11ஆம் வகுப்பு Business Maths and Statistics / வணிகக் கணிதம் மற்றும் புள்ளியியல் தமிழ் மீடியம் | மாதிரி வினாத்தாள்கள் | முக்கிய வினாக்கள் | கேள்வி விடை தொகுப்பு | வினாத்தாள்கள் | பொதுத்தேர்வு மாதிரி வினாத்தாள்கள் , Business Maths and Statistics / வணிகக் கணிதம் மற்றும் புள்ளியியல் பாடத்திற்கான மாதிரி வினாத்தாள்கள், முக்கிய கேள்வி-விடைகள், ஒருமார்க் கேள்விகள், காலாண்டு & பொதுத்தேர்வு கேள்வித் தொகுப்புகள்

Questions:

Generic 3

12 x 3 = 36

பின்வரும் விவரங்களுக்கு சராசரியைப் பொறுத்து சராசரி விலக்கத்தைக் காண்க.

X	2	5	6	8	10	12
f	2	8	10	7	8	5

கீழே கொடுக்கப்பட்ட விவரங்களுக்கு பெருக்குச் சராசரியைக் கணக்கீடுக.

மதிப்பெண்கள்	0-10	10-20	20-30	30-40	40-50
மாணவர்களின் எண்ணிக்கை	8	12	18	8	6

f(x)=x²-4x+6 என்ற சார்பு எந்தெந்த இடைவெளிகளில் திட்டமாகக் கூடும் எனக் காண்க

ஒரு நிறுவனத்தின் தேவை மற்றும் செலவு சார்புகள் முறையே x =6000 - 30p மற்றும் C=72000 + 60x ஆகும்.இலாபம் பெருமத்தை அடையும்பொழுது உற்பத்தி அளவு மற்றும் விலையைக் காண்க

பகுதி பின்னங்களாக மாற்றுக :\(\frac{x-4}{x^2-3x+2}\)

x²+y²-2x+6y-15=0 என்ற வட்டத்தின் விட்டத்தின் ஒரு முனை (4, 1) எனில் மற்றொரு முனை காண்க.

\(\underset { x\rightarrow 2 }{ lim } =\frac { { ax }+b }{ x+1 } ,\underset { x\rightarrow 0 }{ lim } f\left( x \right) =2\) மற்றும் \(\underset { x\rightarrow 0 }{ lim } f\left( x \right) =1\) எனில் \(f\left( -2 \right) =0\) என நிறுவுக.

இரு தொழிற்சாலைகளின் பொருளாதார அமைப்பின் தொழில் நுட்ப அணி \(\left[ \begin{matrix} 0.50 & 0.30 \\ 0.41 & 0.33 \end{matrix} \right] \)எனில் ஹாக்கின்ஸ் – சைமன் நிபந்தனைகளின்படி தொழிற்சாலைகளின் செயல்பாடு சாத்தியமானதா என சரிபார்க்க.

nP_r = 1680, nC_r = 70 எனில் n மற்றும் r –ன் மதிப்பைக் காண்க.

10.

பின்வருவனவற்றிற்கு வரைபடம் வரைக.
f(x)=e^-2x

11.

பின்வருவனவற்றிற்கு வரைபடம் வரைக.
f(x)=e^2x

12.

\(\left| \begin{matrix} 3 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 5 \\ 4 & 1 & 0 \end{matrix} \right| \)என்ற அணிக்கோவையின் ஒவ்வொரு உறுப்பின் சிற்றணிக்கோவை மற்றும் இணைக்காரணிகள் காண்க.

Generic 2

11 x 2 = 22

13.

ஒரு பகடை இரு முறை உருட்டப்படுகிறது, அப்போது தோன்றும் எண்களின் கூடுதல் ஆறு என கண்டறியப்படுகிறது. குறைந்தது ஒரு முறையாவது 4 என்ற கிடைக்க நிபந்தனைக்குட்பட்ட நிகழ்தகவு என்ன?

14.

பொருளியியல் தேர்வில் முதல் மதிப்பெண் பெரும் மாணவர்களுக்கு ஒரு நபர் ரூ.1,500 யை பரிசுத் தொகையாக ஒவ்வொரு வருடமும் வழங்குகிறார். இத்தொகையை வழங்குவதற்கு அவர் முதலீடு செய்வதற்கு தேவைப்படும் மொத்ததொகை காண்க. ஆண்டிற்கு 12% வட்டி கணக்கிடப்படுகிறது.

15.

ஆண்டுக்கு 10% கூட்டு வட்டி சேர்க்கப்படும் போது ஒவ்வொரு ஆண்டின் இறுதியிலும் ரூ.2000 வீதம் 4 ஆண்டுகளுக்கு செலுத்தப்படும் தவணைப் பங்கீட்டுத் தொகையின் மொத்த தொகையைக் காண்க [log(1.1) = 0.0414 ; antilog(0.1656) = 1.464]

16.

