\(\int { { e }^{ x }{ \left( \frac { 1-x }{ 1+{ x }^{ 2 } } \right) }^{ 2 }dx } \)
\(I=\int { { e }^{ x }\frac { { (1-x) }^{ 2 } }{ { (1+x }^{ 2 })^{ 2 } } } dx\) என்க
\(=\int { { e }^{ x }\frac { (1+{ x }^{ 2 }-2x) }{ { (1+x }^{ 2 })^{ 2 } } dx } \)
\(=\int { { e }^{ x }\left( \frac { 1 }{ (1+{ x }^{ 2 }) } -\frac { 2x }{ { (1+{ x }^{ 2 }) }^{ 2 } } \right) dx } \)
\(f(x)=\frac { 1 }{ (1+{ x }^{ 2 }) } \) எனில் \(f'(x)=-\frac { 2x }{ { (1+{ x }^{ 2 }) }^{ 2 } } \)
\(\int { { e }^{ x }(f(x)+f'(x))dx={ e }^{ x }f(x)+c } \) எனும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த,
\(\int { { e }^{ x }{ \left( \frac { 1-x }{ 1+{ x }^{ 2 } } \right) }^{ 2 }dx=\int { { e }^{ x }\left( \frac { 1 }{ (1+{ x }^{ 2 }) } -\frac { 2x }{ { (1+x^{ 2 }) }^{ 2 } } \right) dx={ e }^{ x }\frac { 1 }{ (1+{ x }^{ 2 }) } } +c } \)

\( \frac { dy }{ dx } =3{ x }^{ 2 }+10x+3\)

\(\lim _{ x\rightarrow 3 }{ \frac { { x }^{ 3 }-{ 3 }^{ n } }{ x-3 } = } n.{ 3 }^{ n-1 }=27\)
அதாவது,\(n.{ 3 }^{ n-1 }=3\times { 3 }^{ 2 }=3\times { 3 }^{ 3-1 }\Rightarrow n=3\)

L.H.S= \(\frac { \sin8x\cos x-\sin6x \cos3x }{ \cos2x\cos x-\sin3x\sin4x } \)
= \(\cfrac { \cfrac { 1 }{ 2 } \left( \sin9x+\sin7x \right) -\cfrac { 1 }{ 2 } \left( \sin9x+\sin3x \right) }{ \cfrac { 1 }{ 2 } \left( \cos3x+\cos x \right) -\cfrac { 1 }{ 2 } \left( \cos x-\cos7x \right) } \)
 
=\(\cfrac { \sin7x-\sin3x }{ \cos3x+\cos7x } \)
= \(\cfrac { 2\cos\left( \cfrac { 7x+3x }{ 2 } \right) \sin\left( \cfrac { 7x-3x }{ 2 } \right) }{ 2\cos\left( \cfrac { 7x+3x }{ 2 } \right) .\cos\left( \cfrac { 7x-3x }{ 2 } \right) } =\cfrac { 2\cos5x.\sin2x }{ 2\cos5x.\cos2x } \)  
\(\left[ \because \sin C-\sin D=\cos\left( \cfrac { C+D }{ 2 } \right) .\sin\left( \cfrac { C-D }{ 2 } \right) \right] \)
\(\left[ \cos C+\cos D=2\cos\left( \cfrac { C+D }{ 2 } \right) .\cos\left( \cfrac { C-D }{ 2 } \right) \right] \)
= tan 2x = R.H.S எனவே  நிரூபிக்கப்பட்டது.

-1 < cos x   < 1 என நமக்குத் தெரியும்.
⇒ -3 < -3cos x < 3
⇒ 1-3 < 1-3cos x < 1 + 3
⇒ -2 < 1-3 cos x < 4
\(⇒\ {1\over 1-3 \cos\ x}\le -{1\over 2}\) மற்றும் \({1\over 1-3 \cos\ x}\ge {1\over4}\)
அதாவது f -ன் வீச்சகம் \(\left(-\infty-{1\over 2}]U[{1\over 4},\infty\right)\)ஆகும்

படி  1
y = x²யின் வரைபடம் வரைக.

படி  2: y =(x-1)² ஓரலகு வலது புறத்தில் நகர்த்தப்பட்டு வரையப்படுகிறது.
படி  3:y = 3(x-1)²-ன் வரைபடம் y-அச்சை நோக்கி அழுத்தப்பட்டு அதாவது x அச்சிலிருந்து விலகுவதால் வரையப்படுகிறது. ஏனென்றால் (x-1)²ஆனது 3ஆல் பெருக்கப்பட்டு பெறப்படுகிறது.3>1
படி  4:y = 3(x-1)²+5-ன் வரைபடம் 5அலகுகள் மேல்நோக்கி நகர்வதால் பெறப்படுகிறது.

