ஒட்டுறவுக் கெழு r =\(\frac { N\Sigma XY-(\Sigma X)(\Sigma Y) }{ \sqrt { N\Sigma { X }^{ 2 }-(\Sigma X)^{ 2 } } \sqrt { N\Sigma { Y }^{ 2 }-(\Sigma Y)^{ 2 } } } \)
=\(\frac { 9(597)-(45\times 108) }{ \sqrt { 9(285)-(45)^{ 2 }\times \sqrt { 9(1356)-(108^{ 2 }) } } } \)
r =+0.95

ரூ 12500

y = x² sin x என்ற சார்பை x ஐ பொறுத்து வகையிட, நாம் பெறுவது
\(\frac { dy }{ dx } ={ x }^{ 2 }\frac { d }{ dx } \left( sinx \right) +sinx\frac { d }{ dx } \left( { x }^{ 2 } \right) \)
=x²cosx+2xsinx
=x(xcosx+2sinx)

வினாத்தாளில் பகுதி (அ) –விலிருந்து 8 வினாக்களை  10C₈ வழிகளிலும். பகுதி (ஆ)-வில் உள்ள 10 வினாக்களிலிருந்து 5 வினாக்களை  10C₅ வழிகளிலும் தேர்ந்தெடுக்கலாம். எனவே பெருக்கல்  கொள்கை விதிப்படி மொத்த  தேர்வுகளின் எண்ணிக்கை
10C₈ × 10C₅ = 10C₂ × 10C₅ 
\(=\frac{10\times9}{2\times1}\times\frac{10\times9\times8\times7\times6}{5\times4\times3\times2\times1}=11340\)வழிகள்.

\(\frac { -1 }{ 2 } \)

இங்கு a= 2 , b= 2,h =\(\frac { 5 }{ 2 } \) ,g =\(\frac { 15 }{ 2 } \) ,f =9, c = k
கொடுக்கப்பட்ட கோடு இரட்டை நேர்க்கோடுகளை குறிப்பதால்
 abc+2fg-af²-bg²-ch²  =0
i.e 4k+\(\frac { 675 }{ 2 } -162-\frac { 225 }{ 2 } -\frac { 25 }{ 4 } k\)   =0
⇒ 16k+1350-648-450-25k =0
⇒ 9k = 252 ∴ k = 28

கொடுக்கப்பட்டுள்ள புள்ளிகளை A(2, –3) மற்றும் B(3, –4) என எடுத்துக் கொள்வோம்
P(x₁,y₁) என்பது இயங்குவரையின் மீதுள்ள ஏதேனும் ஒரு புள்ளி என்க.
 PA = PB கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
 PA²= PB²
(x₁-2)²+(y₁+3)² = (x₁-3)²+(y₁+4)²
x₁²-4x₁+4+y₁²+6y₁+9 = x₁²-6x₁+9+y₁²+8y₁+16
2x₁-2y₁-12 = 0
x₁-y₁-6 = 0
P(x₁,y₁) ன் இயங்குவரை x-y-6 = 0

x₁ = 4; x₂ = 3 மற்றும் Z_min = 2300

X	Y	dx=(X-48)	dx2	dy=(Y-50)	dy2	dxdy
40	38	-8	64	-12	144	96
50	60	2	4	10	100	20
38	55	-10	100	5	25	-50
60	70	12	144	20	400	240
65	60	17	289	10	100	170
50	48	2	4	-2	4	-4
35	30	-13	169	-20	400	260
ΣX=338	ΣY=361	Σdx=2	Σdx2=774	Σdy=11	Σdy2=1173	Σdxdy=732

\(\bar { X } =\frac { \Sigma X }{ N } =\frac { 338 }{ 7 } \)=48.29
\(\bar { Y } =\frac { \Sigma Y }{ N } =\frac { 361 }{ 7 } \)=5157
(i) X ன் மீது Y-ன் தொடர்புப் போக்குக் கெழு
b_yx =\(\frac { N\Sigma dxdy-(\Sigma dx)(\Sigma dy) }{ N\Sigma dx^{ 2 }-(\Sigma dx)^{ 2 } } \)
=\(\frac { 7(732)-(2)(11) }{ 7(774)-(2)^{ 2 } } \)
=\(\frac { 5124-22 }{ 5418-4 } \)
=\(\frac { 5102 }{ 5414 } \)
=0.942
b_yx =0.942
(ii) X ன் மீது Y-ன் தொடர்புப் போக்குக் சமன்பாடு
\(Y-\bar { Y } ={ b }_{ yx }(X-\bar { X } )\)
Y–51.57 = 0.942(X–48.29 )
Y = 0.942X – 45.49+51.57=0.942 x -45.49+51.57
Y = 0.942X + 6.08
∴ X -ன் மீது Y-ன் தொடர்புப் போக்குக் சமன்பாடு Y=0.942X +6.08
எனும்பொழுது Y ன் மதிப்பீடு X =55
Y= 0.942(55)+6.08=57.89