கோணங்கள் A, B மற்றும் C என்பன ஒரு கூட்டுத்தொடர் வரிசையில் உள்ளன எனில் \(cotB=\frac { sinA-sinC }{ cosC-cosA } \) என நிறுவுக.

17.

\(\sin { A } =\frac { 3 }{ 5 } ,0 மற்றும் \(\cos { B } =\frac { -12 }{ 13 } ,\pi எனில், கீழ்க்கண்டவற்றின் மதிப்புகளைக் காண்க:
\(\sin { \left( A-B \right) }\)

18.

பின் வரும் சார்புகளை x ஐ பொறுத்து வகையிடுக.
\(\sqrt { { x }^{ 2 }+x+1 } \)

19.

பின்வருவனவற்றின் முதன்மை மதிப்புகளைக் காண்க tan^-1(-1)

20.

ஈருறுப்பு தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி மதிப்பு காண்க:(999)⁵

21.

\(\cos { A } =\frac { 4 }{ 5 } \) மற்றும் \(\cos { B } =\frac { 12 }{ 13 } \) , \(\frac { 3\pi }{ 2 }\) , எனில் \(\cos { \left( A+B \right) } \) ஆகியவற்றின் மதிப்பு காண்க

22.

கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ள அணிக்கோவைகளின் அனைத்து உறுப்புகளின் சிற்றணிக் கோவைகள் மற்றும் இணைக்காரணிகளைக் காண்க.
\(\left| \begin{matrix} 1 & -3 & 2 \\ 4 & -1 & 2 \\ 3 & 5 & 2 \end{matrix} \right| \)

23.

இரு கோடுகளுக்கு இடைப்பட்ட கோணம் \(\frac { \pi }{ 4 } \), மேலும் ஒரு கோட்டின் சாய்வு 3, எனில் மற்றோர் கோட்டின் சாய்வைக் காண்க.

Multiple Choice Question

20 x 1 = 20

24.

A,B என்ற இரு நிகழ்வுகள் ஒன்றை ஒன்று சார்ந்த நிகழ்வுகள் எனில், நிபந்தனை நிகழ்தகவு PB/A) என்பது

(a)

P(A)P(B/A)

(b)

\(\frac { P(A\cap B) }{ P(B) } \)

(c)

\(\frac { P(A\cap B) }{ P(A) } \)

(d)

P(A)P(A/B)

25.

முதல் கால்மானம் என்பதை பின்வருமாறு அழைக்கலாம்

(a)

இடைநிலை

(b)

கீழ்க்கால்மானம்

(c)

முகடு

(d)

மூன்றாம் பத்துமானம்

26.

ரூ.100 முகமதிப்புடைய 15% க்கு கிடைக்கும் 500 பங்குகளின் ஆண்டு வருமானம்

(a)

ரூ.7,500

(b)

ரூ.5,000

(c)

ரூ.8,000

(d)

ரூ.8,500

27.

ரூ.100 முகமதிப்புடைய 10% சரக்கு முதல் மூலம் ஒருவருக்கு கிடைக்கும் ஈவுத் தொகை ரூ.25,000 எனில்,அவர் வாங்கிய பங்குகளின் எண்ணிக்கை

(a)

3500

(b)

4500

(c)

2500

(d)

300

28.

\(u={ e }^{ x^{ 2 } }\) எனில் \(\frac { \partial u }{ \partial x } \)-ன் மதிப்பு

(a)

\(2x{ e }^{ x^{ 2 } }\)

(b)

\({ e }^{ x^{ 2 } }\)

(c)

2\({ e }^{ x^{ 2 } }\)

(d)

29.

MR, AR மற்றும் η_dக்களுக்கு இடையேயுள்ள தொடர்பானது

(a)

η_d = \(\frac { AR }{ AR-MR } \)

(b)

η_d=AR -MR

(c)

MR =AR = η_d

(d)

AR =\(\frac { MR }{ { \eta }_{ d } } \)

30.

ஒரு நிறுவனத்தின் தேவை மற்றும் அதன் செலவுச் சார்பு முறையே p=2-x மற்றும் C =-2x²+2x+7 எனில்,இதன் இலாபச் சார்பானது

(a)

x² + 7

(b)

x² - 7

(c)

-x²+7

(d)

-x²-7

31.

\({ cosec }^{ -1 }\left( \frac { 2 }{ \sqrt { 3 } } \right) \)-ன் மதிப்பு

(a)

\(\frac { \pi }{ 4 } \)

(b)

\(\frac { \pi }{ 2 } \)

(c)

\(\frac { \pi }{ 3} \)

(d)

\(\frac { \pi }{ 6 } \)

32.

