x₁ = 30;x₂ = 0 மற்றும் Z_max =120

தீர்வுக்கு உகந்த பாதை 1-2-4-5-6 மற்றும் மொத்தக் கால அளவு 31 நாட்கள்

Y=0.942X + 6.08; இயலக்கூடிய விற்பனை = ரூ.34.34 (கோடிகளில்)

A என்பவர் கணக்கை தீர்ப்பதற்கான நிகழ்தகவு =\(\frac { 90 }{ 100 } =\frac { 9 }{ 10 } \) மற்றும் B என்பவர் கணக்கை தீர்ப்பதற்கான நிகழ்தகவு =\(\frac { 70 }{ 100 } =\frac { 7 }{ 10 } \)
அதாவது P(A)=\(\frac{9}{10}\) மற்றும் P(B)=\(\frac{7}{10}\)
P(\(\bar { A } \))=1-P(A)=\(\frac { 9 }{ 10 } =\frac { 1 }{ 10 } \)
இதேப்  போன்று P(\(\bar { B } \))=\(\frac { 7 }{ 10 } =\frac { 3 }{ 10 } \)
P(குறைந்தபட்சம் ஒரு நபர் கணக்கை தீர்ப்பதற்கான நிகழ்தகவு)=P(A\(\cup \)B)
=\(1-P(\overline { A\cup B) } =1-P(\bar { A } \cap \bar { B } )\)
=\(1-P(\bar { A } ).P(\bar { B } )\)
=\(1-\frac { 3 }{ 100 } =\frac { 97 }{ 100 } \)
கணக்கை குறைந்த பட்சம் அவர்களில் ஒருவர் தீர்ப்பதற்கான நிகழ்தகவு =\(\frac { 97 }{ 100 } \).

இடை நிலை = 45.14 , MD = 14.30

20%

ரூ.13240, ரூ.36420, இயந்திரம் B வாங்கலாம்

p = 50 - 3x
\(\frac { dp }{ dx } =-3\)
∴ \(\frac { dx }{ dp } =-\frac { 1 }{ 3 } \) 
தேவை நெகிழ்ச்சி \(\eta _{ d }=-\frac { p }{ x } .\frac { dx }{ dp } \)
= \(-\frac { 50-3x }{ x } \left( -\frac { 1 }{ 3 } \right) \)
=\(\frac { 50-3x }{ 3x } \) .......(1)
இப்போது வருவாய் R = px 
 = (50-3x) x
= 50x-3x²
சராசரி வருவாய் AR=p 
= 50-3x 
இறுதிநிலை வருவாய் MR=\(\frac { dR }{ dx } \)
= 50-6x 
∴ \(\frac { AR }{ AR-MR } =\frac { 50-3x }{ (50-3x)-(50-6x) } \)
=\(\frac { 50-3x }{ 3x } \)    ..(2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து நாம் பெறுவது 
\(\eta _{ d }=\frac { AR }{ AR-MR } \)
எனவே சரி,பார்க்கப்பட்டது

\(\pm \sqrt { 2 } -1\)

\({{{6x}^{2}-14x-27}\over{(x+2){(x-3)}^{2}}}={{A}\over{x+2}}+{{B}\over{x-3}}+{{C}\over{{(x-3)}^{2}}}\)
\(\frac{6 x^2-14 x-27}{(x+2)(x-3)^2} =\frac{A(x-3)^2+B(x-3)(x+2)+C(x+2)}{(x+2)(x-3)^2}\)
\(\Rightarrow\)   6x² - 14x - 27 = A (x - 3)² + B (x + 2) (x - 3) + C (x + 2)...(1)
x = - 2 என சமன்பாடு (1) ல் பிரதியிட
24 + 28 - 27 A (25) \(\Rightarrow\)  25=25A  \(\Rightarrow\) \({A=1}\)
x = 3 in (1) we get,
54 - 42 - 27 = C (5) \(\Rightarrow\)  -15 = 5C \(\Rightarrow\) \({C=-3}\)
x² இன் கெழுக்களை  சமன்பாடு (1) ல் இருபுறமும் சமன்படுத்த
6 = A + B
6 = 1 + B \(\Rightarrow\) B = 5
\(\therefore\) \({{6x^2-14x-27}\over{(x+2){(x-3)}^{2}}}={{1}\over{x+2}}={{5}\over{x-3}}-{{3}\over{{(x-3)}^{2}}}\)

