\(\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \)

5 சிறுவர்கள் 5P₅ = 5! இல் ஒரு வரிசையில் அமரலாம் ஏற்பாடு பின்வருமாறு இருக்க முடியும்.
GB GB GB GB GB GB
இரண்டு பெண்களும் ஒன்றுசேரக்கூடாது என்பதால், நாங்கள் 3 பெண்களை 6 இடங்களில் ஏற்பாடு செய்யலாம், அதை 6P₃ வழிகளில் செய்யலாம்.
மொத்த எண். இருக்கை ஏற்பாடு
\(=5 ! \times 6 P_3=5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 6 \times 5 \times 4\)
= 14400

\({ 405 }^{ o }{ 30 }^{ \prime }\)

மாணவர்கள், வட்ட த்தின் மீதான வரிசைபடுத்தும்போது வரிசை மாற்றங்களின் எண்ணிக்கை (8–1)! = 7! (இங்கு வலச்சுற்றுக்கும், இடச்சுற்றுக்கும் வேறுபாடு காண இயலும்)

\(\tan { \left( -1215^{ o } \right) } =-\tan { \left( 1215^{ o } \right) } =-\tan { \left( 3\times { 360 }^{ o }+{ 135 }^{ \\ o } \right) } \)
\(=-\tan { \left( 135^{ o } \right) } =-\tan { \left( 90^{ o }+45^{ o } \right) } =-\left( -\cot { { 45 }^{ o } } \right) =1\)

இங்கு a= 2 , b= 2,h =\(\frac { 5 }{ 2 } \) ,g =\(\frac { 15 }{ 2 } \) ,f =9, c = k
கொடுக்கப்பட்ட கோடு இரட்டை நேர்க்கோடுகளை குறிப்பதால்
 abc+2fg-af²-bg²-ch²  =0
i.e 4k+\(\frac { 675 }{ 2 } -162-\frac { 225 }{ 2 } -\frac { 25 }{ 4 } k\)   =0
⇒ 16k+1350-648-450-25k =0
⇒ 9k = 252 ∴ k = 28

\({5P}_{3}=\frac{5!}{(2-3)!}=\frac{5!}{2!}=60 \)
\(P(8,5)={8P}_{5}\)
\(=\frac{8!}{(8-5)!}\)
\(=\frac{8!}{3!}\)
\(=\frac{8\times7\times6\times5\times4\times3\times!}{3!}=6720\)

(n + 2)! = 60(n - 1)!
(n + 2)(n + 1)(n)(n - 1)! = 60(n - 1)!
(n + 2)(n + 1)(n) = 60
(n + 2)(n + 1)(n) = 5 \(\times \) 4  \(\times \) 3
n = 3

f(x) = ax + b , f(1) = 1 மற்றும் f(2) = 3 (கொடுக்கப்பட்டுள்ளபடி)
∴ a + b = 1 மற்றும் 2a + b = 3
⇒ a = 2 மற்றும் b = –1