4cos³40^º–3cos40^º -ன் மதிப்பு

(a)

\(\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \)

(b)

\(-\frac { 1 }{ 2 } \)

(c)

\(\frac { 1 }{ 2 } \)

(d)

\(\frac { 1 }{\sqrt 2 } \)

33.

\(tan\theta =\frac { 1 }{ \sqrt { 5 } } \)மற்றும் θ முதல் கால்பகுதியில் அமைகிறது எனில் cos θ ன் மதிப்பு

(a)

\(\frac { 1 }{ \sqrt { 6 } } \)

(b)

\(\frac { -1 }{ \sqrt { 6 } } \)

(c)

\(\frac { \sqrt {5 } }{ \sqrt { 6 } } \)

(d)

\(\frac { -\sqrt {5 } }{ \sqrt { 6 } } \)

34.

\(\frac { d }{ dx } \) (5e^x-2 log x)=

(a)

5e^x - \(\frac { 2 }{ x } \)

(b)

5e^x - 2x

(c)

5e^x - \(\frac { 1 }{ x } \)

(d)

2 log x

35.

x இன் எம்மதிப்புக்கு, f(x)= \(\frac { x+2 }{ x-1 } \)தொடர்ச்சி அற்றது

(a)

-2

(b)

(c)

(d)

-1

36.

y² = -25x பரவளையத்தின் செவ்வகலத்தின் நீளம்.

(a)

(b)

-5

(c)

(d)

37.

x²= 16y என்ற பரவளையத்தின் குவியம்

(a)

(4,0)

(b)

(-4,0)

(c)

(0,4)

(d)

(0,-4)

38.

7x+5y-8 = 0 என்ற கோட்டின் சாய்வு

(a)

\(\frac { 7 }{ 5 } \)

(b)

- \(\frac { 7 }{ 5 } \)

(c)

\(\frac { 5 }{ 7 } \)

(d)

- \(\frac { 5 }{ 7 } \)

39.

\(\Delta =\left| \begin{matrix} { a }_{ 11 } & { a }_{ 12 } & { a }_{ 13 } \\ { a }_{ 21 } & a_{ 22 } & { a }_{ 23 } \\ { a }_{ 31 } & { a }_{ 32 } & { a }_{ 33 } \end{matrix} \right| \)மற்றும் A_ijஎன்பது a_ij இன் இணைக்காரணி எனில் Δ ன் மதிப்பு _____.

(a)

a₁₁A₃₁+a₁₂A₃₂+a₁₃A₃₃

(b)

a₁₁A₁₁+a₁₂A₂₁+a₁₃A₃₁

(c)

a₂₁A₁₁+a₂₂A₁₂+a₁₃A₂₃

(d)

a₁₁A₁₁+a₂₁A₂₁+a₃₁A₃₁

40.

\(A=\left( \begin{matrix} -1 & 2 \\ 1 & -4 \end{matrix} \right) \)எனில் A(adj A) என்பது______.

(a)

\(\left( \begin{matrix} -4 & -2 \\ -1 & -1 \end{matrix} \right) \)

(b)

\(\left( \begin{matrix} 4 & -2 \\ -1 & 1 \end{matrix} \right) \)

(c)

\(\left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right) \)

(d)

\(\left( \begin{matrix} 0 & 2 \\ 2 & 0 \end{matrix} \right) \)

41.

(x - 2y)⁷என்பதன் விரிவில் x³ என்பது எத்தனையாவது உறுப்பு ?

(a)

3^வது

(b)

4^வது

(c)

5^வது

(d)

6^வது

42.

அனைத்தும் \(n\epsilon N\) க்கு (n+1)(n+2)(n+3)-ஐ வகுக்கக்கூடிய மிகப்பெரிய மிகை முழு என் ஆனது _______.

(a)

(b)

(c)

(d)

43.

nP_r = 720 (nC_r), எனில் r -ன் மதிப்பு______.

(a)

(b)

(c)

(d)

Generic 5

11 x 5 = 55

44.

பின்வரும் விவரங்களுக்கு கால்மானம் மற்றும் கால்மான விலக்கக்கெழுவைக் காண்க.

வயது (வருடங்களில்):	20	30	40	50	60	70	80
நபர்களின் எண்ணிக்கை:	13	61	47	15	10	18	36

45.

ரூ.27,000-க்கு பங்கில் முதலீடு செய்ய விஜய் அவர்கள் விரும்புகிறார்.பின்வரும் நிறுவங்களின் பங்குகள் அவருக்கு கிடைக்கின்றன.சம மதிப்பில் நிறுவனம் A இன் பங்கில் விலை ரூ.100.அதிக விலை ரூ.25 உடைய நிறுவனம் B ல் பங்கின் விலை ரூ.100 கழிவு ரூ.10 .உடைய C ன் பங்குகள் ரூ.100.அதிக விலை 20% உடைய நிறுவனம் D இல் பங்கின் விலை ரூ.50 எனில் (i)A (ii) B (iii) C (iv) D ஆகிய நிறுவங்களில் அவர் பங்குகளை வாங்கினால் எத்தனை பங்குகள் கிடைக்கும்

46.

