11th First Revision Test ( Full Portion )

11ஆம் வகுப்பு Business Maths and Statistics / வணிகக் கணிதம் மற்றும் புள்ளியியல் தமிழ் மீடியம் | மாதிரி வினாத்தாள்கள் | முக்கிய வினாக்கள் | கேள்வி விடை தொகுப்பு | வினாத்தாள்கள் | பொதுத்தேர்வு மாதிரி வினாத்தாள்கள் , Business Maths and Statistics / வணிகக் கணிதம் மற்றும் புள்ளியியல் பாடத்திற்கான மாதிரி வினாத்தாள்கள், முக்கிய கேள்வி-விடைகள், ஒருமார்க் கேள்விகள், காலாண்டு & பொதுத்தேர்வு கேள்வித் தொகுப்புகள்

Questions:

Generic 2

9 x 2 = 18

கீழ்கண்ட விவரங்களுக்கு ஒட்டுறவுக் கெழுவைக் கணக்கிடுக.
Σxy=120, Σx²=90, Σy²=640

3 ஆண்கள் மற்றும் 2 பெண்களிலிருந்து இரண்டு நபர் கொண்ட ஒரு குழு அமைக்கப்பட வேண்டும் எனில் அந்தக் குழுவில்
(i) பெண்கள் இல்லாமல் இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு காண்க.
(ii) ஒரே ஒரு ஆண் இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு காண்க.
(iii) ஆண்களே இல்லாமல் இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு காண்க.

ஒரு சீரான பகடை உருட்டப்படுகிறது A என்ற நிகழ்வு பகடையில் தோன்றும் 3'-ன் மடங்கு" எனவும் B நிகழ்வு "பகடையில் தோன்றும் எண் இரட்டை படை எண் " எனில் A மற்றும் B ஆகிய நிகழ்வுகள் சாரா நிகழ்வுகளா என ஆராய்க?

பொருளியியல் தேர்வில் முதல் மதிப்பெண் பெரும் மாணவர்களுக்கு ஒரு நபர் ரூ.1,500 யை பரிசுத் தொகையாக ஒவ்வொரு வருடமும் வழங்குகிறார். இத்தொகையை வழங்குவதற்கு அவர் முதலீடு செய்வதற்கு தேவைப்படும் மொத்ததொகை காண்க. ஆண்டிற்கு 12% வட்டி கணக்கிடப்படுகிறது.

\(\sin { A } =\frac { 3 }{ 5 } ,0 மற்றும் \(\cos { B } =\frac { -12 }{ 13 } ,\pi எனில், கீழ்க்கண்டவற்றின் மதிப்புகளைக் காண்க:
\(\cos { \left( A+B \right) }\)

பின் வரும் சார்புகளை x ஐ பொறுத்து வகையிடுக.
7e^x

x²+y²+2x-6y+1 = 0 என்ற வட்டத்தின் மையம் ax+2y+2 = 0 என்ற கோட்டின் மீது அமையுமெனில் 'a' - ன் மதிப்பு காண்.

\(A=\left[ \begin{matrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{matrix} \right] \)எனில் adj A காண்க

\(\left| \begin{matrix} 1 & -2 \\ 4 & 3 \end{matrix} \right| \) என்ற அணிக்கோவையில் உள்ள உறுப்புக்களுக்கு சிற்றணிக்கோவை மற்றும் இணைக்காரணிகள் காண்க

Generic 3

10 x 3 = 30

10.

பின்வரும் விவரங்களுக்கு ஒட்டுறவுக் கெழுவினை காண்க.

X	35	40	60	79	83	95
Y	17	28	30	32	38	49

11.

கீழே கொடுக்கப்பட்ட விவரங்களுக்கு பெருக்குச் சராசரியைக் கணக்கீடுக.

மதிப்பெண்கள்	0-10	10-20	20-30	30-40	40-50
மாணவர்களின் எண்ணிக்கை	8	12	18	8	6

12.

ஆண்டுக்கு 7% சதவீதம் கூட்டு வட்டி சேர்க்கப்படும் போது ஒவ்வொரு ஆண்டின் இறுதியிலும் ரூ.500 வீதம் 7 ஆண்டுகளுக்கு செலுத்தப்படும் தவணைப் பங்கீட்டுத் தொகையின் மொத்தத் தொகையைக் காண்க

13.

ஒரு பொருளின் தேவை மற்றும் அதன் செலவுச் சார்புகள் முறையே p= மற்றும் C=40x+12000 ஆகும்.இங்கு p என்பது அலகு விலை ரூபாயில் மற்றும் x என்பது உற்பத்தி செய்யப்பட்டு விற்கப்பட்ட அளவு எனில்
(i) இலாபச் சார்பு
(ii) உற்பத்தி அளவு 10 அலகுகள் எனும்போது சராசரி இலாபம்
(iii) உற்பத்தி அளவு 10 அலகுகள் எனும்போது இறுதி நிலை இலாபம்
(iv) உற்பத்தி அளவு 10 அலகுகள் எனும்போது இறுதி நிலைச் சராசரி இலாபம் ஆகியவற்றைக் காண்க

14.

y = 2 sin x +3 cos x எனில், y₂ + y = 0 என நிறுவுக

15.