B = \(\begin{vmatrix} 1 &-3 &2 \\4 &-1&2\\3&5&2 \end{vmatrix}\)
Minor of 1 = M₁₁ = \(\begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 5 & 2 \end{vmatrix}=-2-10=-12\)
Minor of -3 = M₁₂ = \(\begin{vmatrix}4 &2 \\ 3 & 2 \end{vmatrix}=8-6=2\)
Minor of 2 = M₁₃ = \(\begin{vmatrix} 4 & -1 \\ 3 & 5\end{vmatrix}=20+3=23\)
Minor of 4 = M₂₁ = \(\begin{vmatrix} -3 & 2 \\5 & 2 \end{vmatrix}=-6+10=-16\)
Minor of -1 = M₂₂ = \(\begin{vmatrix}1 & 2 \\ 3 & 2 \end{vmatrix}=2-6=-4\)
Minor of 2 = M₂₃ = \(\begin{vmatrix} 1& -3 \\3 &5 \end{vmatrix}=5+9=14\)
Minor of 3 = M₃₁ = \(\begin{vmatrix} -3 &2 \\ -1 & 2 \end{vmatrix}=-6+2=-4\)
Minor of 3 = M₃₂ = \(\left|\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 4 & 2 \end{array}\right|=2-8=-6\)
Minor of 2 = M₃₃ = \(\begin{vmatrix} 1 & -3 \\4 & -1 \end{vmatrix}=-1+12=11\)
Co-factor of 1 = A₁₁ = (-1)¹⁺¹ M₁₁ = -12
Co-factor of -3 = A₁₂= (-1)¹⁺² M₁₂ = -2
Co-factor of 2 = A₁₃= (-1)¹⁺³ M₁₃ = 23
Co-factor of 4 = A₂₁ = (-1)²⁺¹ M₂₁ = 16
Co-factor of -1 = A₂₂ = (-1)²⁺² M₂₂ = -4
Co-factor of 2 = A₂₃ = (-1)2+3 M₂₃ = -14
Co-factor of 3 = A₃₁ = (-1)³⁺¹ M₃₁ = -4
Co- factor of 5 = A₃₂ = (-1)³⁺² M₃₂ = 6
Co-factor of 2 = A₃₃ = (-1)³⁺³ M₃₃ = 11

\(\left| \begin{matrix} 2 & 4 \\ -1 & 4 \end{matrix} \right| \) = (2)(4)-(-1)4
= 8 + 4 = 12

x+2 =0

\(\underset { x\rightarrow \infty }{ lim } \frac { \sum { { n }^{ 2 } } }{ { n }^{ 3 } } =\underset { x\rightarrow \infty }{ lim } \frac { n\left( n+1 \right) \left( 2n+1 \right) }{ 6{ n }^{ 3 } } \)
\(=\underset { x\rightarrow \infty }{ lim } \frac { 1 }{ 6 } \left\{ \left( \frac { n }{ n } \right) \left( \frac { n+1 }{ n } \right) \left( \frac { 2n+1 }{ n } \right) \right\} \)
\(=\frac { 1 }{ 6 } \underset { x\rightarrow \infty }{ lim } \left\{ \left( 1+\frac { 1 }{ n } \right) \left( 2+\frac { 1 }{ n } \right) \right\} \)
\(=\frac { 1 }{ 6 } \left( 1 \right) \left( 2 \right) \)
\(=\frac { 1 }{ 3 } \)

\(A=\left[ \begin{matrix} 2 & 4 \\ -3 & 2 \end{matrix} \right] \)
\(|A|=\left[ \begin{matrix} 2 & 4 \\ -3 & 2 \end{matrix} \right] \)
=16 ≠ 0
A என்பது பூச்சியமற்ற கோவை அணி ஆகையால்,A^-1யைக் காணஇயலும்.
adj \(A=\left[ \begin{matrix} 2 & -4 \\3 & 2 \end{matrix} \right] \)
\({ A }^{ -1 }=\frac { 1 }{ \left| A \right| } adjA\)
\(=\frac { 1 }{ 16 } \left[ \begin{matrix} 2 & -4 \\ 3 & 2 \end{matrix} \right] \)

