\(I=\int _{ \frac { \pi }{ 6 } }^{ \frac { \pi }{ 3 } }{ \frac { \sqrt [ 3 ]{ sinx } }{ \sqrt [ 3 ]{ cosx } +\sqrt [ 3 ]{ sinx } } } dx\)
Apply the property
\(\int _{ 0 }^{ b }{ f(x)\quad dx } =\int { f(a+b-x)dx } \)
\(I=\int _{ \frac { \pi }{ 6 } }^{ \frac { \pi }{ 3 } }{ \frac { \sqrt [ 3 ]{ sin\left( \frac { \pi }{ 2 } -x \right) dx } }{ \sqrt [ 3 ]{ cos\left( \frac { \pi }{ 2 } -x \right) } +\sqrt [ 3 ]{ sin\left( \frac { \pi }{ 2 } -x \right) } } } \)
as   \(\frac { \pi }{ 3 } +\frac { \pi }{ 6 } =\frac { 2\pi +\pi }{ 6 } =\frac { 3\pi }{ 6 } =\frac { \pi }{ 2 } \)
\(I=\int _{ \frac { \pi }{ 6 } }^{ \frac { \pi }{ 3 } }{ \frac { \sqrt [ 3 ]{ cosx } }{ \sqrt [ 3 ]{ cosx } +\sqrt [ 2 ]{ sinx } } } dx\)
by adding eqn. (i) and (ii),
\(=\int _{ \frac { \pi }{ 6 } }^{ \frac { \pi }{ 3 } }{ dx } =\left[ x \right] ^{ \pi /3 }_{ \pi /6 }\)
\(=\left[ \frac { \pi }{ 3 } -\frac { \pi }{ 6 } \right] =\frac { \pi }{ 6 } \)
\(\Rightarrow 2I=\frac { \pi }{ 6 }\)
\( \Rightarrow I=\frac { \pi }{ 12 } \)

\(I=\int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 2 } }{ log\ tanxdx } \)..(i)
Apply the property  \(\int _{ 0 }^{ a }{ f(x) } =\int _{ 0 }^{ a }{ f(a-x)dx, } \)
\(I=\int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 2 } }{ log\quad tan\left( \frac { \pi }{ 2 } -x \right) dx } \)  ...(ii)
\(=\int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 2 } }{ log\quad cotxdx } \)
by adding eqn. (i) and (ii)
\(2I=\int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 2 } }{ (log\quad tanx+log\quad cotx)xdx } \)
\(=\int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 2 } }{ log(tanx\times cotx } )dx\)
\(=\int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 2 } }{ log1dx } =0\)
\(\Rightarrow 2I=0\)
\(\Rightarrow I=0\)

\(I=\int _{ a }^{ b }{ \frac { logx }{ x } } dx\)
Put log x=t
\(\frac { dx }{ x } =dt\)
log b=t upper limit
log a=t lower limit
\(=\int _{ loga }^{ logb }{ tdt } \)
\(\Rightarrow I=\left[ \frac { { t }^{ 2 } }{ 2 } \right] ^{ logb }_{ loga }\)
\(\Rightarrow I=\frac { 1 }{ 2 } \left[ (logb)^{ 2 }-(loga)^{ 2 } \right] \)
\(\Rightarrow I=\frac { 1 }{ 2 } \left[ (logb+loga)(logb-loga) \right] \)
\(\Rightarrow I=\frac { 1 }{ 2 } \left[ (log\quad ab)\left( log\frac { b }{ a } \right) \right] \)

\(\int _{ 1 }^{ 1 }{ { x }^{ 17 } } { cos }^{ 4 }xdx\)
\(\Rightarrow f(x)={ x }^{ 17 }{ cos }^{ 4 }x\)
\(=-{ x }^{ 17 }cosx\)
\(f(-x)=-f(x)\)
\(\therefore \)   f(x) is odd function.
\(\int _{ -1 }^{ 1 }{ x^{ 17 } } cos^{ 4 }xdx=0\)
Since \(\int _{ -a }^{ a }{ f(x) } =0\quad if\quad f(-x)=-f(x)\)