0.905

QD= 11.02 , QD -ன் கெழு= 0.3384

முகமதிப்பு  =ரூ.10000
வருமானம் = 
= ரூ.2,000     ...(1)
வகை (i)
முதலீடு =ரூ.10,000
முகமதிப்பு  =ரூ.100
சந்தை மதிப்பு = ரூ.(100+42-2)= ரூ.140
பங்குகளின் எண்ணிக்கை =
=  \(\frac { 10,000 }{ 100 } \)
= 100
விற்றுக் கிடைக்கும் தொகை = 100\(\times \)140 = ரூ.14,000
வகை (ii)
சந்தை மதிப்பு = ரூ.(100-11+2)​
= ரூ.80
​​​​​​பங்குகளின் எண்ணிக்கை =
 = \(\frac { 14000 }{ 80 } \)
= 175
வருமானம் = \(175\times \frac { 15 }{ 100 } \)
=ரூ.2625
வருமான மாற்றம் =ரூ.2625-ரூ,2000=ரூ.625

f(x) = 4x³-6x²–72x+30
f'(x) = 12x²-12x-72
= 12(x²–x–6)
= 12(x–3)(x+2)
f'(x) = 0 ⇒12(x–3)(x+2)=0
 x=3 (or) x=-2
x =3 மற்றும் x=-2 என்ற புள்ளிகளில் f(x) தேக்கநிலையை அடையும்

இந்த மெய்யெண் கோடு (∞,-2),(-2,3) மற்றும் (3,∞) என மூன்று பிரிவுகளாகப் பிரிக்கப்படுகிறது

இடைவெளிகள்	f'(x)-ன் குறியீடு	கூடும்/குறையும் இடைவெளி
(-∞,-2)	(-) (-) > 0	இடைவெளி (,-∞-2]-ல் கூடும் சார்பு
(-2,-3)	(-) (+) < 0	இடைவெளி [-2,3]-ல் குறையும் சார்பு
(3,∞)	(+) (+) > 0	இடைவெளி [3,∞]-ல் குறையும் சார்பு

(i) x= 1 ல் தொடர்ச்சியானது மற்றும் வகையிடத்தக்கது.
(ii) x = 2 ல் தொடர்ச்சியானது ஆனால் வகையிடத்தக்கதல்ல.

\(x={1\over2}\)

ஒரு கிலோ கோதுமை, சர்க்கரை,அரிசியின் மொத்த விலைகள் முறையே x ,y ,z என்க.
2x + y = 70
x + z = 70
3x + 2y + z = 17
\( \begin{bmatrix} 2&1&0\\1&0&1\\3&2&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\y\\z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 70\\70\\170 \end{bmatrix}\) 
\(A X=B \Rightarrow X=A^{-1} B\)
\(A=\begin{bmatrix} 2&1&0\\1&0&1\\3&2&1 \end{bmatrix},X=\begin{bmatrix} x\\y\\z \end{bmatrix}B=\begin{bmatrix} 70\\70\\170 \end{bmatrix}\)
\(|A|=\begin{vmatrix} 2&1&0\\1&0&1\\3&2&1 \end{vmatrix}=2\begin{vmatrix} 0&1\\2&1 \end{vmatrix}-1\begin{vmatrix} 1&1\\3&1 \end{vmatrix}+0\begin{vmatrix} 1&0\\3&2 \end{vmatrix} \)
\(=2(0-2)-1(1-3)+0=-4+2+0=-2\neq0\)
\(\therefore \) A^–1 யைக் காணஇயலும்.
\(=\left(\begin{array}{ccc} -2 & 2 & 2 \\ -1 & 2 & -1 \\ 1 & -2 & -1 \end{array}\right)\)
\(\operatorname{adj} A=\left(\begin{array}{ccc} -2 & -1 & 1 \\ 2 & 2 & -2 \\ 2 & -1 & -1 \end{array}\right)\)
\({A}^{-1}={{1}\over{|A|}}adj\ A={{-1}\over{2}}\begin{bmatrix} -2&-1&1\\2&2&-2\\2&-1&-1 \end{bmatrix}\)
\(X={A}^{-1}B={{-1}\over{2}}\begin{bmatrix} -2&-1&1\\2&2&-2\\2&-1&-1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 70\\70\\170 \end{bmatrix}={{-1}\over{}2}\begin{bmatrix} -40\\-60\\-100 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 20\\30\\50 \end{bmatrix}\)
x =20,y =30, z =50

