(i) "EQUATION" என்ற வார்த்தையில் 8 எழுத்துகள் உள்ளன. இவற்றில் 5 உயிரெழுத்துகள் (E, U, A, I, O) மற்றும் 3 மெய்யெழுத்துகள் (Q, T, N) உள்ளன. 5 உயிரெழுத்துகளையும் ஒரு எழுத்து போல கருத நம்மிடம் 4 எழுத்துகள் உள்ளன. இவற்றை ⁴P₄ = 4! வழிகளில் வரிசைப்படுத்தலாம். ஆனால் இந்த ஒவ்வொரு வரிசை மாற்றத்திலும், உயிரெழுத்துகள் E, U, A, I, O ஆகியவற்றை ⁵P₅ = 5! வழிகளில் தங்களுக்குள் வரிசைப்படுத்தலாம். எனவே, பெருக்கல் விதிப்படி தேவையான எழுத்துச் சரங்களின் எண்ணிக்கை \(4!\times 5!=14\times 120=2880\)
(ii) "EQUATION" என்ற வார்த்தையில் உள்ள 8 எழுத்துகளைக் கொண்டு உருவாக்கும் எழுத்துச் சரங்களின் எண்ணிக்கை⁸P₄=8!=40320. எனவே, உயிரெழுத்துகள் ஒன்றாக வராத வகையில் உள்ள எழுத்துச் சரங்களின் எண்ணிக்கையை மொத்த எழுத்துச் சரங்களின் எண்ணிக்கையிலிருந்து உயிரெழுத்துகள் ஒன்றாக வரும் வகையில் உள்ள எழுத்துச் சரங்களின் எண்ணிக்கையை கழித்துப் பெறலாம். ஆகவே, தேவையான எழுத்துச் சரங்களின் எண்ணிக்கை 40320 - 2880 = 37440.

P(n)=1²+2²+3²+....+n²> \(\frac { { n }^{ 3 } }{ 3 } \)என்க.
\(\Rightarrow\)n=1 என்க.
1>\(\frac { { 1 }^{ 3 } }{ 3 } \Rightarrow \) 1>\(\frac{1}{3}\) என்பது உண்மை
\(\therefore \)P(1) என்பது உண்மை
படி(2)
P(k) உண்மை எனக் கொள்வோம்.
\(\therefore \)1²+2²+3³+......k²>\(\frac { { k }^{ 3 } }{ 3 } \)  -------(1)
படி (3)
P(k+1) உண்மை என நிரூபிப்போம்.
1²+2²+3²+......+k²+(k+1)²>\(\frac { { (k }+1)^{ 3 } }{ 3 } \)
1²+2²+3²+.......+k²+(k+1)²
>\(\frac { { k }^{ 3 } }{ 3 } \)+(k+1)² [(1) ஐ பயன்படுத்த]
> \(\frac { { k }^{ 3 } }{ 3 } \)+k²+2k +1
>\(\frac {1}{3}\)[k³+3k²+6k+3][ (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³]
> \(\frac {1}{3}\)(k+1)³
\(\therefore \)P(k+1)-ம் உண்மை. எனவே கணிதத் தொகுத்தறிதல் கொள்கையின்படி n-ன் எல்லா மதிப்புகளுக்கும் P(n) உண்மை என நிரூபிக்கப்பட்டது.

P(n)=\(\frac{1}{1.2.3}+\frac{1}{2.3.4}+\frac{1}{3.4.5}+...+\frac{1}{n.(n+1).(n+2)}=\frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}\) என்க.
படி (1)
⇒ n =1 என்க
\(\frac { 1 }{ 1.2.3 } =\frac { 1(1+3) }{ 4(1+1)(+2) } \Rightarrow \frac { 1 }{ 6 } =\frac { 4 }{ 4(2)(3) } =\frac { 1 }{ 6 } \)
P(1) என்பது உண்மை.
படி (2)
P(k)-ம் உண்மை எனக் கொள்வோம்.
∴ \(\frac { 1 }{ 1.2.3 } +\frac { 1 }{ 2.3.4 } +..+\frac { 1 }{ k(k+1)(k+2) } =\frac { k(k+3) }{ 4(k+1)(k+2) } \)  ...(i)
படி (3)
⇒ P(k+1)-ம் உண்மை என நிரூபிப்போம்.
\(\frac { 1 }{ 1.2.3 } +\frac { 1 }{ 2.3.4 } +...+\frac { 1 }{ k(k+1)(k+2) } =\frac { (k+1)(k+4) }{ 4(k+2)(k+3) } \)
LHS =\(\frac { 1 }{ 1.2.3 } +\frac { 1 }{ 2.3.4 } +...+\frac { 1 }{ k(k+1)(k+2) } +\frac { 1 }{ (k+1)(k+2)(k+3) } \)
=\(\frac { k(k+3) }{ 4(k+1)(k+2) } +\frac { 1 }{ (k+1)(k+2)(k+3) } =\frac { 1 }{ (k+2)(k+1) } \left[ \frac { k(k+3) }{ 4 } +\frac { 1 }{ (k+3) } \right] \)
=\(\frac { 1 }{ (k+2)(k+1) } \left[ \frac { k(k+3)^{ 2 }+4 }{ 4(k+3) } \right] =\frac { 1 }{ 4(k+1)(k+2)(k+3) } \)[k(k2+6k+9)+40
=\(\frac { 1 }{ 4(k+1)(k+2)(k+3) } \)[k³+6k²+9k+4]
=\(\frac { 1 }{ 4(k+1)(k+2)(k+3) } \)[(k+1)(k+1)(k+4)]=(k+1)(k+1)(k+4)
∴ P(k+1) என்பது உண்மையாகும்.
எனவே கணிதத் தொகுத்தறிதல் கொள்கையின்படி n-ன் எல்லா மதிப்புகளுக்கும் P(n) உண்மை என நிரூபிக்கப்பட்டது.

