\(\frac{2 x^2-5 x-7}{(x-2)^3}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{(x-2)^2}+\frac{C}{(x-2)^3}\)
⇒ \(\frac { 2x^{ 2 }-5x-7 }{ (x-2)^{ 3 } } =\frac { A(x-2)^{ 2 }+B(x-2)+C }{ (x-2)^{ 3 } } \)
⇒ 2x² - 5x - 7 = A(x - 2)² + B(x - 2) + C     ..(1)
x = 2 ன்  (1)
2(4) - 5(2) - 7 = C
C = 8 - 10 - 7 = - 9
2 = A
x = 0
\(-7=A(-2)^2-2 B+C\)
\(-7=2(4)-2 B-9\)
\(-7-8+9=-2 B\)
\(-6=-2 B \Rightarrow B \doteq 3\)
\(\frac{2 x^2-5 x-7}{(x-2)^2}=\frac{2}{x-2}+\frac{3}{(x-2)^2}-\frac{9}{(x-2)^3}\)

\(\frac { 1 }{ (x-1)(x+2)^{ 2 } } =\frac { A }{ x-1 } +\frac { B }{ x+2 } +\frac { C }{ (x+2)^{ 2 } } \)
⇒ \(\frac { 1 }{ (x-1)(x+2)^{ 2 } } =\frac { A(x+2)^{ 2 }+B(x-1)(x+2)+C(x-1) }{ (x-1)(x+2)^{ 2 } } \)
⇒ 1 = A (x + 2)² + B (x - 1)(x + 2) + C(x - 1)  ....(1)
x = 1 ன்  (1) ,
1 = A(3)² ⇒ 1 = 9A ⇒ A = \(\frac { 1 }{ 9 } \)
x = -2 ன்  (1) 
1 = C(-2-1) ⇒ 1 = -3 \(\Rightarrow\) C = \(\frac { -1 }{ 3 } \)
\(0=A+B\)
\(B=-A=\frac{-1}{9}\)
\(\frac{1}{(x-1)(x+2)^2}-\frac{1}{9(x-1)}-\frac{1}{9(x+2)}-\frac{1}{3(x+2)^2}\)

LOGARITHMS என்ற வார்த்தையில் உள்ள எழுத்துக்களின் எண்ணிக்கை 10
எனவே n = 10
4 எழுத்து வார்த்தைகளை நாம் காணவேண்டி உள்ளதால் , r = 4
எனவே தேவையான வார்த்தைகள் np_r = 10 p₄ 
= 10 × 9 × 8 × 7
= 5040.

\(\frac{n !}{r !(n-r) !}=\frac{5 !}{2 ! 3 !}\)
\(=\frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1 \times 3 \times 2 \times 1}=10\)

\(\frac { 1 }{ 6! } +\frac { 1 }{ 7! } =\frac { x }{ 8! } \)
\(\frac { 1 }{ 6! } +\frac { 1 }{ 7\times 6! } =\frac { x }{ 8\times 7\times 6! } \)
\(\frac{1}{6 !}+\left(1+\frac{1}{7}\right)=\frac{x}{8 \times 7 \times 6 !}\)
\(\frac{8}{7}=\frac{6 ! x}{8 \times 7 \times 6 !}\)
\(x=\frac{8 \times 8 \times 7}{7}=64\)
64

\(\frac { x-4 }{ { x }^{ 2 }-3x+2 } =\frac { x-4 }{ (x-1)(x-2) } \)
\(\Rightarrow \frac { x-4 }{ { x }^{ 2 }-3x+2 } =\frac { A }{ x-1 } +\frac { B }{ x-2 } \)
\(\frac{x-4}{(x-2)(x-1)}=\frac{A(x-1)+B(x-2)}{(x-2)(x-1)}\)
\(\Rightarrow x-4=A(x-2)+B(x-1)\)
x = 2 ன்  (1) பிரதியிட 
\(-2=A \Rightarrow A=-2\)
x = 1 ன் (1) பிரதியிட 
\(-3=B(-1) \Rightarrow B=3\)
\(\therefore \frac { x-4 }{ { x }^{ 2 }-3x+2 } =\frac { 3 }{ x-1 } -\frac { 2 }{ x-2 } \)

\({ \left( { x }^{ 2 }-\frac { 2 }{ { 3x } } \right) }^{ 9 }\)
n = 9
t_{r + 1} = nC_r x^n-r a^r
t_r+1 = 9C_r((x²)^9-r \({ \left( -\frac { 2 }{ { 3x } } \right) }^{ r }\)
\(=9 C_{\mathrm{r}} x^{18-2 r}(-1)^r \frac{2^r}{3^r x^r}\)
\(=(-1)^r 9 C_r \frac{2^r}{3^r} x^{18-2 r-r}\)
\(=(-1)^r 9 C_r \frac{2^r}{3^r} x^{18-3 r}\)
x - யை சாராத உறுப்பைக் காண x –ன் அடுக்கை ‘0’ விற்கு சமன்படுத்த
18 - 3r = 0
\(3 r=18 \Rightarrow r=\frac{18}{3}=6\)
\(t_{r+1}=(-1)^6 9 C_6 \frac{2^6}{3^6}=9 C_6 \frac{2^6}{3^6}\)

(x+a)ⁿ என்பதன் விரிவில் பொது உறுப்பு  t_r+1=nC_rx^n-r a^r ஆகும். ... (1)
\((x-\frac{3}{x^{2}})^{10}\) ன் 5வது உறுப்பைக் காண சமன்பாடு (1) –ல் n – க்கு 10 – யும் r க்கு 4 –யும்
பிரதியிட  
t₄₊₁=t₅ 10C₄(x)⁶ \((x-\frac{3}{x^{2}})^{4}\) (இங்கு n = 10 , x = x , a = –\(\frac{3}{x^{2}}\))
=10C₄(x)⁶ \(\frac{3^{4}}{x^{8}}\)
=\(\frac{17010}{x^{2}}\) 

(101)⁵ = (100 + 1)⁵
= (100)⁵ + 5C₁ (100)⁴ + 5C₂ (100)³ + 5C₃ (100)² + 5C₄ (100) + 5C₅
= 10000000000+ 5(100000000) + 10(1000000) + 10(10000) + 5(100) + 1
= 10000000000 + 500000000 + 10000000 + 100000 + 500 + 1
= 10510100501

கொடுக்கப்பட்ட வார்த்தையில் 13 எழுத்துக்கள் உள்ளன, அவற்றில் 4 S's, 2 I's, 3 A's, 2N's 1 - 0 மற்றும் 1 - T. ஏற்பாடுகளின் எண்ணிக்கை \(=\frac{13!}{4! 3!2!1!}\)