A \(=\begin{bmatrix} 1&1&1\\3&4&7\\1&-1&1 \end{bmatrix}\)
\(=(4+7)-1(3-7)+1(-3-4)\)
\(=11+4-7=8\)
\(=\left(\begin{array}{ccc} 11 & 4 & -7 \\ -2 & 0 & +2 \\ 3 & -4 & 1 \end{array}\right)\)
\(\operatorname{adj} A=\left(\begin{array}{ccc} 11 & -2 & 3 \\ 4 & 0 & -4 \\ -7 & 2 & 1 \end{array}\right)\)
\(\mathrm{A}(\operatorname{adj} A)=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 3 & 4 & 7 \\ 1 & -1 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} 11 & -2 & 3 \\ 4 & 0 & -4 \\ -7 & 2 & 1 \end{array}\right)\)
\(=\left(\begin{array}{ccc} 11+4-7 & -2+0+2 & 3-4+1 \\ 33+16-49 & -6+0+14 & 9-16+7 \\ 11-4-7 & -2+0+2 & 3+4+1 \end{array}\right)\)
\(=\left(\begin{array}{lll} 8 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 8 \end{array}\right)=8\left(\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)=|A| I_3\)
\((adj\ A)\ A=\begin{bmatrix}11&-2&3\\4&0&-4\\-7&2&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1&1&1\\3&4&7\\1&-1&1 \end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix} 11-6+3&11-8-3&11-14+3\\4+0-4&4+0+4&4+0-4\\-7+6+1&-7+8-1&-7+14+1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 8&0&0\\0&8&0\\0&0&8 \end{bmatrix}\) ...(2)
\(|A|.{I}_{3}=8\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 8&0&0\\0&8&0\\0&0&8\end{bmatrix}\)  ...(3)
A (adj A) = (adj A) A = |A|I₃.

\(\frac { -7 }{ 2 } \)

\(\frac{x+2}{(x-1)(x+3)^2}=\frac{A}{(x-1)}+\frac{B}{(x+3)}+\frac{C}{(x+3)^2}\)
\(=\frac{A(x+3)^2+B(x-1)(x+3)+C(x-1)}{(x-1)(x+3)^2}\)
\(\Rightarrow\)  x + 2 = A ( x + 3 )² + B ( x - 1 ) ( x + 3 ) + C( x - 1 ) ....(1)
x = 1 என (1) –ல் பிரதியிட
\(3=A(4)^2 \Rightarrow A=\frac{3}{16}\)
x = -3 என (1) –ல் பிரதியிட
\(-1=C(-3-1)\)
\(C=\frac{1}{4}\)
x² இன் கெழுக்களை சமன்பாடு (1) இன் இருபுறமும் சமன்படுத்த
\(0 =A+B \Rightarrow B=-A=\frac{-3}{16} \)
\(\frac{x+2}{(x-1)(x+3)^2} =\frac{3}{16(x-1)}-\frac{3}{16(x+3)}+\frac{1}{4(x+3)^2}\)

0.94

GM= 26.2%

பெருக்கு சாரசரியின் கணக்கீடு

மதிப்பெண்கள்	m	f	log m	f log m
0.10	5	8	0.6990	5.5920
10-20	15	12	1.1761	14.1132
20-30	25	18	1.3979	25.1622
30-40	35	8	1.5441	12.3528
40-50	45	6	1.6532	9.9192
		N=52		Σf log m=67.1394

GM=Antilog\(\left( \frac { \Sigma flogX }{ N } \right) \)
=Antilog\(\left( \frac { 67.1394 }{ 52 } \right) \)
GM=Antilog 19.55