\(I=\int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 2 } }{ { cos }^{ 2 }x } dx\)
\(=\int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 2 } }{ \frac { (1+cos2x) }{ 2 } } dx\)
\((\because cos2x=2cos^{ 2 }x-1)\)
\(\Rightarrow I=\frac { 1 }{ 2 } \int _{ 0 }^{ \frac { 1 }{ 2 } }{ dx } +\frac { 1 }{ 2 } \int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 2 } }{ cos2xdx } \)
\(\Rightarrow I=\frac { 1 }{ 2 } \left[ x \right] ^{ \frac { \pi }{ 2 } }_{ 0 }+\frac { 1 }{ 2 } \left[ \frac { sin2x }{ 2 } \right] ^{ \frac { \pi }{ 2 } }_{ 0 }\)
\(\Rightarrow I=\left( \frac { \pi }{ 4 } -0 \right) +\frac { 1 }{ 4 } \left[ sin\pi -0 \right] \)
\(\Rightarrow I=\frac { \pi }{ 4 } +\frac { 1 }{ 4 } \left[ 0-0 \right] \)
\(\Rightarrow I=\frac { \pi }{ 4 } +0\)
\(\Rightarrow I=\frac { \pi }{ 4 } \)

\(\int { { e }^{ x }secx } dx+\int { { e }^{ x } } log\left| secx+tanx \right| dx\)
\(=\int { { e }^{ x } } secxdx+log\left| secx+tanx \right| { e }^{ x }dx-\int { \left( \frac { d }{ dx } log\left| secx+tanx \right| \right) } \int { { e }^{ x } } dx\)
\(=\int { { e }^{ x }secx } dx+log\left| secx+tanx \right| \times { e }^{ x }-\int { \frac { 1 }{ (secx+tanx) } } \times (secxtanx+{ sec }^{ 2 }x){ e }^{ x }dx\)
\(=\int { { e }^{ x } } secxdx+{ e }^{ x }log\left| secx+tanx \right| -\int { \frac { secx(tanx+secx) }{ (secx+tanx) } } { e }^{ x }dx\)
\(=\int { { e }^{ x } } sexdx+{ e }^{ x }log\left| secx+tanx \right| -\int { { e }^{ x }secxdx } \)
\(={ e }^{ x }log\left| secx+tanx \right| +C\)

\(\int { { e }^{ x } } tan^{ -1 }xdx+\int { \frac { { e }^{ x } }{ 1+{ x }^{ 2 } } } dx\)
\(={ tan }^{ -1 }x\int { { e }^{ x } } dx-\int { \left( \frac { d }{ dx } { tan }^{ -1 }x\int { { e }^{ x }dx } \right) } dx+\int { \frac { { e }^{ x } }{ 1+{ x }^{ 2 } } } dx\)
\(={ e }^{ x }{ tan }^{ -1 }x-\int { \frac { 1 }{ 1+{ x }^{ 2 } } \times } { e }^{ x }dx+\int { \frac { { e }^{ x } }{ 1+{ x }^{ 2 } } } \)
\(={ e }^{ x }{ tan }^{ -1 }x+C\)

\(\int { { e }^{ x }cotx } dx+\int { { e }^{ x }(logsinx) } dx\)
\(=\int { { e }^{ x } } cotxdx+log(sinx)\int { { e }^{ x }dx } -\int { \left[ \frac { d }{ dx } (logsinx)\int { { e }^{ x }dx } \right] } \)
\(=\int { { e }^{ x }cotx } dx-{ e }^{ x }log(sinx)-\int { cotx{ e }^{ x }dx } \)
\(={ e }^{ x }log\left| sinx \right| +C\)

\(\int { \frac { sin(5x-3x) }{ sin5xsin3x } } dx\)
\(=\int { \frac { sin5xcos3x }{ sin5xsin3x } } dx-\int { \frac { cos5xsin3x }{ sin5xsin3x } } dx\)
\(=\int { cot3xdx-\int { cot5xdx } } \)
\(=\frac { 1 }{ 3 } log\left| sin3x \right| -\frac { 1 }{ 5 } log\left| sin5x \right| +C\)

