\(\frac { 1 }{ { x }^{ 3 }+1 } =\frac { 1 }{ \left( x+1 \right) ({ x }^{ 2 }-x+1) } .\)
let  \(\frac { 1 }{ { x }^{ 3 }+1 } \equiv \frac { A }{ x+1 } +\frac { Bx+C }{ { x }^{ 2 }-x+1 }... (1)\)
Multiplying by \(({ x }^{ 3 }+1),\)  
We get:  \(1=A({ x }^{ 2 }-x+1)+(Bx+C)(x+1)\)
Putting \(x=-1,1=A(1+1+1)\)
\(\Rightarrow 1=3A\Rightarrow A=\frac { 1 }{ 3 } .\)
Comparing coeffs.of  \({ x }^{ 2 },0=A+B\)
\(\Rightarrow B=-A\Rightarrow B=-\frac { 1 }{ 3 } \)
Comparing constant terms, \(1=A+C\)
\(\Rightarrow C=1-A\)
\(\Rightarrow C=1-\frac { 1 }{ 3 } =\frac { 2 }{ 3 } .\)
ஃ From (1), \(\frac { 1 }{ { x }^{ 3 }+1 } =\frac { \frac { 1 }{ 3 } }{ { x }+1 } +\frac { -\frac { 1 }{ 3 } x+\frac { 2 }{ 3 } }{ { x }^{ 2 }-x+1 } .\)
\(\therefore \ \int { \frac { 1 }{ { x }^{ 3 }+1 } } dx=\frac { 1 }{ 3 } \int { \frac { 1 }{ 3 } } \int { \frac { 1 }{ { x }+1 } } dx-\frac { 1 }{ 3 } \int { \frac { x-2 }{ { x }^{ 2 }-x+1 } } dx\)
\(=\frac { 1 }{ 3 } \log { \left| x+1 \right| } -\frac { 1 }{ 3 } \int { \frac { \frac { 1 }{ 2 } (2x-1)-\frac { 3 }{ 2 } }{ { x }^{ 2 }-x+1 } } dx\)
\(=\frac { 1 }{ 3 } \log { \left| x+1 \right| } -\frac { 1 }{ 6 } \int { \frac { (2x-1) }{ { x }^{ 2 }-x+1 } } dx+\frac { 1 }{ 2 } \int { \frac { 1 }{ { \left( x-\frac { 1 }{ 2 } \right) }^{ 2 }+{ \left( \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \right) }^{ 2 } } } dx\)
\(=\frac { 1 }{ 3 } \log { \left| x+1 \right| } -\frac { 1 }{ 6 } \log { \left| { x }^{ 2 }-x+1 \right| } +\frac { 1 }{ 2 } .\frac { 1 }{ \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } } \tan ^{ -1 }{ \frac { x-\frac { 1 }{ 2 } }{ \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } } } +c\)
\(=\frac { 1 }{ 3 } \log { \left| x+1 \right| } -\frac { 1 }{ 6 } \log { \left| { x }^{ 2 }-x+1 \right| } +\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \tan ^{ -1 }{ \left( \frac { 2x-1 }{ \sqrt { 3 } } \right) } +c.\)

\(\int { \frac { (x+3) }{ { (x+5) }^{ 3 } } } { e }^{ x }dx=\int { \frac { x+5-1 }{ { (x+5) }^{ 3 } } } { e }^{ x }dx\)
\(=\int { \left[ \frac { 1 }{ { (x+5) }^{ 2 } } -\frac { 2 }{ { (x+5) }^{ 3 } } \right] } { e }^{ x }dx\)
\(=\int { \frac { 1 }{ { (x+5) }^{ 2 } } } { e }^{ x }-\int { \frac { 2 }{ { (x+5) }^{ 3 } } } { e }^{ x }dx\)
\(=\frac { 1 }{ { (x+5) }^{ 2 } } { e }^{ x }-\int { \frac { -2 }{ { (x+5) }^{ 3 } } } { e }^{ x }dx-\int { \frac { 2 }{ { (x+5) }^{ 3 } } } { e }^{ x }dx\)
[Integrating first integral by Parts]
\(=\frac { { e }^{ x } }{ { (x+5) }^{ 2 } } +c\)