\(a_{ 11 }=15,\quad { a }_{ 12 }=10,\quad { x }_{ 1 }=35\)
\(a_{ 21 }=20,\quad { a }_{ 22 }=30,\quad { x }_{ 2 }=65\)
\(b_{ 11 }=\frac { { a }_{ 11 } }{ { x }_{ 1 } } =\frac { 15 }{ 35 } =\frac { 3 }{ 7 } ;\quad b_{ 12 }=\frac { { a }_{ 12 } }{ { x }_{ 2 } } =\frac { 10 }{ 65 } =\frac { 2 }{ 13 } \)
\(b_{ 21 }=\frac { { a }_{ 21 } }{ { x }_{ 1 } } =\frac { 20 }{ 35 } =\frac { 4 }{ 7 } ;\quad b_{ 22 }=\frac { { a }_{ 12 } }{ { x }_{ 2 } } =\frac { 30 }{ 65 } =\frac { 6 }{ 13 } \)
B = \(\begin{bmatrix} \frac { 3 }{ 7 } & \frac { 2 }{ 13 } \\ \frac { 4 }{ 7 } & \frac { 6 }{ 13 } \end{bmatrix}\)
\(I-B=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} \frac { 3 }{ 7 } & \frac { 2 }{ 13 } \\ \frac { 4 }{ 7 } & \frac { 6 }{ 13 } \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac { 4 }{ 7 } & \frac { -2 }{ 13 } \\ \frac { 4 }{ 7 } & \frac { 7 }{ 13 } \end{bmatrix}\)
\(|I-B|=\frac{4}{7} \times \frac{7}{13}-\left(\frac{2}{13} \times \frac{4}{7}\right)=\frac{28-8}{91}=\frac{20}{91}\)
ஹாக்கின்ஸ்-சைமனின் இரு நிபந்தனைகளும் நிறைவு செய்யப்பட்டுள்ளது. எனவே இந்த பொருளாதாரக் கட்டமைப்பு செயல்படும் வகையில் உள்ளது.
 \((I-B)^{-1}=\frac{1}{|I-B|} \operatorname{adj}(\mathrm{I}-\mathrm{B})=\frac{91}{20}\left(\begin{array}{cc} \frac{7}{13} & \frac{2}{13} \\ \frac{4}{7} & \frac{4}{7} \end{array}\right)\)
X = (I - B)^-1 D இங்கு D \(=\left[ \begin{matrix} 12 \\ 18 \end{matrix} \right] =\frac { 91 }{ 20 } \begin{bmatrix} \frac { 7 }{ 13 } & \frac { 2 }{ 13 } \\ \frac { 4 }{ 7 } & \frac { 4 }{ 7 } \end{bmatrix}\left[ \begin{matrix} 12 \\ 18 \end{matrix} \right]=\frac{91}{20}\left(\begin{array}{l} \frac{84+36}{13} \\ \frac{48+72}{7} \end{array}\right)\)
\(=\left(\begin{array}{l} 42 \\ 78 \end{array}\right)\)
42 மற்றும் 78

x²+y²-5x-2y+1 =0

\({ A }^{ -1 }=\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{matrix} \right] \)
\(\left|A^{-1}\right|=1[1-1]-0+3[-2-1]\)
\(=-9 \neq 0\)
\(A_{11}= 1=1-1=0 \)
\(A_{12}=0=-(2+1)=-3 \)
\(A_{13}=3=(-2-1)=-3\)
\(A_{21}=2=-(0+3)=-3\)
\(\mathrm{A}_{22}= 1=1-3=-2\)
\(A_{23}= -1=-(-1-0)=1\)
\(A_{31}=1=0-3=-3\)
\(A_{32}= -1=-1(-1-6)=7\)
\(\mathrm{A}_{33}= 1=1-0=1\)
\(\text {Co-factor matrix }=\left(\begin{array}{ccc} 0 & -3 & -3 \\ -3 & -2 & 1 \\ -3 & 7 & 1 \end{array}\right)\)
\(\left(A^{-1}\right)^{-1}=A\)
\(\mathrm{A}=\frac{1}{\left|A^{-1}\right|} \text { adj } A^{-1}\)
\(=\frac{1}{-9}\left(\begin{array}{ccc} 0 & -3 & -3 \\ -3 & -2 & 7 \\ -3 & 1 & 1 \end{array}\right)\)
\(A=\frac{1}{9}\left(\begin{array}{ccc} 0 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & -7 \\ 3 & -1 & -1 \end{array}\right)\)
\(\frac { 1 }{ 9 } \left[ \begin{matrix} 0 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & -7 \\ 3 & -1 & -1 \end{matrix} \right] \)

