(a) இதயத்துடிப்புமானியில் ஒலியின் பன்மடங்கான எதிரொலிப்பின் தத்துவத்தில் இயங்குகிறது. ரப்பர் குழாயை இதயம் மீது வைக்கும் பகுதியையும் காதில் வைக்கும் பகுதியின் சவ்வு உணர்ந்த ஒலியை காதில் வைக்கும் பகுதிக்கு எடுத்துச் செல்கிறது. நுரையீரலின் சத்தம் அல்லது இதயத்தின் துடிப்பு அல்லது உடல் உறுப்புகள் ஏற்படுத்தும் ஒளியை உணர்ந்து அதை காதில் வைக்கும் பகுதிக்கு ரப்பர் குழாயில் ஏற்படும் பன்மடங்கு எதிரொலிப்பு மூலம் எடுத்துச் செல்கிறது
(b) ஒளி மற்றும் ஒளியானது அலை வடிவில் பரவிச் செல்வன. இவைகளின் செறிவு என்பது வரையறுக்காமல் எளிமையாக புரிய வைக்க வேண்டுமெனில், இரண்டு ஓரலகு பரப்புகளை எடுத்துக் கொள்வோம். ஒரு ஓரலகு பிறப்பினும் 100 அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட அலைகளும், மற்றொரு ஓரலகு பரப்பினுள் 20 லிருந்து 40 வரையிலான அலைகளும் செல்வதாகக் கருதுவோம். ஓரலகு பரப்பில், அதிக அலைகள் ஒன்றோடொன்று நெருக்கி செல்லும், அப்படி என்றால், அலைகளின் நெருக்கம் இந்த ஓரலகு பரப்பில் அதிகம் இருப்பதால், இங்கு ஒலி அல்லது ஒலியின் செறிவு அதிகம் உள்ளது என்பதைப் புரிந்துக் கொள்ளலாம். ஆகவே, ஒலி மற்றும் ஒலியின் செறிவு எனலாம்.

ஐன்ஸ்டீனின் ஒளிமின் சமன்பாட்டின் மூலம் ஆசிரியை மாணவனின் சந்தேகத்தை விளக்கினான். ஒளி ஆற்றல் மீது உலோகம் பரப்பின் கற்றை மீது உலோகம் பரப்பின் கற்றை மீது படும்போது ஒரு பகுதி ஆற்றல் பரப்பில் இருந்து எலக்ட்ராங்களை கொள்ளத்தக்கவும் மறுபாதி ஆற்றல் வெளித்தள்ளப்பட்ட எலக்ட்ரானில் இயக்க ஆற்றலை அளிக்கவும் பயன்படுத்தப்படுகிறது. ஃபோட்டானின் ஆற்றல், வெப்ப ஆற்றலுடன் \((\triangle CI)\) ஒப்பிடப்படுகிறது. கிளர்ச்சியுள்ள மூலக்கூறுகள் விரிவடைந்து அமைப்பின் மீது வேலை செய்கிறது. இது ஒளிமின் சமன்பாட்டின் வேலைநிகழ்வு (work function) உடன் ஒப்பிடப்படுகிறது
\(\triangle Q=\triangle U+\triangle W\)
(i) முப்பரிமாண வெளியிலுள்ள வெப்ப இயக்கவியல் அமைப்பு ஒன்றின் நிலை மற்றும் அமைப்பை விளக்குவதற்கு தேவைப்படும் குறைந்தபட்ச சார்பற்ற இயந்திரக்கூறுகள் எனப்படும்.
(ii) ஓரணு மூலக்கூறு:
மூலக்கூறு ஒன்றின் சராசரி இயக்க ஆற்றல்
\(\left( \frac { 3 }{ 2 } KT \right) \)
ஒரு மோல் வாயுவின் மொத்த ஆற்றல்
\(=\frac { 3 }{ 2 } KT\times { N }_{ A }=\frac { 3 }{ 2 } RT\)
நாம் அறிந்தபடி ஒரு மோல் வாயுவின் பருமன் மாறா மோலார் தன் வெப்ப ஏற்புத்திறன் 
\({ C }_{ v }=\frac { dU }{ dT } =\frac { d }{ dT } \left( \frac { 3 }{ 2 } RT \right) \)
\({ C }_{ v }=\left[ \frac { 3 }{ 2 } R \right] \)
\({ C }_{ p }={ C }_{ v }+R=\frac { 3 }{ 2 } R+R=\frac { 6 }{ 2 } R\)
\(\gamma =\frac { { C }_{ p } }{ { C }_{ v } } =\frac { \frac { 5 }{ 3 } R }{ \frac { 3 }{ 2 } R } =\frac { 5 }{ 3 } =1.67\)

சமன்பாடு (11.25) லிருந்து,
\(v=\sqrt { \frac { \gamma P }{ \rho } } \)
ஆனால் \(\rho =\frac { M }{ V } \)​​
\(v=\sqrt { \frac { \gamma PV }{ M } } \)
சமன்பாடு (11.26) ல் யைப் பயன்படுத்த
\(v=\sqrt { \frac { \gamma RT }{ M } } \)
இங்கு,R -பொது வாயு மாறிலி, M-வாயுவின் மூலக்கூறு நிறை 
17^oC யில் நைட்ரஜனில் ஒலியின் வேகம்
\({ v }_{ N }=\sqrt { \frac { \gamma R\left( 273K+17K \right) }{ { M }_{ N } } } \)
\(=\sqrt { \frac { \gamma R(290K) }{ { M }_{ N } } } \\ \)   (1)
இதேபோல் t^oC யில் ஆக்சிஜனில் ஒலியின் வேகம் 
\({ v }_{ 0 }=\sqrt { \frac { \gamma R\left( 273K+t \right) }{ { M }_{ 0 } } } \)     (2)
இரு வாயுக்களுக்கும் ஒரே மதிப்பு. ஆதலால், மேலே (1),(2), யை சமப்படுத்த
\({ v }_{ 0 }={ v }_{ n }\)
\(\sqrt { \frac { \gamma R\left( 273+t \right) }{ { M }_{ 0 } } } =\sqrt { \frac { \gamma R(290K) }{ { M }_{ N } } } \)
இருபுறமும் இருமுடியாக்கி (squaring)γR யை நிக்கி, சரிசெய் 
\(\frac { { M }_{ 0 } }{ { M }_{ N } } =\frac { 273+t }{ 290 } \)       (3)
ஆக்சிஜன், நைட்ரஜனின் அடர்த்திகளின் தகவு 16:14, எனவே,
\(\frac { { \rho }_{ 0 } }{ { \rho }_{ N } } =\frac { 16 }{ 14 } \)
\(\frac { { \rho }_{ 0 } }{ { \rho }_{ N } } =\frac { \frac { { M }_{ 0 } }{ V } }{ \frac { { M }_{ N } }{ V } } =\frac { { M }_{ 0 } }{ { M }_{ N } } \Rightarrow \frac { { M }_{ 0 } }{ { M }_{ N } } =\frac { 16 }{ 15 } \)
சமன்பாடு (5) ஐ  (3) ல் பொருத்த 
\(\frac { 273+t }{ 290 } =\frac { 16 }{ 14 } \Rightarrow 3822+14t=4640\)
\(\Rightarrow \) t = 58.4 K

புவிநிலை துணைக்கோள் மற்றும் துருவத் துணைக்கோள்:
(i) புவியினைச் சுற்றி வரும் துணைக்கோளின் சுற்றுகாலங்கள் அவற்றின் சுற்றுப்பாதை ஆரத்தைப் பொறுத்து அமைகின்றன. சுற்றுக்காலம் 24 மணி நேரம் உடைய துணைக்கோளி சுற்றுப்பாதை ஆரத்தை கெப்ளரின் மூன்றாம் விதியைச் பயன்படுத்தி கணக்கிடலாம்.
\({ T }^{ 2 }=\quad \cfrac { { 4\pi }^{ 2 } }{ { GM }_{ E } } \left( { R }_{ E }+h \right) ^{ 3 }\)
\(\left( { R }_{ E }+h \right) ^{ 3 }=\cfrac { GM_{ E }{ T }^{ 2 } }{ 4\pi ^{ 2 } } \)

\({ R }_{ E }+h=\left( \cfrac { { GM }_{ E }{ T }^{ 2 } }{ { 4\pi }^{ 2 } } \right) \)
(ii)புவியின் நிறை ஆரம் மற்றும் சுற்றுக்காலம் T (=24மணி =86400 வினாடிகள்) ஆகியவற்றின் மதிப்புகளை பிரதியிட்டு கணக்கிட h ன் மதிப்பு 36,000km எனக் கிடைக்கிறது. இவ்வகை துணைக்கோள்கள் புவிநிலைத் துணைக்கோள்கள் (geo -stationary satelites) எனப்படுகின்றன. ஏனென்றால் புவியிலிருந்து பார்க்கும் போது இவை நிலையாக இருப்பது போலத் தோன்றும்.
(iii) இந்தியா செய்தி தொடர்புக்குப் பயன்படுத்தும் புவிநிலைத் துணைக்கோளான இன்சாட் அடிப்படையில் புவி நிலைத் துணைக்கோள்களே. புவியின் பரப்பிலிருந்து 500 முதல் 800 km உயரத்தில் புவியினை வடக்கு-தெற்கு திசையில் மற்றொரு வகை துணைக்கோள்கள் சுற்றி வருகின்றன. புவியின் வட-தென் துருவங்கள் மேல் செல்லும் சுற்றும் பாதையில் புவியினை சுற்றி வரும் இவ்வகை துணைக்கோள்கள் துருவத் துணைக்கோள்கள் எனப்படுகின்றன.
(இவ்) துருவத் துணைக்கோள்களின் சுழற்சிக்காலம் 100 நிமிடங்கள். எனவே ஒரு நாளில் பலமுறை புவியினை சுற்றி வருகின்றன. ஒரு சுற்றின்போது புவியின் வடதுருவம் முதல் தென் துருவம் வரை ஒரு சிறிய  நிலப்பரப்பே (strip of area) கடந்து செல்லும். அடுத்தச் சுற்றின் போது வேறு நிலப்பரப்பு பகுதி மேல் கடந்து செல்லும்.
(v) முதல் சுற்று கால அளவில் புவியானது ஒரு சிறிய கோண அளவு சுழன்று இருக்கும். இவ்வ்ரு அடுத்தடுத்த சுற்றுகள் மூலம் துருவ துணைக்கோளானது புவியின் முழு நிலப்பரப்பையும் கடக்க முடியும்.

    

வ.எண்	நிகழ்வு		வெப்பம்	வெப்பநிலை மற்றும் அகஆற்றல்	அழுத்தம்
1.	வெப்ப நிறை மாறா நிகழ்வு	விரிவு	Q>0	மாறில்	குறைகிறது
		அழுக்கம்	Q<0	மாறில்	அதிகரிக்கிறது
2.	அழுத்தம் மாறா நிகழ்வு	விரிவு	Q>0	அதிகரிக்கிறது	மாறில்
		அழுக்கம்	Q<0	குறைகிறது	மாறில்
3.	பருமன் மாறா நிகழ்வு		Q>0	அதிகரிக்கிறது	அதிகரிக்கிறது
			Q<0	குறைகிறது	குறைகிறது
4.	வெப்பப்பரிமாற்ற மில்லா நிகழ்வு	விரிவு	Q=0	குறைகிறது	குறைகிறது
		அழுக்கம்	Q=0	அதிகரிக்கிறது	அதிகரிக்கிறது

(i) அடர்த்தி பரப்பு இழுவிசை போன்ற இயற பண்புகள் காரணமாக வெவ்வேறு திரவங்கள் ஒன்றாகப் கலப்பதில்லை. எடுத்துக்காட்டாக நீரும், மண்ணெண்ணெயும் ஒன்றாக கலப்பதில்லை. பாதரசம் கண்ணாடியில் ஒட்டுவதில்லை. ஆனால் நீரானது கண்ணாடியில் ஓட்டும். நீரானது தண்டுகள் வழியாக இலைகள் வரை மேலேறும். அவை பெரும்பாலும் திரவங்களின் மேற்பரப்புகளுடன் தொடர்பு கொண்டவையாக இருக்கின்றன.
(ii) திரவங்களுக்கு வரையறுக்கப்பட்ட வடிவமில்லை ஆனால் வரையறுக்கப்பட்ட பருமன் உண்டு. எனவே அவற்றை கொள்கலனில் ஊற்றும் போது அவை தகவையற்ற மேற்பரப்பைப் பெறுகின்றன. எனவே மேற்பரப்பானது கூடுதலாக ஆற்றலைப் பெறுகிறது. அது மேற்பரப்பு ஆற்றல் எனப்படுகிறது.
(iii) மேற்கண்ட நிகழ்வுக்கு காரணம் பரப்பு இழுவிசை என்ற பண்பாகும். லாப்லஸ் மற்றும் காஸ் என்ற அறிஞர்கள் பரப்பு இழுவிசை மற்றும் வெவ்வேறு சூழ்நிலைகளில் திரவத்தின் இயக்கம் பற்றிய கோட்ப்பாடுகளை உருவாக்கினார். நீர்ம மூலக்கூறுகள் திடப் பொருளில் உள்ளது. போல் இறுகப் பிணைக்கப்படுவதில்லை. எனவே அவை எளிதாக நகருகின்றன.

