LHS =\(\log\frac { { a }^{ 2 } }{ bc } +\log\frac { { b }^{ 2 } }{ ca } +\log\frac { { c }^{ 2 } }{ ab } =0\)
\(=\log\frac { { a }^{ 2 } }{ bc } \times \frac { { b }^{ 2 } }{ ca } \times \frac { { c }^{ 2 } }{ ab } \)
\(=\log\frac { { a }^{ 2 }{ b }^{ 2 }{ c }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 }{ b }^{ 2 }{ c }^{ 2 } } =\log1\)
=0= RHS எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

log₃ 5 log₂₅ 27 = log₃5 log₂₅ 3³
= log₃5 \(\times\)3 log₂₅3(அடுக்கு விதியின்படி)
\(=3{ \log }_{ 25 }5=\frac { 3 }{ { \log }_{ 5 }25 } =\frac { 3 }{ 2{ \log }_{ 5 }5 } =\frac { 3 }{ 2 } \)

\(\frac{7+\sqrt{6}}{3-\sqrt{2}}\) \(\Rightarrow \frac { (7+\sqrt { 6 } )(3+\sqrt { 2 } ) }{ { 3 }^{ 2 }-\sqrt { 2 } ^{ 2 } } =\frac { 21+3\sqrt { 6 } +7\sqrt { 2 } +\sqrt { 6\times 2 } }{ 9-2 } =\)\(\frac{21+7\sqrt{2}+3\sqrt{6}+2\sqrt{3}}{7}\)

மடக்கையின் பண்புகளைப் பயன்படுத்தி,
\(\log\frac { 75 }{ 16 } -2\log\frac { 5 }{ 9 } +\log\frac { 32 }{ 243 } \)= log 75 - log 16 - 2 log 5 + 2 log 9 + log 32 - log 243
(வகுத்தல் விதியின்படி)
= log 3 + log 25 - log 16 - log 25 + log 81 + log 16 + log 2 - log 81 - log 3
= log 2

x,y ≥ 0 எனவே (x^1/2 y^-3)^1/2 = \(\frac{x^{1/4}}{y^{3/2}}\)

2x² + x- 15 ≤ 0
\(\Rightarrow (x+3)(2x-5)\le 0\Rightarrow 2(x+3)\left( x-\frac { 5 }{ 2 } \right) \le 0\)
\(\therefore \) மாறுநிலைப்  புள்ளிகள் \(-3,\frac { 5 }{ 2 } \)
\(\therefore \) அச்சமன்பாடு நிறைவு செய்யும் சாதகமான இடைவெளிகள் 
\((-\infty ,-3)\left( -3,\frac { 5 }{ 2 } \right) \left( \frac { 5 }{ 2 } ,\infty \right) \)

அசமன்பாடு நிறைவு செய்யும்  இடைவெளி \(\left( -3,\frac { 5 }{ 2 } \right) \)

 இருபடிச் சமன்பாடு \({ x }^{ 2 }+\sqrt { 2 } x+3=0\) என்க
\(\therefore \alpha +\beta =\frac { -b }{ a } =-\sqrt { 2 } \quad \left[ \begin{matrix} \because & a=1 \\ b= & \sqrt { 2 } \\ c= & 3 \end{matrix} \right] \)
\(\alpha +\beta =\frac { c }{ a } =\frac { 3 }{ 1 } =3\)

மூலங்களின் கூடுதல் =   \(\frac { 1 }{ \alpha } +\frac { 1 }{ \beta } =\frac { \alpha +\beta }{ \alpha \beta } =\frac { -\sqrt { 2 } }{ 3 } \)
மூலங்களின் பெருக்கற்பலன் = \(\frac { 1 }{ \alpha } \times \frac { 1 }{ \beta } =\frac { 1 }{ \alpha \beta } =\frac { 1 }{ 3 } \)
\(\therefore \\ \) தேவையான  இருபடிச்சமன்பாடு 
\(\Rightarrow { x }^{ 2 }\) - (மூலங்களின் கூடுதல்) x + (மூலங்களின் பெருக்கற்பலன்) = 0
\(\Rightarrow { x }^{ 2 }-\left( \frac { -\sqrt { 2 } }{ 3 } \right) x+\frac { 1 }{ 3 } =0\Rightarrow { x }^{ 2 }+\frac { -\sqrt { 2 } }{ 3 } x+\frac { 1 }{ 3 } =0\Rightarrow { 3x }^{ 2 }+\sqrt { 2 } x+1=0.\)