ஒரு கிலோ வெங்காயம், கோதுமை,அரிசியின் மொத்த விலைகள் முறையே x ,y ,z என்க.
4x + 3y + 2z = 320
2x + 4y + 6z = 560
6x + 2y + 3z = 380
இதனை   
 \(\left[ \begin{matrix} 4 & 3 & 2 \\ 2 & 4 & 6 \\ 6 & 2 & 3 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 320 \\ 560 \\ 380 \end{matrix} \right] \)என எழுதலாம்.
AX = B
இங்கு,  \(A=\left[ \begin{matrix} 4 & 3 & 2 \\ 2 & 4 & 6 \\ 6 & 2 & 3 \end{matrix} \right] ,X= \left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right] \)மற்றும் \(B =\left[ \begin{matrix} 320 \\ 560 \\ 380 \end{matrix} \right] \)
\(|A|=\left[ \begin{matrix} 4 & 3 & 2 \\ 2 & 4 & 6 \\ 6 & 2 & 3 \end{matrix} \right]\)=50≠0
A^–1 யைக் காணஇயலும்.
A₁₁ = 0 A₁₂ = 30 A₁₃ = –20
A₂₁ = –5 A₂₂ = 0 A₂₃ = 10
A₃₁ = 10 A₃₂ = –20 A₃₃ = 10
[A_ij] =\(\left[ \begin{matrix} 0 & 30 & -20 \\ -5 & 0 & 10 \\ 10 & -20 & 10 \end{matrix} \right]\)
adj A = [A_ij]^T
=\(\left[ \begin{matrix} 0 & 5 & -10 \\ 30 & 0 & -20 \\ -20 & 10 & 10 \end{matrix} \right]\)
\(A^{-1}=\frac{1}{|A|}adjA\)
=\(\frac{1}{50}=\left[ \begin{matrix} 0 & -5 & 10 \\ 30 & 0 & -20 \\ -20 & 10 & 10 \end{matrix} \right]\)
X=A^-1B
=\(\frac{1}{50}=\left[ \begin{matrix} 0 & -5 & 10 \\ 30 & 0 & -20 \\ -20 & 10 & 10 \end{matrix} \right]\)\(\left[ \begin{matrix} 320 \\ 560 \\ 380 \end{matrix} \right] \)
=\(\frac{1}{5}=\left[ \begin{matrix} 0 & -5 & 10 \\ 30 & 0 & -20 \\ -20 & 10 & 10 \end{matrix} \right]\)\(\left[ \begin{matrix} 32 \\ 56 \\ 38 \end{matrix} \right] \)
=\(\frac{1}{5}=\left[ \begin{matrix} 0 & -280 & +380 \\ 960 & 0 & -760 \\ -640 & +560 & +380 \end{matrix} \right]\)=\(\frac{1}{5}=\left[ \begin{matrix} 100 \\ 200 \\ 300 \end{matrix} \right] \)
\(\left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right] \)=\(\left[ \begin{matrix} 20 \\ 40 \\ 60 \end{matrix} \right] \)

x = 20, y = 40, z = 60
ஒரு கிலோ வெங்காயத்தின் விலை =ரூ20.
ஒரு கிலோ கோதுமையின் விலை =ரூ 40
ஒரு கிலோ அரிசியின் விலை =ரூ 60

\(\left|\begin{array}{ccc} x & x^2 & 1 \\ y & y^2 & 1 \\ z & z^2 & 1 \end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc} x & -y z & 1 \\ y & -z x & 1 \\ z & -x y & 1 \end{array}\right|\)
R₁, R₂, R₃, 
\(\left|\begin{array}{ccc} x & x^2 & 1 \\ y & y^2 & 1 \\ z & z^2 & 1 \end{array}\right|-\frac{1}{x y z}\left|\begin{array}{ccc} x^2 & x y z & x \\ y^2 & x y z & y \\ z^2 & x y z & z \end{array}\right|\)
\(=\left|\begin{array}{lll} x & x^2 & 1 \\ y & y^2 & 1 \\ z & z^2 & 1 \end{array}\right|-\frac{x y z}{x y z}\left|\begin{array}{ccc} x^2 & 1 & x \\ y^2 & 1 & y \\ z^2 & 1 & z \end{array}\right|\)
\(=\left|\begin{array}{lll} x & x^2 & 1 \\ y & y^2 & 1 \\ z & z^2 & 1 \end{array}\right|-\left|\begin{array}{lll} x & x^2 & 1 \\ y & y^2 & 1 \\ z & z^2 & 1 \end{array}\right|=0\)

\(|A|=6-5=1\)
\(A^{-1}=\left(\begin{array}{cc} 2 & -1 \\ -5 & 3 \end{array}\right)\)

\(\left|\begin{array}{lll} 0 & 1 & 0 \\ x & 2 & x \\ 1 & 3 & x \end{array}\right|=0 \Rightarrow-1\left[x^2-x\right]=0\)
\(\Rightarrow x(x-1)=0 \Rightarrow x=0,1\)