(iv) ஒரு திரவத்தில் உள்ள ஒரே வகையான நீர்ம மூலக் கூறுகளுக்கிடேயே ஏற்படும் விசையானது ஓரினக்கவர்ச்சி விசை எனப்படுகிறது.ஒரு நீர்மமானது திடப்பொருளைத் தொடும்போது திரவ மற்றும் திடப்பொருள் மூலக் கூறுகள் வேறினக் கவர்ச்சி விசை (adhesive force) என்ற கவர்ச்சி விசயைப் பெறுகின்றன. இவ்வகையான மூலக்கூறுகளுக்கு இடைப்பட்ட விசையானது. 10-9 (அதாவது 10) என்ற குறுந்தொலைவுக்கு மட்டுமே செயல்படும்.
அனைத்து திசைகளிலும் இவ்வகையான மூலக் கூறிடை விசைகள் செயல்படும் தொலைவனது கவர்ச்சிப்புலம் (sphere ஒப்பி influence) எனப்படுகிறது.இப்புலத்திற்கு அப்பாலுள்ள விசைகள் புறக்கணிக்கப்படுகின்றன.
(vi) ஒரு திரவத்தில் A,B மற்றும் C என்ற மூன்று வேறுபட்ட மூலக்கூறுகளைக் கருதுக. எ எனும் மூலக்கூறானது அனைத்து திசைகளிலும் உள்ள எல்லா மூலக்கூறுகளுடன் இடைவினை புரிவதால் A உணரும் தொகுபயன் விசை சுழியாகும். B என்ற மூலக்கூறானது, நான்கில் மூன்று பாகம் காற்றிலும் உள்ளன. பி க்கு கீழ்ப்பகுதியில் அதிக மூலக்கூறுகள் இருப்பதால் அது கீழ் நோக்கிய தொகுப்பயன் விசையைப் பெறுகிறது.
(vii) இதேபோல் C என்ற மூலக்கூறு திரவத்தின் மேற்பரப்பில் உள்ளதால் (அதாவது மேற்பாதி காற்றிலும், கீழ்பாதி திரவத்திலும்) அதிகபட்ச கீழ் நோக்கு விசையைப் பெறுகிறது. ஏனெனில் அதிகமான திரவ மூலக்கூறுகள் கீழ் பகுதியில் உள்ளன. எனவே மூலக்கூறு எல்லைக்குள் உள்ள திரவ மூலக்கூறுகள் அனைத்தும் C மூலக்கூறுடன் இடைவினை புரிந்து கீழ் நோக்கிய விசையை உணர்கிறது என்பது தெளிவாகிறது.உட்பகுதியினுள் இருக்கும் எந்த மூலக்கூறையும் திரவத்தின் மேற்பரப்புக்குக் கொண்டுவர ஓரினக்கவர்ச்சி விசைக்கு எதிராக வேலை செய்ய வேண்டியுள்ளது. இவ்வேலைநிலையானது மூலக்கூறுகளில் நிலையற்றலாக சேமிக்கப்படுகிறது. எனவே, திரவ மேற்பரப்பில் உலா மூலக்கூறுகள் உட்பகுதியினுள் உள்ள மூலக்கூறுகளை விட அதிக நிலையாற்றலைப் பெற்றுள்ளன.
(viii) ஆனால் ஒரு அமைப்பு சமநிலையில் இருக்க வேண்டுமாயின் அதன் நிலையாற்றல் (பரப்பு ஆற்றல்) சிறுமமாக இருக்க வேண்டும். எனவே உறுதிச்சமநிலையில் இருக்க திரவமானது சிறும எண்ணிக்கையிலான மூலக்கூறுகளைப் பெற முயலும். வேறு வகையில் கூறவேண்டுமாயின் திரவமானது சிறும மேற்பரப்பினைப் பெற முயலும். திரவத்தின் இந்த விசையை உண்டாக்குகின்றது.       

P1, P2 என்பன இரு கோள வடிவ சோப்பு குமிழிகளின்  உள்ளே அழுத்தங்கள் 
\({ P }_{ 1 }-{ P }_{ 2 }=\frac { 4T }{ { r }_{ 1 } } \Rightarrow { P }_{ 1 }=P+\frac { 4T }{ { r }_{ 1 } } \)
இதைப்போலவே   
\({ P }_{ 1 }-{ P }=\frac { 4T }{ { r }_{ 2 } } \Rightarrow { P }_{ 2 }=P+\frac { 4T }{ { r }_{ 2 } } \)
குமிழிகள் இணையும் போது  
P₁V₁ + P₂V₂ = PV
புதிய குமிழியின் உள்ளே அழுத்தம்   
\(P=P+\frac { 4T }{ r } \)
P, P₁, P₂  இல்  பிரதியிட 
P₁V₁ + P₂V₂ = PV
\(\left( P+\frac { 4T }{ { r }_{ 1 } } \right) { V }_{ 1 }+\left( P+\frac { 4T }{ { r }_{ 2 } } \right) { V }_{ 2 }=\left( P+\frac { 4T }{ { r } } \right) V\)
\(\left( P+\frac { 4T }{ { r }_{ 1 } } \right) \frac { 4 }{ 3 } \pi { r }_{ 1 }^{ 3 }+\left( P+\frac { 4T }{ { r }_{ 2 } } \right) \frac { 4 }{ 3 } \pi { r }_{ 2 }^{ 3 }\)
= \(\left( P+\frac { 4T }{ { r } } \right) \frac { 4 }{ 3 } \pi { r }^{ 3 }\)
\(\frac { 4 }{ 3 } \pi P\left( { r }_{ 1 }^{ 3 }+{ r }_{ 1 }^{ 3 }-{ r }^{ 3 } \right) +\frac { 16\pi T }{ 3 } \left( \frac { { r }_{ 1 }^{ 3 } }{ { r }_{ 1 } } +\frac { { r }_{ 2 }^{ 3 } }{ { r }_{ 2 } } -\frac { { r }^{ 3 } }{ { r }_{ 1 } } \right) =0\)
\(\frac { 4 }{ 3 } \pi P\left( { r }_{ 1 }^{ 3 }+{ r }_{ 1 }^{ 3 }-{ r }^{ 3 } \right) +\frac { 16\pi T }{ 3 } \left( { r }_{ 1 }^{ 2 }+{ r }_{ 1 }^{ 2 }-{ r }^{ 2 } \right) =0\)....... (2)
பருமனில் கொடுக்கப்பட்ட மாற்றம் 
\(V=\frac { 4 }{ 3 } \pi { r }_{ 1 }^{ 3 }+\frac { 4 }{ 3 } \pi { r }_{ 2 }^{ 3 }-\frac { 4 }{ 3 } \pi { r }^{ 3 }\) ......... (3)
பரப்பில் மாற்றம் 
\(V=4\pi { r }_{ 1 }^{ 2 }+{ 4\pi r }_{ 1 }^{ 2 }-4\pi r^{ 2 }\).......(4)
சமன் (3), (4) ஐ சமன் (2)ல் பிரதியிட 
\(p\left( \frac { 4 }{ 3 } \pi { r }_{ 1 }^{ 3 }+\frac { 4 }{ 3 } \pi { r }_{ 2 }^{ 3 }-\frac { 4 }{ 3 } { \pi r }^{ 3 } \right) +\frac { 4 }{ 3 } \left( 4\pi { r }_{ 1 }^{ 2 }+4\pi { r }_{ 2 }^{ 2 }-4{ \pi { r } }^{ 2 } \right) =0\)
\(P(V)+\frac { 4T }{ 3 } (A)=0\)
\(PV+\frac { 4T }{ 3 } A=0\)
3PV + 4TA = 0
\(\therefore\)3PV + 4TA = 0
 

நீண்ட உருளை வடிவக் குழாயில் குறுக்குவெட்டுப்பரப்பு A, நிலையான நிறை கொண்ட மீட்சித் தன்மை ஊடகம் (இங்கு காற்றைக் கருதுக) P அழுத்தத்தில் உள்ளது என்க. இந்தக் குழாயில் நெட்டலைகள் ஓர் இசைக்கவையை அதிர வைத்தோ, பிஸ்டன் ஒன்றைக் கொண்டு கட்டை அலுத்தியோ ஏற்படலாம். உருளையின் அச்சுக்கு இணையாக அலை முன்னேறுவதாகக் கொள்க. ஆரம்பத்தில் ஓய்வில் உள்ள ஊடகத்தின் அடர்த்தி ρ என்க. t = 0 நேரத்தில் பிஸ்டன் இடது முனையிலிருந்து, u திசைவேகத்துடன் வலது முனைநோக்கி நகர்கிறது.

v என்பது மீட்சி அலையின் திசைவேகம் மற்றும் u பிஸ்டனின் திசைவேகம் என்க. Δt நேர இடைவெளியில் பிஸ்டன் நகரும் தூரம் Δd = uΔt மீட்சி தன்மை கொண்ட மாறுபாடு நகர்ந்த தொலைவு x = vΔt 
Δt நேர இடைவெளியில் v திசைவேகத்தை அடைந்து காற்றின் நிலை Δm என்க.
Δm = ρ A Δx = ρA(vΔt)
பிஸ்டன் u என்ற திசைவேகத்தில் இயங்குவதால்ஏற்படும் உந்தம் 
Δp = [ ρ A (vΔt) ] u 
கணத்தாக்கு  என்பது உந்தமாறுபாடு என்பதால், நிகர கணத்தாக்கு 
I = ( ΔP A )]Δt
அல்லது   ( ΔP A )]Δt = [ ρ A (vΔt) ] u 
ΔP = ρ v u    ........(1)
காற்றின் வழியாக, ஒலி அலை செல்லும்போது, சிறிய பருமன் உடைய காற்றுப்பகுதி, தொடர்ந்து இருக்கங்களுக்கும், தளர்ச்சிகளுக்கும் உட்படுகிறது 
\(\Delta P=B\frac { \Delta V }{ V } \)
இங்கு V என்பது காற்றின் தொடக்க பருமன் மற்றும் B என்பது மீட்சி ஊடகத்தின் பருமக்குணகம் (Bulk modulus).
ஆனால் V = A Δx = A v Δt
மேலும் ΔV = A Δd  =  A u Δt
எனவே 
\(\Delta P=B\frac { Au\Delta t }{ Av\Delta t } =B\frac { u }{ v } \)     .........(2)
சமன்பாடு (1) யம் சமன்பாடு (2) யம் ஒப்பிட கிடைப்பது,
அல்லது 
 ρ v u = \(B\frac { u }{ v } \) அல்லது v² = \(\frac { B }{ \rho } \)
⇒ v = \(\sqrt { \frac { B }{ \rho } } \)
பொதுவாக, மீட்சி ஊடகத்தில் நெட்டிலையின் 
திசைவேகம் ⇒  v = \(\sqrt { \frac { E }{ \rho } } \)
இங்கு, E ஊடகத்தின் மீட்சிக்குணகம் (Modulus of elasticity)
நேர்வுகள்: தின்மத்திற்கு:
(i) ஒரு பரிமாண தண்டு (1 dimensional rod):
v = \(\sqrt { \frac { Y }{ \rho } } \)
இங்கு Y என்பது தண்டுச் செய்யப்பட்ட பொருளின் யங்குணகம்,  ρ தண்டின் அடர்த்தி. ஒரு பரிமாண தண்டு யங் குணகத்தை மட்டும் பெற்றிருக்கும்.
(ii) முப்பரிமாண தண்டு (3 dimensional rod):
திண்மம் ஒன்றின் வழியே நெட்டலையின் வேகம் 
v  = \(\sqrt { \frac { B+\frac { 4 }{ 3 } \eta }{ \rho } } \)
இங்கு, \(\eta \) விறைப்புக்குணகம், B பருமக் குணகம் மற்றும் தண்டின் அடர்த்தி.

F=10N, y=10 cm=0.1 m
விசை மாறிலி \(k=\cfrac { F }{ y } =\cfrac { 10N }{ 0.1\quad m } =100\quad N/m\)
F = பொருளின் எடை =9kg \(\omega t\)+=90N 
\(y=\cfrac { F }{ k } =\cfrac { 90N }{ 100N/3 } =0.9\quad m\)
அலைவுக்காலம் \(T=2\pi \cfrac { \sqrt { m } }{ k } \)
= \(2\pi \cfrac { \sqrt { 9 } }{ 100 } s=2\pi \left( \cfrac { 3 }{ 10 } \right) s\)

காற்றுக் குமிழியின் பருமன் V₁=1.0cm³
=10^-6m³
வெப்பநிலை,T₁=12^oC\(\Rightarrow\)T₁=273 K+12^oC
=285K
வெப்பநிலை,T₂=35^oC\(\Rightarrow\)T₂=273 K+35^oC
=308K
குமிழியின் மீதான அழுத்தம் P₁=நீரின் அழுத்தம்+வளிமண்டல அழுத்தம்
=4.93 x 10⁵pa
\(\therefore {P_1V_1\over T_1}={P_2V_2\over T_2}\)
\(V_2={(4.93\times 10^5)\times(1\times10^{-6})\times308\over 258\times(1.01\times10^5)}\)
\(={4.93\times 308\times10^{-6}\over 258\times1.01}\)\(={1.518.44\times10^{-6}\over 287.85}\)
\(\therefore V_2=5.3\times 10^{-6}m^3\)

(i) விசை Fஐ வலதுபுறமாக செலுத்துவதாக கொள்வோம். இந்நேர்வில், இரு சுருள்களும் ஒரே அளவிலான நீட்சி அல்லது இறுக்கத்தினை அடைகின்றது. நிறை m அடைந்த இடப்பெயர்ச்சி எனில்

இங்கு k_p என்பது தொகுபயன் சுருள்மாறிலி ஆகும். முதல் சுருளில் x நீட்சியை ஏற்படுத்தும் விசை F₁ எனவும், இரண்டாவது சுருளில் அதே அளவு x நீட்சியை ஏற்படுத்தும் விசை F₂ எனவும் கொண்டால், தொகுபயன் விசையானது
F =-k₁x-k₂x   ......(2)
சமன்பாடு 1 மற்றும் 2 ஆகியவற்றை சமன் செய்ய நாம் பெறுவது
k_p =k₁+k₂   ......(3)
(ii) பொதுவாக n சுருள்வில்கள் பக்க இணைப்பில் இணைக்கப்பட்டிருப்பின்,
k_p =\(\overset { n }{ \underset { i=1 }{ \Sigma } } \)k_i   .......(4)
(iii) அனைத்து சுருள்வில் மாறிலியின் மதிப்பும் சமமெனில் அதாவது
k₁=k₂=...=k_n=k
k_p=nk
தொகுபயன் சுருள்மாறிலி n மடங்கு அதிகரிக்கும் என்பதை இது காட்டுகிறது. ஆகவே சுருள்வில்கள் பக்க இணைப்பில் இணைக்கப்பட்டிருப்பின் தொகுபயன் சுருள் மாறிலி தனித்தனி சுருள் மாறிலியின் மதிப்பினைவிட அதிகமாக இருக்கும்.

இரண்டு நபர்களுக்கும், u = 0, a_e = g மற்றும் 
\({ a }_{ m }=\frac { g }{ 6 } \) எனில்
பூமியிலுள்ள நபருக்கு, V_புவி = \(\sqrt { 2gh } \)
\(=\sqrt { 2g100 } =\sqrt { 2\times 10\times 100 } \)
எனவே, V_புவி = \(\sqrt { 2000 } \)m s^-1 ஆகும்
இதே போன்று நிலவிலுள்ள நபருக்கு,
V_{நிலவு} = \(\sqrt { \frac { 2gh }{ 6 } } =\frac { \sqrt { 2000 } }{ \sqrt { 6 } } m{ s }^{ -1 }\)
நிலவில் குதிக்கும் நபரை விட, புவியில் குதிக்கும் நபர் அதிக திசைவேகத்துடன் தரையை அடைவார்.

