எந்தவொரு கணத்திலும், பொருள் ஒன்றின் முடுக்கம் என்பது அதன் திசைவேக மாறும் வீதத்திற்கு சமமாகும்.
முடுக்கம் \(\vec{a}=\frac{d \vec{v}}{d t} \) இது ஒரு வெக்டா் அளவு.

திசைவேகம்:
நேரத்தைப் பொருத்து பொருள் ஒன்றின் நிலை வெக்டா் மாறும் வீதம் திசைவேகம் எனப்படும். இது ஒரு வெக்டர் அளவு.
\(\vec{v}=\frac{d \vec{r}}{d t}\)
வேகம்:
திசைவேகத்தின் எண் மதிப்பு வேகம் எனப்படும்.
அதன் மதிப்பு \(v=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}\)  இது ஒரு நோ்க்குறி ஸ்கேலாா் அளவு. 

\( |\overrightarrow{A}-\overrightarrow{B}|=\sqrt{A^2+B^2-2AB\cos \theta }\)  
\(\Rightarrow|\overrightarrow{A}-\overrightarrow{B}|=\sqrt{5^2+7^2-2\times5\times7\ \cos 60°}\)
\(=\sqrt{25+49-35}=\sqrt{39}\) அலகுகள்
\(\vec A \) வெக்டரைப் பொருத்து \(\vec A - \vec B \) ஏற்படுத்தும் திசை 
\(\tan{ \alpha }_{ 2 }=\frac { 7\sin 60^{ 0 } }{ 5-7\cos 60^{ 0 } } =\frac { 7\sqrt { 3 } }{ 10-7 } =\frac { 7 }{ \sqrt { 3 } } =4.041\)
\({ \alpha }_{ 2 }=\tan^{ -1 }\left( 4.041 \right) \cong 76^{ o }\)

வட்டப்பாதை இயக்கம் மேற்கொள்ளும் புள்ளித் துகள் ஒன்றின் திசைவேகம் எண் மதிப்பிலும் (வேகம்) திசையிலும் தெரடர்ந்து மாறினால் அது சீரற்ற வட்டப்பாதை இயக்கம் எனப்படும்.

வட்டத்தின் ஆரத்திற்கு சமமான நீளமுடைய வட்டவில் அந்த வட்டத்தின் மையத்தில் தாங்கும் கோணம் ரேடியன் எனப்படும்.
1 ரேடியன் \(=\frac{180}{\pi}\)  டிகிரி = 57,295⁰

இரு வெக்டா்களின் வெக்டர் பெருக்கல் மற்றொரு வெக்டா் ஆகும். இதன் எண் மதிப்பு அவ்விரு வெக்டர்களின் எண் மதிப்புகள் மற்றும் அவற்றிற்கிடையேயான கோணத்தின் சைன் மதிப்பு ஆகியவற்றின் பெருக்குத் தொகைக்குக் சமம் ஆகும்.
\(\vec { A } \) மற்றும் \(\vec { B } \) என்பன இரு வெக்டர்கள் எனில், \(\vec{A} \times \vec{B}=\vec{C}=(A B \sin \theta) \hat{n}.\)
\((\hat{n})\) ன் திசை \(\vec{A}, \vec{B}\) வெக்டர்களின் தளங்களுக்கு செங்குத்தான திசையில் இருக்கும். வலதுகை திருகு ஒன்றை \(\vec { A } \) வெக்டரில் இருந்து (முதல் வெக்டர்) \(\vec { B } \) வெக்டரை நோக்கி அவற்றின் சிறிய கோணத்தின் வழியே சுழற்றும்போது திருகு முன்னேறும் திசையில் \(\vec{C}\) வெக்டரின் திசை இருக்கும்.
(i) இது பாிமாற்று விதிக்கு உட்படாது. அதாவது, \(\vec{A} \times \vec{B} \neq \vec{B} \times \vec{A} \cdot\) ஆனால்
\(\vec{A} \times \vec{B}=-[\vec{B} \times \vec{A}]\).
(ii) \(\vec { A } \) மற்றும் \(\vec { B } \) வெக்டர்கள் செங்குத்தாக இருப்பின் θ - 90^o அந்நிலையில்
\((\vec{A} \times \vec{B})\)_{பெருமம்} \(=A B \hat{n}\)
(iii) \(\vec { A } \) மற்றும் \(\vec { B } \) வெக்டர்கள் இணையாக இருப்பின் θ - 0^o அந்நிலையில்
\((\vec{A} \times \vec{B}) \)_{சிறுமம்} = 0 .
(iv) செங்குத்து அலகு வெக்டர்களின் கூறுகள் \(\vec{i}, \vec{j}\) மற்றும் \(\vec{k} \) தங்களுக்குள் வெக்டர் பெருக்கலை மேற்கொள்ளும்போது, \(\hat{i} \times \hat{i}=\hat{j} \times \hat{j}=\hat{k} \times \hat{k}=0\)
(v) செங்குத்து அலகு வெக்டா்களின் கூறுகள் \(\vec{i}, \vec{j}\) மற்றும் \(\vec{k} \) மற்ற அலகு வெக்டர் கூறுகளுடன் வெக்டர் பெருக்கலை மேற்கொள்ளும்போது \(\hat{i} \times \hat{j}=\hat{k}, \hat{j} \times \hat{k}=\hat{i}, \hat{k} \times \hat{i}=\hat{j}\)
(vi) திருப்புவிசை \(\vec{\tau}=\vec{r} \times \vec{F}\), கோண உந்தம் \(\vec{L}=\vec{r} \times \vec{p}\) மற்றும் நேர்கோட்டு திசைகேகம் \(\vec{v}=\vec{\omega} \times \vec{r}\) ஆகியவை வெக்டா் பெருக்கலுக்கு எடுத்துக்காட்டாகும்.

