0.382

2/5

ரூ 12500

y=x³+19
  \(\frac { dy }{ dx } ={ 3x }^{ 2 }\)                ..(1)
கணக்கின் படி  \(\frac { dy }{ dx } =27\)....(2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து,நாம் பெறுவது
3x² = 27
∴ x = ±3

\(\frac { -\pi }{ 6 } \)

வட்ட மையம் C(–1, 3)
இது ax+2y+2 = 0 என்ற நேர்க்கோட்டின் மேல் உள்ளது
எனவே -a+6+2 = 0
  a =6

ஒற்றைச் சார்பு

8 மாணவர்களின் நேர்கோட்டின் மீதான வரிசை மாற்றங்களின் எண்ணிக்கை = 8P₈ = 8! வழிகள்

\(\left| \overset { x }{ 2x\underset { a }{ + } 2a } \quad \overset { y }{ 2y\underset { b }{ + } 2b } \quad \overset { z }{ 2z\underset { c }{ + } 2c } \right|\)
\(=\left| \begin{matrix} x & y & z \\ 2x & 2y & 2z \\ a & b & c \end{matrix} \right| +\left| \begin{matrix} x & y & z \\ 2a & 2b & 2c \\ a & b & c \end{matrix} \right| \)
= 0 + 0 = 0

0.95

(i) மாறிகள்
(ii) x₁, x₂ முறையே மேசை மற்றும் நாற்காலிகளின் எண்ணிக்கை என்க.
(iii) குறிக்கோள் சார்பு
x₁ மேசைகளின் இலாபம் = 50 x₁
x₂ நாற்காலிகளின் இலாபம் = 15 x₁
மொத்த இலாபம் = 50 x₁ + 15x₂
இதனை Z=50x₁ + 15x₂, என எழுதலாம் மீப்பெரு இலாபம் பெற Z=50x₁ + 15x₂,-ஐ மீப்பெரிதாக்க வேண்டும்.
(iv) கட்டுப்பாடுகள்
வியாபாரியிடம் அதிக பட்சமாக 60 பொருள்களை வைப்பதற்கான இடவசதி உள்ளது.
x₁ + x₂ \(\le \) 60
x₁ மேசைகளின் விலை = ரூ 500 x₁
x₂ நாற்காலிகளின் விலை =ரூ 200 x₂
மொத்த விலை = 500x₁ + 200 x₂,
மொத்த விலை 10000க்கு மேல் இருக்கக் கூடாது.
500x₁ + 200 x₂ \(\le \) 10000
5x₁ + 2x₂ \(\le \) 100
(v) குறை குறியற்ற நிபந்தனைகள்:
மேசை மற்றும் நாற்காலிகளின் எண்ணிக்கை குறை குறியற்றவை என்பதால் x₁ \(\ge \) 0, x₂ \(\ge \)0 ஆகும்.
எனவே நேரியல் திட்டமிடல் கணக்கு (I.P.P) கீழ்க்கண்ட வடிவத்தைப் பெறுகிறது.
x₁ + x₂ \(\le \) 60
5x₁ + 2x₂ \(\le \) 100
x₁, x₂ \(\ge \)0 என்ற கட்டுப்பாடுகளுக்கு இணங்க,
Z=50x₁ + 15x₂ -ன் மீப்பெருமதிப்பைக் காண்க.

பெருக்கு சாரசரியின் கணக்கீடு

GM=Antilog\(\left( \frac { \Sigma flogX }{ N } \right) \)
=Antilog\(\left( \frac { 67.1394 }{ 52 } \right) \)
GM=Antilog 19.55

முகமதிப்பு =ரூ.100
சந்தை மதிப்பு =ரூ.(100-17+1)
= ரூ. 84
∴ வருமான வீதம் =\(\frac { (12\times 100) }{ 84 } \)
= \(\frac { 100 }{ 7 } =14\frac { 2 }{ 7 } \)
∴  = 14\(\frac { 2 }{ 7 } \)%