\(\frac { 1 }{ |2x-1| } <6\)
பகுதி தொகுதிகளை |2x -1| ஆல் பெருக்க
\(\frac { 1 }{ \left| 2x-1 \right| } \frac { \times \left| 2x-1 \right| }{ \times \left| 2x-1 \right| } <6\) 
\(\Rightarrow \frac { \left| 2x-1 \right| }{ \left| 2x-1 \right| ^{ 2 } } <6\Rightarrow |2x-1|<6|2x-1|^{ 2 }\)
\(\Rightarrow 1<6|2x-1|\)
\(\Rightarrow \frac { 1 }{ 6 } <\left| 2x-1 \right| \)
\(\Rightarrow \left| 2x-1 \right| >\frac { 1 }{ 6 } \)
\(\Rightarrow \frac { -1 }{ 6 } \ge 2x-1\ge \frac { 1 }{ 6 } \)
\(\Rightarrow \frac { -1 }{ 6 } +1\ge 2x\ge \frac { 1 }{ 6 } +1\)
\(\Rightarrow \frac { 5 }{ 6 } \ge 2x\ge \frac { 7 }{ 6 } \Rightarrow \frac { 5 }{ 12 } \ge x\ge \frac { 12 }{ 7 } \)
\(\Rightarrow \) தீர்வுக்கணம் :\(\Rightarrow \left( \infty ,\frac { 5 }{ 12 } \right) \cup \left( \frac { 7 }{ 12 } ,\infty \right) \)

3x - 9 ≥ 0 ⇒ 3x ≥ 9 அதாவது, x ≥ 3 எனக் கிடைக்கும்.
அதேபோன்று 4x - 10 ≤ 6-லிருந்து, 4x ≤ 16 எனக் கிடைக்கும். அதாவது x ≤ 4.
தீர்வுகள் [3,∞) மற்றும் (-∞,4]-ன் வெட்டுகணமாகும். எனவே, தீர்வு [3,4]

கொடுக்கப்பட்ட அசமன்பாட்டிலிருந்து 2>|x - 4| எனக் கிடைக்கும்.
அதாவது, -2 < x - 4 < 2 மற்றும் x ≠ 4
மேலும், 4 ஐக் கூட்ட 2 < x < 6 மற்றும் 2 ≠ 4, அதாவது, (2,4) U (4,6)  என்பது தீர்வு ஆகும்

\(\sqrt{3}\) ஒரு விகிதமுறா எண்  என்க.
\(\therefore \sqrt { 3 } =\frac { m }{ n } \) என்க  (m, n என்பன 1 ஐத் தவிர பொதுவகுத்தி இல்லாதவை)
இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த 
\(3=\frac { { m }^{ 2 } }{ { n }^{ 2 } } \Rightarrow 3{ n }^{ 2 }={ m }^{ 2 }\)
\(\Rightarrow { 3n }^{ 2 }={ m }^{ 2 }\)
2 ஆல் இருபுறமும் பெருக்குக
\(3=\frac { { m }^{ 2 } }{ { n }^{ 2 } } \Rightarrow 3{ n }^{ 2 }={ m }^{ 2 }\)
\(\Rightarrow { 6n }^{ 2 }={ 2m }^{ 2 }\Rightarrow 3(2n^{ 2 })=2m^{ 2 }\)
2n² ஆனது 2-ஆல் வகுபடும் m²-ம் ஒரு இரட்டை எண்
\(\Rightarrow m\) ஒரு இரட்டையாக இருக்க வேண்டும்
\(\Rightarrow m=2k,k\epsilon N\)
\(\Rightarrow { 3n }^{ 2 }=(2k)^{ 2 }\)
\(\Rightarrow { 3n }^{ 2 }=4{ k }^{ 2 }\)
n ஒரு இரட்டை எண். எனவே, m, n இரட்டை  எண்கள் 2-ன் காரணிகள் ஆகும். இது முதல் கூற்றை முரண்பாடுடையதாக்குகிறது.
\(\therefore \sqrt { 3 } \) ஒரு விகிதமுறு எண்ணாக இருக்க இயலாது.
\(\Rightarrow \sqrt { 3 } \) ஒரு விகிதமுறா எண்ணாகும்.
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

3|x-2|+7 = 19
மேலும், |x – 2| = \(\frac { 19-7 }{ 3 } =4\)
எனவே, x – 2 = 4 அல்லது x – 2 = – 4
அதாவது, தீர்வு x = – 2 மற்றும் x = 6