கீழ்காணும் பரவளையங்களின் முனை, குவியம், அச்சு, இயக்குவரை மற்றும் செவ்வகலத்தின் நீளம் ஆகியவற்றை காண்க
(a) y²= 20x (b) x²=8y (c) x²=-16y

16.

cos 20⁰ cos 40⁰ cos60⁰ cos80⁰ = \(\frac { 1 }{ 16 } \) என நிறுவுக

17.

8C₄ + 8C₃ = 9C₄ என்பதை சரிபார்

18.

பின்வருவனவற்றிற்கு வரைபடம் வரைக.
f(x)=|x -2|

19.

A(–1, 1) மற்றும் B(2, 3) என்பன இரு நிலைப்புள்ளிகள் எனில் முக்கோணம் APB ன் பரப்பளவு 8 ச.அலகுகள் என்றவாறு நகரும் P என்ற புள்ளியின் நியமப் பாதையைக் காண்க.

Generic 5

14 x 5 = 70

20.

x₁ + x₂ \(\le \)50; 3x₁ + x₂\(\le \) 90 மற்றும் x₁,x₂ \(\ge \) 0 என்ற கட்டுப்பாடுகளுக்கு இணங்க Z = 60x₁ + 15x₂ - ன் பெரும மதிப்பைக் காண்க.

21.

கீழே தரப்பட்டுள்ள விவரத்திற்கு X மற்றும் Yன் சராசரிகளிலிருந்து விலக்கம் கண்டு Y ன் மீதான X மற்றும் X -ன் மீதான Y-ன் இரு தொடர்புப் போக்குக் கெழுக்களை காண்க.

விலை (ரூபாய்களில்)	10	12	13	12	16	15
தேவைப்படும் அளவு	40	38	43	45	37	43

விலை ரூ.20 எனும்போது எதிர் பார்க்கப்படும் தேவையை மதிப்பிடுக.

22.

கண்டறியப்பட்ட இரு தொடர்பு போக்கு 4X–5Y+33=0 மற்றும் 20X–9Y–107=0. X ,Y க்கு இடையிலான சராசரி மதிப்புகள் மற்றும் ஒட்டுறவுக்கெழு ஆகியவற்றைக் காண்க.

23.

பின்வரும் விவரங்களுக்கு கால்மான விலக்கத்தைக் காண்க.

CI	10-20	20-30	30-40	40-50	50-60	60-70	70-80
f	12	19	5	10	9	6	6

24.

இயந்திரம் A வின் ரூ.15,000 இயந்திரம் B யின் விலை ரூ.20,000 அவற்றிலிருந்து கிடைக்கும் ஆண்டு வருமானம் முறையே ரூ.4,000 மற்றும் ரூ.7,000 ஆகும்.இயந்திரம் A -ன் ஆயுட்காலம் 4-ஆண்டுகள் மற்றும் B ன் ஆயுட்காலம் 7 ஆண்டுகள் எனில்,எந்த இயந்திரத்தை வாங்குவது சிறந்தது (ஆண்டுக்கு 8% கழிவு எனக் கொள்க)

25.

u=e^xy எனில்\(\frac { \partial ^{ 2 }u }{ \partial x^{ 2 } } +\frac { \partial ^{ 2 }u }{ \partial y^{ 2 } } \)=u(x²+y²) எனக்காட்டுக

26.

f(x)=4x³–6x²–72x+30 என்ற சார்பு எந்தெந்த இடைவெளிகளில் கூடும் அல்லது குறையும் சார்பு எனக் காண்க

27.

\(x\sqrt{1+y}+y\sqrt{1+x}=0\),x≠y எனில், \(\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{(x+1)^{2}}\)என நிறுவுக

28.

\(tanx=\frac { 3 }{ 4 } ,\pi எனில் \(sin\frac { x }{ 2 } andcos\frac { x }{ 2 } \) ஆகியவற்றின் மதிப்புகளைக் காண்க

29.

\({ tan }^{ -1 }\left[ \frac { cosx }{ 1-sinx } \right] ,-\frac { \pi }{ 2 } என்பதனை எளிய வடிவில் விவரிக்கவும்

30.

A மற்றும் B என்ற இரு தொழிற்சாலைகளின் பொருளாதார அமைப்பின் விவரங்கள் (ரூபாய் கோடிகளில்) கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளன.