வெக்டர்களின் கூடுதலின் முக்கோண விதியினைப் பயன்படுத்தி \(\hat { i }\) + \(\hat { j }\) ஐ பின்வருமாறு வரையலாம்

ஓரலகு வெக்டர் வரையறையிலிருந்து \(\hat { A } \) . \(\hat { A } \) = 1
ஆனால் இங்கு,
\((i+j).(i+j)=\hat i.\hat i+\hat i.\hat j+\hat j.\hat i+\hat j.\hat j=1+0+0+1=2\)
எனவே \(\hat { i }\) + \(\hat { j }\)  ஓரலகு வெக்டர் இல்லை.
எந்த ஒரு வெக்டரையும் ஓரலகு வெக்டராக மாற்ற அவ்வெக்டரை அதன் எண் மதிப்பினால் வகுக்க வேண்டும் \(\hat { A } =\frac { \overrightarrow { A } }{ |\overrightarrow { A } | } \)
\(\hat { i } +\hat { j } \) யின் எண்மதிப்பு = \(\sqrt { 2 } \).
எனவே, ஓரலகு வெக்டர் = \(\frac { \hat { i } +\hat { j } }{ \sqrt { 2 } } \)

(i) மெல்லிய புறக்கணிக்கத்தக்க நிறையுள்ள கம்பித் துண்டு நிலத்தின் வழியாக சுழலியக்க மையத்தில் பொருத்தப்பட்டுள்ளது. F₁ மற்றும் F₂ என்னும் இரு விசையானது d மற்றும் d₂ வளைவுகளில் கம்பியின் முனைகளில் செயல்படுவது படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது.
(ii) F₁ மற்றும் F₂ என்ற இரு விசைகள் தாங்கு மையத்திலிருந்து d₁ மற்றும் d₂ தொலைவுகளில் செயல்படுவதனால் எதிர்வினை N நிறை சுழலியக்க மையத்தில் செயல்படுகிறது.
(iii) கம்பியானது கிடைத்தள நிலையில் ஓய்வாக இருப்பதற்கு அது நேர்கோட்டு மற்றும் சுழற்சி சமநிலையில் இருக்க வேண்டும். எனவே நிகர விசை மற்றும் நிகர திருப்பு விசை இரண்டும் சுழியாகும்.

சுழலியக்க மையத்தை பற்றிய நிகர விசை சுழியானால் F₁ + N - F₂ = 0
N=F₁+F₂
நிகர திருப்புவிசை சுழியாவதற்கு d₁F₁ - d₂F₂ = 0
d₁f₁ = d₂f₂
இத்தத்துவத்தை கொண்டு கோல் தராசானது d₁ = d₂; F₁ = F₂ என்ற நிபந்தனையின் படி பொருட்களின் நிறையை அளவிடுகிறது சமன்பாடு மாற்றி அமைக்க
\({F_1\over F_2}={d_2\over d_1}\)
(v) F₁ பளு எனவும் F₂ வை நமது முயற்சி எனவும் கருதினால் d₁ < d₂. என்ற நிபந்தனையில் நமக்கு அனுகூலமாக அமையும். இது F₁ > F₂.  என்பதை குறிக்கிறது. எனவே பெரிய பளுவை கூடு சிறிய முயற்சியினால் உயர்த்த முடியும் தகவு \(\left(d_2\over d_1\right)\) எளிய நெம்புகோலின் இயந்திரலாபம் எனப்படும் சுழலியக்க மையப்புள்ளியை ஆதரப்புள்ளி என்றும் அழைக்கலாம்.
இயந்திர லாபம் \((MA)={d_2\over d_1}\)
மேற்காணும் தத்துவத்தின் படி பல எளிய இயந்திரங்கள் இயங்குகினறன.

(i) ஒரு திண்மப் பொருள் இயங்கும் போது அதன் நிறை மையமும் பொருளோடு சேர்ந்தே இயங்கும். நிறை மையத்தின் திசை வேகம் (V_CM) முடுக்கம் (a_CM) போன்ற இயக்கவியல் அளவுகளைப் பெற நிறை மையத்தின் நிலையை தொடர் வகையீடு. செய்வதன் மூலம் பெறலாம். எளிமையாக கணக்கிட பொருள் X - அச்சில் மட்டும் இயங்குவதாக கருதுவோம்.
\(\vec v_{CM}={d\vec x_{CM}\over dt}={∑m_i\left(d\vec x_i\over dt\right)\over ∑m_i}\)
\(\vec v_{CM}={∑m_i\vec v_i\over ∑m_i}\)
\(\vec a_{CM}={d\over dt}=\left(d\vec v_{CM}\over dt\right)={∑m_i\left(d\vec v_{CM}\over dt\right)\over ∑m_i}\)
\(\vec a_{CM}={∑m_i\vec a_i\over ∑m_i}\)
(ii) புற விசைகள் இல்லாத \(\vec F _{ext }=0\) அமைப்பின் தனித்தனியான துகள்கள் அகவிசையினால் மட்டுமே இயக்கமோ அல்லது இடப்பெயர்வோ அடையும். இது நிறைமையத்தின் நிலையை பாதிக்காது. அதாவது புறவிசை இல்லாத பொது நிறை மையம் ஓய்வு நிலையிலோ அல்லது சீரான இயக்கநிலையிலோ இருக்கும்.
(iii) எனவே நிறை மையம் ஓய்வு நிலையில் இருக்கும் போது \(\vec v _{CM}\) சுழியாகும். சீரான இயக்கத்தில் உள்ளபோது நிறைமையத்தின் திசைவேகம் மாறிலியாக இருக்கும்.  (\(\vec v _{CM}=0\ or\ \vec v _{CM}=\)மாறிலி). இங்கே நிறை மையமானது முடுக்கத்தினை கொண்டிருக்காது \((\vec a_{CM}=0)\) சமன்பாடு 
\(\vec v_{CM}={∑m_i\vec v_i\over ∑m_i}=0\) அல்லது மாறிலி
\(\vec a_{CM}={∑m_i\vec a_i\over ∑m_i}=0\)
(iii) இங்கு ஒவ்வொரு துகளும் அகவிசையின் காரணமாக அவற்றின் திரைவேகம் மற்றும் முடுக்கத்துடன் இயங்குகின்றன. புறவிசைகள் செயல்படும்போது (i.e F_ext ≠ 0) நிறைமையத்தின் முடுக்கத்திற்கான சமன்பாட்டை கீழ்கண்டவாறு பெறலாம்.

நியூட்டனின் விதிகளைப் பயன்படுத்தும்போது பின்வரும் கருத்துக்களை கவனமுடன் பின்பற்ற வேண்டும்.
(i) பொருத்தமான நிலைமக் குறிப்பாயம் ஒன்றைக் கருத வேண்டும்.பொதுவாக புவியினை ஒரு நிலைமக் குறிப்பாயமாகக் கருதலாம்.
(ii) நியூட்டன் விதிகளைப் பயன்படுத்தத் தேவையான அமைப்பைக் கண்டறிய வேண்டும்.அவ்வமைப்பானது ஒரு பொருள் அமைப்பாகவோ அல்லது ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட பொருள்கள் சேர்ந்த அமைப்பாகவோ இருக்கலாம்.
(iii) பொருளின் மீது செயல்படும் விசைகளைக் கண்டறிந்து அவற்றைக் கொண்டு விசைப்படம் வரைய வேண்டும்.பின்னர் நியூட்டனின் இரண்டாம் விதியை பயன்படுத்த வேண்டும்.இடப்பக்கம் பொருளின் மீது செயல்படும் விசைகளை வெக்டர் வடிவில் குறிப்பிட வேண்டும்.வலப்பக்கம் பொருளின் நிறை மற்றும் அப்பொருள் முடுக்கம் இவற்றின் பெருக்கல் பலனை வெக்டர் வடிவில் குறிப்பிட வேண்டும்.ஏனெனில் முடுக்கம் ஒரு வெக்டர் அளவாகும்.
(iv) முடுக்கம் கொடுக்கப்பட்டிருப்பின் விசையைக் கண்டறியலாம்.அதேபோல் விசை கொடுக்கப்பட்டிருப்பின் பொருளின் முடுக்கத்தைக் காணலாம்.
மேலே கொடுக்கப்பட்டுள்ள கருத்துக்களின்படி படத்தில் கட்டியுள்ளவாறு தரையில் ஒரு நிலைமக் குறிப்பாயத்தைக் கருத வேண்டும்.

பழத்தின் மீது பின்வரும் இரண்டு விசைகள் செயல்படுகின்றன.
பழத்தின் மீது எதிர்குறி y அச்சுத் திசையில் கீழ் நோக்கி செயல்படும் புவியீர்ப்பு விசை,நேரக்குறி y அச்சுத் திசையில் செயல்படும் பழத்தைத் தாங்கியுள்ள காம்பு, பழத்தின் மீது செலுத்தும் மேல் நோக்கிய இழுவிசை,பழத்தின் விசைப்படம் கீழே காட்டப்பட்டுள்ளது.

இங்கு mg என்பது புவியீர்ப்பு விசையின் எண்மதிப்பு மற்றும் (-\(\hat { j } \)) என்பது எதிர்குறி அச்சுத்திசையைக் குறிக்கும் ஓரழகு வெக்டர்.
\(\vec{T}=T\hat { j } \)
இங்கு T என்பது பழத்தின் மீது செயல்படும் இழுவிசை \(\hat { j } \) மற்றும் என்பது நேர்க்குறி y அச்சுத் திசையைக் குறிக்கும் ஓரலகு வெக்டர்.
நியூட்டனின் இரண்டாம் விதிப்படி 
நம்மைப் பொருத்து (நிலைமக் குறிப்பாயத்தை பொருத்து) பழம் ஓய்வு நிலையில் உள்ளது.எனவே அதன் முடுக்கம் சுழி \(\vec{a}=0\).
எனவே, \(\vec{F}_{net}=\vec{ma}=0\)
\((T-mg)\hat{j}=0\)
மேலே உள்ள சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களின் வெக்டர் கூறுகளை ஒப்பிடும்போது T-mg=0 எனக் கிடைக்கும்.
எனவே பழத்தின் காம்பின் இழுவிசை பழத்தின் நிறை T=mg.                                   

நீரில் ஒலியின் வேகம் =1450 ms^-1
கால தாமதம் T =110.35
எதிரிக் கப்பலின் தொலைவு D=\(\frac{vT}{2}\)
=\(\frac { 1450\times 110.3 }{ 2 } \)
=\(\frac { 159935 }{ 2 } \)
=79967 m
∴ எதிரிக் கப்பலின் தொலைவு =79.96 km

விசைக்கான பரிமாண வாய்ப்பாடு  =F=M¹L¹T^-2
a=1, b=1, c=-2
நியூட்டன் என்பது M.K.S முறையில் உள்ளது.
M₁=1 kg, L₁=1 m, T₁=1s
M₂=1 kg, L₂=1 cm, T₂=1s
n₁=1 நியூட்டன் (N)
n₂=?
வாய்பாட்டின்படி
n₂=n₁\(\left[ \frac { { M }_{ 1 } }{ { M }_{ 2 } } \right] _{ a }\left[ \frac { { L }_{ 1 } }{ { L }_{ 2 } } \right] _{ b }\left[ \frac { { T }_{ 1 } }{ { T }_{ 2 } } \right] _{ c }\)
n₂=1\(\left[ \frac { 1kg }{ 1g } \right] \left[ \frac { 1m }{ 1cm } \right] \left[ \frac { 1s }{ 1s } \right] ^{ -2 }\)
n₂=1\(\left[ \frac { 1000g }{ 1g } \right] \left[ \frac { 100cm }{ 1cm } \right] \times 1\)
n₂ = 1000 x 100 =100000
=10⁵ டைன்கள்
∴ N=10⁵ dynes.

(i) m நிறையுள்ள ஒரு பொருள் நிறையற்ற, நீட்சித் தன்மையற்ற நூலின் ஒரு முனையில் இணைக்கப்படுகிறது. மேலும், நூலின் மறுமுனையானது நிலையாக இருக்குமாறு பொருத்தப்பட்டுள்ளது.
(ii) அந்தப்பொருள் செங்குத்து த் தளத்தில் அமைந்த வட்ட இயக்கத்தை மேற்கொள்வதாகக் கருதுவோம். நூலின் நீளமானது வட்டப்பாதையின் ஆரமாக \(\vec {r}\)  உள்ளது.படத்தில் காட்டியுள்ளவாறு பொருளின் இயக்கத்தைப் பற்றி அறிய தனித்த பொருளின் விசைப்படம் (Free body diagram) ஒன்றைக் கருதுவோம்.
(iii) இங்கு நிலை வெக்டர் \(\vec {r}\)ஆனது செங்குத்தான கீழ்நோக்கிய திசையுடன்  \(\theta \)கோணத்தை ஏற்படுத்து படத்தில் உள்ளவாறு உடனடி திசைவேகத்தைக் கொண்டுள்ளன. பொருளின் மீது இரு விசைகள் செயல்படுகின்றன.
1.கீழ் நோக்கி செயல்படும் புவிஈர்ப்பு விசை
2. நூலின் வழியே செயல்படும் இழுவிசை
(iv) பொருளின் மீது நியூட்டனின் இரண்டாம் விதியைப் பயன்படுத்த,
தொடுகோட்டுத் திசையில்
mg sin\(\theta \) =m a₁
mg sin\(\theta \) =-m \(\left( \frac { dv }{ dt } \right) \) ----------------(1)
இங்கு a_t =-m\(\left( \frac { dv }{ dt } \right) \) என்பது தொடுகோட்டுத் திசையில் எதிர் முடுக்கம் ஆகும்.
T-mg cos \(\theta \)=m a
T-mg cos\(\theta \)=\(\frac { m{ v }^{ 2 } }{ r } \)  ------------------(2)
இங்கு a_r =\(\frac { { v }^{ 2 } }{ r } \) என்பது மையநோக்கு முடுக்கம் ஆகும்.

(v) இயக்கத்தை நன்கு புரிந்து கொள்ளும் வகையில் வட்டத்தை A, B, C, து என்ற நான்கு பகுதிகளாகப் பிரிக்கலாம். மேற்கண்ட இரு சமன்பாடுகளில் இருந்து கீழ்க்கண்டவாறு நான்கு முக்கிய கருத்துகளை புரிந்து கொள்ளலாம்.
(vi) பொருளானது அனைத்து  \(\theta \)மதிப்புகளுக்கும் (\(\theta =0^ {o}\)தவிர) தொடுகோட்டுத் திசையில் முடுக்கத்தை (g sin\(\theta \)) கொண்டிருக்கிறது. இந்த செங்குத்து வட்ட இயக்கம் ஒரு சீரான வட்ட இயக்கம் அல்ல என்பது தெளிவாகிறது.
(vii) சமன்பாடுகள் (1) மற்றும் (2) இல் இருந்து அறிந்து கொள்வது என்னவெனில் இயக்கத்தின் போது திசைவேகத்தின் எண் மதிப்பு மாறுவதால், நூலின் இழுவிசையும் மாறுகின்றது.
(viii) சமன்பாடு (2) T=mg cos\(\theta +\frac { m{ v }^{ 2 } }{ r } \)சுட்டிக்காட்டுவது வட்டத்தின் A மற்றும் D பகுதிகளில் (\(-\frac { \pi }{ 2 } <\theta <\frac { \pi }{ 2 } \)மற்றும் cos\(\theta \) நேரக்குறி) mg cos \(\theta \) எப்போதும் சுழியை வீட்டா அதிகமாகும்.எனவே திசைவேகம் சுழியானாலும் இழுவிசை சுழியாகாது.
(ix) சமன்பாடு (2) \(\frac { m{ v }^{ 2 } }{ r } \)=T=mg cos\(\theta \) மேலும் சுட்டிக்காட்டுவது வட்டத்தின் B மற்றும் C பகுதிகளில் (\(\frac { \pi }{ 2 } <\theta <\frac { 3\pi }{ 2 } \)மற்றும் cos\(\theta \) எதிர்க்குறி) சமன்பாட்டின் இரண்டாவது பகுதி(mg cos\(\theta \)) எப்போதும் சுழியைவிட அதிகமாகும். எனவே இழுவிசை சுழியானாலும் திசைவேகம் சுழியாகாது.