இயந்திரம் A வின் ரூ.15,000 இயந்திரம் B யின் விலை ரூ.20,000 அவற்றிலிருந்து கிடைக்கும் ஆண்டு வருமானம் முறையே ரூ.4,000 மற்றும் ரூ.7,000 ஆகும்.இயந்திரம் A -ன் ஆயுட்காலம் 4-ஆண்டுகள் மற்றும் B ன் ஆயுட்காலம் 7 ஆண்டுகள் எனில்,எந்த இயந்திரத்தை வாங்குவது சிறந்தது (ஆண்டுக்கு 8% கழிவு எனக் கொள்க)

47.

ஒரு நிறுவனம் 20%.அதிக விலையில் ரூ.100 முகமதிப்புள்ள 15% பங்குகளை அறிவித்துள்ளது.திரு.மோகன் என்பவர் ரூ.29,040 முதலீடு செய்கிறார் எனில் பின்ருவனவற்றைக் காண்க
(i) திரு.மோகனால் வாங்கப்படும் பங்குகளின் எண்ணிக்கை
(ii) பங்குகளிலிருந்து அவருக்கு கிடைக்கும் வருடாந்திர வருமானம்
(iii) அவருடைய முதலீட்டிலிருந்து கிடைக்கும் வருமான சதவிகிதம்

48.

u=x³+y³+3xy² என்ற சார்பிற்கு ஆய்லரின் தேற்றத்தைச் சரி பார்க்க

49.

உற்பத்திக்கான மேற்பார்வை செலவு ரூ.1600.ஒரு அலகிற்கான பொருட்செலவு ரூ.30 மற்றும் x அலகுகள் செய்வதற்கான ஊதியம் ரூ.\(\left( \frac { { x }^{ 2 } }{ 100 } \right) \) ஆகும்.சராசரி செலவு சிறுமமாக இருக்க எத்தனை உற்பத்தி செய்யப்பட வேண்டும்

50.

f(x)=4x³–6x²–72x+30 என்ற சார்பு எந்தெந்த இடைவெளிகளில் கூடும் அல்லது குறையும் சார்பு எனக் காண்க

51.

கணிதத் தொகுத்தறிதல் மூலம் அனைத்து n∈N க்கும் கீழ்க்கண்டவற்றை நிறுவுக 4 + 8 + 12 + … + 4n = 2n(n+1).

52.

\(A=\left[ \begin{matrix} 1 & -1 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right] \)எனில் A²-4A+5I₂=0 என நிறுவுக மற்றும் A^-1 காண்க

53.

\(A=\left[ \begin{matrix} 3 & -1 & 1 \\ -15 & 6 & -5 \\ 5 & -2 & 2 \end{matrix} \right] \)ன் நேர்மாறு காண்க

54.

y²-8y-8x+24 =0 என்ற பரவளையத்தின் முனை,குவியம், அச்சு, இயக்குவரை மற்றும் செவ்வகலத்தின் நீளம் ஆகியவற்றை காண்க

Visit QB365-SLMS - https://www.qb365.in/slms/

Answers Key:

Generic 3

12 x 3 = 36

சராசரி =7.5, MD =2.3

பெருக்கு சாரசரியின் கணக்கீடு

மதிப்பெண்கள்	m	f	log m	f log m
0.10	5	8	0.6990	5.5920
10-20	15	12	1.1761	14.1132
20-30	25	18	1.3979	25.1622
30-40	35	8	1.5441	12.3528
40-50	45	6	1.6532	9.9192
		N=52		Σf log m=67.1394

GM=Antilog\(\left( \frac { \Sigma flogX }{ N } \right) \)
=Antilog\(\left( \frac { 67.1394 }{ 52 } \right) \)
GM=Antilog 19.55

f(x)=x²-4x+6
x-ஐ பொறுத்து வகைப்படுத்த
f'(x) = 2x-4
f'(x) = 0 ⇒ 2x-4 = 0
⇒ x = 2

x=2 என்ற புள்ளி மெய்யெண் கோட்டை (-∞,2) மற்றும் (2,∞) என பிரிக்கின்றது
[இடைவெளிகளில் f'(x)-க்கான குறியீடு (+அல்லது-)-யைக் காண,அவ்விடைவெளிகளில் இருந்து x -க்கான ஏதேனும் ஒரு மதிப்பை f'(x)-ல் பிரதியிட்டு காணலாம்]

இடைவெளிகள்	f'(x)=2x-4-ன் குறியீடு	சார்பின் தன்மை
(-∞,2)	< 0	f(x) ஆனது (-∞,2) ல் திட்டமாகக் குறையும் சார்பு
(2,∞)	> 0	f(x) ஆனது (2,∞) ல் திட்டமாகக் குறையும் சார்பு