\(\int { { e }^{ x }\left( \frac { \sin { 4x-4 } }{ 1-\cos { 4x } } \right) } dx=\int { { e }^{ x }\left( \frac { 2\sin { 2x\cos { 2x } -4 } }{ 2\sin ^{ 2 }{ 2x } } \right) } dx\)
\(=\int { { e }^{ x }\left( \frac { 2\sin { 2x\cos { 2x } -4 } }{ 2\sin ^{ 2 }{ 2x } } -\frac { 4 }{ 2\sin ^{ 2 }{ 2x } } \right) } dx\)
\(=\int { { e }^{ x } } \left( \cot { 2x } -2{ cosec }^{ 2 }2x \right) dx\)
\(=\int { \cot { 2x } } .{ e }^{ x }dx-2\int { { cosec }^{ 2 }2x } .{ e }^{ x }dx\)
\(=\cot { 2x } .{ e }^{ x }=\int { -2{ cosec }^{ 2 }2x.{ e }^{ x }dx } -2\int { { cosec }^{ 2 }2x } .{ e }^{ x }dx\)
[Integrating first integral by Parts]
\(={ e }^{ x }\cot { 2x } +c.\)

e^x cot 2x + c

\(\int \frac{e^{x}}{\sqrt{5-4 e^{x}-e^{2 x}}} =\int \frac{1}{\sqrt{5-4 t-t^{2}}} d t=\int \frac{1}{\sqrt{9-(t+2)^{2}}} d t \)
\(=\sin ^{-1}\left(\frac{t+2}{3}\right)+C=\sin ^{-1}\left(\frac{e^{x}+2}{3}\right)+C \)

\(={1\over\sqrt2}sin^{-1}{\sqrt2(x+1)\over\sqrt7} + c\)

\({e^x\over(x-2)^2 }+c\)

\({1\over2\sqrt2}tan^{-1}({x^2-4\over2\sqrt2 x})+c\)

\(= {1\over ab} tan^{-1}({a\ tan\ x\over b})+c\)

\(={x^3\over3}cot^{-1}\ x+{1\over6}({1+x^2})-{1\over6}log |1+x^2|+c\)

\(I=\int _{ \frac { \pi }{ 6 } }^{ \frac { \pi }{ 3 } }{ \frac { dx }{ 1+\sqrt { \cot { x } } } } \)
\(=\int _{ \frac { \pi }{ 6 } }^{ \frac { \pi }{ 3 } }{ \frac { \sqrt { \sin { x } } }{ \sqrt { \sin { x } } +\sqrt { \cos { x } } } } dx\)
Apply property \(\int _{ a }^{ b }{ f\left( x \right) } =\int _{ a }^{ b }{ f\left( a+b-x \right) } \)
\(=\int _{ \frac { \pi }{ 6 } }^{ \frac { \pi }{ 3 } }{ \frac { \sqrt { \sin { \frac { \pi }{ 3 } +\frac { \pi }{ 6 } -x } } }{ \sqrt { \sin { \frac { \pi }{ 3 } +\frac { \pi }{ 6 } -x } } +\sqrt { \cos { \frac { \pi }{ 3 } +\frac { \pi }{ 6 } -x } } } } dx\)
\(\therefore I=\int _{ \frac { \pi }{ 6 } }^{ \frac { \pi }{ 3 } }{ \frac { \sqrt { \cos { x } } }{ \sqrt { \cos { x } } +\sqrt { \sin { x } } } } dx\)
Adding, we get \(2I=\int _{ \frac { \pi }{ 6 } }^{ \frac { \pi }{ 3 } }{ dx } =\left[ x \right] _{ \frac { \pi }{ 6 } }^{ \frac { \pi }{ 3 } }\)