தொடுகோட்டு முடுக்கம் 
(i) பொருளொன்று r ஆரமுடைய வட்டப்பாதையில் இயங்குகிறது என்க. \(\Delta \)t என்ற கால இடைவெளியில் பொருள் \(\Delta \)s என்ற வட்டவில் தொலைவைக் கடக்கிறது. படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது அது ஏற்படுத்தும் கோணம் \(\Delta \)\(\theta \)ஆகும்.
(ii) \(\Delta \)\(\theta \)வைப் பயன்படுத்தி \(\Delta \)s ஐ பின்வருமாறு எழுதலாம். \(\Delta \)s =r\(\Delta \)\(\theta \)
\(\Delta \)t என்ற கால இடைவெளியில் \(\frac { \Delta s }{ \Delta t } =r\frac { \Delta \theta }{ \Delta t } \)
\(\Delta t\rightarrow 0\)என்ற எல்லையில் மேற்கண்ட சமன்பாட்டினை 
\(\frac { ds }{ dt } =r\omega \)
என எழுதலாம். இங்கு \(\frac{ds}{dt}\)என்பது நேர்கோட்டு வேகமாகும் (v) இது வட்டத்தின் தொடுகோட்டின் வழியே செயல்படும் மேலும் \(\omega \)என்பது கோண வேகமாகும்.

(iii) எனவே சமன்பாடு ஐ v=r \(\omega \)      (1)
என எழுதலாம். இச்சமன்பாடு நேர்கோட்டு வேகத்திற்கும்,கோண வேகத்திற்கும் உள்ள தொடர்பைக் காட்டுகிறது. இச்சமன்பாடு வட்ட இயக்கத்திற்கு மட்டுமே பொருந்தும், பொதுவாக நேர்கோட்டு திசை வேகத்திற்கும் உள்ள தொடர்பு 
\(\overrightarrow { v } =\overrightarrow { \omega } \times \overrightarrow { r } \) ...(2)
(iv) வட்டப்பாதை இயக்கத்தில் சமன்பாடு (2) சமன்பாடு v=r\(\omega \) ஆக மாறும், ஏனெனில் \(\overrightarrow { \omega } \)மற்றும் \(\overrightarrow { r } \) ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தாகும். 
நேரத்தைப்பொறுத்து சமன்பாடு (1) ஐ வகைப்படுத்தினால் (இங்கு r என்பது மாறிலி) 
\(\frac { dv }{ dt } =\frac { rd\omega }{ dt } =r\alpha \)  (3)
(v) இங்கு \(\frac { dv }{ dt } \) என்பது தொடுகோட்டு முடுக்கமாகும் இதனை a₁ எனவும் \(\frac { d\omega }{ dt } \) என்பது கோண முடுக்கம் இதனை (\(\alpha \)) எனவும் எழுதலாம் எனவே \({ a }_{ t }=r\alpha \)
இங்கு a_t என்பது பொருள் பெரும் தொடுகோட்டு முடுக்கமாகும் 

தொடுகோட்டு முடுக்கம், நேர்கோட்டுத்திசை வேகத்தின் திசையில் செயல்படுவதை காணலாம்.

சமன்பாடு (9.6) இலிருந்து \(\lambda =\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } \pi { nd }^{ 2 } } \)
நல்லியல்பு வாயுச் சமன்பாட்டிலிருந்து நாம் எண் அடர்த்தி n ஐக் கணக்கிட வேண்டும்.
\( \lambda =\frac { N }{ V } =\frac { P }{ kT } =\frac { 101.3\times { 10 }^{ 3 } }{ 1.381\times { 10 }^{ -23 }\times 300 } \)
= 2.449× 10²⁵ மூலக்கூறுகள்/மீ³
\( \lambda =\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } \times \pi \times 2.449\times { 10 }^{ 25 }\times { \left( { 1.2\times 10 }^{ -10 } \right) }^{ 2 } } \)
\(=\frac { 1 }{ 15.65\times { 10 }^{ 5 } } \)
\(\lambda \) = 0.63 × 10⁻⁶ m

(a) கெல்வின் வெப்பநிலை 
T=27°C =27+273=300 K.
வாயு மாறிலி R=8.32 J mol^-1 k^-1
ஆக்ஸிஜன்  மூலக்கூறின் v_rms
 மூலக்கூறு நிறை M=32 g=32 x 10^-3 kg mol^-1
\({ v }_{ rms }=\sqrt { \frac { 3RT }{ M } } =\sqrt { \frac { 3\times 8.32\times 300 }{ 32\times { 10 }^{ -3 } } } \)
=483.73ms^-1 \(\approx \)484ms^-1
ஹைட்ரஜன் மூலக்கூறின் v_rms
 மூலக்கூறு நிறை M=32 g=32 x 10^-3 kg mol^-1
\({ v }_{ rms }=\sqrt { \frac { 3RT }{ M } } =\sqrt { \frac { 3\times 8.32\times 300 }{ 2\times { 10 }^{ -3 } } } \)
=1934ms^-1 =1.93kms^-1
சராசரி இருமுடி மூல வேகம் v_rms' ஆனது \(\sqrt M \)க்கு எதிர்விகிதத்தில் உள்ளதை இங்கு கவனிக்கவேண்டும். ஆக்ஸிஜனின்  மூலக்கூறு நிறை ஹைட்ரஜனின் மூலக்கூறு நிறையை விட 16 மடங்கு அதிகம். இதிலிருந்து நாம் அறிவது என்னவென்றால் ஒரே வெப்பநிலையில் ஹைட்ரஜனின் சராசரி இருமுடி மூல வேகம்(v_rms)' ஆக்ஸிஜனை விட 4 மடங்கு  அதிகமாகும். கணக்கீட்டிலிருந்து \(\frac { 1934 }{ 484 } \approx 4\)ஆகும்.
(b) மூலக்கூறு ஒன்றின் சராசரி இயக்க ஆற்றல் \(\frac { 3 }{ 2 } kT\). இது வாயுவின் கெல்வின் வெப்பநிலையை மட்டுமே சார்ந்துள்ளது. மேலும் வாயுவின் தன்மையைச் சார்ந்ததல்ல. இரண்டு வாயுக்களின் மூலக்கூறுகளும் ஒரே கெல்வின் வெப்பநிலையில் உள்ளதால் அவற்றின் ஒவ்வொரு மூலக்கூறுகளின் சராசரி இயக்க ஆற்றலும் ஒரே மதிப்பைப் பெற்றருக்கும். இங்கு k என்பது போல்டஸ்மென் மாறிலியாகும். 
\(\frac { 3 }{ 2 } kT\)=\(\frac { 3 }{ 2 } \)x 1.38x 10^-23x300=6.21x10^-21J 
(c) அனைத்து ஆக்ஸிஜன்  மூலக்கூறுகளின் சராசரி இயக்க ஆற்றல் =\(\frac { 3 }{ 2 } N _O kT\). இங்கு  N_o என்பது அறையில் உள்ள ஆக்ஸிஜன்  மொத்த எண்ணிக்கையாகும். 
அனைத்து ஹைட்ரஜன் மூலக்கூறுகளின் சராசரி இயக்க ஆற்றல் =\(\frac { 3 }{ 2 } N _H kT\). இங்கு  N_H என்பது அறையில் உள்ள ஹைட்ரஜன் மொத்த எண்ணிக்கையாகும். 
கொடுக்கப்பட்ட கணக்கிலிருந்து, அறையிலுள்ள ஆக்ஸிஜன்  மூலக்கூறுகளின் மொத்த எண்ணிக்கைஹைட்ரஜன் மூலக்கூறுகளின் மொத்த எண்ணிக்கை​​​​​​​யைவிட 3 மடங்கு அதிகம். எனவே ஆக்ஸிஜன்  மூலக்கூறுகளின் மொத்த சராசரி இயக்க ஆற்றலுக்கும் ஹைட்ரஜன் மூலக்கூறுகளின்​​​​​​​ மொத்த சராசரி இயக்க ஆற்றலுக்கும் உள்ள விகிதம் 3:1 ஆகும். 

θ(டிகிரியில்)	θ(ரேடியனில்)	sin θ
0	0	0
5	0.087	0.087
10	0.174	0.174
15	0.262	0.256
20	0.349	0.342
25	0.436	0.422
30	0.524	0.500
35	0.611	0.574
40	0.698	0.643
45	0.785	0.707

θ என்பது ரேடியனில் உள்ளபோது, சிறிய கோணங்களுக்கு sinθ ≈ θ

அதாவது θ வானது 10 டிகிரி மற்றும் அதைவிட குறைவாக இருக்கும்போது, θ வை ரேடியனில் குறிப்பிட்டால் sin θ வானது θ வுக்கு சமம். θ அதிகரிக்கும்பொழுது sin θ மதிப்பானது θ விலிருந்து படிப்படியாக வேறுபடுகிறது.

ஜூலின் வெப்ப இயந்திரவியல் சமானம் (Joule's Mechanical Equivalent of Heat)
1. பொருளொன்றின் வெப்பநிலையை அதனை வெப்பப்படுத்துவதன் மூலம் உயர்த்தலாம் அல்லது அப்பொருளின்மீது வேலை செய்வதன் மூலம் உயர்த்தலாம். பதினெட்டாம் நூற்றாண்டில் ஜேம்ஸ் ஜூல் என்ற அறிவியல் அறிஞர் இயந்திர ஆற்றலை அக ஆற்றலாகவும், அக ஆற்றலை இயந்திர ஆற்றலாகவும் மாற்ற முடியும் என்று நிரூபித்தார்.
2. அவரின் ஆய்வின் இரண்டு நிறைகள் கயிறு ஒன்றின் வழியே துடுப்பு சக்கரத்துடன் (Paddle wheel) இணைக்கப்பட்டுள்ளன. புவியீர்ப்பு விசையால் இரண்டு நிலைகளும் h தூரத்திற்கு கீழேவரும்போது 2mgh அளவு நிலை ஆற்றலை இரண்டு நிறைகளும் இழக்கின்றன.
3. நிறைகள் கீழே வரும்போது நீரினுள் உள்ள துடுப்பு சக்கரம் சுற்றும். எனவே துடுப்பு சக்கரத்திற்கும் நீருக்கும் இடையே ஓர் உராய்வு விசைத்தோன்றும். இது நீரில் வெப்பநிலையை உயர்ந்தும். இங்கு ஈர்ப்பு நிலை ஆற்றல் (Gravitational potential energy) நீரில் அக ஆற்றலாக மாற்றமடைவதை இது உணர்த்துகிறது.
4. புவியீரப்புவிசையால் செய்யப்பட்ட வேலையினால் நீரில் வெப்பநிலை உயர்ந்துள்ளது. உண்மையில் வெப்பத்தை கொடுப்பதால் ஏற்படும் அதே விளைவை இயந்திரத்தைக் கொண்டுசெய்யப்படும் வேலையினால் ஏற்படுத்த முடியும் என்று ஜூல் நிரூபித்துள்ளார்.


5. 1 கிராம் நிறைடைய நீரில் வெப்பநிலையை 1^oC உயர்த்த 4.186 J ஆற்றல் தேவைப்படும் என்று ஜூல் கண்டறிந்தார். பழங்காலங்களில் வெப்பமானது கலோரி (Clorie)என்ற அலகினால் அளக்கப்பட்டது 
1 cal=4.186 J 
இதற்கு ஜூலின் வெப்ப இயந்திரவியல் சமானம் என்று பெயர்.

U வடிவ குழாயின் திரவத்தம்பத்தின் அலைவுகள்:
ஒரு சீரான குறுக்குவெட்டுப்பரப்பு A கொண்ட திறந்த புயங்களைக் கொண்ட U வடிவ கண்ணாடிக் குழாயை கருதுக. பாகுநிலையற்ற, அமுக்க இயலாத \(\rho \) அடர்த்தி கொண்ட திரவமானது U வடிவக் குழாயின் புயங்களில் h உயரத்திற்கு நிரப்பப்பட்டுள்ளதாக கொள்க. குழாயும் திரவமும் அசைவற்ற நிலையில் உள்ளதெனில் திரவத்தம்பமட்டம் சமநிலைப் புள்ளி O வில் இருக்கும். திரவத்தின் மீது எந்த ஒரு புள்ளியில் அழுத்தத்தை அளவிட்டாலும் சமமாக இருக்கும். மேலும் புயங்களின் மேற்பகுதியிலும் அழுத்தம் (குழாயின் இருபுறங்களின் உள்ள முனைகளில்) சமமாக இருக்கும். மேலும் புயங்களின்மேற்பகுதியிலும் அழுத்தம் (குழாயின் இருபுறங்களின் உள்ள முனைகளில்) சமமாக இருக்கும். இவ்வழுத்தம் வளிமண்டல அழுத்தத்திற்குச் சமம். இதனால் குழாயின் புயங்களில் திரவமட்டங்கள் சமநிலையில் இருக்கும். ஏதேனும் ஒரு புயத்தில் நாம் காற்றை ஊதுவதன் மூலம் தேவையான விசையை செலுத்துவதால் சமநிலைப் புள்ளி O விலிருந்து திரவ மட்டம் மாறுபடுகிறது. அதாவது ஒரு புயத்தில் ஊதப்பட்ட காற்றின் அழுத்தம் மற்றொரு புயத்தை விட அதிகம். இந்த அழுத்த மாறுபாடு திரவத்தை நடு அல்லது சமநிலைப் பொருத்து சிறிது நேரம் அலைவுகளை உருவாக்குகிறது பின் இறுதியாக அமைதி நிலைக்கு திரும்புகிறது. இதன் அலைவுநேரம்.
T =\(2\pi \sqrt { \frac { l }{ 2g } } \) விநாடி.