LHS = sin20^o sin40^o sin60^o sin80^o
= sin 60^o sin 20^o sin(60^o - 20^o)sin(60^o + 20^o)
=\(\frac{\sqrt3}{2}\) sin 20^o (sin²60^o  - sin² 20^o)
=\(\frac{\sqrt3}{2}\)sin 20^o (\(\frac{3}{4}\) - sin² 20^o)
=\((\frac{\sqrt3}{2})(\frac{1}{4})\)sin 60^o =\((\frac{\sqrt3}{2})(\frac{1}{4})(\frac{\sqrt3}{2})=\frac{3}{16}=RHS\)

(101)⁵ = (100 + 1)⁵
= (100)⁵ + 5C₁ (100)⁴ + 5C₂ (100)³ + 5C₃ (100)² + 5C₄ (100) + 5C₅
= 10000000000+ 5(100000000) + 10(1000000) + 10(10000) + 5(100) + 1
= 10000000000 + 500000000 + 10000000 + 100000 + 500 + 1
= 10510100501

x²+y²+6x+4y-3 =0

\(f\left( x \right) =x+\frac { 1 }{ x } \),\(f\left( x^{ 3 } \right) ={ x }^{ 3 }+\frac { 1 }{ { x }^{ 3 } } ,f\left( \frac { 1 }{ x } \right) =f\left( x \right) \)
இப்போது, LHS = [f(x)]³
\(=\left[ x+\frac { 1 }{ x } \right] ^{ 3 }\)
\(={ x }^{ 3 }+\frac { 1 }{ { x }^{ 3 } } +3\left( x+\frac { 1 }{ x } \right) \)
\(=f\left( x^{ 3 } \right) +3f\left( x \right) =f\left( x^{ 3 } \right) +3f\left( \frac { 1 }{ x } \right) \)
= RHS

\(\left| \begin{matrix} 2 & x & 3 \\ 4 & 1 & 6 \\ 1 & 2 & 7 \end{matrix} \right| =0\)

⇒ 2 (7 -12) -x (28- 6) + 3 (8 - 1) = 0
⇒ -10 - 22x + 21 = 0
⇒ 11 = 22x
⇒ \(x={11\over 22}={1\over 2}\)

\(\bar { X } =\frac { \Sigma X }{ N } =\frac { 338 }{ 7 } \)=48.29
\(\bar { Y } =\frac { \Sigma Y }{ N } =\frac { 361 }{ 7 } \)=5157
(i) X ன் மீது Y-ன் தொடர்புப் போக்குக் கெழு
b_yx =\(\frac { N\Sigma dxdy-(\Sigma dx)(\Sigma dy) }{ N\Sigma dx^{ 2 }-(\Sigma dx)^{ 2 } } \)
=\(\frac { 7(732)-(2)(11) }{ 7(774)-(2)^{ 2 } } \)
=\(\frac { 5124-22 }{ 5418-4 } \)
=\(\frac { 5102 }{ 5414 } \)
=0.942
b_yx =0.942
(ii) X ன் மீது Y-ன் தொடர்புப் போக்குக் சமன்பாடு
\(Y-\bar { Y } ={ b }_{ yx }(X-\bar { X } )\)
Y–51.57 = 0.942(X–48.29 )
Y = 0.942X – 45.49+51.57=0.942 x -45.49+51.57
Y = 0.942X + 6.08
∴ X -ன் மீது Y-ன் தொடர்புப் போக்குக் சமன்பாடு Y=0.942X +6.08
எனும்பொழுது Y ன் மதிப்பீடு X =55
Y= 0.942(55)+6.08=57.89

R_x, R_y, R_z d என்பன முறையே முதல், இரண்டாம் மற்றும் மூன்றாம் நீதிபதிகள் போட்டியாளர்களுக்கு அளித்தத் தரவரிசையைக் குறிக்கின்றது.

