u =u = log(x²+y²)
\(\frac { \partial u }{ \partial x } =\frac { 1 }{ { x }^{ 2 }+y^{ 2 } } (2x)=\frac { 2x }{ { x }^{ 2 }+y^{ 2 } } \)
\(\frac { \partial ^{ 2 }u }{ \partial x^{ 2 } } =\frac { ({ x }^{ 2 }+y^{ 2 }).2-2x.2 }{ ({ x }^{ 2 }+y^{ 2 })^{ 2 } } =\frac { 2({ y }^{ 2 }-x^{ 2 }) }{ { (x }^{ 2 }+y^{ 2 })^{ 2 } } \)
\(\frac { \partial u }{ \partial y } =\frac { 1 }{ { x }^{ 2 }+y^{ 2 } } (2y)=\frac { 2x }{ { x }^{ 2 }+y^{ 2 } } \)
\(\frac { \partial ^{ 2 }u }{ \partial y^{ 2 } } =\frac { ({ x }^{ 2 }+y^{ 2 }).2-2y.2y }{ { (x }^{ 2 }+y^{ 2 }) } =\frac { 2({ x }^{ 2 }-y^{ 2 }) }{ ({ x }^{ 2 }+y^{ 2 })^{ 2 } } \)
∴\(\frac { \partial ^{ 2 }u }{ \partial x^{ 2 } } +\frac { \partial ^{ 2 }u }{ \partial y^{ 2 } } \)=0

u = x²(y–x) + y² (x–y)
\(\frac { \partial u }{ \partial x } \) = 2xy–3x²+y²
 \(\frac { \partial u }{ \partial y } \)= x²+2xy –3y²
 \(\frac { \partial u }{ \partial x } +\frac { \partial u }{ \partial y } \) = –2x²–2y²+4xy
 = -2(x²+y²−2xy)
= -2(x-y)²

f(x)=2x³+9x²+12x+1
x-ஐ பொறுத்து வகைப்படுத்தும் போது நாம் பெறுவது
f(x)= 6x²+18x+12
= 6(x²+3x+2)
= 6(x+2)(x+1)
f'(x) = 0 ⇒ 6 (x+2)(x+1) = 0
⇒ x + 2 = 0 (அ) x + 1 = 0
x =-2 (அ) x=-1
x =-2 மற்றும் x=-1 ல் f(x)ஆனது தேக்கநிலைப் புள்ளிகளை பெறுகிறது
x =-2 மற்றும் x=-1 என f(x) இல் பிரதியிடும் போது தேக்கநிலை மதிப்புகள் கிடைக்கிறது
x =-2 எனில் 
f(–2) = 2(–8)+9(4)+12(–2)+1 = -3
x = -1எனில் 
f(–1) = 2(–1)+9(1)+12(–1)+1
= -4
தேக்கநிலைப் புள்ளிகள் (-2,-3) மற்றும் (-1,-4) ஆகும்

f(x)=x²-4x+6
x-ஐ பொறுத்து வகைப்படுத்த
f'(x) = 2x-4
f'(x) = 0 ⇒ 2x-4 = 0
⇒ x = 2

x=2 என்ற புள்ளி மெய்யெண் கோட்டை (-∞,2) மற்றும் (2,∞) என பிரிக்கின்றது
[இடைவெளிகளில் f'(x)-க்கான குறியீடு (+அல்லது-)-யைக் காண,அவ்விடைவெளிகளில் இருந்து x -க்கான ஏதேனும் ஒரு மதிப்பை f'(x)-ல் பிரதியிட்டு காணலாம்]

x =\(\frac { p }{ p+5 } \)
\(\frac { dx }{ dp } =\frac { (p+5)-p }{ (p+5)^{ 2 } } \)
= \(\frac { 5 }{ (p+5)^{ 2 } } \)
அளிப்பு நெகிழ்ச்சி \(\eta _{ s }=\frac { p }{ x } .\frac { dx }{ dp } \)
= (P+5) \(\frac { 5 }{ (p+5)^{ 2 } } \)
p=20,எனில் \({ \eta }_{ s }=\frac { 5 }{ 20+5 } \)
= 0.2

\(x=\frac { 20 }{ p+1 } \)
\(\frac { dx }{ dp } =\frac { -20 }{ (p+1)^{ 2 } } \)
தேவை நெகிழ்ச்சி :\(\eta _{ d }=-\frac { p }{ x } .\frac { dx }{ dp } \)
= \(-\frac { p }{ \left( \frac { 20 }{ (p+1) } \right) } .\frac { -20 }{ (p+1)^{ 2 } } \)
= \(\frac { p }{ p+1 } \)
p= 3 ல்,  \(\eta _{ d }=\frac { 3 }{ 4 } \)(அ) 0.75
இங்கு \(|\eta _{ d }|\)<1
∴ தேவை மீள்த்தன்மையற்றது

f(x) = x³-3x²+4x, \(x\in R\)
f'(x) =3x²-6x+4
= 3x²-6x+3+1
= 3(x-1)²+1 > 0 அனைத்து 
அதாவது, இங்கு அனைத்து \(x\in R\)-க்கும் f'(x) > 0ஆகும்
∴ f என்ற சார்பு (-∞,∞) என்ற இடைவெளியில் திட்டமாகக் கூடும் சார்பாகும்

x=2p²-5p+1
\(\frac { dx }{ dp } \) = 4p-5
அளிப்பு நெகிழ்ச்சி \(\eta _{ s }=\frac { P }{ x } .\frac { dx }{ dp } \)
= \(\frac { p }{ 2{ p }^{ 2 }-5p+1 } \)(4p-5)
= \(\frac { 4p^{ 2 }-5p }{ 2{ p }^{ 2 }-5p+1 } \)

p = 50 - 3x
\(\frac { dp }{ dx } =-3\)
∴ \(\frac { dx }{ dp } =-\frac { 1 }{ 3 } \) 
தேவை நெகிழ்ச்சி \(\eta _{ d }=-\frac { p }{ x } .\frac { dx }{ dp } \)
= \(-\frac { 50-3x }{ x } \left( -\frac { 1 }{ 3 } \right) \)
=\(\frac { 50-3x }{ 3x } \) .......(1)
இப்போது வருவாய் R = px 
 = (50-3x) x
= 50x-3x²
சராசரி வருவாய் AR=p 
= 50-3x 
இறுதிநிலை வருவாய் MR=\(\frac { dR }{ dx } \)
= 50-6x 
∴ \(\frac { AR }{ AR-MR } =\frac { 50-3x }{ (50-3x)-(50-6x) } \)
=\(\frac { 50-3x }{ 3x } \)    ..(2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து நாம் பெறுவது 
\(\eta _{ d }=\frac { AR }{ AR-MR } \)
எனவே சரி,பார்க்கப்பட்டது