(a) மூடிய ஆர்கன் குழாய்

கிளாரினெட், இது ஒரு பக்கம் மூடிய மற்றொரு பக்கம் திறந்த குழாய் திறந்த முனை வழியாக வரும் ஒலி, மூடிய பகுதியில் எதிரொலிக்கும் ஒலி உள்ளே வரும் ஒலியுடன் 1800 எதிர்கடத்தில் இருக்கும். எனவே, மூடிய பகுதியில் துகள்களின் இடப்பெயர்ச்சி எப்பொழுதும் சுழி. இடப்பெயர்ச்சி சுழியாவதால் 

மூடிய பகுதியில் கணுவும். திறந்த பகுதியில் எதிர்க்கணுவும் ஏற்படுகின்றன. L குழாயின் நீளம், ஏற்படும் அலைகளின் 
λ₁ எனில்,
\(L=\frac { { \lambda }_{ 1 } }{ 4 } \) (or) \({ \lambda }_{ 1 }=4L\)
ஒலியின் அதிர்வெண் \({ f }_{ 1 }=\frac { v }{ { \lambda }_{ 1 } } =\frac { v }{ 4L } \)
திறந்த முனையில் காற்றை வலுவாக ஊதுவதால், அடிப்படை அதிர்வெண்ணின் முழு எண் மடங்குகளால் ஆன அதிர்வுகளை ஏற்படுத்தலாம். அந்த அலைகள் மேற்சுரங்கள் எனப்படுகின்றன

இரண்டாவது நிலை அதிர்வுகளை (முதல் மேற்சுரம்) காட்டுகிறது. இதில் இரு கணுக்களும் இரு எதிர்க்கணுக்களும் உள்ளது.
4L = 3λ₂
\(L=\frac { { 3\lambda }_{ 2 } }{ 4 } \) அல்லது \({ \lambda }_{ 2 }=\frac { 4L }{ 3 } \)
அதிர்வெண்
\({ f }_{ 2 }=\frac { v }{ { \lambda }_{ 2 } } =\frac { 3v }{ 4L } =3{ f }_{ 1 }\)
இது முதல் மேற்சுரம் ஆகும். இந்த அதிர்வெண் அடிப்படை அதிர்வெண்ணின் மூன்று மடங்கு என்பதால் இது மூன்றாவது சீரிசை எனப்படும்

மூன்று கணுக்களும் மூன்று எதிர் கணுக்களும் உடைய மூன்றாவது அதிர்வு
4L = 5λ3
\(L=\frac { { 5\lambda }_{ 3 } }{ 4 } \) அல்லது \({ \lambda }_{ 3 }=\frac { 4L }{ 5 } \)
\({ f }_{ 3 }=\frac { v }{ { \lambda }_{ 3 } } =\frac { 5v }{ 4L } =5{ f }_{ 1 }\)
இது இரண்டாவது மேற்சுரம் ஆகும். இந்த அதிர்வெண் அடிப்படை அதிர்வெண்ணைப் போல் ஐந்து மடங்காக உள்ளதால், 5 வது சீரிசை எனவும் அழைக்கப்படுகிறது. எனவே மூடிய ஆர்கன் குழாயில் ஏற்படும் அதிர்வுகள் ஒற்றைப்படை வரிசை சீரிசைகளைக் கொண்டுள்ளது சீரிசையின் அதிர்வெண் fn = (2n + 1)f1 மேற்சுரங்களின் அதிர்வெண்களின் தகவு
f₁ : f₂ : f₃: f₄ :... = 1: 3: 5: 7
b) திறந்த ஆர்கன் குழாய்:

புல்லாங்குழலின் இரு திறந்த முனைகளிலும் எதிர்க்கணுக்கள் உருவாகின்றன. இங்கு ஏற்படும் மிக எளிய அதிர்வு நிலையை காண்போம். இந்நிலையை அடிப்படை அதிர்வுநிலை எனப்படுகிறது. திறந்த முனைகளில் எதிர்க்கணுக்கள் ஏற்படுவதால், குழாயின் உள்ளே மையத்தில் ஒரேயொரு கணு உருவாகிறது

L என்பது குழாயின் நீளம் என்க. ஏற்படும் அலையின் அலைநீளம் காண
\(L=\frac { { \lambda }_{ 1 } }{ 2 } \) or \({ \lambda }_{ 1 }=2L\)
ஏற்படும் அதிர்வின், அதிர்வெண்
\({ f }_{ 1 }=\frac { v }{ { \lambda }_{ 1 } } =\frac { v }{ 2L } \)
இதுவே, அடிப்படை அதிர்வெண், அடிப்படை அதிர்வெண்ணைவிட உயர் அதிர்வெண்களை ஏற்படுத்த திறந்த முனையில் காற்றை வேகமாக ஊத வேண்டும். இத்தகைய அதிர்வெண்கள் மேற்சுரங்கள் எனப்படும்.

திறந்த ஆர்கன் குழாயில் ஏற்படும் இரண்டாம் நிலை அதிர்வு, இரு கணுவையும் மூன்று எதிர்க்கணுவையும் உடையது
\(L={ \lambda }_{ 2 }\) or \({ \lambda }_{ 2 }=L\)
அதிர்வெண்
\({ f }_{ 2 }=\frac { v }{ { \lambda }_{ 2 } } =\frac { v }{ L } =2\times \frac { v }{ 2L } \)
இது முதல் மேற்சுரம் எனப்படுகிறது, n = 2 என்பதால் இது இரண்டாவது சீரிசை எனவும் அழைக்கப்படுகிறது.

மூன்றாம் நிலை அதிர்வு இதில் 3 கனிவும் 4 எதிர்க்கணுவும் உள்ளது.
\(L=\frac { 3 }{ 2 } { \lambda }_{ 3 }\) or \({ \lambda }_{ 3 }=\frac { 2L }{ 3 } \)
அதிர்வெண்
\({ f }_{ 3 }=\frac { v }{ { \lambda }_{ 3 } } =\frac { 3v }{ 2L } =3{ f }_{ 1 }\)
இது 3 வைத்து மேற்சுரம் n = 3 என்பதால் இது 3 வது சீரிசை எனவும் அழைக்கப்படுகிறது
எனவே திறந்த ஆர்கன் குழாய் அனைத்து சீரிசைகளையும் உடையது n ஆவது சீரிசையின் அதிர்வெண் fn = nf1 எனப்படுகிறது. எனவே, மேற்சுரங்கள் அதிர்வெண்களின் தகவு.
f₁ : f₂ : f₃: f₄ :... = 1 : 2 : 3 : 4:
c) காற்றுதாம்பக் கருவியில் மேற்சுரங்கள்:
n அதிர்வெண் உடைய அதிர்வூட்டப் பெற்ற இசைக்க கலவையை குழாயின் திறந்த முனையருகில் வைக்க வேண்டும். நீரின் மட்டத்தை மாற்றி காற்றுத் தாம்பத்தின் நீளத்தை சரி செய்ய வேண்டும். காற்றுத் தம்பம் உள்ள குழாயின் பகுதி மூடிய ஆர்கன் குழாய் போன்று உள்ளது. இசைக்கலவையின் அதிர்வெண்ணுடன் காற்றுத்தம்பம் ஒத்திரும்போது அதிர்வெண்ணுடன் பெரும ஒலிச் செறிவு ஏற்படும் உருவாகின்றன. ஒத்ததிரும் காற்றுதாம்பத்தின் நீளம் l மற்றும் முனைத்திருத்தம் C எனில்
\(\frac { \lambda }{ 4 } ={ l }_{ 1 }+e\) ஒத்ததிரும் கம்பத்தின் நீளம் l2 எனில் 
\(\frac { 3\lambda }{ 4 } ={ l }_{ 2 }+e\)

சக்கரத்தில் உள்ள காற்றினை நல்லியல்பு வாயுவாகக் கருதினால், வாயு மூலக்கூறுகளின் எண்ணிக்கையும் சக்கரத்தின் பருமனும் இங்கு மாறிலி ஆகும். வாயு மூலக்கூறுகள் P₁V₁ = NkT₁ இலட்சிய வாயுச் சமன்பாட்டையும், 39^o வெப்பநிலையிலுள்ள வாயு மூலக்கூறுகள் P₂V₂ = NkT₂ என்ற இலட்சிய வாயுச் சமன்பாட்டையும் நிறைவு செய்யவும்.
இங்கு T₁ மற்றும் T₂ என்பது கெல்வின் வெப்பநிலை ஆகும். நாம் அறிந்தபடி 
V₁ = V₂ = V
\(\frac { P_{ 1 }V }{ { P }_{ 2 }V } =\frac { Nk{ T }_{ 1 } }{ { NkT }_{ 2 } } \)
\(\frac { P_{ 1 } }{ { P }_{ 2 } } =\frac { { T }_{ 1 } }{ { T }_{ 2 } } \)
\({ P }_{ 2 }=\frac { { T }_{ 2 } }{ { T }_{ 1 } } P_{ 1 }\)
\(P_{ 2 }=\frac { 312K }{ 300K } \times 240\times { 10 }^{ 3 }pa=249.6kPa\)

தொடர்மாறிலிச் சமன்பாடு: ஒரு குழாயின் வழியே செல்லும் நீர்ம நிறையின் வீதத்தை அறிய நீர்மம் பாய்வது சீராக இருப்பதாகக் கருதவேண்டும். நீர்மம் பாய்வது சீராக இருப்பதாகக் கருதவேண்டும். நீர்மம் பாய்வது சீராக இருக்க வேண்டுமெனில் பாயும் நீர்மத்தின் ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் திசைவேகமானது நேரத்தைப் பொறுத்து மாறிலியாக அமைய வேண்டும். இந்த நிபந்தனையில் நீர்மத்தின் ஓட்டமானது வரிச்சீர் ஓட்டமாக அமையும்.
(i) சீரற்ற குறுக்கு வெட்டுப்பரப்பு a₁  மற்றும் a₂ அதாவது a₁> a₂ கொண்ட AB என்ற குழாய்க் கருதுக.பாகுநிலையற்ற அமுக்க இயலாத நீர்மம் சீராக v₁ மற்றும் v₂ என்ற திசைவேகத்தில் பாய்ந்து செல்கிறது.

(ii). \(\Delta t\) என்ற கால அளவில் A என்ற பகுதியின் வழியே செல்லும் நீர்மத்தின் நிறை m₁ எனில் \({ m }_{ 1 }=\left( { a }_{ 1 }{ v }_{ 1 }\Delta t \right) \rho \)
\(\Delta t\)  என்ற கால அளவில் A என்ற பகுதியின் வழியே செல்லும் நீர்மத்தின் நிறை m₁ எனில்\({ m }_{ 1 }=\left( { a }_{ 2 }{ v }_{ 2 }\Delta t \right) \rho \)
அமுக்க இயலாத நீர்மத்தில் நிறை மாறாது m₁=m₂
m₁=m₂
\(\left( { a }_{ 1 }{ v }_{ 1 }\Delta t \right) \rho =\left( { a }_{ 2 }{ v }_{ 2 }\Delta t \right) \rho \)
\({ a }_{ 1 }{ v }_{ 1 }={ a }_{ 2 }{ v }_{ 2 }\Rightarrow av=\)மாறிலி 
(iii). இது தொடர் மாறிலிச் சமன்பாடு எனப்படும். இது பாயும் பாய்மங்களின் நிறையானது மாறாமல் இருப்பதைக் காட்டுகிறது. பொதுவாக av = மாறிலி. இதன் பொருள் பருமப்பாயம் அல்லது பாயும் வீதம் குழாய் முழுவதும் மாறிலி என்பதாகும். மாறாக குறுக்கு வெட்டுப் பரப்பு குறைவாக இருப்பின் பாய்மத்தின் திசைவேகம் அதிகமாக இருக்கும்.

துளி மற்றும் குமிழியினுள் மிகையழுத்தம்:
(i) நீர்மத்துளிகளும், சிறு குமிழிகளும் பரப்பு இழுவிசையின் காரணமாகவே கோள வடிவை பெறுகின்றன.
(ii) துளிகளும், குமிழிகளும் குவிந்த மேற்பரப்பை பெற்றுள்ளதால், அவற்றினுள் அழுத்தம் வெளி அழுத்தத்தை விட அதிகமாகும்.
1. திரவ துளியினுள் மிகையழுத்தம்:
(i) R - ஆரமும் T - பரப்பு இழுவிசையும் கொண்ட ஒரு திரவ துளியை கருதுவோம்.
(ii) அரைகோள வடிவ திரவ துளியில் செயல்படும் விசைகள்.
(iii) பரப்பு இழுவிசையால் வலப்புறமாக செயல்படும் விசை F_T = 2ㅠRT
(iv) வெளிப்புற அழுத்தம் P₁ - ஆல் வலப்புறமாக செயல்படும் விசை F_^p1 = P₁ㅠR²
(v) உட்புற அழுத்தம் P₂ ஆல் இடப்புறமாக செயல்படும் விசை F_^p2 = P₂ㅠR²

(vi) திரவத்துளி சமநிலையில் உள்ளதால்
F_T + F_^p1 = F_^p2
2ㅠRT + P₁ㅠR² = P₂ㅠR²
(or) P₂ㅠR² - P₁ㅠR² = 2ㅠRT
(or) (P₂-P₁) ㅠR² = 2ㅠRT
(or) (P₂-P₁) = \(\frac { 2\pi RT }{ \pi { R }^{ 2 } } \)
(or) (P₂-P₁) = \(\frac { 2T }{ R } \)
(vii) இங்கு (P₂-P₁) = ∆P என்பது மிகையாளுதல் ஆகும். எனவே,
∆P = \(\frac { 2T }{ R } \)
2. திரவ குமிழியினுள் மிகையழுத்தம்:
(i) R - ஆரமும் T - பரப்பு இழுவிசையும் கொண்ட ஒரு சோப்பு குமிழியை கருதுவோம்.
(ii) சோப்பு குமிழிக்கு உட்புறம் மற்றும் வெளிப்புறம் என காற்றுடன் தொடும் இரு பரப்புகள் உள்ளன
(iii) எனவே பரப்பு இழுவிசையால் இரண்டு பரப்புகளிலும் விசை செயல்படும்
(iv) அரை கோள வடிவ சோப்பு குமிழியில் செயல்படும் விசைகள்

(v) பரப்பு இழுவிசையால் வலப்புறமாக செயல்படும் விசை F_T = 2(2ㅠRT)
(iv) வெளிப்புற அழுத்தம் P1 ஆல் வலப்புறமாக செயல்படும் விசை
F_T + F_^p1 = F_^p2
2(2ㅠRT) + P₁ㅠR² = P₂ㅠR²
(or) P₂ㅠR² - P₁ㅠR² = 4ㅠRT
(or) (P₂-P₁) ㅠR² = 4ㅠRT
(or) (P₂-P₁) = \(\frac { 4\pi RT }{ \pi { R }^{ 2 } } \)
(or) (P₂-P₁) = \(\frac { 4T }{ R } \)
(vii) இங்கு (P₂-P₁) = ∆P என்பது மிகையாளுதம் ஆகும். எனவே,
∆P = \(\frac { 4T }{ R } \)
3. காற்று குமிழியினுள் மிகையழுத்தம்:
(i) R - ஆறாம் கொண்ட காற்றுக் குமிழி ஒன்று
T - பரப்பு இழுவிசை கொண்ட நீர்மத்தில் உள்ளதாக கருதுவோம்
(ii) அரைக்கோள வடிவ காற்றுக் குமிழியில் செயல்படும் விசைகள்
(iii) பரப்பு இழுவிசையால் வலப்புறமாக செயல்படும் விசை F_T = 2ㅠRT
(iv) வெளிப்புற அழுத்தம் P₁ - ஆல் வலப்புறமாக செயல்படும் விசை  F_^P1 = P₁ㅠR²
(v) உட்புற அழுத்தம் P2 ஆள் இடப்புறமாக செயல்படும் விசை  F_^P2 = P₂ㅠR²

(vi) திரவத்துளி சமநிலையில் உள்ளதால்,
F_T+Fp₁ = Fp₂
2(2ㅠRT) + P₁ㅠR² = P₂ㅠR²
(or) P₂ㅠR² - P₁ㅠR² = 2ㅠRT
(or) (P₂-P₁) ㅠR² = 2ㅠRT
(or) (P₂-P₁) = \(\frac { 2\pi RT }{ \pi { R }^{ 2 } } \)
(or) (P₂-P₁) = \(\frac { 2T }{ R } \)
(vii) இங்கு (P₂-P₁) = ∆P என்பது மிகையாளுதம் ஆகும். எனவே,
∆P = \(\frac { 2T }{ R } \)

புவிபரப்பிலிருந்து h உயரத்தில் உள்ள நிறை m ஐ கருதுவோம். புவியின் ஈர்ப்பு விசையால் அப்பொருள் உணரும் முடுக்கம்.
\(g'=\frac { GM }{ { ({ R }_{ e }+h) }^{ 2 } } \)
\({ g }^{ ' }=\frac { GM }{ { R }^{ 2 }_{ e }{ \left( 1+\frac { h }{ { R }_{ e } } \right) }^{ 2 } } \)
\(g'=\frac { GM }{ { R }_{ e }^{ 2 } } { \left( 1+\frac { h }{ { R }_{ e } } \right) }^{ -2 }\)

h << R_e எனில் ஈருறுபு தேற்றத்தினை பயன்படுத்தி பின்பு உயிர் அடுக்குகளைப் புரக்கணித்துப் பின்வருமாறு எழுதலாம்.
\(g'=\frac { GM }{ { R }_{ e }^{ 2 } } \left( 1-2\frac { h }{ { R }_{ e } } \right) \)
\(g'=g\left( 1-2\frac { h }{ { R }_{ e } } \right) \)
இதிலிருந்து g' < g என நாம் காண்கிறோம். இதன் பொருள் குத்துயரம் h அதிகரிக்கும்போது ஈர்ப்பு முடுக்கம் g குறைகிறது என்பதாகும்.  