\({ \rho }_{ XY }=1-\frac { 6\Sigma { d }_{ XY }^{ 2 } }{ N(N^{ 2 }-1) } =1-\frac { 6(82) }{ 10(10^{ 2 }-1) } \)=1-0.4969=0.5031
\({ \rho }_{ YZ }=1-\frac { 6\Sigma { d }_{ YZ }^{ 2 } }{ N({ N }^{ 2 }-1) } =1-\frac { 6(22) }{ 10({ 1 }0^{ 2 }-1) } =1-\frac { 132 }{ 990 } \)=1-0.1333=0.8667
\({ \rho }_{ ZX }=1-\frac { 6\Sigma { d }_{ ZX }^{ 2 } }{ N({ N }^{ 2 }-1) } =1-\frac { 6(158) }{ 10({ 1 }0^{ 2 }-1) } \)=1-0.9576=0.0424
இரண்டாம் மற்றும் மூன்றாம் நீதிபதிகளுக்கு இடையேயான தரஒட்டுறவுக் கெழு அதாவது \({ \rho }_{ YZ }\) என்பது மூன்று கெழுக்களிடையே, மிகை மற்றும் அதிக நிறை கொண்டுள்ளது. எனவே இரண்டாம் மற்றும் மூன்றாம் நீதிபதிகளுக்கிடையே அழகியல் பற்றி ஒரு பொதுவான அணுகுமுறை காணப்படுகிறது.

AM=36 GM=25.46 HM=17.33

ரூ.13240, ரூ.36420, இயந்திரம் B வாங்கலாம்

q =5-2p₁+p₂-p₁² p₂
\(\frac { \partial q }{ \partial { P }_{ 1 } } \) = -2 -2p₁ p₂
\(\frac { \partial q }{ \partial { P }_{ 2 } } \) = 1-p₁²
\(\frac { Eq }{ { Ep }_{ 1 } } =-\frac { { P }_{ 1 } }{ q } \frac { \partial q }{ \partial { P }_{ 1 } } =\frac { -{ P }_{ 1 } }{ 5-2{ P }_{ 1 }+{ P }_{ 2 }-{ P }_{ 1 }^{ 2 }{ P }_{ 2 } } \)  (-2-2p₁p₂)
= \(\frac { 2{ P }_{ 1 }+2{ P }_{ 1 }^{ 2 }{ P }_{ 2 } }{ 5-2{ P }_{ 1 }+{ P }_{ 2 }-{ P }_{ 1 }^{ 2 }{ P }_{ 2 } } \)
இங்கு p₁=3 மற்றும் p₂=7
\(\frac { Eq }{ { E }p_{ 1 } } =\frac { 2(3)+2(9)(7) }{ 5-6+7-(9)(7) } =\frac { 132 }{ -57 } =\frac { -132 }{ 57 } \)
\(\frac { Eq }{ { E }p_{ 2 } } =-\frac { { P }_{ 2 }\partial q }{ q\quad \partial { P }_{ 2 } } =\frac { -{ P }_{ 2 }(1-{ p }_{ 1 }^{ 2 }) }{ 5-{ 2p }_{ 1 }+{ p }_{ 2 }-{ p }_{ 1 }^{ 2 }{ p }_{ 2 } } \)
=\(\frac { -{ P }_{ 2 }+{ p }_{ 2 }{ p }_{ 1 }^{ 2 } }{ 5-{ 2p }_{ 1 }+{ p }_{ 2 }-{ p }_{ 1 }^{ 2 }{ p }_{ 2 } } \)
இங்கு p₁=3 மற்றும் p₂=7
\(\frac { Eq }{ { E }p_{ 2 } } =\frac { -7+7(9) }{ 5-6+7-(9)(7) } =\frac { 56 }{ -57 } =\frac { -56 }{ 57 } \)​​​​​​​