Let \(f\left( x \right) =\int _{ 1 }^{ 3 }{ \left( { e }^{ 2-3x }+{ x }^{ 2 }+1 \right) } dx\)
Here
\(h=\frac { 2 }{ n } \)
\(= \underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \) h [f(1) + f(1 + h) + f(1 + 2h) + ... + f(1 + (n - 1)h)]
\(= \underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \) h [(e^-1 + 2) + (e^-1-3h + 2 + 2h + h² ) + ... (e^-1-6h + 2 + 4h + 4h²) +  ... + ... (e^{-1-3(n - 1)h} + 2 + 2 (n - 1)h + (n - 1)² + h²)
\(= \underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \) h [e^-1 (1 + e^-3h + e^-6h + ... + e^{-3(n - 1)h})  +2n + 2h(1 + 2 + ... + (n - 1) + h²(1² + 2² + ... + (n - 1)²)]
\(=\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \quad h\left[ { e }^{ -1 }\frac { { e }^{ -3h }-1 }{ { e }^{ -3h }-1 } h+2nh+2\frac { nh\left( nh-n \right) }{ 2 } +\frac { nh\left( nh-h \right) \left( 2nh-h \right) }{ 6 } \right] \)
\(={ e }^{ -1 }\frac { \left( { e }^{ -6 }-1 \right) }{ -3 } +4+4+\frac { 8 }{ 3 } \)
\(={ -e }^{ -1 }\frac { \left( { e }^{ -6 }-1 \right) }{ 3 } +\frac { 32 }{ 3 } \)

\(\int _{ 1 }^{ 4 }{ \left( { x }^{ 2 }-x \right) dx } =\int _{ 1 }^{ 4 }{ { x }^{ 2 }dx } -\int _{ 1 }^{ 4 }{ { x }dx } ={ I }_{ 1 }-{ I }_{ 2 }\)
Let \({ I }_{ 1 }=\int _{ 1 }^{ 4 }{ { x }^{ 2 }dx } \)  [See Imp.keys and formulae]
Here  \(h-\frac { b-a }{ n } =\frac { 4-1 }{ n } =\frac { 3 }{ n } \)
\(=\left( 4-1 \right) \underset { n\rightarrow \infty }{ lim } \frac { 1 }{ n } \left[ f\left( 1 \right) +f\left( 1+\frac { 3 }{ n } \right) +......+n\ terms \right] \)
\(= 3\underset { n\rightarrow \infty }{ lim } \frac { 1 }{ n } \left[ { 1 }^{ 2 }+{ \left( 1+\frac { 3 }{ n } \right) }^{ 2 }+\left( 1+\frac { 6 }{ n } \right) ^{ 2 }+......+\ n\ terms \right] \)
\(= 3\underset { n\rightarrow \infty }{ lim } \frac { 1 }{ n } \left[ \left( { 1 }^{ 2 }+{ 1 }^{ 2 }+....n\ terms \right) +\left\{ \left( \frac { 3 }{ n } \right) ^{ 2 }+{ \left( \frac { 6 }{ n } \right) }^{ 2 }+.....+\left( n-1 \right) \ terms \right\} +\left\{ 2\times \frac { 3 }{ n } +2\times \frac { 6 }{ n } +.....+\left( n-1 \right) terms \right\} \right] \)
\(=3\underset { n\rightarrow \infty}{ lim } \frac { 1 }{ n } \left[ n+\frac { 9 }{ { n }^{ 2 } } \frac { \left( n-1 \right) n\left( 2n-1 \right) }{ 6 } +\frac { 6 }{ n } \left( \frac { n\left( n+1 \right) }{ 2 } \right) \right] \)
\(=3\left[ 1+2\times \frac { 9 }{ 6 } +3 \right] =3\times 7=21\)
and \({ I }_{ 2 }=\int _{ 1 }^{ 4 }{ xdx } \)
\(=\left( 4-1 \right) \underset { n\rightarrow \infty }{ lim } \frac { 1 }{ n } \left[ f\left( 1 \right) +f\left( 1+\frac { 3 }{ n } \right) +......+n\ terms \right] \)
\(= 3\underset { n\rightarrow \infty }{ lim } \frac { 1 }{ n } \left[ { 1 }^{ 2 }+{ \left( 1+\frac { 3 }{ n } \right) }^{ 2 }+\left( 1+\frac { 6 }{ n } \right) ^{ 2 }+......+\ n\ terms \right] \)
\(= 3\underset { n\rightarrow \infty }{ lim } \frac { 1 }{ n } \left[ n+\frac { { n }^{ 2 } }{ 2 } +\frac { 3n }{ 2 } \right] \)
\(= 3\underset { n\rightarrow \infty }{ lim } \left[ 1+\frac { 3 }{ 2 } \right] \)
\(= 3\left[ 1+\frac { 3 }{ 2 } \right] =\frac { 15 }{ 2 } \)
\(\therefore \int _{ 1 }^{ 4 }{ \left( { x }^{ 2 }-x \right) } .dx={ I }_{ 1 }-{ I }_{ 2 }=21-\frac { 15 }{ 2 } =\frac { 27 }{ 2 } .\)