P(n)=1+3+5+...+(2n-1) என்க.
எனவே, P(1)=1=1² என்பது உண்மை.
n = k-க்கு இந்த கூற்றை உண்மை எனக் கொள்வோம்.
எனவே,
P(k)=1+3+5+...+(2k-1)
அதாவது P(k)=k²
இப்பொழுது P(k+1)=(k+1)² என நிறுவவேண்டும்.
P(k+1)=1+3+5+...+(2(k+1)-1)
=\(\underbrace { 1+3+5+7+...+(2k-1) } +2k+1\)
=P(k)+2k+1
=k²+2k+1=(k+1)²
எனவே, P(k+1) என்பது உண்மை.
P(k) உண்மை எனக் கொண்டு P(k+1) உண்மை என நிறுவியுள்ளோம்.
எனவே, கணிதத் தொகுத்தறிதல் மூலம், எல்லா முழு எண்கள் n≥1-க்கும்,முதல் n ஒற்றை மிகை எண்களின் கூடுதல் n² என நிறுவப்பட்டது.

இங்கு, a = 1 , d = 3 மற்றும் r=\(\frac{1}{5}\)
\({ S }_{ \infty }=\frac { a }{ 1-r } +\frac { dr }{ { (1-r) }^{ 2 } } \)
\(=\frac { 1 }{ 1-\frac { 1 }{ 5 } } +\frac { 3\times \frac { 1 }{ 5 } }{ { (1-\frac { 1 }{ 5 } ) }^{ 2 } } \)
\(=\frac { 5 }{ 4 } +\left( \frac { 3 }{ 5 } \right) \left( \frac { 25 }{ 16 } \right) \)
\(=\frac { 35 }{ 26 } \)

\(\frac { 1 }{ { 2 }^{ 1000 } } \) கொடுக்கப்பட்ட எண்.
1000 < 1001
\(\Rightarrow { 2 }^{ 1000 }<{ 2 }^{ 1001 }\)
\(\Rightarrow \frac { 1 }{ { 2 }^{ 1000 } } <\frac { 1 }{ { 2 }^{ 1001 } } \)
\(\therefore \frac { 1 }{ { 2 }^{ 1000 } } \) ஐ விட சிறிய மிகை எண் \(\frac { 1 }{ { 2 }^{ 1001 } } \)

A என்பது X என்பவர் உண்மை பேசும் நிகழ்ச்சி என்க.B என்பது Y என்பவர் உண்மை பேசும் நிகழ்ச்சி என்க.C என்பது ஒருவருக்கொருவர் முரண்பட்ட கருத்தினைக் கூறும் நிகழ்ச்சி என்க.
\(\overline{A}\) என்பது X என்பவர் உண்மை பேசாமல் இருக்கும் நிகழ்ச்சி என்க. \(\overline{B}\)என்பது Y என்பவர் உண்மை பேசாமலிருக்கும் நிகழ்ச்சி என்க.
C =(A உண்மை பேசுவது மற்றும் B உண்மை பேசாதிருப்பது அல்லது B உண்மை பேசுவது மற்றும் A உண்மை பேசாதிருப்பது என்க.)
கொடுக்கப்பட்டவற்றிலிருந்து,

P(A)=0.70 \(\Rightarrow\) P(\(\overline{A}\))=1-P(A)=0.30
P(B)=0.90 \(\Rightarrow\) P(\(\overline{B}\))=1-P(B)=0.10
C=[\((A \cap \overline{B})\cup (\overline{A}\cap B)\)](படத்தைக் காண்க)
\((A \cap \overline{B})\) மற்றும் \( (\overline{A}\cap B)\) ஒன்றையொன்று விலக்கும் நிகழ்ச்சி,
P(C) =\((A \cap \overline{B})\)+\( (\overline{A}\cap B)\)
= P (A)P(\(\overline{B}\))+P(\(\overline{A}\)) P(B)
(A, B சார்பிலா நிகழ்ச்சிகள்,மேலும் A,\(\overline{B}\)-ம் சார்பில்லா நிகழ்ச்சிகள்)
=(0.70)(0.10)+(0.30)(0.90)
=0.070+0.270=0.34
P(C)=0.34.