எண் மதிப்பினால் மட்டுமே குறிப்பிடக்கூடிய அளவுகள் ஸ்கேலர் எனப்படும். எடுத்துக்காட்டுகள்: தொலைவு, நிறை, வெப்பநிலை, வேகம் மற்றும் ஆற்றல்

கார்டீசியன் அச்சுகளின் தொகுப்பு மிக எளிமையான குறிப்பாயமாகும். இதில் x, y மற்றும் z என்ற ஆயத் தொலைவுகள் துகளின் நிலையைக் குறிப்பிடுகின்றன. நடைமுறையில், கடிகாரமுள் சுழலும் திசைக்கு எதிர்த்திசையில் உள்ளவாறு வரையப்பட்ட x, y மற்றும் z அச்சுகள் கெஈண்ட முப்பரிமாண கார்டீசியன் அச்சுத் தொகுப்பு முறை இயற்பியலில் பின்பற்றப்படுகிறது.

24 மணி நேரத்தில் உருவாக்கும் கோணம் = 360^o.
∴ கோண இடப்பெயர்ச்சி / மணி \(=\frac{360}{24} \)
=15^o (அல்லது)  \(=\frac{2 \pi}{24}=\frac{\pi}{12}\)

நீரூற்றிலிருந்து வரும் நீா் வட்டப் பாதை இயக்கம் உடையது. எனவே
மையநோக்கு முடுக்கம் \(=\frac{v^2}{r}\)
மைய நோக்கு முடுக்கத்தை புவி ஈர்ப்பு முடுக்கம் அளிக்கிறது.
\(\therefore \mathrm{g}=\frac{v^2}{r}\)
அல்லது \(\mathrm{r}=\frac{v^2}{g}\)
நீரூற்றை சுற்றி ஈரமாகும் பகுதியின் பரப்பு \(=\pi r^2\)
\(=\pi\left(\frac{v^2}{g}\right)^2=\frac{\pi v^4}{g^2}\)

கார்டீசியன் ஆய அச்சுத் தொகுப்பின் அடிப்படையில் கொடுக்கப்பட்ட வெக்டர் சமன்பாட்டை x, y மற்றும் z கூறுகளாகப் பகுத்து அதன் கூறுகளை ஒப்பிட வேன்டும்.
F_1x + F_2x + F_3x = F_4x
F_1y + F_2y + F_3y = F_4y
F_1z + F_2z + F_3z = F_4z

\(\overrightarrow{\tau}=\overrightarrow{r}\times\overrightarrow{F}=\begin{vmatrix}\hat{i} &\hat{j} &\hat{k} \\ 2&3&5\\3&-2&4 \end{vmatrix}\)
\(\overrightarrow{\tau}=(12-(-10)\hat{i}+(15-8)\hat{j}+(-4-9)\hat{k})\)
\(\overrightarrow{\tau}=22\hat{i}+7\hat{j}-13\hat{k}\)

\(3\overrightarrow{A}=3(2\hat{i}+3\hat{j})=6\hat{i}+9\hat{j}\)
\(3\overrightarrow{A}\) வெக்டரின் திசை \(\overrightarrow{A}\) வெக்டரின் திசையிலேயே இருக்கும்.