\(\frac { x-4 }{ { x }^{ 2 }-3x+2 } =\frac { x-4 }{ (x-1)(x-2) } \)
\(\Rightarrow \frac { x-4 }{ { x }^{ 2 }-3x+2 } =\frac { A }{ x-1 } +\frac { B }{ x-2 } \)
\(\frac{x-4}{(x-2)(x-1)}=\frac{A(x-1)+B(x-2)}{(x-2)(x-1)}\)
\(\Rightarrow x-4=A(x-2)+B(x-1)\)
x = 2 ன் (1) பிரதியிட
\(-2=A \Rightarrow A=-2\)
x = 1 ன் (1) பிரதியிட
\(-3=B(-1) \Rightarrow B=3\)
\(\therefore \frac { x-4 }{ { x }^{ 2 }-3x+2 } =\frac { 3 }{ x-1 } -\frac { 2 }{ x-2 } \)

(–2, –7)

\(f\left( -2 \right) =0\)

B \(=\begin{bmatrix} 0.50 & 0.30 \\ 0.41 & 0.33 \end{bmatrix}\)
I - B = \(\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 0.50 & 0.30 \\ 0.41 & 0.33 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0.50 & -0.30 \\ -0.41 & 0.67 \end{bmatrix}\)
= (0.50) (0.67) - (0.30) (0.41)
\(|I-B|\) = 0.335 - 0.123 = 0.212 > 0
சாத்தியமானது

\(n P_r=1680 ; n C_r=70\)
\(\frac{n P_r}{r !}=70\)
\(\frac{1680}{r !}=70\)
\(r !=\frac{1680}{70}=24\)
\(r !=4 ! \Rightarrow r=4\)
\(n P_4=1680\)
\(n(n-1)(n-2)(n-3)=8 \times 7 \times 6 \times 5\)
\(n=8\)

10.

11.

12.

3 இன் சிற்றணிக்கோவை M₁₁=\(\left| \begin{matrix} 2 & 5 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right| \)=0-5=-5
1 இன் சிற்றணிக்கோவை M₁₂ =\(\left| \begin{matrix} 2 & 5 \\ 4 & 0 \end{matrix} \right| \)=0-20=-20
2 இன் சிற்றணிக்கோவை M₁₃ =\(\left| \begin{matrix} 2 & 2 \\ 4 & 1 \end{matrix} \right| \)=2-8=-6
2 இன் சிற்றணிக்கோவை M₂₁ =\(\left| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right| \)=0-2=-2
2 இன் சிற்றணிக்கோவை M₂₂ =\(\left| \begin{matrix} 3 & 2 \\ 4 & 0 \end{matrix} \right| \)=0-8=-8
5 இன் சிற்றணிக்கோவை M₂₃ = \(\left| \begin{matrix} 3 & 1 \\ 4 & 1 \end{matrix} \right|\)=3-4=-1
4 இன் சிற்றணிக்கோவை M₃₁ = \(\left| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 5 \end{matrix} \right| \)=5-4=1
1 இன் சிற்றணிக்கோவை M₃₂ = \(\left| \begin{matrix} 3 & 2 \\ 2 & 5 \end{matrix} \right| \)=15-4=11
0 இன் சிற்றணிக்கோவை M₃₃ =\(\left| \begin{matrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{matrix} \right| \)=6-2=4
3 இன் இணைக்காரணி A₁₁=(-1)¹⁺¹M₁₁=M₁₁=-5
1 இன் இணைக்காரணி A₁₂ =(-1)¹⁺² M₁₂=-M₁₂=20
2 இன் இணைக்காரணி A₁₃ =(-1)¹⁺³M₁₃=M₁₃=-6
2 இன் இணைக்காரணி A₂₁ =(-1)²⁺¹M₂₁=-M₂₁=2
2 இன் இணைக்காரணி A₂₂=(-1)²⁺²M₂₂=M₂₂=-8
5 இன் இணைக்காரணி A₂₃ =(-1)²⁺³M₂₃=-M₂₃=1
4 இன் இணைக்காரணி A₃₁ =(-1)³⁺¹M₃₁=M₃₁=1
1 இன் இணைக்காரணி A₃₂ =(-1)³⁺²M₃₂=-M₃₂=-11
0 இன் இணைக்காரணி A₃₃=(-1)³⁺³M₃₃=M₃₃=4

Generic 2

11 x 2 = 22

13.

2/5

14.

ரூ 12500

15.

16.