P(n )  = 2 + 4 + 6 + ....+ 2n  = n² + ன் என்க 
படி (1)
\(\Rightarrow \)  n  = 1 என்க 
\(\therefore \) P(1) = 1² + 1 = 2  
\(\therefore \) (P) (1) உண்மை 
படி (2)
P(k) உண்மை எனக் கொள்வோம் 
2 + 4 + 6 + ....  +2k  = k² + k  ..... (1)
படி (3) 
p (k  +1) உண்மை என நிரூபிப்போம் 
நிரூபிக்க 2 + 4 + 6 + .... 2k  +2 (k  + 1)
= (k  + 1)² + (k  +1) = (k  + 1) (k + 1 + 1) = (k + 1) (k + 2)
LHS = 2 + 4 + 6 + ...2k + 2 (k + 1)
= k² + k + 2k + 2 [பயன்படுத்தவும் (1) ]
= k² + 3k  + 2 = (k  +1) (k  +2) = RHS 

\(\therefore \) P (k  + 1)  என்பது உண்மை 
எனவே கணிதத் தொகுத்தறிதல்  கொள்கையின் படி n -ன் எல்லா மதிப்புகளும் P (n ) உண்மையாகும்  என நிரூபிக்கப்பட்டது             

எந்த ஒரு எழுத்துச் சரத்திலும் F, L, O, W, E, R என்ற எழுத்துகள் ஒவ்வொன்றும் ஒரே ஒரு முறைதான் வரும்.
(i) ஒரு எழுத்துச் சரத்தை F இல் தொடங்கினால் மீதமுள்ள ஐந்து இடங்களை L, O, W, E, R என்ற எழுத்துகளைக் கொண்டு நிரப்பலாம். எழுத்துகளைத் திரும்ப பயன்படுத்த முடியாது என்பதால் 2 ஆவது, 3 ஆவது, 4 ஆவது, 5 ஆவது மற்றும் 6 ஆவது இடங்களை முறையே 5, 4, 3, 2 மற்றும் 1 வழிகளில் நிரப்பலாம். எனவே பெருக்கல் விதிப்படி, F இல் தொடங்கும் எழுத்துச் சரங்களை 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 வழிகளில் அமைக்கலாம்.

ஒரு சரம் R இல் முடியவேண்டும் எனில் மீதமுள்ள 5 இடங்களை F, L, O, W, E என்ற எழுத்துகளைக் கொண்டு நிரப்பலாம்.
மேற்சொன்னது போலவே R இல் முடியும் எழுத்துச் சரங்களையும் 120 வழிகளில் அமைக்கலாம்.

ஒரு சரம் F இல் தொடங்கி R இல் முடியும் எனில், மீதமுள்ள 4 இடங்களை L, O, W, E என்ற எழுத்துகளைக் கொண்டு நிரப்பலாம்.

மேற்கூறியது போலவே, F இல் தொடங்கி R இல் முடியும் 6 எழுத்துச் சரங்களின் எண்ணிக்கை 4 x 3 x 2 x 1  = 24 சேர்த்தல் - நீக்கல் கொள்கையின் படி, F இல் தொடங்க வேண்டும் அல்லது R இல் முடிக்க வேண்டும் என்றவாறுள்ள எழுத்துச் சரங்களின் எண்ணிக்கை 120 + 120 - 24 = 216 ஆகும்.
(ii) F இல் தொடங்கவோ, R இல் முடிக்கவோ கூடாத எழுத்துச் சரங்களின் எண்ணிக்கை ஆனது (i) இல் கணக்கிடப்படவில்லை. இதுமட்டுமல்லாமல் F, L, O, W, E, R என்ற எழுத்துகளை திரும்ப வராதவாறுள்ள எல்லா 6 எழுத்துச் சரங்களின் எண்ணிக்கையை கணக்கிடவேண்டும்.
இப்பொழுது, முதல் இடத்தை இந்த 6 எழுத்துகளில் ஏதேனும் ஒன்றை பயன்படுத்தியும், இரண்டாவது இடத்தை மீதமுள்ள 5 எழுத்துகளில் ஏதாவது ஒன்றை பயன்படுத்தியும், இதுபோலவே, மற்ற இடங்களையும் நிரப்பக் கிடைக்கும் எழுத்துச் சரங்களின் எண்ணிக்கை 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720. F இல் தொடங்கவோ R இல் முடிக்கவோ கூடாத எழுத்துச் சரங்களின் எண்ணிக்கையை, மொத்த எழுத்துச் சரங்களின் எண்ணிக்கையில் இருந்து F இல் தொடங்கி அல்லது R இல் முடிக்கும் எழுத்துச் சரங்களின் எண்ணிக்கையை கழிக்க பெறலாம். இதன் மதிப்பு 720 - 216 = 504 ஆகும்.