P(n) = 2^3n–1 என்க
படி 1: n = 1 என பிரதியிட
∴ P(1) = 2^{3 –1}
=7 (7 ஆல் வகுபடும் எண்)
i.e., P(1) உண்மை ஆகும்.
படி 2: n = k என்பதற்கு மேற்கண்டகூற்று உண்மை என்க.
i.e., P(k) = 2^3k –1 7 ஆல் வகுபடும் எண் என்க.
ஏதேனும் ஒரு m∈N க்கு 2^{3k –1} = 7m என்க.   --- (1)
படி 3: P( + 1) உண்மை என நிரூபிக்க வேண்டும்
P(k +1) =2^3(k+1)-1
=2^3(k+1)-1
=2^3k.2³-1
=2^3k.8-1
=2^3k.(7+1)-1
=2^3k.7+(2^3k-1)
=2^3k.7+7m=7(2^3k+m) ⇒  7 ஆல் வகுபடும் எண்
எனவே, P (k +1) ம் உண்மை ஆகிறது.
கணிதத் தொகுத்தறிதல் விதிப்படி P(k) உண்மை எனில் P (k +1) ம் உண்மை ஆகிறது.
∴ n ன் அனைத்து இயல் மதிப்புகளுக்கும் P (n) உண்மை ஆகிறது.

\(f(x)=|x|=\begin{cases} x,x\ge0 \\-x,x<0 \end{cases}\)
\(L[f'(0)]=\underset { h\rightarrow 0 }{\lim } {f(x)-f(0)\over0-h-0},x=0-h\)
\(=\underset { h\rightarrow 0 }{\lim } {f(0-h)-f(0)\over 0-h-0},x=0-h\)
\(=\underset { h\rightarrow 0 }{\lim } {|-h|-|0|\over -h}\)
\(=\underset { h\rightarrow 0 }{\lim } {|-h|\over-h}\)
\(=\underset { h\rightarrow 0 }{\lim } (-1)\)
=- 1
\(R[f'(0)]=\underset { x\rightarrow{0}^{+} }{ \lim } {f(x)-f(0)\over x-0}\)
\(=\underset {h\rightarrow 0 }{ \lim } {f(0+h)-f(0)\over0+h-0},x=0+h\)
\(=\underset { h \rightarrow 0 }{\lim } {f(h)-f(0)\over h}\)
\(=\underset { h \rightarrow 0 }{ \lim } {|h|-|0|\over h}\)
\(=\underset { h \rightarrow 0 }{ \lim } {|h|\over h}\)
\(=\underset { h\rightarrow 0 }{ \lim } {h\over h}\)
\(=\underset { h \rightarrow 0 }{ \lim } 1\)
= 1
இங்கு, \(L[f'(0)]\neq R[f'(0)]\)
\(\therefore\ f(x)\) ஆனது x = 0 இல் வகையிடத்தக்கதல்ல

\(\frac { -7 }{ 2 } \)

\(A B=\left(\begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 1 & -6 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} -1 & 4 \\ 1 & -2 \end{array}\right)\)
\(=\left(\begin{array}{cc} -2+3 & 8-6 \\ -1-6 & 4+12 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ -7 & 16 \end{array}\right)\)
\(\mathrm{LHS}=\operatorname{adj}(\mathrm{AB})=\left(\begin{array}{cc} 16 & -2 \\ 7 & 1 \end{array}\right)\)
\(\mathrm{RHS}=(\operatorname{adj} B)(\operatorname{adj} \mathrm{A})\)
\(=\left(\begin{array}{cc} -2 & -1 \\ -1 & -1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} -6 & -3 \\ -1 & 2 \end{array}\right)\)
\(=\left(\begin{array}{cc} 12+4 & 6-5 \\ 6+1 & 3-2 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 16 & -2 \\ 7 & 1 \end{array}\right)\)
\(a d j(A B)=(a d j\ B)(a d j\ A)\)

a = 6, c =6

\(|A|=\cos ^2 \theta+\sin ^2 \theta=1\)
\(|2 A|=2^2(1)=4\)

nC₀ + nC₁ + nC₂ + nC₃ + ... +nC_n = 2n மற்றும்  nC₀ = 1