ஈர்ப்பியல் விசை ஒரு ஆற்றல் மாற்றா விசையாகும். எனவே இந்த ஆற்றல் மாற்றா விசையின் புலத்துடன் தொடர்புடைய ஈர்ப்பு நிலை ஆற்றலை நாம் பின் வருமாறு வரையறை செய்யாலாம்.
m₁ மற்றும் m₂ என்ற இரு நிறைகள் ஆரம்பத்தில் r' தொலைவில் உள்ளன. m நிறையானது நிலையாக உள்ளது என்க. நிறை m நிறையானது நிலையாக உள்ளது என்க. நிறை m₂ ஐ  r' நிலையில் இருந்து r நிலைக்கு நகர்த்த வேலை செய்ய வேண்டும்.
நிறை m₂ ஐ மிகச் சிறிய தொலைவு \(\vec {dr}\) அதாவது \(\vec {r}\) லிருந்து \(\vec {r }+\vec {dr}\) க்கு நகர்த்த வெளியிலிருந்து வேலை செய்யப்பட்ட வேண்டும்.
இந்த மிகச்சிறிய வேலை பின் வருமாறு எழுதப்படுகிறது.
dW =\({ \vec { F } }_{ ext }={ \vec { F } }_{ ext }.d\vec { r } \) -----(1)

இந்த வேலையானது ஈர்ப்பியல் விசைக்கு எதிராக செய்யப்பட்டுள்ளது. எனவே ஈர்ப்பியல் விசைக்கு எதிராக செய்யப்பட்டுள்ளது. எனவே ஈர்ப்பியல் விசை
\(\left| { \vec { F } }_{ ext } \right| =\left| { \vec { F } }_{ G } \right| =\frac { G{ m }_{ 1 }{ m }_{ 2 } }{ { r }^{ 2 } } \) -----(2) 
சமன்பாடு 2 ஐ 1 ல் பிரதியிட
dW =\(\frac { G{ m }_{ 1 }{ m }_{ 2 } }{ { r }^{ 2 } } \hat { r } d\vec { r } \)
d\(\hat {r}\)=d\(\hat { rr } \)
என்பதை நாம் அறிவோம்.
\(\Rightarrow dW=\frac { G{ m }_{ 1 }{ m }_{ 2 } }{ { r }^{ 2 } } \hat { r } d\hat { rr } \)
(இங்கு \(\hat { r } .\hat { r } \)=1. ஏனெனில் ஒரு அலகு வெக்டர்)
\(\therefore dW=\frac { G{ m }_{ 1 }{ m }_{ 2 } }{ { r }^{ 2 } } dr\)
r' ல் இருந்து துகளை r க்கு இடம் பெயரச் செய்த மொத்த வேலை.
\(W=\int _{ r' }^{ r }{ dW } =\int _{ r' }^{ r }{ \frac { G{ m }_{ 1 }{ m }_{ 2 } }{ { r }^{ 2 } } } \)  ------(3)
 W =-\({ \left( \frac { G{ m }_{ 1 }{ m }_{ 2 } }{ { r }^{ 2 } } \right) }_{ r' }^{ r }\)
\(W=\frac { G{ m }_{ 1 }{ m }_{ 2 } }{ r } +\frac { G{ m }_{ 1 }{ m }_{ 2 } }{ r' } \) -----(4)
W =U(r)-U(r')
இங்கு U(r)=\(\frac { G{ m }_{ 1 }{ m }_{ 2 } }{ r } \)
இந்த வேலை (W) யானது m₁ மற்றும் m₂ நிறைகள் முறையே r மற்றும் r₂ தொலைவில் உள்ள போது அவ்வமைப்பின் ஈர்ப்பு நிலை ஆற்றல்களின் வேறுபாட்டை தருகிறது.
நிகழ்வு 1:r>r' எனில்
ஈர்ப்பியல் விசை ஒரு கவர்ச்சி விசை என்பதால் நிறை m நிறை m ஆள் கவரப்படுகிறது. எனவே நிறை m ஐ, r லிருந்து r' க்கு நகர்த்த வெளிப்புறத்திலிருந்து வேலை செய்ய வேண்டிய தேவை இல்லை. இங்கு அமைப்பானது தனது ஆற்றலை செலவழித்து வேலை செய்கிறது. எனவே செய்யப்பட்ட வேலை எதிர்க்குறி பெறும்.
நிகழ்வு 2: r < r' எனில்
r லிருந்து r' க்கு m₂ நிறையை நகர்த்த ஈர்ப்பு விசைக்கு எதிராக வேலை செய்ய வேண்டும். எனவே வெளிப்பிரத்திலிருந்து வேலையானது செய்யப்பட்ட வேண்டும் . ஆகவே செய்யப்பட்ட வேலை நேரக்குறி மதிப்பைப் பெறுகிறது.
"நிலை ஆற்றல் மாறுபாடு" என்பதி இயற்பியலில் முக்கியத்துவம் உடையது. தற்போது ஈர்ப்பு நிலை ஆற்றலை நன்கு வரையறுக்க ஒரு ஆதரப்புள்ளியை தேர்ந்தெடுப்போம்.
அந்த ஆதாரப் புள்ளி r'=\(\infty \)  முடிவிலி என்க.
இதன்படி சமன்பாடு 4 உள்ள இரண்டாம் பகுதி சுகி ஆகும்.
எனவே W= \(-\frac { G{ m }_{ 1 }{ m }_{ 2 } }{ r' } \)+0
r  தொலைவில் அமைந்த நிறைகள் m₁ மற்றும் m₂ வுடைய அமைப்பின் ஈர்ப்பு நிலை ஆற்றலானது, நிறை m1 நிலையாக உள்ளபோது, நிறை m₂ வை முடிவில்லாத தொலைவிலிருந்து r தொலைவு கொண்டு வர செய்த வேலைக்கு சமம் என நாம் வரையறுக்கலாம்.
ஆகவே ஈர்ப்பு நிலை ஆற்றல் U(r)= \(-\frac { G{ m }_{ 1 }{ m }_{ 2 } }{ r' } \)என குறிக்கப்படுகிறது.
r தொலைவில் அமைந்த நிறைகள் m₁ மற்றும் m₂ உடைய அமைப்பின் ஈர்ப்பு நிலை ஆற்றலானது, முடிவிலாத் தொலைவு மற்றும் r தொலைவில் இந்த நிறைகளின் அமைப்பு உள்ளபோது  பெற்றுள்ள ஈர்ப்பு நிலை ஆற்றல்களின் வேறுபாட்டிற்கு சமம் என்பதும் குறிப்பிடத்தக்கது.
அதாவது U(r) =U(r)-U(\(\infty \))
ஆனால் இங்கு U(\(\infty \))=0 என ஆதாரப்புள்ளியை நாம் தேர்ந்தெடுத்து உள்ளோம்.
ஈர்ப்பு நிலை ஆற்றலானது எப்பொழுதும் எதிர்குறி மதிப்பு பெறும். ஏனெனில் முடிவிலாத் தொலைவிலிருந்து நிறைகள் (அமைப்பு) ஒன்றையொன்று மெதுவாக நெருங்கி வரும்போது அமைப்பால் வேலை செய்யப்படுகிறது.
ஈர்ப்பு நிலை ஆற்றல் U(r) ன் அலகு ஜூல் (Joule). மேலும் இது ஸ்கேலார் அளவு ஆகும். ஈர்ப்பு நிலை ஆற்றலானது நிறைகளையும் அவற்றுக்கு இடையேயான தொலைவினையும் சார்ந்தது.

1.ஓய்வு நிலையிலுள்ள ஒரு பொருள்,மற்றும் அதை நோக்கிய திசையில் இயங்கும் பொருள் ஆகிய இரண்டு பொருட்களைக் கருதுக.
2.இவைஇரண்டும் ஒன்றுடன் ஒன்று மோதி,மோதலுக்குப்பின் தன்னிச்சையாக திசையில் செல்கின்றன.

3.இந்நிகழ்வில், மோதலுக்கு முன்பு அமைப்பின் மொத்த நேர்க்கோட்டு உந்தம்,இயக்கத்திலுள்ள பொருட்களின் தொடக்கநேர்க்கோட்டு உந்தத்திற்குச் சமமாகும்.
4.நேர்கோட்டு உந்த மாறாவிதிப்படி,மோதலுக்கு பின்பும் அமைப்பின் மொத்த நேர்க்கோட்டு உந்தம் முன்னோக்கிய திசையில் செயல்படும்.
மோதலுக்கு முன்பு
1.இங்கு பின்வரும் கருத்தைப் புரிந்து கொள்வது பயனுள்ளதாக இருக்கும்.
2.மோதலுக்கு முன்பும்,பின்பும் மொத்த உந்த வெக்டர் ஒரே திசையில் உள்ளது.இது மொத்த நேர்க்கோட்டு உந்தம் மோதலுக்கு முன்பும் பின்பும் ஒரு மாறிலி வெக்டர் என்பதை எளிமையாக விளக்குகின்றது.
3.மோதலின்போது ஒவ்வொரு பொருளும் மீது ஒரு விசையைச் செலுத்தும்,இவ்விரண்டும் விசைகளும் அகவிசைகளாகும்.
4.எனவே இந்த அகவிசைகள் மொத்த நேர்க்கோட்டு உந்தத்தை மாற்றாது.

சுருள்வில்லின் விசை - இடப்பெயர்ச்சி வரைபடம்:
விசையும் இடப்பெயர்ச்சியும் F =-kx என்ற நேர்விகிதத் தொடர்பில் உள்ளதாலும் மற்றும் அவை எதிரெதிர் திசையில் இருப்பதாலும் F  மற்றும் X  இடையே உள்ள வரைபடமானது படத்தில் காட்டியுள்ளவாறு இரண்டு மற்றும் நான்காவது கால்பகுதியில் மட்டுமே அமைந்த நேர் கோடாக உள்ளது. ஒரு F -ட்ச  வரைபடம் வரைவதன் மூலம் மீட்சி நிலை ஆற்றலை எளிதாகக் கணக்கிடலாம்.
நிழலிடப்பட்ட பரப்பு (முக்கோணம்) சுருள்வில் விசையால் செய்யப்பட்ட வேலை ஆகும்.பரப்பு = \(\frac {1}{2}\) (அடிப்பக்கம்)(உயரம்)=\(=\frac {1}{2}\times x \times kx \)

சுருள்வில்லின் நிலை ஆற்றல் - இடப்பெயர்ச்சி வரைபடம் 
ஒரு அமுக்கப்பட்ட அல்லது நீட்டப்பட்ட சுருள்வில் தன்னுள் சேமிக்கப்பட்ட நிலை ஆற்றலை அதனுடன் இணைக்கப்பட்ட நிறையின் இயக்க ஆற்றலாக மாற்றுகிறது.நிலை ஆற்றல்-இடப்பெயர்ச்சி வரைபடமானது படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது.

உராய்வற்ற சூழலில் ஆற்றலானது அமைப்பின் மொத்த ஆற்றல் மாறாதவாறு இயக்க ஆற்றலில் இருந்து நிலை ஆற்றலாகவும் மற்றும் நிலை ஆற்றலில் இருந்து இயக்க ஆற்றலாகவும் மீண்டும் மீண்டும் மாற்றமடைகிறது.சமநிலையில் 
\(\triangle KE=\triangle U\)​​​​​​​

பொருளின் ஆரம்ப உந்தம்
p_i = 10 × 15 = 150 kg m s⁻¹
பொருளின் இறுதி உந்தம் p_f = 0
Δp = 150 − 0 = 150 kg ms⁻¹
(அ) கணத்தாக்கு J = Δp = 150 N s.(நேர்வு அ)
(ஆ) கணத்தாக்கு J = Δp = 150 N s.(நேர்வு ஆ)
(அ) சராசரி விசை \(F_{avg}={Δp\over Δt}={150\over0.03}=5000N\) (நேர்வு அ)
(ஆ) சராசரி விசை \(F_{avg}={150\over 10}=15N\) (நேர்வு ஆ)
இரண்டு நேர்வுகளிலும் பொருளின் கணத்தாக்கு சமம். ஆனால் பொருளின் மீது செயல்படும சராசரி விசை வெவ்வேறானவை.

மையவிலக்கு என்பதன் பொருள் மையத்தை விட்டு வெளிநோக்கிச் செயல்படுவது என்பதாகும். சுழற்சிக் குறிப்பாயத்தைப் பொருத்து கல்லின் சுழற்சி இயக்கத்தை ஆய்வு செய்யும்போது மட்டும் மையவிலக்கு விசை கல்லின் மீது செயல்படுவதாகத் தோன்றும். இக்காரணத்தினால் தான் மையவிலக்கு விசையை ஒரு போலியான விசை என்று அழைக்கிறோம். இப்போலியான விசை எந்த மூலத்திலிருந்தும் தோன்றுவதில்லை (It has no origin) இங்கு போலி விசை தோன்றுவதற்கான காரணம், நாம் கருதும் சுழற்சி குறிப்பாயம் ஒரு நிலைமமற்ற குறிப்பாரும் என்பதாலே ஆகும்.
நிலைமக் குறிப்பாயத்தைப் பொருத்து கல்லின் சுழற்சி இயக்கத்தை ஆய்வு செய்யும்போது மையநோக்கு விசை மட்டுமே செயல்படும். இம்மையநோக்கு விசை கல் கட்டப்பட்டிருக்கும் மெல்லிய கயிற்றின் இழுவிசையால் பெறப்படுகிறது. சுழற்சி குறிப்பாயத்தைப் பொருத்து சுழற்சி இயக்கக் கணக்குகளைத் தீர்வு செய்ய வரையப்படும் தனித்த பொருளின் விசைப்படங்களில் படத்தில் காட்டியுள்ளவாறு மையவிலக்கு விசை கண்டிப்பாகக் காட்டப்பட வேண்டிம்.