r ஆரமுடைய வட்டப்பாதையில் v என்ற திசைவேகத்துடன் இயங்கும் பொருள் ஒன்றைக் கருதுவோம். சீரற்ற வட்ட இயக்கத்தின்போது தினைவேகத்தின் எண் மதிப்பு (வேகம்) மாறிலி அல்ல. எப்போதெல்லாம் வேகம் மாறுகிறதோ அப்போது பொருள் படத்தில் காட்டியவாறு மையநோக்கு முடுக்கம் மற்றும் தொடுகோட்டு முடுக்கம் என இரு முடுக்கங்களைக் கொண்டிருக்கும்.

மையநோக்கு முடுக்கம் மற்றும் தொடுகோட்டு முடுக்கம் ஆகியவற்றின் வெக்டர் கூடுதல் தொகுபயன் முடுக்கமாகும். a_t என்பது தொடுவியல் முடுக்கம் மற்றும் \(\frac{v^2}{r}\), என்பது மையநோக்கு முடுக்கம் எனில்,
\(a_R=\sqrt{a_t^2+\left(\frac{v^2}{r}\right)^2}\)
தொகுபயன் முடுக்கம் ஆர வெக்டருடன் θ கோணம் உருவாக்குகிறது.
\(\tan \theta=\frac{a t}{\left(v^2 / r\right)}\)