\(\int{\frac{x+3}{(x+2)^{2}(x+1)}}dx = \int{\frac{-2}{x+2}}dx-\int{\frac{1}{(x+2)^{2}}}dx+\int{\frac{2}{x+1}}dx\) (பகுதி பின்னங்களாக பிரிக்க)
=\(-2\int{\frac{1}{x+2}}dx-\int{\frac{1}{(x+2)^{2}}}dx+2\int{\frac{1}{x+1}}dx\)
=\(-2\log|x+2|-\int{(x+2)^{-2}dx+2\log|x+1|+c}\)
=\(-2\log|x+2|+\frac{1}{x+2}+2\log|x+1|+c\).

மோட்டார் சைக்கிளின் திசைவேகம் v எனவும் மற்றும் முடுக்கம் a எனவும் எடுத்து கொள்வோம், s என்பது  தூரத்தைக் குறிக்கிறது.நுண்கணிதத்தில் v-ஐ \(v=\frac{ds}{dt}\)எனவும் a-ஐ \(a=\frac{d}{d}\) எனவும் குறிப்போம்.மோட்டார் சைக்கிளின் வேகத்தைக் குறைக்கும் போது அதன் முடுக்கம் மோட்டார் சைக்கிளின் இயக்கத்தின் எதிர் திசையில் செயல்படுகிறது.ஆகையால் முடுக்கத்தைக் குறைக் குறியீடுடன் எழுதுவோம்.
மோட்டார் சைக்கிளின் எதிர்முடுக்கம் 8 மீ/வினாடி² எனத் தரப்பட்டுள்ளது.
எனவே, \(a=\frac{dv}{dt}=\) -8 மீ/வினாடி²
\(v=\int{a \ dt}=\int{-8dt}=-8t+c_{1}\)
பிரேக்கைப் பயன்படுத்தும்போது 
t=0, மற்றும் v=24 மீ/வி.
24=-8(0)+c₁⇒ c₁=24    
எனவே, v=-8t+24.
அதாவது,  \(\frac{ds}{dt}= -8t+24\).
தூரம் கேட்கப்பட்டுள்ளதால் அதனைக் காண்பதற்காக மேலும் ஒருமுறை தொகையீடு காண வேண்டியது அவசியமாகிறது.
\(s=\int{v\ dt}=\int{(-8t+24)}dt\)
\(s=-4t^{2}+24t+c_{2}\)
c₂-ஐ தீர்மானிக்க, பிரேக்கை எங்கே உபயோக்கின்றோமோ,அங்கிருந்து நிறுத்தும் தூரம் s அளவிடப்படுகிறது.அதாவது t=0,s=0 எனில் 
\(s=-4t^{2}+24t+c_{2} \Rightarrow 0=-4(0)^{2}+24(0)+c_{2} \Rightarrow c_{2}=0\)
\(s=-4t^{2}+24t\)
பிரேக்கைப் பயன்படுத்திய பின்பு மோட்டார் சைக்கிள் நிற்பதற்கான நேரம் அறிந்திருந்தால்,நிறுத்துதல் தூரத்தை மதிப்பிடலாம்.திசைவேகச் சமன்பாட்டிலிருந்து நேரம் தீர்மானிக்கப்படுகிறது.
வாகனம் நிறுத்தப்படும்போது,v=0 ஆகும்.
\(\Rightarrow v=-8t+24 \Rightarrow 0=-8t+24 \Rightarrow t=3\).
t=3, எனில்,
\(s=-4t^{2}+24t \Rightarrow s=-4(3)^{2}+24(3)\)
s=36மீட்டர் <40மீட்டர் 
எனவே வாகனம் தடுப்பிற்கு 4 மீட்டர் முன்பே நிற்கும்.                

\(x=a(\theta +\sin { \theta )}\)
\(\Rightarrow \frac { dx }{ d\theta } =a(1+cos\theta )\)
\(\Rightarrow \frac { dx }{ d\theta } =a(2+cos^{ 2 }\frac { \theta }{ 2 } )\quad [\because y=e^{ tan^{ 1 } }x]\)
\(y=a(1-cos\theta )\)
\(\Rightarrow \frac { dy }{ d\theta } =a(\sin\theta )=2a\sin\frac { \theta }{ 2 } \cos\frac { \theta }{ 2 } \)
\(\therefore y'=\frac { dy }{ dx } =\frac { \frac { dy }{ d\theta } }{ \frac { dx }{ d\theta } } =\frac { 2asin\frac { \theta }{ 2 } cos\frac { \theta }{ 2 } }{ 2a+cos^{ 2 }\frac { \theta }{ 2 } } \)
\(=\tan\frac { \theta }{ 2 } \)
'x'-ஐப் பொறுத்து மீண்டும் வகைப்படுத்த,
\(y''=sec^{ 2 }\frac { \theta }{ 2 } .\frac { 1 }{ 2 } .\frac { d\theta }{ dx } \)
\(=sec^{ 2 }\frac { \theta }{ 2 } .(\frac { 1 }{ 2 } )\left( \frac { 1 }{ 2acos^{ 2 }\frac { \theta }{ 2 } } \right) \)
\(=\frac { 1 }{ 4a } =\sec^{ 2 }\frac { \theta }{ 2 } \)
\(\therefore \theta =\frac { \pi }{ 2 } \) -ல் 
\(y''=\frac { 1 }{ 4a } .\left[ sec\left( \frac { \pi }{ 4 } \right) \right] ^{ 4 }=\frac { 1 }{ 4a } .(\sqrt { 2 } )^{ 4 }\)
\(=\frac { 1 }{ 4a } =\frac { 1 }{ a } \)
எனவே நிருபிக்கப்பட்டது.