மையவிலக்கு விசையின் விளைவுகள்
மையவிலக்கு விசை ஒரு போலியான விசையாக இருப்பினும் அதன் விளைவுகள் உண்மையாகும். காா் ஒன்று வளைவுப்பாதையில் திரும்பும்போது, காரின் உள்ளே அமர்ந்திருப்பவர் ஒரு வெளிப்புறவிசையை உணர்வார். அவ்விசை அவரை வெளிநோக்கித் தள்ளும். இவ்வெளிநோக்கிய விசையையும் மையவிலக்கு விசை என்றே அழைக்கலம். காரின் இருக்கைக்கும், அமர்ந்திருக்கும் நபருக்கும் இடையே உள்ள போதுமான உராய்வுவிசை இருந்தால் அவர் வெளியே தள்ளப்படுவது தவிர்க்கப்படுகிறது.
நேர்க்கோட்டுப் பாதையில் சென்று கொண்டிருக்கும் காா் ஒன்று திடீரென்று தன்பாதையிலிருந்து வளையும்போது, காரின் உள்ளே நிலையாகப் பொருத்தப்படாத பொருள், திசையில் நிலைமப் பண்பின் (Inertia of director) காரணமாக நேர்க்கோட்டுப் பாதையிலேயே தொடர்ந்து இயங்க முயற்சிக்கும்.

இவ்வியக்கத்தை நிலைமக் குறிப்பாயத்திலிருந்து பார்க்கும் போது படத்தில் காட்டியுள்ளவாறு நேர்க்கோட்டு இயக்கமாகத் தெரியும். ஆனால் சுழற்சிக் குறிப்பாயத்திலிருந்து பார்க்கும்போது இயக்கம் வெளிநோக்கிச் செல்வது போன்று தோன்றும்.
சுழலும் மேடையில் நின்று கொண்டிருக்கும் நபா் வெளிப்புற மையவிலக்கு விசையை உணர்வார். இதன் காரணமாக மேடையிலிருந்து அவா் வெளியே தள்ளப்பட வாய்ப்பு அதிகம். நின்று கொண்டிருக்கும் நபருக்கும், மேடைக்குமான உராய்வு விசை வெளிநோக்கித் தள்ளப்படும் விசையினைக் சமன் செய்ய போதுமானதல்ல.

இதனைத் தவிர்ப்பதற்காக மேடையின் வெளிப்புற விளிம்பு சற்றே மேல்நோக்கி உயர்த்தப்பட்டிருக்கும். இவ்வுயர்வு நின்று கொண்டிருக்கும் நபரின் மீது ஒரு செங்குத்து விசையைச் செலுத்தி அவா் வெளியே விழுவதைத் தடுக்கும். இது படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது.

m நிறை கொண்ட Q துகளானது மாறா திசைவேகம் \(\overset { \rightarrow }{ v } \) யுடன் செல்வதாக கொள்வோம்

மாறா திசைவேகம் என்பதால் துகளின் பாதை நேர்க்கோட்டு பாதையாக அமையும். அதன் உந்தமும் (\((\overset { \rightarrow }{ p } =m\overset { \rightarrow }{ v } )\) அதே பாதையில் நேர்கோட்டில் அமையும். அப்பாதையிலிருந்து செங்குத்து தொலைவில் (d) ஆதிப்புள்ளி O வை எடுத்துக் கொள்வோம். ஒரு குறிப்பிட்ட கணத்தில் Q என்ற புள்ளியில் அமைந்த துகளின் நிலை வெக்டர் \(\vec {O Q} =\vec{ r }\) என்க. ஒரு குறிப்பிட்ட கணத்தில் \(\vec{r}\) க்கும் p க்கும் இடைப்பட்ட கோணம் θ என்க எனவே அக்கணத்தில் கோண உந்தத்தின் எண்மதிப்பு
L = OQ p sinፀ = OQ mv sinፀ = mv(OQsinፀ)
இங்கு (OQsinፀ) என்பது ஆதிப்புள்ளிக்கும் பொருள் செல்லும் திசைக்கும் உள்ள செங்குத்துக் தொலைவு ஆகும். எனவே துகள் Q வின் ஆதியைப்பொறுத்த கோண உந்தம்
L = mvd
மேற்கண்ட கோண உந்தத்தின் சமன்பாடு கோணம் θ வை பெற்றிருப்பதில்லை. நேர்கோட்டு உந்தம் p (p = m v) மற்றும் செங்குத்து தொலைவு d இரண்டும் மாறிலிகள். ஆதலால், துகளின் கோண உந்தமும் மாறாது. எனவே கோண உந்தமானது நேர்கோட்டு இயக்கத்தில் உள்ளபொருட்களோடும் தொடர்புடையது. பொருள்  செல்லும் நேர்க்கோட்டு திசை, ஒருவேளை ஆதிப்புள்ளி வழியாகச் சென்றால் கோண உந்தம் சுழியாகவும், அது மாறாததாகவும் இருக்கும்.

திசைவேகம் – நேரம் வரைபடத்தின் சாய்வு துகளின் முடுக்கத்தைக் கொடுக்கும். முதல் 10 வினாடிகளுக்கு திசை வேகம் மாறாத சாய்வினைக் கொண்டுள்ளள்ளது (மாறாத முடுக்கம்)
எனவே, முடுக்கம் \(={{v_2-v_1 \over t_2-t_1}}\) இங்கு
v₂ = 60 m s^-1 மற்றும் v₁ = 0
\(a={60-0\over10-0}=6\ m{s}^{-2}\)
மேலும் துகள் 15 வினாடியிலிருந்து 30 வினாடிவரை மாறாத எதிர்க்குறி சாய்வினைக் கொண்டுள்ளது. இந்நிகழ்வில் எனவே v₂ = 20 வினாடியில் முடுக்கமானது \(a ={0-60\over 30-15}=-4\ m {s}^{-2}.\)  எதிர்க்குறி சாய்வானது துகளின் எதிர் முடுக்கத்தைக் காட்டுகிறது.

M₁ மற்றும் M₂ நிறையுள்ள இரு மீட்சிப் பொருள்கள் ஒரு உராய்வற்ற கிடைத்தளப்பரப்பில் நேர்க்கோட்டில் (நேர் x  அச்சின் திசையில்) இயங்குவதாகக் கருதுக.

நிறை	தொடக்க திசைவேகம்	இறுதி திசைவேகம்
நிறை m1	u1	v1
நிறை m2	u2	v2

மோதல் நிகழ m₁ நிறை m₂ ஐ விட வேகமாக இயங்குவதாகக் கருதுக.அதாவது u₁>u₂ மீட்சி மோதலுக்கு இரு பொருட்களின் மொத்த நேர்க்கோட்டு உந்தம் மற்றும் இயக்க ஆற்றல்கள் மோதலுக்கு முன்பும் மோதலுக்குப் பின்பும் மாறாமல் ஒரே அளவாக இருக்க வேண்டும்.

	நிறை m1இன் உந்தம்	நிறை m2 இன் உந்தம்	மொத்த நேர்க்கோட்டு உந்தம்
மோதலுக்கு முன்	Pi1 = m1u1	Pi2 = m2u2	Pi = Pi1 + Pi2 Pi = m1u1 + m2u2
மோதலுக்குப் பின்	Pf1 = m1v1	Pf2 = m2v2	Pf = Pf1 + Pf2 Pf = m1v1 + m2v2

நேர்க்கோட்டு உந்தமாறா விதியில் இருந்து மோதலுக்கு முன்மொத்த உந்தம் (P_i) =மோதலுக்குப் பின் மொத்த உந்தம் (P_f)
m₁u₁ + m₂u₂ = m₁v₁ + m₂v₂   ......(1)
அல்லது
m₁(u₁ - v₁) = m₂(u₂ - v₂)   ......(2)

	நிறை m1இன் உந்தம்	நிறை m2 இன் உந்தம்	மொத்த நேர்க்கோட்டு உந்தம்
மோதலுக்கு முன்	\(K E_{i 1}=\frac{1}{2} m_1 u_1^2 \)	\( K E_{i 2}=\frac{1}{2} m_2 u_2^2 \)	\(K E_i=K E_{i 1}+K E_{i 2} \) \(K E_i=\frac{1}{2} m_1 u_1^2+\frac{1}{2} m_2 u_2^2 \)
மோதலுக்குப் பின்	\(K E_{f 1}=\frac{1}{2} m_1 v_1^2\)	\(K E_{f 2}=\frac{1}{2} m_2 v_2^2\)	\(K E_f=K E_{f 1}+K E_{f 2} \) \(K E_f=\frac{1}{2} m_1 v_1^2+\frac{1}{2} m_2 v_2^2\)

மீட்சி மோதலுக்கு முன் மொத்த இயக்க ஆற்றல் KE_i= மோதலுக்குப் பின் மொத்த இயக்க ஆற்றல் KE_f
\(\frac{1}{2}m_1u_1^2+\frac{1}{2}m_2u_2^2=\frac{1}{2}m_1v_1^2+\frac{1}{2}m_2v_2^2\)   .....(3)
சுருக்கிய பிறகு மாற்றியமைக்க \(m_1\left(u_1^2-v_1^2\right)=m_2\left(v_2^2-u_2^2\right)\) மேற்கண்ட சமன்பாட்டை \(a^2-b^2=(a+b)(a-b) \) என்ற வாய்ப்பாட்டை பயன்படுத்தி மீண்டும் எழுத
\(\mathrm{m}_1\left(\mathrm{u}_1+\mathrm{v}_1\right)\left(\mathrm{u}_1-\mathrm{v}_1\right)=\mathrm{m}_2\left(\mathrm{v}_2+\mathrm{u}_2\right)\left(\mathrm{v}_2-\mathrm{u}_2\right)\) .....(4)
சமன்பாடு (4) ஐ (2) ஆல் வகுக்க கிடைப்பது.
\(\frac{m_1\left(u_1+v_1\right)\left(u_1-v_1\right)}{m_1\left(u_1-v_1\right)} =\frac{m_2\left(v_2+u_2\right)\left(v_2-u_2\right)}{m_2\left(v_2-u_2\right)}  \)
\(\mathrm{u}_1+\mathrm{v}_1 =\mathrm{v}_2+\mathrm{u}_2\) மாற்றியமைக்க 
\(\mathrm{u}_1-\mathrm{u}_2 =\mathrm{v}_2-\mathrm{v}_1\)   .....(5)
சமன்பாடு (5) ஐ இவ்வாறு எழுதலாம்.
\(\mathrm{u}_1-\mathrm{u}_2=-\left(\mathrm{v}_1-\mathrm{v}_2\right)\)
இதன் பொருளானது எந்த ஒரு நேரடி மீட்சி மோதலிலும், மோதலுக்குப்பின் இரு மீட்சிப் பொருள்களின் ஒப்புமை வேகம் மோதலுக்கு முன் இருந்த அதே எண்மதிப்பைக் கொண்டும் ஆனால் எதிர்த்திசையிலும் இருக்கும் என்பதாகும்.மேலும் இந்த முடிவு நிறையைச் சார்ந்ததல்ல என்பதை அறியவும்.
மேற்கண்ட சமன்பாட்டிலிருந்து v₁ மற்றும் v₂ மதிப்புகளைக் காண
\(\mathrm{v}_1= \mathrm{v}_2+\mathrm{u}_2-\mathrm{u}_1 \)    .....(6)
அல்லது 
\(\mathrm{v}_2= \mathrm{u}_1+\mathrm{v}_1-\mathrm{u}_2\)     .....(7)
இறுதி திசைவேகங்கள் v₁ மற்றும் v₂ கண்டறிதல்:
சமன்பாடு (7) ஐ சமன்பாடு (2) இல் பிரதியிடுவதன் மூலம் m₁ இன் திசைவேகமானது
\(\mathrm{m}_1\left(\mathrm{u}_1-\mathrm{v}_1\right) =\mathrm{m}_2\left(\mathrm{u}_1+\mathrm{v}_1-\mathrm{u}_2-\mathrm{u}_2\right)  \)
\(\mathrm{m}_1\left(\mathrm{u}_1-\mathrm{v}_1\right) =\mathrm{m}_2\left(\mathrm{u}_1+\mathrm{v}_1-2 \mathrm{u}_2\right)  \)
\(\mathrm{m}_1 \mathrm{u}_1-\mathrm{m}_1 \mathrm{v}_1 =\mathrm{m}_2 \mathrm{u}_1+\mathrm{m}_2 \mathrm{v}_1-2 \mathrm{~m}_2 \mathrm{u}_2  \)
\(\mathrm{~m}_1 \mathrm{u}_1-\mathrm{m}_2 \mathrm{u}_1+2 \mathrm{~m}_2 \mathrm{u}_2 =\mathrm{m}_1 \mathrm{v}_1+\mathrm{m}_2 \mathrm{v}_1  \)
\(\left(\mathrm{~m}_1-\mathrm{m}_2\right) \mathrm{u}_1+2 \mathrm{~m}_2 \mathrm{u}_2 =\left(\mathrm{m}_1+\mathrm{m}_2\right) \mathrm{v}_1\)
அல்லது \(\mathrm{v}_1=\left(\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\right) u_1+\left(\frac{2 m_2}{m_1+m_2}\right) u_2\)   ....(8)
இது போன்றே சமன்பாடு (6) ஐ சமன்பாடு (2) இல் பிரதியிட அல்லது சமன்பாடு (8) ஐ சமன்பாடு (7) இல் பிரதியிட m₂ இன் இறுதி திசைவேகமானது
\(\mathrm{v}_2=\left(\frac{2 m_1}{m_1+m_2}\right) u_1+\left(\frac{m_2-m_1}{m_1+m_2}\right) u_2\)    ....(9)
நேர்வு 1 : பொருள்கள் ஒரே நிறையைக் கொண்டிருந்தால் அதாவது m₁ = m₂
சமன்பாடு (8)  \(\Rightarrow v_1 =(0) u_1+\left(\frac{2 m_2}{2 m_2}\right) u_2\) 
\(v_1 =\mathrm{u}_2\)    ....(10)
சமன்பாடு (9) \(\Rightarrow v_2 =\left(\frac{2 m_1}{2 m_1}\right) u_1+(0) u_2\) 
v₂ = u₁  ....(11)
சமன்பாடுகள் (10) மற்றும் (11) தெரிவிப்பது என்னவெனில் ஒரு பரிமாண மீட்சி மோதலில் சம நிறையுள்ள இரு பொருள்கள் மோதிக்கொண்டால் மோதலுக்குப் பின் அவற்றின் திசைவேகங்கள் பரிமாறிக் கொள்ளப்படுகின்றனன.
நோ்வு 2 : பொருள்கள் ஒரே நிறையைக் கொண்டிருந்தால் அதாவது m₁ = m₂ மற்றும் இரண்டாவது பொருள் (வழக்கமாக இலக்கு என அழைக்கப்படுவது) ஓய்வு நிலையில் உள்ளபோது (u₂ = 0).
m₁ = m₂ மற்றும் (u₂ = 0) என்ற மதிப்புகளை சமன்பாடுகள் (8) மற்றும் (9) இல் பிரதியிட
சமன்பாடு (8) \(\Rightarrow \mathrm{v}_1=0 \quad(12)\)
சமன்பாடு (9) \(\Rightarrow v_2=u_2 \quad (13)\)
சமன்பாடு (12) மற்றும் (13) தெரிவிப்பது என்னவெனில் முதல் பொருள் மோதலுக்குப் பின் ஓய்வு நிலைக்கு வரும்போது இரண்டாவது பொருள் முதல் பொருளின் தொடக்க திசைவேகத்தில் இயங்குகிறது.
நோ்வு 3: முதல் பொருளானது இரண்டாவது பொருளின் நிறையைவிட குறைவாக இருந்தால், \(\left(m_1< பிறகு விகிதம் \(\frac{m_1}{m_2} \approx 0\) மற்றும் இலக்கு ஓய்வு நிலையில் உள்ளபோது \(\left(u_2=0\right)\) சமன்பாடு (8) இன் தொகுதி மற்றும் பகுதியை m₂-ஆல் வகுக்க.
\(\mathrm{v}_1 =\left(\frac{\frac{m_1}{m_2}-1}{\frac{m_1}{m_2}+1}\right) u_1+\left(\frac{2}{\frac{m_1}{m_2}+1}\right)(0)  \)
\(\mathrm{v}_1 =\left(\frac{0-1}{0+1}\right) u_1  \)
\(\mathrm{v}_1 =-\mathrm{u}_1\)   ....(14)
இது போன்றே சமன்பாடு (9) இன் தொகுதி மற்றும் பகுதியை m₂ ஆல் வகுக்க.
\(\mathrm{v}_2=\left(\frac{2 \frac{m_1}{m_2}}{\frac{m_1}{m_2}+1}\right) u_1+\left(\frac{1-\frac{m_1}{m_2}}{\frac{m_1}{m_2}+1}\right)(0)  \)
\(\mathrm{v}_2=(0) u_1+\left(\frac{1-\frac{m_1}{m_2}}{\frac{m_1}{m_2}+1}\right)(0)  \)
\(\mathrm{v}_2=0\)   ....(15)
நிறை குறைவாக உள்ள முதல் பொருளானது அதே தொடக்க திசைவேகத்துடன் எதிர்த்திசையில் திரும்புகிறது. (மீண்டெழுகிறது) என்பதைச் சமன்பாடு (14) இல் உள்ள எதிர்க்குறி குறிக்கிறது. அதிக நிறையுள்ள இரண்டாவது பொருளானது மோதலுக்குப் பிறகும் ஓய்வு நிலையிலேலே தொடர்ந்து இருக்கிறது. என்பதைச் சமன்பாடு (15) குறிக்கிறது. எடுத்துக்காட்டாக, பந்து ஒன்று நிலையான சுவரின் மீது எறியப்பட்டால் பந்தானது எறியப்பட்ட அதே திசைவேகத்திலேயே எதிர்த்திசையில் சுவரில் இருந்து திரும்பி வரும்.
நோ்வு 4: இரண்டாவது பொருளானது முதல் பொருளைவிட நிறை குறைவாக உள்ளபோது, \(\left(m_2 \ll m_1, \frac{m_2}{m_1}<1\right)\) பிறகு விகிதம் \(\frac{m_2}{m_1} \approx 0\) மற்றும் இலக்கு ஓய்வு நிலையில் உள்ள போது \(\left(u_2=0\right)\) சமன்பாடு (8) இன் தொகுதி மற்றும் பகுதியை m₁ ஆல் வகுக்க
\(\mathrm{v}_1=\left(\frac{1-\frac{m_2}{m_1}}{1+\frac{m_2}{m_1}}\right) u_1+\left(\frac{2 \frac{m_2}{m_1}}{1+\frac{m_2}{m_1}}\right)(0)=\left(\frac{1-0}{1+0}\right) u_1+\left(\frac{0}{1+0}\right)(0)  \)
\(\mathrm{v}_1=\mathrm{u}_1\)   ....(16)
இது போன்றே சமன்பாடு (13) இன் தொகுதி மற்றும் பகுதியை m₁ ஆல் வகுக்க
\(v_2=\left(\frac{2}{1+\frac{m_2}{m_1}}\right) u_1+\left(\frac{\frac{m_2}{m_1}-1}{1+\frac{m_2}{m_1}}\right)(0)  \)
\(v_2=\left(\frac{2}{1+0}\right) u_1  \)
\(v_2=2 u_1\)    ...(17)
கனமாக உள்ள முதல் பொருளானது மோதலுக்குப் பிறகு அதே திசைவேகத்துடன் தொடர்ந்து இயங்குகிறது என்பதைச் சமன்பாடு (16) குறிக்கிறது. நிறை குறைவாக உள்ள இரண்டாவது பொருள் முதல் பொருளின் தொடக்க திசைவேகத்தைப் போல இரு மடங்கு திசைவேகத்துடன் இயங்குகிறது என்பதை சமன்பாடு (17) குறிக்கிறது. நிறை குறைவாக உள்ள பொருள் மோதலுறும் புள்ளியிலிருந்து வேகமாக் செல்கிறது.