\(={ (-10^{ 3 })^{ \frac { -2 }{ 3 } } }=\left( { 2 }^{ 3\times \frac { -2 }{ 3 } } \right) ={ -10 }^{ -2 }=\frac { 1 }{ { 10 }^{ 2 } } =\frac { 1 }{ 100 } \)

x = \(\frac { 2 }{ 5 } \) மற்றும் 1 + \(\sqrt { 3 } \) ஆகியவை f(x)-ன் பூஜ்ஜியங்களாகும். எனவே, 1-\(\sqrt { 3 } \) என்பதும் அதன் பூஜ்ஜியமாகும்.
எனவே,  \(f(x)=a\left( x-\frac { 2 }{ 5 } \right) \left[ (x-(1+\sqrt { 3 } )) \right] \left[ x-(1-\sqrt { 3 } ) \right] \)
\(=a\left( x-\frac { 2 }{ 5 } \right) [{ (x-1) }^{ 2 }-3]\)
f(0) = -8 -ஐப் பயன்படுத்த, \(\left( -\frac { 2 }{ 5 } a \right) (-2)=-8\)
எனவே,    a = -10.
தேவையான முப்படி பல்லுறுப்புக் கோவை,
\(f(x)=(-10)\left( x-\frac { 2 }{ 5 } \right) [{ x }^{ 2 }-2x-2]\)
= - 10 ³ + 24x² + 12x - 8

(i) 23x  < 100
\(x\in N\) எனில் 
\(\Rightarrow 23x<100\)
\(\Rightarrow x<\frac { 100 }{ 23 } \)
\(\Rightarrow x<4.347\)
\(\Rightarrow x=1 ,2,3,4\)
தீர்வுகணம் {1,2,3,4}
(ii) x < 4.347
\(\Rightarrow x\) = {........-4,-3,-2,-1,0,1,2,3}

a மற்றும் b ஆகியவை x²- px + q = 0 என்ற சமன்பாட்டின் மூலங்கள். அவற்றின் கூடுதல் a + b = p மற்றும் ab = q ஆகும்.
எனவே, \(\frac { 1 }{ a } +\frac { 1 }{ b } =\frac { a+b }{ ab } =\frac { p }{ q } \)

log₂x-3log_1/2x = 6
\(\Rightarrow \frac { 1 }{ { \log }_{ x }^{ 2 } } -\frac { 3 }{ { \log }_{ x }^{ \frac { 1 }{ 2 } } } =6\)
\(\Rightarrow \frac { 1 }{ { \log }_{ x }^{ 2 } } -\frac { 3 }{ { \log }_{ x }^{ 1 }-{ \log }_{ x }^{ 2 } } =6\)
\(\Rightarrow \frac { 1 }{ { \log }_{ x }^{ 2 } } -\frac { 3 }{ 0-{ \log }_{ x }^{ 2 } } =6\)
\(\Rightarrow \frac { 1 }{ { \log }_{ x }^{ 2 } } -\frac { 3 }{ { \log }_{ x }^{ 2 } } =6\)
\(\Rightarrow \frac { 1 }{ { \log }_{ x }^{ 2 } } -(4)=6\)
\(\Rightarrow \frac { 1 }{ { \log }_{ x }^{ 2 } } =\frac { 6 }{ 4 } =\frac { 3 }{ 2 } \)
\(\Rightarrow { \log }_{ x }^{ 2 }=\frac { 3 }{ 2 } \)
\(\Rightarrow { 2 }^{ \frac { 3 }{ 2 } }=x\)
\(\Rightarrow (2^{ 3 })1/2=x\Rightarrow (8)^{ 1/2 }=x\)
\(\Rightarrow x=\sqrt { 8 } =\sqrt { 4\times 2 } \)
\(\Rightarrow x=2\sqrt { 2 } .\)

2x + y = 8
\(\Rightarrow y=8-2x\)
x +2y = 8

\(\Rightarrow y=\frac { 8-x }{ 2 } \) 

x +y =6 
\(\Rightarrow y=6-x\)