\(\frac { sinA-sinC }{ cosC-cosA } =\frac { 2sin\left( \frac { A-C }{ 2 } \right) cos\left( \frac { A+C }{ 2 } \right) }{ 2sin\left( \frac { A+C }{ 2 } \right) sin\left( \frac { A-C }{ 2 } \right) } \)
\(=\frac { cos\left( \frac { A+C }{ 2 } \right) }{ sin\left( \frac { A+C }{ 2 } \right) } =cot\left( \frac { A+C }{ 2 } \right) \)
= cotB (A,B,C என்பன கூட்டுத்தொடர் வரிசை என்பதால் \(B=\frac { A+C }{ 2 } \))

17.

\(\frac { -16 }{ 65 } \)

18.

\(y=\sqrt { { x }^{ 2 }+x+1 } \)
u = x² +x + 1 எனில் \(y=\sqrt { u } \)
u = x²+x + 1 என்ற சார்பை x ஐ பொறுத்து வகையிட
நாம் பெறுவது,\(\frac { du }{ dx } =2x+1\)
\(y=\sqrt { u } \) என்ற சார்பை u ஐ பொறுத்து வகையிட,
நாம் பெ றுவது,\(\frac { dy }{ du } =\frac { 1 }{ 2\sqrt { u } \\ } \)
\(=\frac { 1 }{ 2\sqrt { { x }^{ 2 }+x+1 } } \)
\(\frac { dy }{ dx } =\frac { dy }{ du } .\frac { du }{ dx } =\frac { 1 }{ 2\sqrt { { x }^{ 2 }+x+1 } } .\left( 2x+1 \right) \)
\(=\frac { 2x+1 }{ 2\sqrt { { x }^{ 2 }+x+1 } } \)

19.

\(\frac { -\pi }{ 4 } \)

20.

(999)⁵ = (1000 - 1)⁵
\(=5 C_0(1000)^5-5 C_1(1000)^4+5 C_2(1000)^3 -5 C_3(1000)^2+5 C_4(1000)-5 C_5\)
= 1000,000,000,000,000 - 5 (1,000,000,000,000) + 10 (1,000,000,000) -10 (1000,000) + 5 (1000)-1
= 1000000000000000 - 5000000000000 + 10000000000 - 10000000+ 5000 1
= 99 500 999 000 4999

21.

அதாவது \(\frac { 3\pi }{ 2 } , A மற்றும் B ஆகியன நான்காம் கால் பகுதியில் அமைகிறது. எனில் \(\sin { A }\) மற்றும் \(\sin { B } \) ஆகியவை குறைகுறி உடையதாக இருக்கும்.
ஆகவே,
\(\sin { A } =-\sqrt { 1-\cos ^{ 2 }{ A } } \)
\(=-\sqrt { 1-\frac { 16 }{ 25 } } \)
\(=-\sqrt { \frac { 25-16 }{ 25 } } \)
\(=-\frac { 3 }{ 5 } \)
\(\sin { B } =-\sqrt { 1-\cos ^{ 2 }{ B } } \)
\(=-\sqrt { 1-\frac { 144 }{ 169 } } \)
\(=-\sqrt { \frac { 169-144 }{ 169 } } \)
\(=-\frac { 5 }{ 13 } \)
\(\Rightarrow \) \(\cos { \left( A+B \right) } =\cos { A } \cos { B } -\sin { A } \sin { B } \)
\(=\left( \frac { 4 }{ 5 } \right) \left( \frac { 12 }{ 13 } \right) -\left( -\frac { 3 }{ 5 } \right) \left( -\frac { 5 }{ 13 } \right) \)
\(=\frac { 48 }{ 65 } -\frac { 15 }{ 65 } =\frac { 33 }{ 65 } \)

22.

B = \(\begin{vmatrix} 1 &-3 &2 \\4 &-1&2\\3&5&2 \end{vmatrix}\)
Minor of 1 = M₁₁ = \(\begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 5 & 2 \end{vmatrix}=-2-10=-12\)
Minor of -3 = M₁₂ = \(\begin{vmatrix}4 &2 \\ 3 & 2 \end{vmatrix}=8-6=2\)
Minor of 2 = M₁₃ = \(\begin{vmatrix} 4 & -1 \\ 3 & 5\end{vmatrix}=20+3=23\)
Minor of 4 = M₂₁ = \(\begin{vmatrix} -3 & 2 \\5 & 2 \end{vmatrix}=-6+10=-16\)
Minor of -1 = M₂₂ = \(\begin{vmatrix}1 & 2 \\ 3 & 2 \end{vmatrix}=2-6=-4\)
Minor of 2 = M₂₃ = \(\begin{vmatrix} 1& -3 \\3 &5 \end{vmatrix}=5+9=14\)
Minor of 3 = M₃₁ = \(\begin{vmatrix} -3 &2 \\ -1 & 2 \end{vmatrix}=-6+2=-4\)
Minor of 3 = M₃₂ = \(\left|\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 4 & 2 \end{array}\right|=2-8=-6\)
Minor of 2 = M₃₃ = \(\begin{vmatrix} 1 & -3 \\4 & -1 \end{vmatrix}=-1+12=11\)
Co-factor of 1 = A₁₁ = (-1)¹⁺¹ M₁₁ = -12
Co-factor of -3 = A₁₂= (-1)¹⁺² M₁₂= -2
Co-factor of 2 = A₁₃= (-1)¹⁺³ M₁₃ = 23
Co-factor of 4 = A₂₁ = (-1)²⁺¹ M₂₁= 16
Co-factor of -1 = A₂₂ = (-1)²⁺² M₂₂= -4
Co-factor of 2 = A₂₃ = (-1)2+3 M₂₃= -14
Co-factor of 3 = A₃₁ = (-1)³⁺¹ M₃₁= -4
Co- factor of 5 = A₃₂ = (-1)³⁺² M₃₂= 6
Co-factor of 2 = A₃₃ = (-1)³⁺³ M₃₃ = 11