\(\vec { a } =\hat { i } -2\hat { j } +3\hat { k } \)
\(\vec { b } =-2\hat { i } +3\hat { j } -4\hat { k } \)
\(\vec { c } =-\hat { j } +2\hat { k } \)
\(\vec { a } =\vec { b } +t\vec { c } \) என எழுதலாம்.
⇒ \(\hat { i } -2\hat { j } +3\hat { k } =s(-2\hat { i } +3\hat { j } -4\hat { k } )+t(0\hat { i } -\hat { j } +2\hat { k } )\)
கூறுகளை சமப்படுத்த
1=-2s  ⇒ -2s=1    ...(1)
-2=3s-t ⇒  3s-t=-2  ....(2)
3=-4s+2t  ⇒ -4s+2t=3   ....(3)
(i) லிருந்து, s =-\(\frac{1}{2}\),
(2) லிருந்து 3 x -\(\frac{1}{2}\) -t =-2
-t=\(-2+\frac { 3 }{ 2 } =\frac { -4+3 }{ 2 } =\frac { -1 }{ 2 } \)
t=\(\frac{1}{2}\)
s=-\(\frac{1}{2}\), t=\(\frac{1}{2}\) என (3)-ல் பிரதியிட,
\(-4\left( \frac { -1 }{ 2 } \right) +2\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) \)=2+1=3=RHS
∴ ஒரு வெக்டரை மற்ற இரு வெக்டர்களின் ஒருபடிச் சேர்க்கையாக எழுதலாம். எனவே கொடுக்கப்பட்ட வெக்டர்கள் ஒரு தளத்தில் அமையும் வெக்டர்களாகும்.

\(f(x).f\left( y \right) =\left[ \begin{matrix} \cos { x } & -\sin { x } & 0 \\ \sin { x } & \cos { x } & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} \cos { y } & -\sin { y } & 0 \\ \sin { y } & \cos { y } & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \)
= \(\left[ \begin{matrix} \left( cosxcosy-sinxsiny+0 \right) & \left( -cosxsiny-sinxcosy+0 \right) & \left( 0+0+0 \right) \\ \left( sinxcosy+cosxsiny+0 \right) & \left( -sinxsiny+cosxcosy+0 \right) & \left( 0+0+0 \right) \\ \left( 0+0+0 \right) & \left( 0+0+0 \right) & \left( 0+0+1 \right) \end{matrix} \right] \)
= \(\left[ \begin{matrix} cos\left( x+y \right) & -sin\left( x+y \right) & 0 \\ sin\left( x+y \right) & cos\left( x+y \right) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \)
= f (x + y)
எனவே  f(x) f (y) = f (x + y) என நிருபிக்கப்பட்டது.     

\(5\hat { i } +6\hat { j } +7\hat { k } =s(7\hat { i } -8\hat { j } +9\hat { k } )+t(3\hat { i } +20\hat { j } +5\hat { k } )\) என்க.
கூறுகளைச் சமப்படுத்த,
7s+3t=5
-8s+20t=6
9s+5t=7
முதல் இரு சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க, \(s=t=\frac { 1 }{ 2 } \) எனப் பெறலாம்.இவை மூன்றாவது சன்பாட்டை நிறைவு செய்கிறது . 
ஆகவே, ஒரு வெக்டரை மற்ற இரு வெக்டர்களின் ஒருபடிச் சேர்க்கையாக எழுதலாம். எனவே, கொடுக்கப்பட்ட வெக்டர்கள் ஒரு தளஅமை வெக்டர்களாகும்.

