\sqrt { 73 } \)                     
a=(3±\(\sqrt { 73 } \)) கி.மீ
\(\left( \because x=\frac { -b\pm \sqrt { { b }^{ 2 }-4ac } }{ 2a } \right) \)
a=1, b=-6, c=-64
\(\sqrt { 292 } =\sqrt { 2\times 146 } \)
=\(\sqrt { 2\times 2\times 73 } \)=\(2\sqrt { 73 } \)
(∵ 3-\(\sqrt { 73 } \) குறை எண்)

A+B+C=180
A+B=180-C
\(\Rightarrow \cfrac { A }{ 2 } +\cfrac { B }{ 2 } =90-\cfrac { C }{ 2 } \)
\(= \tan\left( \cfrac { A }{ 2 } +\cfrac { B }{ 2 } \right) =\tan\left( 90-\cfrac { C }{ 2 } \right) =\cot\cfrac { C }{ 2 } \)
\(\Rightarrow \cfrac { tan\cfrac { A }{ 2 } +tan\cfrac { B }{ 2 } }{ 1-tan\cfrac { A }{ 2 } .tan\cfrac { B }{ 2 } } =\cfrac { 1 }{ tan\cfrac { C }{ 2 } } \)
\(\Rightarrow tan\cfrac { A }{ 2 } .tan\cfrac { C }{ 2 } +tan\cfrac { B }{ 2 } .tan\cfrac { C }{ 2 } =1-tan\cfrac { A }{ 2 } .tan\cfrac { B }{ 2 } \)
\(\Rightarrow tan\cfrac { A }{ 2 } .tan\cfrac { C }{ 2 } +tan\cfrac { B }{ 2 } .tan\cfrac { C }{ 2 } +tan\cfrac { A }{ 2 } .tan\cfrac { B }{ 2 } =1\)
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

\(\frac { \cos ^{ 4 }{ \alpha } }{ \cos ^{ 2 }{ \beta } } +\frac { \cos ^{ 4 }{ \alpha } }{ \cos ^{ 2 }{ \beta } } \) = 1
⇒ \(\frac { \cos ^{ 4 }{ \alpha } .\sin ^{ 2 }{ \beta } }{ \cos ^{ 2 }{ \beta } .\sin ^{ 2 }{ \beta } } +\frac { \cos ^{ 2 }{ \beta } .\sin ^{ 4 }{ \alpha } }{ \cos ^{ 2 }{ \beta } \sin ^{ 2 }{ \beta } } \)
⇒ \(\cos ^{ 4 }{ \alpha } \sin ^{ 2 }{ \beta } +\cos ^{ 2 }{ \beta } \sin ^{ 4 }{ \alpha } =\cos ^{ 2 }{ \beta } \sin ^{ 2 }{ \beta } \)
⇒ \(\cos ^{ 4 }{ \alpha } \left( 1-\cos ^{ 2 }{ \beta } \right) +\cos ^{ 2 }{ \beta } { \left( 1-\cos ^{ 2 }{ \alpha } \right) }^{ 2 }=\cos ^{ 2 }{ \beta } \left( 1-\cos ^{ 2 }{ \beta } \right) \)
⇒ \(\cos ^{ 4 }{ \alpha } -\cos ^{ 4 }{ \alpha } .\cos ^{ 2 }{ \beta } +\cos ^{ 2 }{ \beta } +\cos ^{ 2 }{ \beta } \cos ^{ 4 }{ \alpha } -2\cos ^{ 2 }{ \beta } \cos ^{ 2 }{ \alpha } =\cos ^{ 2 }{ \beta } -\cos ^{ 4 }{ \beta } \)
⇒ \(\cos ^{ 4 }{ \alpha } -2\cos ^{ 2 }{ \beta } \cos ^{ 2 }{ \alpha } +\cos ^{ 4 }{ \beta } \) = 0
⇒ \({ \left( \cos ^{ 2 }{ \alpha } -\cos ^{ 2 }{ \beta } \right) }^{ 2 }\) = 0
⇒ \(\cos ^{ 2 }{ \alpha } =\cos ^{ 2 }{ \beta } \)  .......(1)
⇒ \(1-\sin ^{ 2 }{ \alpha } =1-\sin ^{ 2 }{ \beta } \)
⇒ \(\sin ^{ 2 }{ \alpha } =\sin ^{ 2 }{ \beta } \)   .....(2)
\(\sin ^{ 4 }{ \alpha } +\sin ^{ 4 }{ \beta } =2\sin ^{ 2 }{ \alpha } \sin ^{ 2 }{ \beta } \)
LHS = \(\sin ^{ 4 }{ \alpha } +\sin ^{ 4 }{ \beta } \)
= \(\left( \sin ^{ 2 }{ \alpha } -\sin ^{ 2 }{ \beta } \right) +2\sin ^{ 2 }{ \alpha } \sin ^{ 2 }{ \beta } \)
∵ \(\sin ^{ 2 }{ \alpha } =\sin ^{ 2 }{ \beta } \)   (மேற்கண்ட சமன்பாடு (2) - இல் இருந்து)
LHS = \(2\sin ^{ 2 }{ \alpha } \sin ^{ 2 }{ \beta } \) = RHS எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது