S = {52 சீட்டுக்களை கொண்ட ஒரு கட்டு}
∴ n(S) = 52
 P (queen அல்லது 9) = \(\frac { 4 }{ 52 } +\frac { 4 }{ 52 } =\frac { 8 }{ 52 } =\frac { 2 }{ 13 } \)

\({ lim }_{ x\rightarrow x }\frac { { e }^{ 5x }-1 }{ x } =\underset { x\rightarrow 0 }{ lim } \frac { { e }^{ 5x }-1 }{ x } .5\)
=5(1)=5

4x-3y+l=0; l ∈ R

A={x:x=4n+1, n=2,3,4,5}
n=3⇒4(2)+1=8+1=9
n=3⇒4(3)+1=12+1=13
n=4⇒4(4)+1=16+1=17
n=5⇒4(5)+1=20+1=21
A={x:x=9,13,17,21}
ஆகையால் n(A)=4. இது அறிவுறுத்துவது 
n(P))=2⁴=16

\(y=\sin { { (e }^{ x } } )\)
\(u=e^{ x }\Rightarrow y=\sin u\)என்க
\(\therefore \frac { du }{ dx } =e^{ x }\) மற்றும் \(\frac { dy }{ dx } =cosu\)
\(\frac { dy }{ dx } =\frac { dy }{ dx } \times \frac { du }{ dx } \)
\(=cosu\times e^{ x }=e^{ x }cos(e^{ x })\)
\([\because u=e^{ x }]\)

புறாகூடுகள்  = 3
புறாக்கள்  = 10
\(\therefore \)  3 புறாகூடுகளில் 10 புறாக்களை தங்க வைக்கும் வழிகள்  = 3¹⁰

T_n=a+(n-1)d
∴ T_m+n=a+(m+n-1)d
& T_m-1=a+(m-n-1)d
LHS T_m+n+T_m-n=[a+(m+n-1)d]+[a+(m-n-1)d]
=2a+(2m-2)d]
=2[a+m-1)d]
=2T_m=RHS

log_a324 = 4  எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
a⁴ = 324 = 3⁴ (\(\sqrt { 2 } \))⁴
எனவே, a=3\(\sqrt { 2 } \)

x² + px + 8 = 0 -ன் மூலங்கள் \(\alpha\), \(\beta\)  என்க.
எனவே, \(\alpha\) + \(\beta\) = -p, \(\alpha\)\(\beta\) = 8 மற்றும் |\(\alpha\) - \(\beta\)| = 2
இப்போது, (\(\alpha\)+ \(\beta\))²-4\(\alpha\)\(\beta\)  = (\(\alpha\)-\(\beta\))² \(\Rightarrow\) p² - 32 = 4
ஆகவே, p = \(\pm \) 6.

A x A-ல் என்ற கணத்தில் 16 உறுப்புகள் உள்ளன எனில் A-ல் உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை 4 ஆகும்.
\(\Rightarrow n(A)=4\)
A x A -ல் உறுப்புகள் (1,3),(0,2) எனில்  
A-ல் உள்ள உறுப்புகள் A = {0, 1, 2, 3}} என இருக்கலாம்.

P={a,b,c,d}
உட்கணங்கள் P(A)={{a},{b},{c},{d}}
ஒரு கணத்திலுள்ள ஒவ்வொரு உறுப்பும் அக்கணத்தின் உட்கணம் அல்ல.
எனவே கொடுக்கப்பட்ட கூற்று தவறு.

தேவையான நியமப்பாதையின் மீதுள்ள ஏதேனும் ஒரு புள்ளி P(h,k)என்க.
கொடுக்கப்பட்ட விவரங்களிலிருந்து, h = ct மற்றும் \(k=\frac { c }{ t } \)  ஆகும்.
இவ்விரு சமன்பாடுகளைப் பெருக்கி t-ஐ நீக்கலாம்.
(h)(k) = ct\(\left( \frac { c }{ t } \right) \)  ⇒ hk = c², h = x மற்றும் k = y எனப் பிரதியிட
∴ தேவையான நியமப்பாதையின் சமன்பாடு xy=c²

இங்கு n = 6 இது இரட்டைப்படை எண். எனவே ,(x+y)⁶ -ன் விரிவில் மைய உறுப்பு \({x}^{\frac{6}{2}}{y}^{\frac{6}{2}}\) ஐக் கொண்ட உறுப்பு. அதாவது, x³y³ ஐ கொண்ட உறுப்பு எனவே அந்த மைய உறுப்பு ⁶C₃x³y³ = 20³y³ ஆகும்.

8¹+cos x+cos2x+...=4³ 
8(1-cosx)^-1=4³
(∵(1-x)^-1=1+x+x²+...|x|<1)
\({ \left( { 4 }^{ \frac { 3 }{ 2 } } \right) }^{ \frac { 1 }{ 2{ sin }^{ 2\frac { x }{ 2 } } } }={ 4 }^{ 3 }\)
\({ 4 }^{ \frac { 1 }{ 2{ sin }^{ 2\frac { x }{ 2 } } } }={ 4 }^{ 3 }\)

\({ sin }^{ 2 }\frac { x }{ 2 } =\frac { 1 }{ 4 } \Rightarrow sin\frac { x }{ 2 } =\pm \frac { 1 }{ 2 } \)
\(\\ \frac { x }{ 2 } ={ sin }^{ -1 }(\pm \frac { 1 }{ 2 } )\Rightarrow \frac { x }{ 2 } =\pm \frac { \pi }{ 6 } \)
\(x=\pm \frac { \pi }{ 3 } \)

தரம் \(=\frac { 5 }{ 2! } \times 5!+\frac { 0 }{ 2! } \times 4!+\frac { 0 }{ 2! } \times 3!+\frac { 1 }{ 0! } \times 2!+\frac { 1 }{ 0! } \times 1!\times \frac { 0 }{ 0! } \times 1!+1\)
=303

\(I=\frac { xsin^{ -1 } }{ { 1-16x }^{ 2 } } dx\)என்க
\({ sin }^{ -1 }x=t\)
\(\Rightarrow \frac { dx }{ \sqrt { { 1-x }^{ 2 } } } =dt \)
மற்றும் x =sin t
\(\therefore I=\int { sint.tdt=\int { t.sintdt } } \)
u = t; dv = sin t dt
\(\Rightarrow du=dt;v=-cost\)
பகுதித் தொகையிடல் முறையைப் பயன்படுத்த

\(\int { udv=uv-\int { vdu } } \)
\(\Rightarrow \int { t.sintdt=t(-cost)+\int { cost.dt } } \)
\(\Rightarrow I=-tcost+sint+C\)
\([\because =sint-cost=\sqrt { 1-sin^{ 2 } } t=\sqrt { { 1-x }^{ 2 }] } \)
\(I=-{ sin }^{ -1 }x.(\sqrt { { 1-x }^{ 2 }) } +x+C\).

'ARTICLE' என்ற வார்த்தையில்  உள்ள ஆங்கில உயிர் எழுத்துக்கள்  = 3 (A, I, E) மூன்று இரட்டைபடை இடங்கள் 
மூன்று உயிரெழுத்துக்களும் மூன்று இரட்டைப்படை  இடங்களில்  அமையும்  வழிகள்  = ³p₃ = 3! வழிகள்  மீதமுள்ள  4 எழுத்துக்கள்  4 இடங்களில்  அமையும் வழிகள்  = 4!
\(\therefore \) தேவையான மொத்த எழுத்துச்சரங்கள்  = 4! x 3! = 4 x  3 x 2  x 3 x 2 = 144              

(1.01)^1000000-10000
= (1+.01)^1000000 10,000
= ¹⁰⁰⁰⁰⁰C₀+^1000000C₁(.01)+^1000000C₂(.01)²+....+(.01)^1000000-10,000
=(1+1000000 x (.01) + சாதகமான எண் )-10,000
= 1 + சாதகமான எண்
∴ (1.01)^1000000-10,000>0
⇒ (1.01)^1000000 > 10,000.

(x₁,y₁) மற்றும் (x₂,y₂) என்பன முறையே (5, 7) மற்றும் (7, 5) என்க.
\(\theta \) என்பது x -அச்சுடன் ஏற்படுத்தும் சாய்வுக் கோணம் என்க.
கோட்டின் சாய்வு  m=\(\frac { { y }_{ 2 }-{ y }_{ 1 } }{ { x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 } } =\frac { 5-7 }{ 7-5 } \)=-1
மேலும், m =tanፀ
tanፀ=-1 ⇒ \(\theta =\frac { 3\pi }{ 4 } \) அல்லது 135°
சாய்வு மற்றும் சாய்வு கோணம் முறையே
m =-1 மற்றும் \(\theta =\frac { 3\pi }{ 4 } \).

சார்பு f-ன் வரையறைப்படி சார்பகம் மூடிய இடைவெளி [-1,1]ஆகும்.
(1-x2≥0 ஆக இருக்கும்போது f வரையறுக்கப்படுகிறது.) 
c ∈(-1,1) என்ற ஏதேனும் ஒரு புள்ளிக்கு 

\(\underset { x\rightarrow c }{ lim } f(x)=\underset { x\rightarrow c }{ lim } \sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } ={ \left[ \underset { x\rightarrow c }{ lim } (1-{ x }^{ 2 }) \right] }^{ \frac { 1 }{ 2 } }\)
\(={ (1-{ c }^{ 2 }) }^{ \frac { 1 }{ 2 } }f(c).\)
\(\underset { x\rightarrow { -1 }^{ + } }{ lim } f(x)=\underset { x\rightarrow { -1 }^{ + } }{ lim } { (1-{ x }^{ 2 }) }^{ ^{ \frac { 1 }{ 2 } } }=0=f(1)\)
\(\underset { x\rightarrow 1^{ - } }{ lim } f(x)=\left[ \underset { x\rightarrow 1^{ 1 } }{ lim } \left( 1-{ x }^{ 2 } \right) ^{ \frac { 1 }{ 2 } } \right] =0=f\left( -1 \right) \)
இவ்வாறாக f என்ற சார்பு [-1.1] இடைவெளியில் தொடர்ச்சியானது. இந்தக் கணக்கினை சார்புகளின் சேர்ப்புத் தேற்றம் மூலமும் தீர்க்கலாம்.

கொடுக்கப்பட்டது \(\overset { \rightarrow }{ a } =2\hat { i } +\hat { j } -2\hat { k } \)
\(\\ |\overset { \rightarrow }{ a } |=\sqrt { { 2 }^{ 2 }+{ 1 }^{ 2 }+{ (-2) }^{ 2 } } \)
\(=\sqrt { 4+1+4 } =\sqrt { 9 } =3\)
\(\overset { \rightarrow }{ b } =\hat { i } +\hat { j } \)
\(|\overset { \rightarrow }{ b } |=\sqrt { { 1 }^{ 2 }+{ 1 }^{ 2 } } =\sqrt { 2 } \)
\(|\overset { \rightarrow }{ c } -\overset { \rightarrow }{ a } |2\sqrt { 2 } \)
\({ |\overset { \rightarrow }{ c } -\overset { \rightarrow }{ a } | }^{ 2 }={ (2\sqrt { 2 } ) }^{ 2 }\)
\(\therefore { |\overset { \rightarrow }{ c } | }^{ 2 }+{ |\overset { \rightarrow }{ a } | }^{ 2 }-2(\overset { \rightarrow }{ c } .\overset { \rightarrow }{ a } )=8\)
\({ |\overset { \rightarrow }{ c } | }^{ 2 }+9-2{ |\overset { \rightarrow }{ c } | }=8[\because |\overset { \rightarrow }{ a } |=3,\overset { \rightarrow }{ c } .\overset { \rightarrow }{ a } =|\overset { \rightarrow }{ c } |]\)
\(\left| \vec { c } \right| ^{ 2 }-2\left| \vec { c } \right| +1=0\)
\(\left[ \left| \vec { c } -1 \right| \right] ^{ 2 }=0\)
\(\left| \vec { c } \right| -1=0\)
\(\left| \vec { c } \right| =1\)
Also \(\vec { a } \times \vec { b } =\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 0 \end{matrix} \right| \)
=\(\hat { i } (0+2)-\hat { j } (0+2)+\hat { k } (2-1)\)
\(=2\hat { i } -2\hat { j } +\hat { k } \)
\(=\left| \vec { a } \times \vec { b } \right| =\sqrt { { 2 }^{ 2 }+(-2)^{ 2 }+{ 1 }^{ 2 } } \)
\(\sqrt { 4+4+1 } =\sqrt { 9 } =3\)
\(\therefore \left| \left( \vec { a } \times \vec { b } \right) \times \vec { c } \right| =\left| \vec { a } \times \vec { b } \right| \left| \vec { c } \right| sin30\)
[\(\therefore \vec { a } \times \vec { b }\) மற்றும் \( \vec { c } \) இவற்றிற்கு இடைப்பட்ட கோணம் 30^o]  
\(= 3(1)\left( \cfrac { 1 }{ 2 } \right) =\left( \cfrac { 3 }{ 2 } \right) \)

A=\(\left| \begin{matrix} -2a & a+b & c+a \\ a+b & -2b & b+c \\ c+a & c+b & -2c \end{matrix} \right| \)
a=-bஎன்க 
\(\left| \begin{matrix} 2b & 0 & c-b \\ 0 & -2b & b+c \\ c-b & c+b & -2c \end{matrix} \right| =\left| \begin{matrix} 2b & 0 & c-b \\ 2b & -2b & b+c \\ b+c & l+c & -(b+c) \end{matrix} \right| \)
\({ R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }+{ R }_{ 1 }\)
\({ R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }+{ R }_{ 1 }\)
\(=2b(b+c)\left| \begin{matrix} 2b & 0 & c-b \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{matrix} \right| =0\)
⇒ (a+b) ஒரு காரணி 
அதே போல் (b+c) காரணிகள் 
(∴ |A| என்பது a,b,c யில் வட்ட சமச்சீரானது)
|A|-ன் படி 3கிடைக்கப் பெற்ற காரணிகளின் பெற்ற தொகை படி 3.
∴ |A|=k(a+b)(b+c)(c+a)
மதிப்புகள் பிரதியிட k=4
\(\therefore \left| \begin{matrix} -2a & a+b & c+a \\ a+b & -2b & b+c \\ c+a & c+b & -2c \end{matrix} \right| =4(a+b)(b+c)(c+a)\)

ஆங்கில எழுத்துகளின் வரிசைப்படி A,E,L,P,P,P என்ற எழுத்து இரு முறை வருகிறது.
AE என தொடங்கும் வார்த்தைகளின் எண்ணிக்கை 
\(=\frac{3!}{2}=3\)
AL தொடங்கும் வார்த்தைகளின் எண்ணிக்கை 
\(=\frac{3!}{2}=3\)
APE என தொடங்கும் வார்த்தைகளின் எண்ணிக்கை 
=2!=2
APPEL=1
APPLE=1
APPLE என்ற வார்த்தை தரம் 
=3+3+2+2+1+1=12 நிரூபிக்கப்பட்டது.

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு \(\frac{2x+5}{x-1}>5\)
\(\Rightarrow \frac{2x+5}{x-1}-5>0\)
\(\Rightarrow \frac{2x+5-5x+5}{x-1}>0\)
\(\Rightarrow \frac{-3x+10}{x-1}>0\)
நிலை (i) -3x+10>0, x-1>0
-3x>-10, x>1
3x<10, x>1
\(x<\frac{10}{3},x>1\)
\(1<x<\frac{10}{3}\)
நிலை (ii) -3x+10<0, x-1<0
-3x<-10, x<1
3x>10,x<1
\(x>\frac{10}{3},x<1\)
இது சாத்தியமற்றது 
∴ தீர்வுக்கணம் \(\left( 1,\frac { 10 }{ 3 } \right) \)

\(\int \)\(\frac { 8 }{ \sqrt { (1-{ (4x) }^{ 2 } } } +\frac { 27 }{ \sqrt { 1-{ 9x }^{ 2 } } } -\frac { 15 }{ 1+25{ x }^{ 2 } } \)dx
\(=8\int { \frac { 1 }{ \sqrt { 1-(4x)^{ 2 } } } dx } +27\int { \frac { dx }{ \sqrt { 1-(3x)^{ 2 } } } =-15\int { \frac { dx }{ 1+25x^{ 2 } } } } \)
\(=8.\frac { { \sin }^{ -1 }(4x) }{ 4 } +27.\frac { \sin^{ -1 }(3x) }{ 3 } -15\int { \frac { dx }{ 1+(5x)^{ 2 } } +c } \)
\(=2\sin^{ -1 }(4x)+{ 9\sin }^{ -1 }(3x)-15\frac { \tan^{ -1 }(5x) }{ 5 } +c\) 
= 2sin⁻¹(4x) + 9sin⁻¹(3x) − 3tan⁻¹(5x) + c

A₁ என்பது ஜாடி -I ஐ தேர்ந்தெடுக்கும் நிகழ்ச்சி என்க. மற்றும் A₂ என்பது ஜாடி -II -ஐத் தேர்ந்தெடுக்கும் நிகழ்ச்சி என்க.
B என்பது இரண்டு சிவப்பு நிறப்பந்துகளைத் தேர்ந்தெடுக்கும் நிகழ்ச்சி என்க. B-ன் கூட்டு நிகழ்தகவினை நாம் காண வேண்டும். அதாவது P(B)
A₁ மற்றும் A₂ என்பன ஒன்றையொன்று விலக்கிய, யாவுமளாவிய நிகழ்ச்சிகள் என்பது தெளிவாக தெரிகிறது.

P(A₁) =\(\frac { 1 }{ 2 } \), P(B/A₁)=\(\frac { { 8c }_{ 2 } }{ { 12c }_{ 2 } } =\frac { 14 }{ 33 } \)
P(A₂)=\(\frac { 1 }{ 2 } \), P(B/A₂)=\(\frac { { 5c }_{ 2 } }{ { 15c }_{ 2 } } =\frac { 2 }{ 21 } \)
P (B) = P(A₁) . P(B/A₁ ) P(A₂) .P(B/ A₂)
P(B)=\(\frac { 1 }{ 2 } .\frac { 14 }{ 33 } +\frac { 1 }{ 2 } .\frac { 2 }{ 21 } =\frac { 20 }{ 77 } \).

\(u=\tan ^{ -1 }{ { \left( \frac { \sin { x } }{ 1+\cos { x } } \right) } } \)
\(v=\tan ^{ -1 }{ { \left( \frac { \cos { x } }{ 1+\sin { x } } \right) } } \)என்க
\(u=\tan ^{ -1 } \left( \frac { 2sin\frac { x }{ 2 } cos\frac { x }{ 2 } }{ 2cos^{ 2 }\frac { x }{ 2 } } \right) \)
\([\because sin2\theta =2sin\theta cos\theta ,1+cos2\theta =2cos^{ 2 }\theta ]\)
\(u=\tan ^{ -1 } \left( tan\frac { x }{ 2 } \right) \Rightarrow \frac { x }{ 2 } \)
\(\therefore \frac { du }{ dx } =\frac { 1 }{ 2 } \)
\(v=\tan ^{ -1 }{ { \left( \frac { \cos { x } }{ 1+\sin { x } } \right) } } \)
\(v=\tan ^{ -1 } \frac { sin\left( \frac { \pi }{ 2 } +x \right) }{ 1-cos\left( \frac { \pi }{ 2 } +x \right) } \)
\([\because sin\left( \frac { \pi }{ 2 } +x \right) =cosx\)மற்றும்\(sinx=-cos\left( \frac { \pi }{ 2 } +x \right) ]\)
\(=\tan ^{ -1 } \left( \frac { 2sin\left( \frac { \pi }{ 2 } +\frac { x }{ 2 } \right) cos\left( \frac { \pi }{ 2 } +\frac { x }{ 2 } \right) }{ 2sin^{ 2 }\left( \frac { \pi }{ 2 } +\frac { x }{ 2 } \right) } \right) \)
\([\because sin\theta =2sin\theta /2cos\theta /2]\)
\(=\tan ^{ -1 } \left( cos\left( \frac { \pi }{ 2 } +\frac { x }{ 2 } \right) \right) \)
\(=\tan ^{ -1 } \left\{ \tan\left( \frac { \pi }{ 2 } -\left( \frac { \pi }{ 4 } +\frac { x }{ 2 } \right) \right) \right\} \)
\(=\frac { \pi }{ 4 } -\frac { x }{ 2 } \)
\(\therefore \frac { dv }{ dx } =-\frac { 1 }{ 2 } \)
\(\therefore \frac { du }{ dv } =\frac { \frac { du }{ dx } }{ \frac { dv }{ dx } } =\frac { \frac { 1 }{ 2 } }{ -\frac { 1 }{ 2 } } =\frac { 1 }{ 2 } \times \frac { -2 }{ 1 } \)
\(\therefore \frac { du }{ dv } =-1\)

நாற்கரம் ABCD-யின் முனைகள் A, B, C, D-யின் நிலைவெக்டர்கள்.
OA=\(\vec { a } ,\vec { OB } =\vec { b } ,\vec { OC } =\vec { c } ,\vec { OD } =\vec { d } \) என்க.
என்பன நான்கு அடுத்தடுத்த பக்கங்களின் நடுப்புள்ளிகள்.
\(\vec { OP } =\frac { \vec { a } +\vec { b } }{ 2 } ,\vec { OQ } =\frac { \vec { b } +\vec { c } }{ 2 } ,\vec { OR } =\frac { \vec { c } +\vec { d } }{ 2 } \)
\(\vec { OS } =\frac { \vec { a } +\vec { d } }{ 2 } \)
\(\vec { PQ } =\vec { OQ } -\vec { OP } =\frac { \vec { b } +\vec { c } }{ 2 } -\frac { \vec { a } +\vec { b } }{ 2 } \)

\(\vec { RS } =\vec { OS } -\vec { OR } =\frac { \vec { a } +\vec { d } }{ 2 } -\frac { \vec { c } +\vec { d } }{ 2 } \)

∴ \(\vec { SR } =\frac { \vec { c } -\vec { a } }{ 2 } =\vec { PQ } \)
\(\vec { PQ } =1\vec { SR } \Rightarrow \vec { PQ } ||\vec { SR } \)
∴ PQRS ஓர் இணைகரம் என்பது நிருபிக்கப்பட்டது.

\(\triangle \) =  \(\left| \begin{matrix} 1 & x & { x }^{ 2 } \\ 1 & y & { y }^{ 2 } \\ 1 & z & { z }^{ 2 } \end{matrix} \right| \)
x  = y  என \(\triangle \) ல் பிரதியிட 
=  \(\left| \begin{matrix} 1 & x & { x }^{ 2 } \\ 1 & y & { y }^{ 2 } \\ 1 & z & { z }^{ 2 } \end{matrix} \right| \) = 0
\(\therefore \)  (x  - y ) ஒரு காரணியாகும் , இதைப் போலவே  (y -z ) (z  -x ) ம் காரணிகளாகும்.
கொடுக்கப்பட்ட அணிக்கோவையின் படி 3 ஆகும் 
\(\therefore \) மற்றொரு காரணி  k எனக்  கொள்வோம்.
     \(\therefore \) \(\left| \begin{matrix} 1 & x & { x }^{ 2 } \\ 1 & y & { y }^{ 2 } \\ 1 & z & { z }^{ 2 } \end{matrix} \right| \) = k (x - y ) (y  -z ) (z  - k ) இதில் 
x  = 1, y  = 2, z  = 3 எனப்  பிரதியிட
\(\left| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 \\ 1 & 3 & 9 \end{matrix} \right| \) =  k (1 -2) (2 - 3) (3 - 1)
1 (18 -12) -1 (9- 4)  + 1 (3 - 2) = 2k
6 - 5 + 1 = 2k
2 = 2k
\(\Rightarrow \)  k = 1
\(\left| \begin{matrix} 1 & x & { x }^{ 2 } \\ 1 & y & { y }^{ 2 } \\ 1 & z & { z }^{ 2 } \end{matrix} \right| \) = 1 (x - y) (y - z) (z -x)
\(\Rightarrow \)  \(\triangle\) =   \(\left| \begin{matrix} 1 & x & { x }^{ 2 } \\ 1 & y & { y }^{ 2 } \\ 1 & z & { z }^{ 2 } \end{matrix} \right| \) = \(\left| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ x & y & z \\ { x }^{ 2 } & { y }^{ 2 } & { z }^{ 2 } \end{matrix} \right| \)
(x -y) (y - z) (z -x) நிருபிக்கப்பட்டுள்ளது 

A = \(\left[ \begin{matrix} 5 & 3 & 8 \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{matrix} \right] \)
இரன்டாம் நிரையில்  உள்ள உறுப்புகள் 2,0,1 
2 -ன்  இணைக்காரணி    
A₂₁ = (-1)¹⁺² \(\begin{vmatrix} 3 & 8 \\ 2 & 3 \end{vmatrix}\) 
= (-1)3 (9 - 16)
= -1 x -7 = 7
0 - ன்  இணைக்காரணி
A₂₂ = (-1)²⁺² \(\begin{vmatrix} 5 & 8 \\ 1 & 3 \end{vmatrix}\) = (-1)4 (15 - 8) = 7
1 - ன்  இணைக்காரணி
A₂₃ = (-1)²⁺³ \(\begin{vmatrix} 5 & 3 \\ 1 & 2 \end{vmatrix}\) = (-1)⁵ (10 - 3) = -1 x 7 = -7
\(\therefore \)  | A | = a₂₁ A₂₁ + a₂₂ A₂₂ +a₂₃ A₂₃
= 2 x 7 + 0 x 7 + 1 x - 7 = 14 + 0 - 7 = 7

f(x)=3x-4எனத் தரப்பட்டுள்ளது 
y=3x-4 \(\Rightarrow \)y+4=3x என்க.
\(\Rightarrow x={y+4\over3}; g(y)={y+4\over 3}\) என்க.
gof(n)=g(f(n))=g(3x-4)
\(={3x-4+4\over3}={3x\over 3}=x\)
\(fog(y)=f(g(y))=f({y+4\over3})\)
\(=3({y+4\over3})-4\)
=y+4-4 =y
எனவே gof (x)=I_x மற்றும் fog(y)=I_y
\(\Rightarrow f-\) ம், g-ம் இருபுறச் சார்பாகும். அவை ஒன்றுக்கொன்று நேர்மாறாகும். எனவே fஒரு இருபுறச் சார்பு.
\({f}^{-1}(y)={y+4\over 3}\)
y-ஐ x ஐக் கொண்டு எழுத \({f}^{-1}(x)={x+4\over 3}\) f(x)=3x-4

\({f}^{-1}(x)={x+4\over 3}\)

எனவே y=f^-1(x)-ன் வரைபடம் f வரைபடத்தின் நேர்மாறாகும். அந்த சார்பு y=x ஆகும். 

x - அச்சில் நேரத்தை வினாடியிலும்
y - அச்சில் தொலைவை மீட்டரிலும் குறிக்கின்றது என்க.
தொடர்வண்டி இயந்திரம் ஆதிப்புள்ளி O-ல் உள்ளது என்க. எனவே தொடர் வண்டியின் நீளம் 560 மீ. y -அச்சின் குறை வெட்டுத்துண்டாகும்.
எனவே, b =-560
தொடர்வண்டியின் இயக்கத்தின் சீரான வேகம் 12.5 மீ/வி என்பதைச் சாய்வாகக் கருதலாம்.
m =12.5 
சாய்வு மற்றும் வெட்டுத்துண்டு கொடுக்கப்பட்டால் நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடு
y= mx + b
(i) m = 12.5 மற்றும் b = -560 என்பதால் தொடர்வண்டியின் இயக்கச் சமன்பாடு
y =12.5x -560
(ii) பாலத்தின் எதிர்ப்புற முனையைத் தொடர்வண்டியின் இயந்திரம் தொடும் நேரம் y = 2065 மற்றும் b = 0
2065 = 12.5x
x = 165.2 வினாடிகள்
(iii) தொடர்வண்டியின் கடைசி பெட்டியானது பாலத்தின் தொடக்க முனையை அடையும்போது
y = 0 ⇒ = 12.5x – 560
எடுத்துக்கொள்ளும் நேரம், x = 44.8 வினாடிகள்
(iv) தொடர்வண்டி பாம்பன் பாலத்தைக் கடந்து செல்வதற்காக எடுத்துக்கொண்ட நேரம்
y = 2065 ⇒ 2065 =12.5x - 560
x = 210 வினாடிகள்