\(\tan { \theta } +\tan { \left( \theta +\frac { \pi }{ 3 } \right) + } \tan { \left( \theta +\frac { 2\pi }{ 3 } \right) } =\sqrt { 3 } \)
\(\Rightarrow tan\theta +\cfrac { tan\theta +tan\cfrac { \pi }{ 3 } }{ 1-tan\theta .tan\cfrac { \pi }{ 3 } } +\cfrac { tan\theta +tan\cfrac { 2\pi }{ 3 } }{ 1-tan\theta .tan\cfrac { 2\pi }{ 3 } } =\sqrt { 3 } \)
\(\Rightarrow tan\theta +\cfrac { tan\theta +\sqrt { 3 } }{ 1-\sqrt { 3 } tan\theta } +\cfrac { tan\theta -\sqrt { 3 } }{ 1+\sqrt { 3 } tan\theta } =\sqrt { 3 } \left[ \because \quad tan\cfrac { 2\pi }{ 3 } =-\sqrt { 3 } \right] \)
\(\Rightarrow tan\theta +\cfrac { \left( 1+\sqrt { 3 } tan\theta \right) \left( tan\theta +\sqrt { 3 } \right) +\left( 1-\sqrt { 3 } tan\theta \right) \left( tan\theta \right) }{ 1-3tan^{ 2 }\theta } =\sqrt { 3 } \)

\(\Rightarrow tan\theta +\cfrac { 8tan\theta }{ 1-3{ tan }^{ 2 }\theta } =\sqrt { 3 } \)
\(\Rightarrow tan\theta +\cfrac { 8tan\theta }{ 1-3tan^{ 2 }\theta } =\sqrt { 3 } \)
\(\Rightarrow \cfrac { tan\theta -3tan^{ 3 }\theta +8tan\theta }{ 1-3tan^{ 2 }\theta } =\sqrt { 3 } \)
\(\Rightarrow \cfrac { 3\left( tan\theta -{ tan }^{ 3 }\theta \right) }{ 1-3tan^{ 2 }\theta } =\sqrt { 3 } \)
\(\Rightarrow 3(tan3\theta )=\sqrt { 3 } \)
\(\Rightarrow \quad tan3\theta =\cfrac { \sqrt { 3 } }{ 3 } =\cfrac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \)
\(\Rightarrow tan3\theta =tan\cfrac { \pi }{ 6 } \)
\(\Rightarrow 3\theta =+\cfrac { \pi }{ 6 } ,n\varepsilon z\)
\(\left( \therefore \quad tan\theta =tan\alpha \Rightarrow \theta =n\pi +\alpha \right) \)
\(\Rightarrow \theta =\cfrac { n\pi }{ 3 } +\cfrac { \pi }{ 18 } ,n\varepsilon z\)
\(\theta \) ன் தீர்வு =\(\cfrac { n\pi }{ 3 } +\cfrac { \pi }{ 18 } ,n\varepsilon z\)

x -அச்சானது நேரத்தை மணியிலும், y -அச்சானது தூரத்தை கிலோமீட்டரிலும் குறிப்பிடுகிறது என்க.கொடுக்கப்பட்ட தகவலின்படி,
   \(y=6(x-\frac { 10 }{ 60 } )\Rightarrow y=6x-1\)              (6.43)
   \(y=4(x-\frac { 5 }{ 60 } )\Rightarrow y=4x+\frac { 1 }{ 3 } \)            (6.44)
மேற்கண்ட சமன்பாடுகள் (6.43) மற்றும் (6.44) தீர்க்க (x,y) = \(\left( \frac { 2 }{ 3 } ,3 \right) \)
 x =\(\frac { 2 }{ 3 } \)  மணிகள் = 40 நிமிடங்கள், y = 3 கிமீ
(i) அவனது பள்ளிக்கும் வீட்டிற்கும் உள்ள தொலைவு 3 கிமீ
(ii) பள்ளிக்கு நேரத்திற்குச் செல்ல எடுத்துக் கொள்ளும் குறைந்தபட்ச சராசரி
வேகம்  = \(\frac { 60 }{ 40 } \times 3\)=4.5கிமீ / மணி மற்றும் பள்ளியை அடைய ஆகும் நேரம்  =\(\frac { 2 }{ 3 } \) மணி அல்லது 40 நிமிடம்
(iii) பள்ளி தொடங்கும் நேரம் காலை 8.40 ஆகும்
(iv) நடைபாதையின் இரட்டை நேர்கோடுகளின் சமன்பாடு
(6x-y-1) (4x-y+\(\frac { 1 }{ 3 } \)) =0
72x²-30xy+3y²-6x+2y-1  = 0