ஸ்கேலார் பெருக்கல்:
இரு வெக்டர்களின் எண் மதிப்புகள் மற்றும் அவைகளுக்கு இடையேயான கோணத்தின் கொசைன் மதிப்பு ஆகியவற்றின் பெருக்குத்தொகை ஸ்கேலார் பெருக்கல் எனப்படும்.
\(\vec { A } \) மற்றும் \(\vec { B } \) ஆகிய இரு வெக்டர்களுக்கு இடையேயான கோணம் θ எஎில் \( \vec{A} \cdot \vec{B}=\mathrm{AB} \cos \theta.\) A மற்றும் B என்பவை வெக்டர் \(\vec { A } \) மற்றும் \(\vec { B } \) ஆகியவற்றின் எண் மதிப்புகள்.
(எ.கா) வேலை, ஆற்றல் மற்றும் மின்புலப்பாயம்
பண்புகள்:
(i)  \(\vec { A } \).\(\vec { B } \)  எப்போதும் ஒரு ஸ்கேலார். θ < 90^o எனில் அது நேர்க்குறி. \(90^{\circ}<\theta<180^{\circ}\) எனில் அது எதிர்க்குறி.
(ii) வெக்டர்கள் இணையாக உள்ளபோது \(\theta=0^{\circ}, \cos \theta=1, \therefore(\vec{A} \cdot \vec{B})\)_{பெரும்} = AB.
(iii) வெக்டர்கள் எதிரெதிர் திசையில் இணையாக உள்ளபோது \(\theta=180^{\circ}, \cos \theta=-1, \therefore(\vec{A} \cdot \vec{B})\) = AB.
(iv) வெக்டர்கள் ஒன்றுக்கொ்ன்று செங்குத்தாக இருந்தால் \(\theta=90^{\circ}, \cos 90^{\circ}=0, \therefore \vec{A} \cdot \vec{B}=0\)
(v) இது பரிமாற்று வி|திக்கு உட்படும். அதாவது, \(\vec{A} \cdot \vec{B}=\vec{B} \cdot \vec{A}\)
(vi) இது பங்கீட்டு விதிக்கு உட்படும். அதாவது, \(\vec{A} \cdot \vec{B}+\vec{C})=\vec{A} \cdot \vec{B}+\vec{A} \cdot \vec{C}\)
(vii) சுய புள்ளி பெருக்கல்,\(\vec{A} \cdot \vec{A}=A A \cos \theta=A^2\left(\theta=0^{\circ}\right)\) எனில் வெக்டர் \(\vec { A } \)யின் எண்மதிப்பு \(|\vec{A}|\) ஆகும். \(|\vec{A}|=\mathrm{A}=\sqrt{\vec{A} \cdot \vec{A}}\)
(viii) \(\hat{i}, \hat{j}\) மற்றும் \(\hat{k}\) என்பன அலகு வெக்டரின் செங்குத்துக் கூறுகள் எனில்
\(\hat{i} \cdot \hat{i}=\hat{j} \cdot \hat{j}=\hat{k} \cdot \hat{k}=1\) மற்றும் \(\hat{i} \cdot \hat{j}=\hat{j} \cdot \hat{k}=\hat{k} \cdot \hat{i}=0\)
(ix) வெக்டா்களுக்கு இடையேயான் கோணம் \(\theta=\cos ^{-1}\left[\frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{A B}\right]\)
(x) கூறுகளின் அடிப்படையில்,
\(\vec{A} \cdot \vec{B} =\left(A_x \hat{i}+\mathrm{A}_y \hat{j}+\mathrm{A}_z \hat{k}\right) \cdot\left(\mathrm{B}_x \hat{i}+B_y \hat{j}+B_z \hat{k}\right) \)
\(=A_x B_x \hat{i}+A_y B_y \hat{j}+A_z B_z \hat{k}\), மற்றவை சுழியாகும். 
\(\vec { A } \) யின் எண் மதிப்பு \(|\vec{A}|=\mathrm{A}=\sqrt{A_x^2+A_y^2+A_z^2}\) மற்றும்
\(|\vec{B}|=\mathrm{B}=\sqrt{B_x^2+B_y^2+B_z^2}\)
வெக்டர் பெருக்கல்:
இரு வெக்டர்களின் வெக்டர் பெருக்கல் மற்றொரு வெக்டர் ஆகும். இதன் எண்மதிப்பு அவ்விரு வெக்டர்களின் எண்மதிப்புகள் மற்றும் அவற்றிற்கிடையேயான கோணத்தின் சைன் மதிப்பு ஆகியவற்றின் பெருக்குத் தொகைக்குச் சமம் ஆகும்.
\(\vec { A } \) மற்றும் \(\vec { B } \) என்பன இரு வெக்டர்கள் எனில்
\(\vec{A} \times \vec{B}=\vec{G}=(A B \sin \theta) \check{n}\)
\(\hat{n}\) ன் திசை \(\vec { A } \) மற்றும் \(\vec { B } \) வெக்டர்களின் தளங்களுக்கு செங்குத்தான திசையில் இருக்கும். வலது கை திருகு ஒன்றை \(\vec { A } \) வெக்டரிலிருந்து (முதல் வெக்டர்) \(\vec { B } \) வெக்டரை நோக்கி அவற்றின் சிறிய கோணத்தின் வழியே சுழற்றும்போது திருகு முன்னேறும் திசையில் \(\vec{C}\) வெக்டரின் திசை இருக்கும்.
(எ.கா) திருப்புவிசை \(\vec{C}=\vec{r} \times \vec{F}\) மற்றும் \(\vec{L}=\vec{r} \times \vec{p}\)
பண்புகள்:
(i) வெக்டா் பெருக்கலின் தொகுபயன் எப்போதும் ஒரு வெக்டராக இருக்கும். இவ்விரு வெக்டர்கள் \(\vec { A } \) மற்றும் \(\vec { B } \) ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தான வெக்டர்களாக இருந்தாலும் இல்லாவிட்டாலும் தொகுபயனின் திசை அவ்விரு வெக்டர்கள் அமைந்த தளங்களுக்கு செங்குத்தான திசையில் அமையும்.
(ii) பரிமாற்று விதிக்கு உட்படாது. \(\vec{A} \times \vec{B} \neq \vec{B} \times \vec{A} \cdot\) ஆனால் \(\vec{A} \times \vec{B}=-[\vec{B} \times \vec{A}]\)
(iii) \(\vec { A } \) மற்றும் \(\vec { B } \) ஆகியன ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தாக அமையுமானால் \(\theta=90^{\circ}, \sin \theta=1, (\vec{A} \times \vec{B})\)_{பெருமம்} = \(A B \hat{n}\)
(iv) θ = 0^o அல்லது 180^o எனில் sin θ = 0, சுழியற்ற வெக்டா்களாக இருந்தாலும் வெக்டர் பெருக்கல் \((\vec{A} \times \vec{B})\)_{சிறுமம்} = 0
இதன் பொருள் என்னவெனில், வெக்டர்கள் இணையாக இருந்தாலோ எதிர் திசையில் இணையாக அமைந்தாலும் வெக்டா் பெருக்கல் அழிந்துவிடும்.
(v) சுய வெக்டர் பெருக்கல் சுழி வெக்டா் ஆகும்.
\(\vec{A} \times \vec{A}=A A \sin 0^{\circ} \hat{A}=\overrightarrow{0}\)
(vi) அலகு வெக்டர் கூறுகளின் சுய வெக்டா் பெருக்கல் சுழியாகும்.
\(\hat{i} \times \hat{i}=\hat{j} \times \hat{j}=\hat{k} \times \hat{k}=0\)
(vii) அலகு வெக்டர்களின் செங்குத்துக் கூறுகள் \(\hat{i}, \hat{j}\) மற்றும் \(\hat{k}\) ஆகியவற்றின் வெக்டர் பெருக்கல்கள்
\(\hat{i} \times \hat{j}=\hat{k}, \hat{j} \times \hat{k}=\hat{i}\) மற்றும் \(\hat{k} \times \hat{i}=\hat{j}\)  மற்றும்
\(\hat{j} \times \hat{i}=-\hat{k} \hat{k} \times \hat{j}=-\hat{i}\) மற்றும் \(\hat{i} \times \hat{k}=-\hat{j}\)
(viii) கூறுகளின் அடிப்படையில்
\(\vec{A} \times \vec{B}=\left|\begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ A_x & A_y & A_z \\ B_x & B_y & B_z \end{array}\right|=\begin{array}{} \hat{i} \left(A_y B_z-A_z B_y\right) \\ + \hat{j} \left(A_z B_x-A_x B_z\right) \\ +  \hat{k} \left(A_x B_y-A_z B x\right) \end{array}\)
(ix) வெக்டா் \(\vec { A } \) மற்றும் \(\vec { B } \) என்பன ஒரு இணைகரத்தின் இரு பக்கங்களைக் குறித்தால் \(|\vec{A} \times \vec{B}|\) அவ்விணைகரத்தின் பரப்பிற்கு சமம் ஆகும்.
(x) வெக்டர் \(\vec { A } \) ம்ற்றும் \(\vec { B } \) என்பன ஒரே வரிசையில் எடுக்கப்பட்ட ஒரு முக்கோணத்தின் இரு பக்கங்களாக குறுக்கப்பட்டன. \(\frac{1}{2}|\vec{A} \times \vec{B}|\) என்பது அம்முக்கோணத்தின் பரப்பிற்கு சமம் ஆகும்.