\(I=\int { \frac { 1 }{ { sin }^{ 4 }x+{ sin }^{ 2 }x{ cos }^{ 2 }x+{ cos }^{ 4 }x } } dx\)
\(=\int { \frac { ({ tan }^{ 2 }x+1){ sec }^{ 2 }x }{ { tan }^{ 4 }x+{ tan }^{ 2 }x+1 } } dx\)
[ Dividing N & D by cos⁴x]
\(=\int { \frac { { t }^{ 2 }+1 }{ { t }^{ 4 }+{ t }^{ 2 }+1 } } dt\) where tanx=t
\(=\int { \frac { 1+\frac { 1 }{ { t }^{ 2 } } }{ { t }^{ 2 }+\frac { 1 }{ t^{ 2 } } +1 } } dt\quad \left[ dividing\quad N\quad \& \quad D\quad by\quad { t }^{ 2 } \right] \)
Putting  \(t-\frac { 1 }{ t } =z\quad so\quad that\quad \left( 1+\frac { 1 }{ { t }^{ 2 } } \right) dt=dz\)
and  \({ t }^{ 2 }\frac { 1 }{ t^{ 2 } } ={ z }^{ 2 }+2\)
\(\therefore \ I=\int { \frac { dz }{ { z }^{ 2 }+(\sqrt { 3 } )^{ 2 } } } \)
\(=\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } { tan }^{ -1 }\frac { z }{ \sqrt { 3 } } +C\)
\(=\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } tan^{ -1 }\frac { z }{ \sqrt { 3 } } +C\)
\(=\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } { tan }^{ -1 }\left( \frac { { t }^{ 2 }-1 }{ \sqrt { 3t } } \right) +C\)
\(=\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } { tan }^{ -1 }\left( \frac { { tan }^{ 2 }x-1 }{ \sqrt { 3 } tanx } \right) +C\)

\(I=\int { (\sqrt { cotx } +\sqrt { tanx } )dx } \)
\(=\int { \frac { cosx+sinx }{ \sqrt { sinxcosx } } } dx\)
Putting sin x-cos x = t, so that (cosx + sinx) dx = dt
and \(sinx\quad xcosx=\frac { 1 }{ 2 } (1-t^{ 2 })\)
\(\therefore \ I=\sqrt { 2 } \int { \frac { dt }{ \sqrt { 1-{ t }^{ 2 } } } } \)
\(=\sqrt { 2 } { sin }^{ -1 }t+C\)
\(=\sqrt { 2 } { sin }^{ -1 }(sinx-cosx)+C\)

\(I=\int { \frac { 1 }{ { cos }^{ 4 }x+{ sin }^{ 4 }x } } dx\)
Dividing numerator and denominator by cos⁴x
\(=\int { \frac { sec^{ 4 }x }{ 1+tan^{ 4 }x } } dx\)
\(=\int { \frac { (1+tan^{ 2 }x)sec^{ 2 }x }{ 1+tan^{ 4 }x } } dx\)
Putting, tanx=t
\(\Rightarrow sec^{ 2 }xdx=dt\)
\(=\int { \frac { ({ t }^{ 2 }+1)dt }{ { t }^{ 4 }+1 } } \)
\(=\int { \frac { 1+\frac { 1 }{ { t }^{ 2 } } }{ { t }^{ 2 }+\frac { 1 }{ { t }^{ 2 } } } } dt\)     [dividing by t²]
\(=\int { \frac { dz }{ { z }^{ 2 }+(\sqrt { 2 } )^{ 2 } } } \) ,  where \(t-\frac { 1 }{ t } =z\)
\(=\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } { tan }^{ -1 }\left( \frac { z }{ \sqrt { z } } \right) +C\)
\(=\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } { tan }^{ -1 }\left( \frac { { t }^{ 2 }-1 }{ \sqrt { 2t } } \right) +C\)
\(=\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } { tan }^{ -1 }\left( \frac { { tan }^{ 2 }x-1 }{ \sqrt { 2 } tanx } \right) +C\)