ABC தேவையான பகுதியாகும்

\(x=3y\Rightarrow \frac { x }{ 3 } =y\)

x = yஎனில் 

\(\frac{x}{(x^2+1)(x-1)(x+2)}\) = \(\frac { Ax+B }{ \left( { x }^{ 2 }+1 \right) } +\frac { C }{ (x-1) } +\frac { D }{ (x+2) } \)
\(=\frac { { (Ax+B)(x-1)(x+2)+C(x }^{ 2 }+1)(x+2)+D(x^{ 2 }+1)(x-1) }{ { (x }^{ 2 }+1)(x-1)(x+2) } \)
\(\Rightarrow x={ (Ax+B)(x-1)(x+2)+C(x }^{ 2 }+1)(x+2)+D(x^{ 2 }+1)(x-1).....(1)\)
x =1 என (1)- ல் பிரதியிட 
1 = C (2)(3) \(\Rightarrow \boxed { C=\frac { 1 }{ 6 } } \)
x =-2 என (1)-ல் பிரதியிட 
 -2 = D (5)(-3) \(\Rightarrow \boxed { D=\frac { 2 }{ 15 } } \)
x = 0 என (1)- ல் பிரதியிட 
\(\Rightarrow 0=B(-1)(2)+C(1)(2)+D(1)(-1)\)
\(\Rightarrow 0=-2B+2C-D\)
\(\Rightarrow 0=-2B+2\left( \frac { 1 }{ 6 } \right) -\frac { 2 }{ 15 } \)
\(\Rightarrow 2B=\frac { 2 }{ 6 } -\frac { 2 }{ 15 } =\frac { 1 }{ 3 } -\frac { 2 }{ 15 } \)
\(\Rightarrow 2B=\frac { 5-2 }{ 15 } =\frac { 3 }{ 15 } =\frac { 1 }{ 5 } \Rightarrow \boxed { B=\frac { 1 }{ 10 } } \)
x³ - ன் கெழுக்களை இருபுறமும் சமப்படுத்த 
0 = A+ C+ D
\(\Rightarrow A=-C-D\)
\(\Rightarrow A=\frac { -1 }{ 6 } -\frac { 2 }{ 15 } \Rightarrow A=\frac { -5-4 }{ 30 } =\frac { -9 }{ 30 } =\frac { -3 }{ 10 } \)
\(\Rightarrow \boxed { A=\frac { -3 }{ 10 } } \)
\(\therefore \frac { x }{ \left( { x }^{ 2 }+1 \right) \left( x-1 \right) \left( x+2 \right) } =\frac { \frac { -3 }{ 10 } x+\frac { 1 }{ 10 } }{ \left( { x }^{ 2 }+1 \right) } +\frac { \frac { 1 }{ 6 } }{ \left( x-1 \right) } -\frac { \frac { 2 }{ 15 } }{ \left( x+2 \right) } \)
\(=\frac { -3x+1 }{ 10\left( { x }^{ 2 }+1 \right) } +\frac { 1 }{ 6(x-1) } +\frac { 2 }{ 15(x+2) } \) 

\(\frac{x}{(x+3)(x-4)}\)=\(\frac{A}{x+3}+\frac{B}{x-4}\) என்க.
இங்கு A மற்றும் B மாறிலிகள்
எனவே, \(\frac{x}{(x+3)(x+4)}=\frac{A(x-4)+B(x+3)}{(x+3)(x-4)}\)
⇒ x=A(x-4)+B(x-3)
x=4 எனில், B=\(\frac{4}{7}\)
x=-3 எனில், A=\(\frac{3}{7}\)
எனவே, \(\frac{x}{(x+3)(x-4)}=\frac{3}{7(x+3)}+\frac{4}{7(x-4)}\)

ஒரு மூலம் மற்றதைப்போல்  3 மடங்கு எனில் \(\alpha ,3\alpha \) என்பன இரு மூலங்கள்
\(\alpha +3\alpha =\frac { -b }{ a } \)
\(\Rightarrow 4\alpha =\frac { -b }{ a } \)
\(\Rightarrow \alpha =\frac { -b }{ 4a } .....(1)\)
\(\alpha (3\alpha )=\frac { c }{ a } \)
\({ 3\alpha }^{ 2 }=\frac { c }{ a } \)
\({ \alpha }^{ 2 }=\frac { c }{ 3a } .......(2)\)
(1) ஐ (2) - ல் பிரதியிட 
\(\left( \frac { -b }{ 4a } \right) ^{ 2 }=\frac { c }{ 3a } \)
\(\frac { { +b }^{ 2 } }{ 16{ a }^{ 2 } } =\frac { c }{ 3a } \)
\(\frac { { b }^{ 2 } }{ 16{ a } } =\frac { c }{ 3 } \)
3b² = 16ac இதுவே தேவையான கட்டுப்பாடு ஆகும்.