மதிப்பெண்கள் ஏறுவரிசையில் அமைக்கப்பட்டுள்ளன.
12 15 20 28 30 40 50
n =விவரங்களின் எண்ணிக்ககை=7
Q₁=\(\left( \frac { n+1 }{ 4 } \right) \) ஆவது உறுப்பின் மதிப்பு
=\(\left( \frac { 7+1 }{ 4 } \right) \) ஆவது உறுப்பின் மதிப்பு
=2 ஆவது உறுப்பின் மதிப்பு =15
Q₃=\(\left( \frac { 3(n+1) }{ 4 } \right) \) ஆவது உறுப்பின் மதிப்பு
=\(\left( \frac { 3\times 8 }{ 4 } \right) \) ஆவது உறுப்பின் மதிப்பு
=6 ஆவது உறுப்பின் மதிப்பு=40
D₆=\(\left( \frac { 6(n+1) }{ 10 } \right) \) ஆவது உறுப்பின் மதிப்பு
=\(\left( \frac { 6\times 8 }{ 10 } \right) \)
=4.8 ஆவது உறுப்பின் மதிப்பு
≈ 5 ஆவது உறுப்பின் மதிப்பு=30
P₅₀ =\(\left( \frac { 50(n+1) }{ 100 } \right) \) ஆவது உறுப்பின் மதிப்பு
=4 ஆவது உறுப்பின் மதிப்பு =28
எனவே Q₁=15, Q₃=40, D₆=30 மற்றும் P₅₀=28

இங்கு n=10, a = 12,000 மற்றும் i =0.15
\(P=\frac { a }{ i } \left[ 1-\frac { 1 }{ (1+i)^{ n } } \right] \)
= \(\frac { 12,000 }{ 0.15 } \left[ 1-\frac { 1 }{ (1+0.15)^{ 10 } } \right] \)
= \(\frac { 12,000 }{ 0.15 } \left[ 1-\frac { 1 }{ (1.15)^{ 10 } } \right] \)
= \(\frac { 12,00,000 }{ 0.15 } \left[ 1-\frac { 1 }{ 4.016 } \right] \)
= 80,000  \(\left[ \frac { 4.016-1 }{ 4.016 } \right] \)
= 80,000\(\left[ \frac { 3.016 }{ 4.016 } \right] \) =60,080
∴ P = ரூ.60,080

sin y = x sin (a+y)
\(x=\frac{siny}{sin(a+y)}\)
y ஐ  பொறுத்து வகையிட,
\(\frac{dx}{dy}=\frac{sin(a-y)cosy-siny.cos(a+y)}{sin^{2}(a+y)} \)
\(=\frac{sin(a+y-y)}{sin(a+y)} \)
\(=\frac{sina}{sin^{2}(a+y)} \)
\(\frac{dy}{dx}=\frac{sin^{2}(a+y)}{sin a} \)

\((x^2+\frac{1}{x^2})^4\)=(x²)³+4C₁(x²)³\(\frac{1}{x^2}\)+4C₂(x²)²\((\frac{1}{x^2})^2\)+4C₃(x²)\((\frac{1}{x^2})^3\)+4C₄\((\frac{1}{x^2})^4\)
=x⁸+4x⁴+6+\(\frac{4}{x^2}\)+\(\frac{4}{x^4}\)+\(\frac{1}{x^2}\)

9x²+16y²+24xy+34x+112y+121 = 0

\(\left|\begin{array}{ccc} x & 2 & -1 \\ 2 & 5 & x \\ -1 & 2 & x \end{array}\right|=0\)
x(5x - 2x)-2(2x + x)-1 (4 + 5) = 0
3x² - 6x - 9 = 0
x² - 2x - 3 = 0 (÷3)
(x - 3)(x + 1) = 0
\(x=+3,-1\)

\(B=\begin{bmatrix} 0.50 & 0.25 \\ 0.40 & 0.67 \end{bmatrix}\)
I - B =\(\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 0.50 & 0.25 \\ 0.40 & 0.67 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0.50 & -0.25 \\ -0.40 & 0.33 \end{bmatrix}\)
\(|\mathrm{I}-\mathrm{B}|\) = 0.165 - 0.1 = 0.065 > 0
ஹாக்கின்ஸ் – சைமன் நிபந்தனைகளின்படி சாத்தியமானது

210 = 1024 (2.x 2... 10 terms)

எண்ணில் x இன் சமத்துவ இணை திறன்
kx = 4 (2n) + 1 (x)
kx = 9x