23.

m₁ மற்றும் m₂ ஆகியவகைளை சாய்வுகளாக உடைய நேர்கோடுகளுக்கு இடைப்பட்ட கோணம் θ எனில்
tan θ = \(\left| \frac { { m }_{ 1 }-{ m }_{ 2 } }{ 1+{ m }_{ 1 }{ m }_{ 2 } } \right| \)
இங்கு m₁ = 3 ,θ = \(\frac { \pi }{ 4 } \)
∴ \(tan\frac { \pi }{ 4 } =\left| \frac { 3-{ m }_{ 2 } }{ 1+3{ m }_{ 2 } } \right| \)
1 = \(\left( \frac { 3-{ m }_{ 2 } }{ 1+3{ m }_{ 2 } } \right) \)
1+ 3m₂ =3 - m₂
⇒ m2 = \(\frac { 1 }{ 2 } \)
மற்றோர் கோட்டின் சாய்வு \(\frac { 1 }{ 2 } \)

Multiple Choice Question

20 x 1 = 20

24.

25.

(b)
கீழ்க்கால்மானம்

26.

(a)
ரூ.7,500

27.

(a)
3500

28.

(a)
\(2x{ e }^{ x^{ 2 } }\)

29.

(a)
η_d = \(\frac { AR }{ AR-MR } \)

30.

(a)
x² + 7

31.

32.

(b)
\(-\frac { 1 }{ 2 } \)

33.

34.

(a)
5e^x - \(\frac { 2 }{ x } \)

35.

(b)
1

36.

(a)
25

37.

38.

(b)
- \(\frac { 7 }{ 5 } \)

39.

(d)
a₁₁A₁₁+a₂₁A₂₁+a₃₁A₃₁

40.

\(|A|=4-2=2\)
\(A(\operatorname{adj} A)=|A| I=\left(\begin{array}{ll} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{array}\right)\)

41.

42.

n = 1 then (1) (2) (3) (4) = 24 ஆல் வகுப்படும் எண் = 24

43.

\(n P_r =720(\mathrm{nCr}) \)
\(\frac{n !}{(n-r) !} =720\left(\frac{n !}{r !(n-r) !}\right) \)
\(r ! =720 \)
\(r ! =6 ! \)
r = 6

Generic 5

11 x 5 = 55

44.

Q₁ = 30, Q₃ = 70, Q_D = 20 , QD -ன் கெழு = 0.4

45.

46.

47.

48.

49.

கொடுக்கப்பட்ட தகவலின்படி,ஒரு குறிப்பிட்ட பொருளின் x -அலகுகள் தயாரிப்பதற்கான மொத்த செலவு C (x)=(உற்பத்தி செய்வதற்கான ஊதியம்)+(பொருட்செலவு)+(உற்பத்திக்கான மேற்பார்வைச் செலவு)
C(x) =\(\frac { { x }^{ 2 } }{ 100 } \)+30x+1600
AC =\(\frac { C(x) }{ x } \)
= \(\frac { \frac { { x }^{ 2 } }{ 100 } +30x+1600 }{ x } \)
= \(\frac { { x }^{ 2 } }{ 100 } +30x+\frac { 1600 }{ x } \)
\(\frac { d(AC) }{ dx } =\frac { 1 }{ 100 } -\frac { 1600 }{ { x }^{ 2 } } \)
\(\frac { d^{ 2 }(AC) }{ dx^{ 2 } } =\frac { 3200 }{ { x }^{ 3 } } \)
\(\frac { d(AC) }{ dx } =0\quad \Rightarrow -\frac { 1600 }{ { x }^{ 2 } } +\frac { 1 }{ 100 } =0\)
\(\Rightarrow \frac { 1 }{ 100 } =\frac { 1600 }{ { x }^{ 2 } } \)
x²= 160000
∴ x = 400 (-400 ஏற்புடையதல்ல)
x = 400 எனில் \(\frac { { d }^{ 2 }(AC) }{ dx^{ 2 } } =\frac { 3200 }{ 400^{ 3 } } >0\)
அதாவது x = 400 எனில் AC ஆனது சிறுமத்தை அடைகிறது
சராசரி செலவு சிறுமமாக இருக்க 400 அலகுகள் உற்பத்தி செய்யப்பட வேண்டும்