Let, \(I=\int { (5x-1)\sqrt { 6+5x-2x^{ 2 } } } dx\)
Take, \(5x-1=A\frac { d }{ dx } (6+5x-2x^{ 2 })+B\)
\(=A(5-4x)+B\)
\(\Rightarrow 5=-4a \ \text{and} -1=5A+B\)
\(\Rightarrow A=-\frac { 5 }{ 4 } , B=\frac { 21 }{ 4 } \)
\(\therefore I=-\frac { 5 }{ 4 } \int { (5-4x) } \sqrt { 6+5x-2x^{ 2 } } dx+\frac { 21 }{ 4 } \int { \sqrt { 2 } } \sqrt { 3+\frac { 5 }{ 2 } x-{ x }^{ 2 } } dx\)
\(=-\frac { 5 }{ 4 } \times \frac { 2 }{ 3 } (6+5x-2x^{ 2 })^{ 3/2 }+\frac { 21\sqrt { 2 } }{ 4 } \int { \sqrt { \left( \frac { \sqrt { 73 } }{ 4 } \right) ^{ 2 }-\left( x-\frac { 5 }{ 4 } \right) ^{ 2 } } } dx\)
\(=-\frac { 5 }{ 6 } (6+5x-2x^{ 2 })^{ 3/2 }+\frac { 21\sqrt { 2 } }{ 4 } \left[ \frac { x-\frac { 5 }{ 4 } }{ 2 } \sqrt { 3+\frac { 5 }{ 2 } x-x^{ 2 } } +\frac { 73 }{ 2\times 16 } { sin }^{ -1 }\left( \frac { x-\frac { 5 }{ 4 } }{ \frac { \sqrt { 73 } }{ 4 } } \right) \right] +C\)
\(=-\frac { 5 }{ 6 } (6+5x-2x^{ 2 })^{ 3/2 }+\frac { 21\sqrt { 2 } }{ 4 } \left[ \frac { 4x-5 }{ 8 } \sqrt { 3+\frac { 5 }{ 2 } x-{ x }^{ 2 } } +\frac { 73 }{ 32 } { sin }^{ -1 }\left( \frac { 4x-5 }{ \sqrt { 73 } } \right) \right] +C\)

\(I=\int { \frac { { x }^{ 2 }+1 }{ (x-1)^{ 2 }(x+3) } } dx\)
Let  \(\int { \frac { { x }^{ 2 }+1 }{ (x-1)^{ 2 }(x+3) } } =\frac { A }{ x-1 } +\frac { B }{ (x-1)^{ 2 } } +\frac { C }{ x+3 } \)
\(\Rightarrow { x }^{ 2 }+1=A(x-1)(x+3)+B(x+3)+C(x-1)^{ 2 }\)
Getting the values \(A=\frac { 3 }{ 8 } , B=\frac { 1 }{ 2 } , C=\frac { 5 }{ 8 } \)
\(\therefore \ I=\int { \frac { { x }^{ 2 }+1 }{ (x-1)^{ 2 }(x+3) } } dx\)
\(=\frac { 3 }{ 8 } \int { \frac { dx }{ x-1 } +\frac { 5 }{ 8 } \int { \frac { dx }{ x+3 } +\frac { 1 }{ 2 } \int { \frac { 1 }{ (x-1)^{ 2 } } } } } dx\)
\(I=\frac { 3 }{ 8 } log\left[ x-1 \right] +\frac { 5 }{ 8 } log\left[ x+3 \right] -\frac { 1 }{ 2 } \frac { 1 }{ (x-1) } +C\)

Let, \({ x }^{ 2 }=t\)
\(\therefore \frac { { x }^{ 2 } }{ ({ x }^{ 2 }+1)({ x }^{ 2 }+4) } =\frac { t }{ (t+1)(t+4) } \)
\(=\frac { A }{ t+1 } +\frac { B }{ t+4 } \)
Getting,  \(A=-\frac { 1 }{ 3 } , B=\frac { 4 }{ 3 } \)
\(\therefore \int { \frac { { x }^{ 2 } }{ ({ x }^{ 2 }+1)({ x }^{ 2 }+4) } } dx\)
\(=-\frac { 1 }{ 3 } \int { \frac { 1 }{ x^{ 2 }+1 } dx+\frac { 4 }{ 3 } \int { \frac { 1 }{ { x }^{ 2 }+4 } } } dx\)
\(=-\frac { 1 }{ 3 } tan^{ -1 }x+\frac { 2 }{ 3 } tan^{ -1 }\frac { x }{ 2 } +C\)