\(\sin { 9\theta } =\sin { \theta } \quad \Rightarrow \sin { 9\theta } -\sin { \theta } =0\)
\(2\cos { 5\theta } \sin { 4\theta } =0\quad \Rightarrow \cos { 5\theta } =0\) அல்லது \(\sin { 4\theta } =0\)
\(\cos { 5\theta } =0\) எனும்போது \(5\theta =\left( 2n+1 \right) \frac { \pi }{ 2 } \)
\(\theta =\left( 2n+1 \right) \frac { \pi }{ 10 } n\in Z\)
\(\sin { 4\theta } =0\)  எனும்போது
\(\sin { 4\theta } =0\Rightarrow 4\theta =n\pi \)
\(\Rightarrow \theta =\frac { n\pi }{ 4 } ,n\in Z\)
எனவே, கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டின் பொது தீர்வு \(\theta =\left( 2n+1 \right) \frac { \pi }{ 10 } ,\theta =\frac { n\pi }{ 4 } , n\in Z\) ஆகும்.

(i) இலக்கங்கள் திரும்ப வரும் நிலையில்

0,1,2,3,4,5 என்ற இலக்கங்களில் 
1-ம் இடத்தில்  = 6 வழிகளில்  (6 இலக்கங்களைக் கொண்டு )
10-ம் இடத்தில்  = 6 வழிகளில்  (6 இலக்கங்களைக் கொண்டு)
100-ம் இடத்தில் = 4 வழிகளில் (1,2,3,4) ஐப் பயன்படுத்தி 
\(\therefore \) பெருக்கலின் அடிப்படைக்கொள்கையைப் பயன்படுத்தி கிடைக்கும் 3 இலக்க எண்களின் எண்ணிக்கை 
= 4 x 6 x  6 = 144            
(ii)  இலக்கங்கள் திரும்ப வராமல்

100 ம் இடம்  = 4 வழிகளில் 
10ம் இடம்  = 5 வழிகளில் 
1ம் இடம்  = 4 வழிகளில் 
 \(\therefore \) பெருக்கலின் அடிப்படைக்கொள்கையைப் பயன்படுத்தி
= 4 x  5 x  4 = 80 வழிகளில் பெறலாம். 

இரட்டைக் கோடுகளின் சமன்பாடு 
6x² + 5xy - py² + 7x + q - 5 = 0
இங்கு a = 6, b = -p, 2h = 5, 2g = 7, 2f = q
⇒ h = \(\frac { 5 }{ 2 } \), g = \(\frac { 7 }{ 2 } \), f = \(\frac { q }{ 2 } \), c = -5
இரட்டை கோடுகள் செங்குத்துக்கோடுகளாக இருக்கக் கட்டுப்பாடு
a + b = 0 ⇒ 6 - p = 0 ⇒ p = 6
இரட்டை கோடுகளுக்கான கட்டுப்பாடு
abc + 2fgh - af² - bg² - ch² = 0
6(-6) (-5) + \(\left( \frac { 7 }{ 5 } \right) \left( \frac { 5 }{ 2 } \right) -6\left( \frac { { q }^{ 2 } }{ 4 } \right) +6\left( \frac { 4q }{ 4 } \right) +5\left( \frac { 25 }{ 4 } \right) \) = 0
முழுவதையும் 4 ஆல் பெருக்க,
720 + 35q -6q² + 294 + 125 = 0
⇒ 35q - 6q² + 1139 = 0
⇒ q = \(\frac { 35\pm \sqrt { \left( { -35 }^{ 2 } \right) -4\left( 6 \right) \left( 1139 \right) } }{ 2\times 6 } \)
= \(\frac { 35\pm \sqrt { 1225+27336 } }{ 12 } =\frac { 35\pm \sqrt { 28561 } }{ 12 } \)
= \(\frac { 35\pm 169 }{ 12 } \)
⇒ q = \(\frac { 35+169 }{ 12 } \)  (அ) q =\(\frac { 35-169 }{ 12 } \)
⇒ q = \(\frac { 204 }{ 12 } \) = 17  (அ) q = \(-\frac { 134 }{ 12 } \) = \(-\frac { 67 }{ 6 } \)
p = 6, q = 17 (அல்லது) \(-\frac { 67 }{ 6 } \)