2x - z = 0, 5x + y = 4 and y + 3z = 5·
\(\begin{bmatrix} 2&0&-1\\ 5&1&0\\ 0&1&3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\y\\z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\4\\5 \end{bmatrix}\)
\(\Rightarrow\) AX  =  B
இங்கு A \(=\begin{bmatrix} 2&0&-1\\5&1&0\\0&1&3 \end{bmatrix},X=\begin{bmatrix} x\\y\\z \end{bmatrix}\) and B \(=\begin{bmatrix} 0\\4\\ 5\end{bmatrix}\)
\(|A|\) = 2 ( 3 - 0 ) - 0 - 1 ( 5 - 0 ) = 6 - 5 = 1 \(\neq\) 0 
\(\therefore\)  A^–1 யைக் காணஇயலும்.
\(=\left(\begin{array}{ccc} 3 & -15 & 5 \\ -1 & 6 & -2 \\ 1 & -5 & 2 \end{array}\right)\)
\({A}^{-1}={{1}\over{|A|}}adj\ A={{1}\over{1}}\begin{bmatrix} 3&-1&1\\ -15&6&-5\\ 5&-2&2 \end{bmatrix}\)
\(\therefore\)  \(X={A}^{-1}B=\begin{bmatrix} 3&-1&1\\-15&6&-5\\ 5&-2&2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0\\4\\5 \end{bmatrix}\)
\(\begin{bmatrix} x\\y\\z \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0-4+5\\ 0+24-25\\ 0-8+10 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1\\-1\\2 \end{bmatrix}\)
\(x=1, \mathrm{y}=-1, \mathrm{z}=2\)

\(\left| A \right| =\left| \begin{matrix} 2 & 4 & 4 \\ 2 & 5 & 4 \\ 2 & 5 & 3 \end{matrix} \right| =2\left| \begin{matrix} 5 & 4 \\ 5 & 3 \end{matrix} \right| -4\left| \begin{matrix} 2 & 4 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right| +4\left| \begin{matrix} 2 & 5 \\ 2 & 5 \end{matrix} \right| \)
=2(15-20)-4(6-8)+4(10-10)
=2(-5)-4(-2)+4(0)
=-10+8+0=-2≠0
A என்பது பூச்சியமற்ற கோவை அணி ஆகையால்,A^-1யைக் காணஇயலும்
A₁₁=-5; A₂₁=8;A₃₁=-4
A₁₂=2; A₂₂=-2; A₃₂=0
A₁₃=0; A₂₃=-2; A₃₃=2
\(\left[ { A }_{ ij } \right] =\left[ \begin{matrix} -5 & 2 & 0 \\ 8 & -2 & -2 \\ -4 & 0 & 2 \end{matrix} \right] \)
\(adj\quad A=\left[ \begin{matrix} -5 & 8 & -4 \\ 2 & -2 & 0 \\ 0 & -2 & 2 \end{matrix} \right] \)
\({ A }^{ -1 }=\frac { 1 }{ \left| A \right| } adj\quad A=\frac { 1 }{ -2 } \left[ \begin{matrix} -5 & 8 & -4 \\ 2 & -2 & 0 \\ 0 & -2 & 2 \end{matrix} \right] \)
\(=\left[ \begin{matrix} \frac { 5 }{ 2 } & -4 & 2 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{matrix} \right] \)  

\(\frac{1}{\left(x^2+4\right)(x+1)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B x+C}{x^2+4}\)
(Since x² + 4 cannot be factorised into linear factors)
\(\frac{1}{\left(x^2+4\right)(x+1)}=\frac{A\left(x^2+4\right)+(B x+C)(x+1)}{x^2+4}\)
\(1=A\left(x^2+4\right)+(B x+C)(x+1)\) ...(1)
x = -1 என (1) –ல் பிரதியிட
1 = c(5) \(\Rightarrow\) \(c=\frac { 1 }{ 5 } \)
x² இன் கெழுக்களை சமன்பாடு (1) இன் இருபுறமும் சமன்படுத்த
0 =A + B \(\Rightarrow\) \(B= -A = \frac { -1 }{ 5 } \)
x = 0 என (1) –ல் பிரதியிட,
1 = 4A + C
\(1=\frac{4}{5}+C\)
\(C=1-\frac{4}{5}=\frac{1}{5}\)
\(\frac{1}{\left(x^2+4\right)(x+1)}=\frac{1}{5(x+1)}+\frac{\frac{-1}{5} x+\frac{1}{5}}{x^2+4}\)
\(=\frac{1}{5(x+1)}+\frac{1-x}{5\left(x^2+4\right)}\).