தானாக விழும் பொருளுக்கு,
\(h =\frac{1}{2} g p t^2  \)
\(\therefore g_p =\frac{2 h}{t^2}=\frac{2+50}{4}=25 m s^{-2}\)

பறக்கும் காலம் = \(\frac{2 u}{g}\)

தானாக விழும் பொருளுக்கு, செங்குத்தான கீழ்நோக்கிய தொடக்க திசைவேகம் = 0. அதே போன்று கிடைத்தளத்தில் எறியப்பட்ட பொருளின் செங்குத்தான கீழ்நோக்கிய தொடக்க திசைவேகம் = 0. எனவே எந்தவொரு கணத்திலும் அவை கடக்கும் செங்குத்துத் தொலைவுகள் சமமாக அமையும்.

\(\mathrm{V} =2 \hat{i}+t^2 \hat{j}-9 \hat{k}  \)
\(\vec{a} =\frac{d v}{d t}=2 t \cdot \hat{j} \)
\(\mathrm{t} =\mathrm{t}=0.5 \mathrm{~s} \) எனில் 
\(\mathrm{a} =1 \mathrm{~ms}^{-2}\)

தானாக கீழே விழும் பொருள், தரையை அடையும் போது பெற்றிருக்கும் திசை வேகம்
\(v=\sqrt{2 g h}\)
அதாவது \( v_1=\sqrt{2 g h_1}\) மற்றும்
\(v_2=\sqrt{2 g h_2}\)
எனவே, \(\frac{m_1 v_1}{m_2 v_2}=\frac{m_1 \sqrt{h_1}}{m_2 \sqrt{h_2}}=\frac{m_1}{m_2} \sqrt{\frac{h_1}{h_2}}\)

அலகு வெக்டர் என்பது திசையை மட்டும் குறிப்பது ஆகும்.
\(\widehat{A} =\frac{\vec{A}}{|\vec{A}|}  \)
\(\therefore \hat{i}+\hat{j} =\frac{\hat{i}+\hat{j}}{|\hat{i}+\hat{j}|}\)
\(\hat{i}\) மற்றும் \(\hat{j}\) ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தாய் அமைந்த வெக்டா்கள்.
\(\therefore|\hat{j}+\hat{j}| =\sqrt{1^2+1^2}  \)
\(=\sqrt{1+1}  \)
\(=\sqrt{2}\)