a, b இரு எண்கள் என்க.
∴ A=\(\frac { a+b }{ 2 } ,G=\sqrt { ab } ,H=\frac { 2ab }{ a+b } \)
கொடுக்கப்பட்டுள்ளது =A-G=10 & A-H=16
⇒ G=A-10 & =A-16
G²=AH
⇒ (A-10)²=A(A-16)
⇒ A²+100-20A=A²-16A
⇒ 4A=100 ⇒ A=25
∴ \(\frac { a+b }{ 2 } \quad \)=A=25 ⇒ a+b=50    .....(1)
∴ G=A-10=15 ⇒ \(\sqrt { ab } \)=15
⇒ ab=225 ⇒ b=\(\frac { 225 }{ a } \)    ....(2)
(2)-ஐ (1)-ல் பிரதியிட
a+\(\frac { 225 }{ a } \)=50 ⇒ a²+225=50a
⇒ a²-50a+225=0 ⇒ (a-45)(a-5)=0
⇒ a=5, 45
a=5, b=\(\frac { 225 }{ 5 } \) ⇒ b=45
a=45, b=\(\frac { 225 }{ 45 } \) ⇒ b=5
∴ அந்த எண்கள் 5,45.

x என்பது வருடங்களின் எண்ணிக்கையையும், y என்பது மக்கள் தொகையையும் குறிக்கிறது எனக் கொள்வோம்.
x₁(2005)  y₁(1,35,000)
x₂(2010)  y₂(1,45,000)
இரு புள்ளி வடிவம், x, y ற்கு இடைப்பட்ட தொடர்பு
\(\frac { x-{ x }_{ 1 } }{ { x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 } } =\frac { y-{ y }_{ 1 } }{ { y }_{ 2 }-{ y }_{ 1 } } \)
\(\Rightarrow \frac { x-2005 }{ 2010-2005 } =\frac { y-1,35,000 }{ 1,45,000-1,35,000 } \)
\(\Rightarrow \frac { x-2005 }{ 5 } =\frac { y-1,35,000 }{ 10,000 } \)
\(\Rightarrow x-2005=\frac { y-1,35,000 }{ 2000 } \)
= 2000(x-2005)+1,35,000 ....(1)
2015-ம் ஆண்டு மக்கள் தொகையைக் காண்க.
x = 2015(1) பிரதியிட
y = 2000(2015-2005)+1,35,000
= 2000(10) + 1,35,000
= 20000+1,35,000
= 1,55,000
2015-ம் ஆண்டு மக்கள் தொகை = 1,55,000 

L என்ற நேர்க்கோட்டின் சாய்வு m என்க. மேலும் இக்கோடானது (9, 4) என்ற புள்ளி வழியே செல்கிறது எனில் L -ன் சமன்பாடு
y-4 = m(x-9).  (m<0)
P மற்றும் Q என்ற புள்ளிகள் முறையே \(\left( 9-\frac { 4 }{ m } ,0 \right) \) மற்றும் (0, 4 - 9m) ஆகும்.
|OP|+|OQ|=\(\left| 9-\frac { 4 }{ m } \right| \)+|4-9m|
=\(\left| 9+\frac { 4 }{ k } \right| \)+|4+9k|   (∵ m<0 எனில் m=-k,k>0 என்க)
=\(\left( \frac { 4 }{ k } +9k \right) \)+(4+9k) (∵ எல்லா உறுப்புகளும் மிகை ஆகும்.)
=(4+9)+\(\left( \frac { 4 }{ k } +9k \right) \)
≥13+2\(\sqrt { \frac { 4 }{ k } \times 9k } \)    (A.M. ≥ G.M.)
|OP|+|OQ|>25
எனவே, |OP|+|OQ| -ன் மீச்சிறு மதிப்பு 25 ஆகும்.

2x²-(a+1)x+a-1 = 0
\(\alpha ,\beta \) என்பன மூலங்கள் என்க.
\(\alpha -\beta =\alpha \beta \)
\(\alpha -\beta =\frac { a-1 }{ 2 } ......(1)\)
\(\alpha +\beta =\frac { a+1 }{ 2 } ....(2)\)
\((1)+(2)\Rightarrow 2\alpha =\frac { a-1 }{ 2 } +\frac { a+1 }{ 2 } \quad \)
\(2\alpha =\frac { 2a }{ 2 } =a\)
\(\boxed { \alpha =\frac { a }{ 2 } } \)
\(\alpha =\frac { a }{ 2 } \) ஐ (2)- பிரதியிட
\(\frac { \alpha }{ 2 } +\beta =\frac { a+1 }{ 2 } \)
\(\beta =\frac { a+1 }{ 2 } -\frac { \alpha }{ 2 } =\frac { 1 }{ 2 } \)
\(\alpha =\frac { \alpha }{ 2 } ,\beta =\frac { 1 }{ 2 } \) இவற்றை \(\alpha -\beta =\alpha \beta \) ல் பிரதியிட
\(\Rightarrow \frac { a }{ 2 } -\frac { 1 }{ 2 } =\frac { a }{ 2 } \times \frac { 1 }{ 2 } \Rightarrow \frac { a-1 }{ 2 } =\frac { a }{ 4 } \)
\(\Rightarrow a-1=\frac { a }{ 2 } \Rightarrow 2a-2=a\Rightarrow a-2=0\Rightarrow a=2\)
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது. 

