sin y = x sin (a+y)
\(x=\frac{siny}{sin(a+y)}\)
y ஐ  பொறுத்து வகையிட,
\(\frac{dx}{dy}=\frac{sin(a-y)cosy-siny.cos(a+y)}{sin^{2}(a+y)} \)
\(=\frac{sin(a+y-y)}{sin(a+y)} \)
\(=\frac{sina}{sin^{2}(a+y)} \)
\(\frac{dy}{dx}=\frac{sin^{2}(a+y)}{sin a} \)

\(y=\frac { 1 }{ { u }^{ 2 } } ={ u }^{ -2 }\)
\(\frac { dy }{ du } =-\frac { 2 }{ { u }^{ 3 } } \)
\(\frac { dy }{ du } =-\frac { 2 }{ \left( { x }^{ 2 }-9 \right) ^{ 3 } } \)   \(\left( \because u={ x }^{ 2 }-9 \right) \)
\(u={ x }^{ 2 }-9\)
\(\frac { du }{ dx } =2x\)
இப்போது, \(\frac { dy }{ dx } =\frac { dy }{ du } .\frac { du }{ dx } \)
\(=-\frac { 2 }{ \left( { x }^{ 2 }-9 \right) ^{ 3 } } .2x\)
\(=-\frac { 4x }{ \left( { x }^{ 2 }-9 \right) ^{ 3 } } \)

\(-\frac { 1 }{ a } cosec^{ 2 }\theta \)

\(\frac { 1 }{ 2 } \)

\(f(x)=|x|=\begin{cases} x,x\ge0 \\-x,x<0 \end{cases}\)
\(L[f'(0)]=\underset { h\rightarrow 0 }{\lim } {f(x)-f(0)\over0-h-0},x=0-h\)
\(=\underset { h\rightarrow 0 }{\lim } {f(0-h)-f(0)\over 0-h-0},x=0-h\)
\(=\underset { h\rightarrow 0 }{\lim } {|-h|-|0|\over -h}\)
\(=\underset { h\rightarrow 0 }{\lim } {|-h|\over-h}\)
\(=\underset { h\rightarrow 0 }{\lim } (-1)\)
=- 1
\(R[f'(0)]=\underset { x\rightarrow{0}^{+} }{ \lim } {f(x)-f(0)\over x-0}\)
\(=\underset {h\rightarrow 0 }{ \lim } {f(0+h)-f(0)\over0+h-0},x=0+h\)
\(=\underset { h \rightarrow 0 }{\lim } {f(h)-f(0)\over h}\)
\(=\underset { h \rightarrow 0 }{ \lim } {|h|-|0|\over h}\)
\(=\underset { h \rightarrow 0 }{ \lim } {|h|\over h}\)
\(=\underset { h\rightarrow 0 }{ \lim } {h\over h}\)
\(=\underset { h \rightarrow 0 }{ \lim } 1\)
= 1
இங்கு, \(L[f'(0)]\neq R[f'(0)]\)
\(\therefore\ f(x)\) ஆனது x = 0 இல் வகையிடத்தக்கதல்ல

4x³-3cosx-sinx

3x²-4x-1

f(x) = xⁿ
\(\therefore\)    f '(x)=nx^n-1
f '(1)=n(1)^n-1
f '(1)=n
f '(1)=5(கணக்கின்படி)
\(\Longrightarrow\)  n=5