(999)⁵ = (1000 - 1)⁵
\(=5 C_0(1000)^5-5 C_1(1000)^4+5 C_2(1000)^3 -5 C_3(1000)^2+5 C_4(1000)-5 C_5\)
= 1000,000,000,000,000 - 5 (1,000,000,000,000) + 10 (1,000,000,000) -10 (1000,000) + 5 (1000)-1
= 1000000000000000 - 5000000000000 + 10000000000 - 10000000+ 5000 1
= 99 500 999 000 4999

வார்த்தைகளின் எண்ணிக்கை \(=7 C_3 \times 4 C_2 \times 5 !\)
\(=\frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} \times \frac{4 \times 3}{2 \times 1} \times 120\)
\(=25200\)
7 மெய் மற்றும் 4 உயிரெழுத்துக்களில் 3 மெய் மற்றும் 2 உயிரெழுத்துக்களைத் தேர்ந்தெடுக்கலாம். \(7 C_3 \times 4 C_2 \) இவ்வாறு உள்ளன \(7 C_3 \times 4 C_2 \) ஒவ்வொன்றும் 3 மெய் மற்றும் 2 உயிரெழுத்துக்களைக் கொண்டுள்ளது. ஒவ்வொரு குழுவும் 5 எழுத்துக்களைக் கொண்டிருப்பதால், அவை தங்களுக்குள் 5! இல் வரிசைப்படுத்தப்படலாம் வழிகள்.

ஒரு கோடு வரைவதற்கு இரண்டு புள்ளிகள் தேவை
நாண்களின் எண்ணிக்கை \(=21 C_2=\frac{21 \times 20}{2 \times 1}=210\) நாண்கள்

15C_3r = 15C_r+3
nC_x = nC_y \(\Rightarrow\)x + y = n, என்ற பண்பிலிருந்து நாம் பெறுவது
3r + r + 3 = 15 
\(\Rightarrow\) r = 3.

8C₂ =\(\frac{8\times 7}{2\times1}=28\)

மாணவர்கள், வட்ட த்தின் மீதான வரிசைபடுத்தும்போது வரிசை மாற்றங்களின் எண்ணிக்கை (8–1)! = 7! (இங்கு வலச்சுற்றுக்கும், இடச்சுற்றுக்கும் வேறுபாடு காண இயலும்)

nP_r = 360 = 36 × 10
= 3 × 3 × 4 × 5 × 2
= 6 × 5 × 4 × 3 = 6P₄
எனவே n = 6 மற்றும் r = 4.

\({5P}_{3}=\frac{5!}{(2-3)!}=\frac{5!}{2!}=60 \)
\(P(8,5)={8P}_{5}\)
\(=\frac{8!}{(8-5)!}\)
\(=\frac{8!}{3!}\)
\(=\frac{8\times7\times6\times5\times4\times3\times!}{3!}=6720\)

கொடுக்கப்பட்ட ஆங்கில வார்த்தை ‘NOTE’ –ல் உள்ள நான்கு எழுத்துக்களை,கீழ்கண்டவாறு நான்கு காலியிடங்களை கொண் டு குறிப்போம்

முதல் காலியிடத்தை, நான்கு எழுத்துக்களை கொண்டு, நான்கு வழிகளில் நிரப்பலாம். எழுத்துக்களை  மீண்டும் ஒருமுறை பயன்படுத்த முடியாததால், இரண்டாம் காலியிடத்தை 3 முறைகளிலும் மூன்றாம் காலியிடத்தை இரண்டு வழிகளிலும், கடைசி இடத்தை ஒரு வழியிலும் நிரப்பலாம். பெருக்கலின் அடிப்படைக் கொள்கையின்படி உருவாக்கப்படும் மொத்த வார்த்தைகளின் எண்ணிக்கை 4 \(\times \) 3 \(\times \) 2 \(\times \) 1 = 24 வார்த்தைகள் ஆகும்

\(\frac{9!}{6!3!}=\frac{9\times8\times7\times6!}{6!\times3!}=\frac{9\times8\times7\times}{3\times2\times1}=84.\)

\(\frac{7!}{6!}=\frac{7\times6!}{6!}=7\)

\(\frac { 3x+7 }{ { x }^{ 2 }-3x+2 } =\frac { 3x+7 }{ (x-1)(x-2) } =\frac { A }{ x-2 } +\frac { B }{ x-1 } \)
\(\frac{3 x+7}{(x-1)(x-2)}=\frac{A(x-2)+B(x-1)}{(x-1)(x-2)}\)
\(3 x+7=A(x-2)+B(x-1)\)  ...(1)
x = 1ன் 
\(3+7=\mathrm{A}(1-2) \Rightarrow \mathrm{A}=-10\)
x = 2 ன் 
\(6+7=\mathrm{B}(2-1) \Rightarrow \mathrm{B}=13\) 
\(\therefore\)\(\frac { 3x+7 }{ { x }^{ 2 }-3x+2 } \)=\(\frac { -10 }{ x-1 } + \frac { 13 }{ x-2 } \)

\(\left(x+\frac{1}{x^2}\right)^6 = 6 C_0 x^3+6 C_1 x^5\left(\frac{1}{x^2}\right)+6 C_2 x^4\left(\frac{1}{x^2}\right)+6 C_3 x^3\left(\frac{1}{x^2}\right)^3 +6 C_4 x^2\left(\frac{1}{x^2}\right)^4+6 C_5 x\left(\frac{1}{x^2}\right)^5+6 C_6\left(\frac{1}{x^2}\right)^6 \)
\(=x^6+6 x^3+15 x^4\left(\frac{1}{x^4}\right)+20 x^3\left(\frac{1}{x^6}\right)+15 x^2\left(\frac{1}{x^8}\right)+6 x\left(\frac{1}{x^{10}}\right)+\frac{1}{x^{12}}\)
\(=x^6+6 x^3+15+\frac{20}{x^3}+\frac{15}{x^6}+\frac{6}{x^9}+\frac{1}{x^{12}}\)

n என்பது வழக்கமான பலகோணத்தின் பக்கங்களின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கலாம்
மூலைவிட்டங்களின் எண்ணிக்கை = 44
\(\frac{n(n-3)}{2}=44\)
\(n^2-3 n-88=0\)
\((n-11)(n+8)=0\)
\(n=11\)

nC_r = \(\frac{nP_r}{r!}\) என்ற தொடர்பின்படி
120 = \(\frac{720}{r!}\)
\(r!=\frac{720}{120}=6=3!\)
r = 3.