\(AB=\left[ \begin{matrix} 4 & 3 & -2 \\ 1 & 0 & 7 \\ 2 & 3 & -5 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & 3 & 3 \\ -2 & 4 & 0 \\ 9 & 7 & 5 \end{matrix} \right] \)
= \(\left[ \begin{matrix} \left( 4-6-18 \right) & \left( 12+12-14 \right) & \left( 12+0-10 \right) \\ \left( 1+0+63 \right) & \left( 3+0+49 \right) & \left( 3+0+35 \right) \\ \left( 2-6-45 \right) & \left( 6+12-35 \right) & \left( 6+0-25 \right) \end{matrix} \right] \)
= \(\left| \begin{matrix} -20 & 10 & 2 \\ 64 & 52 & 38 \\ -49 & -17 & -19 \end{matrix} \right| \)
|AB| = \(-20\begin{vmatrix} 52 & 38 \\ -17 & -19 \end{vmatrix}-10\begin{vmatrix} 64 & 38 \\ -49 & -19 \end{vmatrix}+2\begin{vmatrix} 64 & 52 \\ -49 & -17 \end{vmatrix}\)
= -20 (-988 + 646) - 10 (-1216 + 1862) + 2 (-1088 + 2548)
= -20 (-342) - 10 (616) + 2 (1460)
= 6840 - 6460 - 2920 = 3300
(det A) = \(\left[ \begin{matrix} 4 & 3 & -2 \\ 1 & 0 & 7 \\ 2 & 3 & -5 \end{matrix} \right] \) 
= 4 (0 - 21) - 3 (-5 -14) - 2(3 + 0)
= - 84 - 3 x 19 - 6
= -84 + 57 - 6
= -90 + 57 = -33
(det B) = \(\left[ \begin{matrix} 1 & 3 & 3 \\ -2 & 4 & 0 \\ 9 & 7 & 5 \end{matrix} \right] \) 
= 1 (20 + 0)-3 (-10+ 0) + 3(-14-36)
= 20 + 30 + 3 x -50
= 50 - 150= -100
(det A)  (Det B) = -33 (-100) = -3300 ..... (2)
(1)  = (2)
det (AB) = (det A) (det B)

\(f(x).f\left( y \right) =\left[ \begin{matrix} \cos { x } & -\sin { x } & 0 \\ \sin { x } & \cos { x } & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} \cos { y } & -\sin { y } & 0 \\ \sin { y } & \cos { y } & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \)
= \(\left[ \begin{matrix} \left( cosxcosy-sinxsiny+0 \right) & \left( -cosxsiny-sinxcosy+0 \right) & \left( 0+0+0 \right) \\ \left( sinxcosy+cosxsiny+0 \right) & \left( -sinxsiny+cosxcosy+0 \right) & \left( 0+0+0 \right) \\ \left( 0+0+0 \right) & \left( 0+0+0 \right) & \left( 0+0+1 \right) \end{matrix} \right] \)
= \(\left[ \begin{matrix} cos\left( x+y \right) & -sin\left( x+y \right) & 0 \\ sin\left( x+y \right) & cos\left( x+y \right) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \)
= f (x + y)
எனவே  f(x) f (y) = f (x + y) என நிருபிக்கப்பட்டது.     

சிற்றணிக்கோவைகள்:
\({ M }_{ 11 }=\left| \begin{matrix} -5 & 6 \\ 5 & 2 \end{matrix} \right| =-10-30=-40\)
\({ M }_{ 12 }=\left| \begin{matrix} 4 & 6 \\ -3 & 2 \end{matrix} \right| =8+18=26\)
\({ M }_{ 13 }=\begin{vmatrix} 4 & -5 \\ -3 & 5 \end{vmatrix}=20-15=5\)
\({ M }_{ 21 }=\begin{vmatrix} 3 & -2 \\ 5 & 2 \end{vmatrix}=6+10=16\)
\({ M }_{ 22 }=\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ -3 & 2 \end{vmatrix}=2-6=-4\)
\({ M }_{ 23 }=\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ -3 & 5 \end{vmatrix}=5+9=14\)
\({ M }_{ 31 }=\begin{vmatrix} 3 & -2 \\ -5 & 6 \end{vmatrix}=18-10=8\)
\({ M }_{ 32 }=\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 4 & 6 \end{vmatrix}=6+8=14\)
\({ M }_{ 33 }=\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 4 & -5 \end{vmatrix}=-5-12=-17\)
இணைக்காரணிகள் :
\({ A }_{ 11 }={ (-1) }^{ 1+1 }(-40)=-40\)
\({ A }_{ 12 }={ (-1) }^{ 1+2 }(+26)=-26\)
\({ A }_{ 13 }={ (-1) }^{ 1+3 }(5)=5\)
\({ A }_{ 21 }={ (-1) }^{ 2+1 }(16)=-16\)
\({ A }_{ 22 }={ (-1) }^{ 2+2 }(-4)=-4\)
\({ A }_{ 23 }={ (-1) }^{ 2+3 }(14)=-14\)
\({ A }_{ 31 }={ (-1) }^{ 3+1 }(8)=8\)
\({ A }_{ 32 }={ (-1) }^{ 3+2 }(14)=-14\)
\({ A }_{ 33 }={ (-1) }^{ 3+3 }(-17)=-17\)
R₁ வழியாக விரிவுபடுத்த ,
\(\left| A \right| ={ a }_{ 11 }{ A }_{ 11 }+{ a }_{ 12 }{ A }_{ 12 }+{ a }_{ 13 }{ A }_{ 13 }\)
\(\left| A \right| =1(-40)+(3)(-26)+(-2)(5)=-128 ...(3)\)
C₁ வழியாக விரிவுபடுத்த ,
\(\left| A \right| ={ a }_{ 11 }{ A }_{ 11 }+{ a }_{ 12 }{ A }_{ 12 }+{ a }_{ 13 }{ A }_{ 13 }\)
\(\left| A \right| =1(-40)+4(-16)+-3(8)=-128 ...(4)\)
(3) மற்றும் (4)லிருந்து,
R₁ வழியாக விரிவுபடுத்திப் பெறப்பட்ட \(\left| A \right| \)-ன் மதிப்பானது  C₁ வழியாக விரிவுபடுத்திப் பெற்ற \(\left| A \right| \)-ன் மதிப்புக்குச் சமம் என நிரூபணமானது .