\(x+\alpha =t\)
\(x=t-\alpha \)
\(dx=dt\)
\(\int { \frac { cos(t-\alpha )dt }{ cost } } =\int { \frac { costcos\alpha +sintsin\alpha }{ cost } } \)
\(\int { \frac { costcos\alpha dy }{ cost } } +\int { \frac { sintsin\alpha }{ cost } } dt\)
\(=cos\alpha \int { dt+sin\alpha \int { tantdt } } \)
\(=tcos\alpha +sin\alpha \quad log\left| sect \right| +c\)
\(=(x+\alpha )cos\alpha +sin\alpha \quad log\left| sec(x+\alpha \right| +c\)

\(\int { \frac { dx }{ 1+{ e }^{ x } } } \)
Multiply by e^-x to numerator and denominator
\(\int { \frac { { e }^{ -x } }{ { e }^{ -x }({ e }^{ x }+1) } } dx\quad =\int { \frac { { e }^{ -x } }{ 1+{ e }^{ -x } } } dx\)
Put  \(1+{ e }^{ -x }=t\)
\(\Rightarrow { e }^{ -x }dx=-dt\)
\(\Rightarrow { e }^{ -x }=\frac { dt }{ dx } \)
\(\Rightarrow { e }^{ -x }dx=-dt\)
\(\Rightarrow -\int { \frac { dt }{ t } = } -log\left| t \right| \)
\(\Rightarrow -log(1+{ e }^{ -x })=-log\left( 1+\frac { 1 }{ { e }^{ x } } \right) \)
\(=-log\left( 1+\frac { 1 }{ e^{ x } } \right) +C\)

\(\int { { cos }^{ 3 } } xdx=\frac { 1 }{ 4 } \int { (cos } 3x+3cosx)dx\)
\([\because cos3x=4cos^{ 3 }x-3cosx]\)
\(=\frac { 1 }{ 4 } \int { cos3x } dx+\int { \frac { 3 }{ 4 } } cosxdx\)
\(=\frac { 1 }{ 4 } \left( \frac { sin3x }{ 3 } \right) +\frac { 3 }{ 4 } sinx+C\)
 \(=\frac { 1 }{ 12 } sin3x+\frac { 3 }{ 4 } sinx+C\)

\(\int { tan^{ -1 } } \sqrt { \frac { 1-cos2x }{ 1+cos2x } } dx=\int { tan^{ -1 } } \sqrt { \frac { 2sin^{ 2 }x }{ 2cos^{ 2 }x } } \)
\(=\int { { tan }^{ -1 }(tanx) } dx\)
\(=\int { x } dx\)
\(=\frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } +C\)

\(\int { \frac { dx }{ 1+sinx } } \times \frac { (1-sinx }{ (1-sinx) } \)
\(=\int { \frac { (1-sinx) }{ 1-sin^{ 2 }x } } dx\)
\(=\int { \frac { dx }{ { cos }^{ 2 }x } -\int { \frac { sinx }{ { cos }^{ 2 }x } dx } } \)
\(=\int { { sec }^{ 2 }xdx } -\int { tanx\quad secx\quad dx } \)
\(=tanx-secx+C\)

\(cosC.sinD=\frac { 1 }{ 2 } \left[ sin(C+D)-sin(C-D) \right] \)
\(=\frac { 1 }{ 2 } \int { \left[ sin(3x+2x)-sin(3x-2x) \right] } dx\)
\(=\frac { 1 }{ 2 } \int { (sin5x-sinx) } dx\)
\(=\frac { 1 }{ 2 } \left( -\frac { cos5x }{ 5 } \right) -\frac { 1 }{ 2 } \left[ -cosx \right] \)
\(=\frac { 1 }{ 2 } \left[ cosx-\frac { 1 }{ 5 } cos5x \right] +C\)