\(\vec F\)என்ற விசையினால் \(\vec {dr}\) என்ற இடப்பெயர்ச்சிக்கு செய்யப்பட்ட வேலை 
\(W=\int\vec F.\vec {dr}\)   ....(1)
சமன்பாட்டு (1) இன் இடது பக்கத்தில் உள்ளதை இவ்வாறு எழுதலாம்
\(W=\int dW=\int \frac{dw}{dt}dt\)   ...(2) 
(dt ஆல் பெருக்கவும் வகுக்கவும் செய்ய)
திசைவேகம் \(\vec v=\frac{\vec {dr}}{dt}\) என்பதால் \(\vec {dr}=\vec v\ dt\)
சமன்பாடு (1) இன் வலது பக்கத்தில் உள்ளதை இவ்வாறு எழுதலாம்
\(\int\vec F.\vec {dr}=\int (\vec F.\frac{\vec {dr}}{dt})dt=\int (\vec F.\vec v)\ [\therefore\vec v=\frac{\vec {dr}}{dt}]\)   ...(3) 
சமன்பாடு (2) மற்றும் (3) ஐ சமன்பாடு (1) இல் பிரதியிட 
\(\int\frac{dw}{dt}dt=\int(\vec F.\vec v)dt\)
\(\int(\frac{dw}{dt}-\vec F.\vec v)dt=0\)
இந்த தொடர்பானது dt  இன் எந்த ஒரு தன்னிச்சையான மதிப்பிற்கும் சரியாக உள்ளது. அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ள மதிப்பு சுழியாக இருக்க வேண்டும் என்பதை குறிக்கிறது.
அதாவது
\(\frac{dw}{dt}-\vec F.\vec v=0\)  அல்லது
\(\frac{dw}{dt}=\vec F.\vec v\)   ...(4) 
எடுத்துக்காட்டுகள்:
1250 kg நிறையுள்ள ஒரு வாகனம் ஒரு சமமான நோ் சாலையில் 0-.2 ms^-2 முடுக்கத்துடன் 500 N என்ற எதிர்க்கும் புறவிசைக்கெதிராக இயக்கப்படுகிறது. வாகனத்தின் திசைவேகம் 30 ms^-1 எனில் வாகனத்தின் இயந்திரம் வெளிப்படுத்தும் திறனைக் கணக்கிடுதல்.
தீர்வு:
வாகனத்தின் இயந்திரம், எதிர்க்கும் விசைக்கெதிராக வேலை செய்து வாகனத்தை ஒரு முடுக்கத்துடன் இயக்க வேண்டும். எனவே வாகனத்தின் இயந்திரம் வெளிப்படுத்தும் திறன்
P = (எதிர்க்கும் விசை + (நிறை x முடுக்கம்)) (திசைவேகம்)
\(\mathrm{P} =\overrightarrow{\mathrm{F}}_{\text {tot }} \cdot \overrightarrow{\mathrm{v}}=\left(\mathrm{F}_{\text {resistive }}+\mathrm{F}\right) \mathrm{v}  \)
\(\mathrm{P} =\overrightarrow{\mathrm{F}}_{\text {tot }} \cdot \overrightarrow{\mathrm{v}}=\left(\mathrm{F}_{\text {resistive }}+\mathrm{ma}\right) \mathrm{v}  \)
\(=(500+(1250 \times 0.2))(30)=22.5 \mathrm{~kW}\)
⇒ மோட்டார்கள், இயந்திரங்கள், சில தானியங்கி வாகனங்கள்

(i) புள்ளி E யைப் பொருத்து திருப்புவிசை சுழி.
(E வழியாக \(\vec {F}\) செயல்படுவதால்).
புள்ளி D யைப் பொருத்து திருப்புவிசை சுழி.
(D வழியாக \(\vec {F}\)செயல்படுவதால்).
புள்ளியைப் பொருத்து திருப்புவிசை \((\vec{OE}) \times \vec {F}\) அச்சுகள் AB மற்றும் CD க்கு செங்குத்தாக அமையும்.
புள்ளி B யைப் பொருத்து திருப்புவிசை \((\vec{BE}) \times \vec {F}\) அச்சுகள் AB மற்றும் CD க்கு செங்குத்தாக அமையும்.
(ii) அச்சு DE யைப் பொருத்து திருப்புவிசை சுழி
( \(\vec {F}\)ஆனது DE க்கு இணையாக உள்ளதால்).
அச்சு CD யைப் பொருத்து திருப்புவிசை சுழி
(\(\vec {F}\) ஆனது CD யை வெட்டிச் செல்வதால்).
அச்சு AB யைப் பொருத்து திருப்புவிசை சுழி
(\(\vec {F}\)ஆனது AB க்கு இணையாக உள்ளதால்).
அச்சு BG யைப் பொருத்து திருப்புவிசை சுழி
(\(\vec {F}\) ஆனது BG யை வெட்டிச் செல்வதால்)
ஓர் அச்சைப் பற்றிய விசையின் திருப்பு விசை ஆதிப்புள்ளியை அந்த அச்சிலேயே தேர்ந்தெடுத்தால் ஆதியை தேர்ந்தெடுப்பதை சார்ந்திராமல், அமையும். இதனை கீழ்க்கண்டவாறு காணலாம்.
திண்மப் பொருளொன்றில் உள்ள AB என்ற சுழற்சி அச்சில் உள்ள O என்ற ஆதிப்புள்ளியை எடுத்துக்கொள்வோம். புள்ளி P யின் மீது விசை \(\vec {F}\) செயல்படுவதை படத்தில் காட்டியுள்ளவாறு கருதுவோம்.
இப்போது அச்சில் ஏதேனும் ஒரு இடத்தில் மற்றொரு புள்ளி O' ஐ படத்தில் காட்டியுள்ளவாறு, தேர்வு செய்ய வேண்டும்.


O' யைப் பொருத்த விசையின் திருப்பு விசை
\(\vec { O'P } \times \vec { F } =(\vec { O'O } +\vec { OP } )\times \vec { F } \)
=\((\vec { O'O } \times \vec { F } )+(\vec { OP } \times \vec { F } )\)
\(\vec { O'O } \times \vec { F } \) என்பது \(\vec { O'O } \) க்கு செங்குத்தாக இருப்பதால், இப்பகுதியானது AB வழியாக எந்த கூறையும் பெற்றிருப்பதில்லை. எனவே \(\vec { O'P } \times \vec { F } ,\vec { OP } \times \vec { F } \) ஆகியவை AB வழியாக சம கூறினைப் பெற்றிருக்கும்.

(a) அலகு
அளவீட்டு முறை என்பது அடிப்படையில், ஓர் ஒப்பீட்டு முறையே ஆகும். அளவு ஒன்றை அளந்தறிய, நாம் எப்பொழுதும் அதனை ஒரு படித்தர அளவுடன் ஒப்பிடுகிறோம். இந்த படித்தர அளவே அலகு ஆகும்.
(b) முழுமைப்படுத்துதல் 
தற்காலத்தில் கணக்கீடு செய்ய கணிப்பான்கள் (Calculator) பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. அவற்றின முடிவுகள் பல இலக்கங்களைக் கொண்டதாக உள்ளன. கணக்கீட்டில் உள்ளடங்கும் தகவல்களின் (Data) முக்கிய எண்ணுருவைவிட முடிவின் முக்கிய எண்ணுரு அதிகமாக இருக்கக்கூடாது. கணக்கீட்டின் முடிவில் நிலையில்லாத (Uncertain) இலக்கங்கள் ஒன்றுக்கு மேற்பட்டவை இருப்பின், அந்த எண்ணை முழுமைப்படுத்த வேண்டும்.
(c) பரிமாணமற்ற அளவுகள் 
எந்த இயற்பியல் அளவுகள் பரிமாணம் அற்று இருந்தால் அவை பரிமாணமற்ற அளவுகள் ஆகும்.

SI முறையில் ஈர்ப்பு மாறிலி G_SI எனவும் cgs முறையில் G_cgs எனவும் கொள்க.
G_SI = 6.6 × 10^-11 Nm² kg⁻²
G_cgs = ?
ஈர்பியல் மாறிலியின் பரிமாண வாய்ப்பாடு = [M^-1L³T^-2]
\(n_2=n_1\left[ M_1\over M_2\right]^a\left[L_1\over L_2\right]^b\left[T_1\over T_2\right]^c\)
\(\mathrm{G}_{\mathrm{cgs}}=\mathrm{G}_{\mathrm{sl}}\left[\frac{M_1}{M_2}\right]^a\left[\frac{L_1}{L_2}\right]^b\left[\frac{T_1}{T_2}\right]^c\)
M₁ = 1 kg L₁ = 1 m T₁ = 1 s
M₂ = 1 g L₂ = 1 cm T₂ = 1 s
எனவே a = -1, b = 3 மற்றும் c = -2
\(G_{cgs}=6.6\times10^{-11}\left[1kg\over 1g\right]^{-1}\left[1m\over 1cm\right]^3\left[1s\over 1s\right]^{2}\)
\(=6.6\times10^{-11}\left[1kg\over 10^{-3}kg\right]^{-1}\left[1m\over 10^{-2}m\right]^3\left[1s\over 1s\right]^{-2}\)
= 6.6 × 10⁻¹¹ × 10⁻³ × 10⁶ × 1
G_cgs = 6.6 × 10⁻⁸ dyne cm² g⁻²