50.

f(x) = 4x³-6x²–72x+30
f'(x) = 12x²-12x-72
= 12(x²–x–6)
= 12(x–3)(x+2)
f'(x) = 0 ⇒12(x–3)(x+2)=0
x=3 (or) x=-2
x =3 மற்றும் x=-2 என்ற புள்ளிகளில் f(x) தேக்கநிலையை அடையும்

இந்த மெய்யெண் கோடு (∞,-2),(-2,3) மற்றும் (3,∞) என மூன்று பிரிவுகளாகப் பிரிக்கப்படுகிறது

இடைவெளிகள்	f'(x)-ன் குறியீடு	கூடும்/குறையும் இடைவெளி
(-∞,-2)	(-) (-) > 0	இடைவெளி (,-∞-2]-ல் கூடும் சார்பு
(-2,-3)	(-) (+) < 0	இடைவெளி [-2,3]-ல் குறையும் சார்பு
(3,∞)	(+) (+) > 0	இடைவெளி [3,∞]-ல் குறையும் சார்பு

51.

P(n) என்பது குறிக்கும் கூற்று : 4 + 8 + 12 + ...... + 4n = 2n(n + 1)
n = 1 என பிரதியிட
LHS = 4
RHS ⇒ 2(2) = 4
LHS = RHS
∴ P(1) என்பது உண்மையாகும்.
i.e., P(k) என்பது உண்மையாகும்.
p(k) : 4 + 8 + 12 + ..... + 4 = 2k(k + 1)
P(k + 1) என்பது உண்மையென நிரூபிக்க
4 + 8 + .... + 4k + 4(k + 1) = 2(k + 1) = 2(k + 1)(k + 2)
P(k) + 4(k + 1)
= 2k(k + 1) + 4(k + 1)
= (k + 1)(2k + 4) [using (1)]
= 2(k + 1)(k + 2) = RHS
∴ P(k +1) என்பது உண்மையாகும்.
∴ இவ்வாறாக P(k) என்பது உண்மையெனில் P(k +1) என்பது உண்மையாகும்.
P(n) என்பது அனைத்து \(n\in N\) க்கும் உண்மையாகும்.

52.

\(A^{-1}=\left(\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 2 & 3 \end{array}\right)\)
\(A^2=\left(\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 2 & 3 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 2 & 3 \end{array}\right)\)
\(=\left(\begin{array}{ll} 1-2 & -1-3 \\ 2+6 & -2+9 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} -1 & -4 \\ 8 & 7 \end{array}\right)\)
\(\mathrm{LHS}=A^2-4 A+5 l_2\)
\(=\left(\begin{array}{cc} -1 & -4 \\ 8 & 7 \end{array}\right)-4\left(\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 2 & 3 \end{array}\right)+5\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right)\)
\(=\left(\begin{array}{cc} -1 & -4 \\ 8 & 7 \end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc} 4 & -4 \\ 8 & 12 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{ll} 5 & 0 \\ 0 & 5 \end{array}\right)\)
\(=\left(\begin{array}{cc} -1 & -4 \\ 8 & 7 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc} 1 & 4 \\ -8 & -7 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right)\)
\(=O=R H S\)
\(\mathrm{A}^{-1}=\frac{1}{|A|} \operatorname{adj} A\)
\(|A|=3+2=5 \neq 0\)
\(A^{-1}=\frac{1}{5}\left(\begin{array}{cc} 3 & 1 \\ -2 & 1 \end{array}\right)\)
\(\frac { 1 }{ 5 } \left[ \begin{matrix} 3 & 1 \\ -2 & 1 \end{matrix} \right] \)

53.

\(A=\left(\begin{array}{ccc} 3 & -1 & 1 \\ -15 & 6 & -5 \\ 5 & -2 & 2 \end{array}\right)\)
\(|A|=3(12-10)+1(-30+25)+1(30-30)\)
\(=6-5=1 \neq 0\)
A^–1 யைக் காணஇயலும்.
\(=\left(\begin{array}{ccc} 2 & 5 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 3 \end{array}\right)\)
\(A^{-1}=\frac{1}{|A|} \operatorname{adj} A=\left(\begin{array}{ccc} 2 & 0 & -1 \\ 5 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \end{array}\right)\)
\(\left[ \begin{matrix} 2 & 0 & -1 \\ 5 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \end{matrix} \right] \)

54.

அச்சு	முனை	குவியம்	இயக்குவரையின் சமன்பாடு	செவ்வகலம்
y=4	V(1,4)	F(3,4)	x+1 =0	4 அலகுகள்