\(\triangle =\left| \begin{matrix} b+c & a-c & a-b \\ b-c & c+a & b-a \\ c-b & c-a & a+b \end{matrix} \right| \)
இங்கு a  = 0 என பிரதியிட 
= \(\left| \begin{matrix} b+c & -c & -b \\ b-c & c & b \\ c-b & c & b \end{matrix} \right| \)
C₂, C₃ - யிலிருந்து  c ,b -ஐ வெளியில் எடுக்க 
= bc \(\left| \begin{matrix} b+c & -1 & -1 \\ b-c & 1 & 1 \\ c-b & 1 & 1 \end{matrix} \right| \) = 0
\(\Rightarrow \) a ஒரு காரணியாகும் இதைபோல் b, c ம்  காரணிகளாகும்,கொடுக்கப்பட்டுள்ள  அணிக் கோவையின் முதன்மை மூலைவிட்ட  பெருக்கற்  பலனின் படியானது  3ஆகும்.எனவே  மற்றொருபடி  k ஆகும்.
\(\left| \begin{matrix} b+c & a-c & a-b \\ b-c & c+a & b-a \\ c-b & c-a & a+b \end{matrix} \right| \) = k abc 
இதில் a = 1, b  = 1, c  = 1 எனப் பிரதியிட 
\(\therefore \)  \(\left| \begin{matrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix} \right| \) = k x  1 x  1 x  1
 \(\Rightarrow \)  k  = 8   =  \(\therefore \) \(\triangle \)8 abc                

\(\left| A \right| =\left| \begin{matrix} x+1 & 3 & 5 \\ 2 & x+2 & 5 \\ 2 & 3 & x+4 \end{matrix} \right| \) என்க.

x =1 எனப்பிரதியிட, \(\left| A \right| =\left| \begin{matrix} 2 & 3 & 5 \\ 2 & 3 & 5 \\ 2 & 3 & 5 \end{matrix} \right| =0\)
இங்கு மூன்று நிரைகளும் சர்வசமம். எனவே,\({ (x-1) }^{ 2 }\)  ஆனது \(\left| A \right| \)-ன் ஒரு காரணியாகும். 
\(\left| A \right| \)-ல் x=-9 எனப்பிரதியிட,\(\left| A \right| =\left| \begin{matrix} -8 & 3 & 5 \\ 2 & -7 & 5 \\ 2 & 3 & -5 \end{matrix} \right| =\left| \begin{matrix} 0 & 3 & 5 \\ 0 & -7 & 5 \\ 0 & 3 & -5 \end{matrix} \right| =0\quad \)
எனவே, \((x+9)\) ஆனது \(\left| A \right| \)-ன் காரணிகளாகும் . \([{ C }_{ 1 }\rightarrow { C }_{ 1 }+{ C }_{ 2 }+{ C }_{ 3 }]\)
அதாவது \({ (x-1) }^{ 2 }(x+9)\) என்பது \(\left| A \right| \)-ன் காரணியாகும். இதன் படி 3 ஆகும். அணிக்கோவை x-ல் அமைந்த 3-ம் படி பல்லுறுப்புக் கோவையாகும்.
எனவே, மீதமுள்ள மற்றொரு காரணி, மாறிலி 'k '   ஆகும் .
ஆகவே, \(\left| \begin{matrix} x+1 & 3 & 5 \\ 2 & x+2 & 5 \\ 2 & 3 & x+4 \end{matrix} \right| ={ k(x-1) }^{ 2 }(x+9)\)
x³ உறுப்புகளை இருபுறமும் சமப்படுத்த, k=1 எனப்பெறுகிறோம் .
எனவே,   \(\left| A \right| \)=\({ (x-1) }^{ 2 }(x+9)\)