நிலை (1)
x \(\ge \)1 எனில், |x-1| = x-1.
எனவே, கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு x²+x-2 = 0.
காரணிப்படுத்த கிடைப்பது (x+2)(x-1) = 0 \(\Rightarrow\) x = -2 அல்லது 1.
ஆனால், x \(\ge \) 1 எனவே, x = 1
நிலை (2)
x < 1 எனில், |x-1| = 1-x.
​​​​​​எனவே, கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு x² + 1 - x = 1.
எனவே, x(x-1) = 0 \(\Rightarrow\) x = 0 அல்லது x = 1.
ஆனால் x < 1,  எனவே, x = 0.
எனவே, தீர்வுக் கணம் {0, 1} ஆகும். எனவே, இச்சமன்பாட்டிற்கு இரண்டு தீர்வுகள் உண்டு.

A, B சார்பிலா நிகழ்ச்சிகள் 
⇒ P(A ⋂ B) = P(A). P(B)    ........(1)
மேலும் P(A U B) = 0.6, P(A) = 0.2
இங்கு P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
⇒ 0.6 = 0.2 + P(B) - P(A) P(B)
⇒ 0.6 - 0.2 = P(B) - 0.2 P(B)
⇒ 0.4 = P(B) [1 - 0.2]
⇒ 0.4 = P(B) [0.8]
⇒ P(B) = \(\frac { 0.4 }{ 0.8 } =\frac { 4 }{ 8 } =\frac { 1 }{ 2 } \) = 0.5
ஆகையால் P(B) = 0.5

மீப்பெரு முழு எண் சார்பான \(f(x)=\left\lfloor x \right\rfloor \)ஆனது  ஒவ்வொரு  முழு எண் n-க்கும் தொடர்ச்சியற்றது. ஏனெனில் \(\lim _{ x\rightarrow { n }^{ - } }{ \left\lfloor x \right\rfloor } =n-1\) மற்றும் \(\lim _{ x\rightarrow { n }^{+ } }{ \left\lfloor x \right\rfloor } =n\) . எனவே  \({ f }^{ ' }(n)\) கிடைக்கப்பெறாது.   

x=-2-ல் \(f(x)=\frac { { x }^{ 2 }-4 }{ ({ x }^{ 2 }+4x+4)(x+3) } \)
\(f(x)=\frac { { x }^{ 2 }-4 }{ ({ x }^{ 2 }+4x+4)(x+3) } \)

\(=\lim _{ x\rightarrow -{ 2 }^{ - } }{ \frac { x-2 }{ (x+2)(x+3) } } \)
\(=\frac { -Ve }{ 0(-Ve) } =\infty \)
\(\therefore\)  f(-2^-) \(\rightarrow\) \(\infty\) (x\(\rightarrow\)-2^- எனும் பொழுது)

\(f(-{ 2 }^{ + })=\lim _{ x\rightarrow { -2 }^{ + } }{ \frac { x-2 }{ (x+2)(x+3) } } \)

\(\therefore\) f(-2⁺) \(\rightarrow\) -\(\infty \)(x\(\rightarrow\) 2⁺ எனும் பொழுது)

A = \(\left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix} \right] \) என்க 
|A| = \(\left| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix} \right| \)
= 1 (45- 48) - 2 (36- 42) + 3 (32 - 35)
= 3 -2 (-6) + 3 (-3)
= -3 + 12 - 9 = -12 + 12 = 0
\(\therefore \) A ஒரு பூஜ்ஜியக் கோவை அணியாகும்.

n = 6 , r = 2 என கொடுக்கப்பட்டுள்ளது
\(\therefore \) \(\frac { n! }{ r!\left( n-r \right) ! } =\frac { 6! }{ 2!(6-2)! } =\frac { 6! }{ 2!4! } \)
= \(\frac { 6\times 5\times 4! }{ 2!4! } =\frac { 6\times 5 }{ 2 } \)
= 15 

L.H.S =\(\sin ^{ 2 }{ B } +\sin ^{ 2 }{ C }\)
= \({ sin }^{ 2 }B+\left[ sin\left( \cfrac { \pi }{ 2 } -B \right) \right] ^{ 2 }{ sin }^{ 2 }B+{ cos }^{ 2 }B=1=RHS\)
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.