தரவு : A  = A^T , B = B^T
AB  = BA  நிருபிக்க வேண்டியது :
(AB)^T = AB
நிருபணம் : 
(AB)^T = B^T.A^T
[\(\because \) நிரை நிரல் மற்றும் விதியின் பின் திருப்புகை விதி ] 
= B.A  [ \(\therefore \) B^T = B, A^T = A ]
= AB [AB = BA ] 
\(\therefore \) (AB)^T = AB
 \(\therefore \) AB  என்பது ஒரு சமச் சீர் அணியாகும் என்பது நிருபிக்கப்பட்டது.      
மறுதலை : 
A = A^T, B = B^T
(AB)^T = AB
நிருபணம் :
(AB)^T = B^TA^T = BA
AB = BA    

\(\left[ \begin{matrix} x & 2 & -1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 2 \\ -1 & -4 & 1 \\ -1 & -1 & -2 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ 2 \\ 1 \end{matrix} \right] =0\)
\(\Rightarrow \left[ \begin{matrix} x-2+1 & x-8+1 & 2x+2+2 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ 2 \\ 1 \end{matrix} \right] =0\)
\(\Rightarrow \left[ \begin{matrix} x-1 & x-7 & 2x+4 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ 2 \\ 1 \end{matrix} \right] =0\)
\(\Rightarrow x(x-1)+2(x-7)+1(2x+4)=0\)
\(\Rightarrow { x }^{ 2 }+3x-10=0 \Rightarrow x=-5,2\)

A  = \(\left[ \begin{matrix} { a }_{ 11 } & { a }_{ 12 } \\ { a }_{ 21 } & { a }_{ 22 } \end{matrix} \right] \)என்க.
\(\left[ \begin{matrix} { a }_{ 11 } & { a }_{ 12 } \\ { a }_{ 21 } & { a }_{ 22 } \end{matrix} \right] \quad \left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} -7 & -8 & -9 \\ 2 & 4 & 6 \end{matrix} \right] \)

a₁₂ = \(\frac { 6 }{ -3 } =-2\quad \)
a₁₂ = -2 என (1)-ல் பிரதியிட 
a₁₁ +4a₁₂ = -7
a₁₁  + 4 x  -2 = -7
a₁₁ - 8 = -7
a₁₁ = -7 + 8 = 1

a₂₂ = 0 என (3)-ல் பிரதியிட 
1a₂₁ + 4 x 0 = 2   .......(3)
a₂₁ = 2  .........(4)
\(\therefore \)  A = \(\left( \begin{matrix} { a }_{ 11 } & { a }_{ 12 } \\ { a }_{ 21 } & { a }_{ 22 } \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} 1 & -2 \\ 2 & 0 \end{matrix} \right) \).  

A = \(\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ a & b & -1 \end{matrix} \right] \)
A² = A.A = \(\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ a & b & -1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ a & b & -1 \end{matrix} \right] \)
= \(\left[ \begin{matrix} 1+0+0 & 0+0+0 & 0+0+0 \\ 0+0+0 & 0+1+0 & 0+0+0 \\ a+0-a & 0+b-b & 0+0+1 \end{matrix} \right] \)
= \(\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] =I\)
எனவே நிருபிக்கப்பட்டது     

\(\triangle \) = \(\left| \begin{matrix} s & { a }^{ 2 } & { b }^{ 2 }+{ c }^{ 2 } \\ s & { b }^{ 2 } & { c }^{ 2 }+{ a }^{ 2 } \\ s & { c }^{ 2 } & { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } \end{matrix} \right| \) என்க 
= s \(\left| \begin{matrix} 1 & { a }^{ 2 } & { b }^{ 2 }+{ c }^{ 2 } \\ 1 & { b }^{ 2 } & { c }^{ 2 }+{ a }^{ 2 } \\ 1 & { c }^{ 2 } & { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } \end{matrix} \right| \)
C1 லிருந்து s வெளியில் எடுக்கப்பட்டுள்ளது.
= s \(\left| \begin{matrix} 1 & { a }^{ 2 } & { a }^{ 2 }+ & { b }^{ 2 }+ & { c }^{ 2 } \\ 1 & { b }^{ 2 } & { a }^{ 2 }+ & { b }^{ 2 }+ & { c }^{ 2 } \\ 1 & { c }^{ 2 } & { a }^{ 2 }+ & { b }^{ 2 }+ & { c }^{ 2 } \end{matrix} \right| { C }_{ 3 }\rightarrow { C }_{ 2 }+{ C }_{ 3 }\)
= s  (a² + b²  + c²) \(\left| \begin{matrix} 1 & { a }^{ 2 } & 1 \\ 1 & { b }^{ 2 } & 1 \\ 1 & { c }^{ 2 } & 1 \end{matrix} \right| \)
(a² + b²  + c²) C₃ லிருந்து வெளியில் எடுக்கப்பட்டுள்ளது.
s(a² + b²  + c²) (0) (\(\because \)  C₁ = C₃ )
= 0 = R