உற்பத்தியாளர்	உபயோகிப்போர் A B	இறுதித் தேவை	மொத்த உற்பத்தி
A	50 75	75	200
B	100 50	50	200

A ன் இறுதித் தேவை 300 ஆகவும் B இன் இறுதித் தேவை 600 ஆகவும் மாறும்போது அவற்றின் உற்பத்தி அளவுகளைக் காண்க

31.

6 ஆண்கள் மற்றும் 4 பெண்களிலிருந்து 5 பேர் அடங்கிய குழு, கீழ்க்கண்டவாறு.
i) குழுவில் குறைந்தது இரண்டு பெண்கள் இடம் பெறுமாறும்
ii) குழுவில் அதிகபட்சம் இரண்டு பெண்கள் இடம் பெறுமாறும்
எத்தனை வகைகளில் அமைக்கலாம்.

32.

நேர்மாறு அணிமுறையில் தீர்க்க : 3x – y + 2z = 13 ; 2x + y – z = 3 ; x + 3y – 5z = –8

33.

\(\frac{x+1}{(x+2)^2(x+3)}\)ஐ பகுதி பின்னங்களாக மாற்றுக.

Multiple Choice Question

20 x 1 = 20

34.

கொடுக்கப்பட்ட வரைபடத்தில் M₁-ன் ஆயத்தொலைவுகள்

(a)

x₁= 5, x₂ = 30

(b)

x₁ = 20, x₂ = 16

(c)

x₁ = 10, x₂ = 20

(d)

x₁ = 20, x₂ = 30

35.

கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ள வலைபின்னலுக்குத் தீர்வுக்குகந்தப் பாதை

(a)

1-2-4-5

(b)

1-3-5

(c)

1-2-3-5

(d)

1-2-3-4-5

36.

இரண்டு மாறிகள் இறங்கு திசையில் நகர்கிறது எனில் ஒட்டுறவுக் கெழுவானது

(a)

நேரிடை

(b)

எதிரிடை

(c)

முழுமையான எதிரிடை

(d)

ஒட்டுறவு இன்மை

37.

இரு மாறிகளின் மதிப்புகள் ஒரே திசையில் நகரும் எனில் ஒட்டுறவு

(a)

எதிரிடை

(b)

நேரிடை

(c)

முழுமையான நேரிடை

(d)

ஒட்டுறவு இன்மை

38.

ஒரு நிகழ்ச்சியின் வெளிப்பாடு, மற்றோர் நிகழ்ச்சியின் நிகழ்வை பாதிக்கவில்லை எனில், அவ்விரு நிகழ்சிகள்

(a)

ஒன்றை ஒன்று விலக்கும் நிகழ்ச்சிகள்

(b)

ஒன்றை ஒன்று சார்ந்த நிகழ்ச்சிகள்

(c)

ஒன்றை ஒன்று விலகக்கா நிகழ்ச்சிகள்

(d)

ஒன்றை ஒன்று சாரா நிகழ்ச்சிகள்

39.

பொருளாதார வளர்ச்சியின் சராசரியைக் கணக்கிடும்பொழுது பயன்படுத்தப்படும் பொருத்தமான சராசரி?

(a)

நிறையிட்ட சராசரி

(b)

கூட்டுச் சராசரி

(c)

பெருக்கல் சராசரி

(d)

இசைச்சராசரி

40.

ஒவ்வொரு தவணை காலத்தின் ஆரம்பத்தில் செலுத்தப்படும் தொகை

(a)

காத்திருப்பு தவணை பங்கீட்டுத் தொகை

(b)

உடனடி பங்கீட்டுத் தொகை

(c)

நிலையான தவணை பங்கீட்டுத் தொகை

(d)

இவை ஏதுமில்லை

41.

ஒரு நபர் ரூ.100 முகமதிப்புடைய சரக்கு முதல் ரூ.20,000-யை அதிகவிலை 20% வாங்குகிறார் எனில்,அவரது முதலீடு

(a)

ரூ.20,000

(b)

ரூ.25,000

(c)

ரூ.22,000

(d)

ரூ.30,000

42.

q =1000+8p₁-p₂ எனில், \(\frac { \partial q }{ \partial { p }_{ 1 } } \)இன் மதிப்பு

(a)

-1

(b)

(c)

1000

(d)

1000-p₂

43.

தேவைச் சார்பு மீள்தன்மை கொண்டது எனில்

(a)

|η_d| > 1

(b)

|η_d| = 1

(c)

|η_d| < 1

(d)

|η_d| = 0

44.

\(sin\left( cos^{ -1 }\frac { 3 }{ 5 } \right) \)ன் மதிப்பு

(a)

\(\frac { 3 }{ 5 } \)

(b)

\(\frac { 5 }{ 3 } \)

(c)

\(\frac { 4 }{ 5 } \)

(d)

\(\frac { 5 }{ 4 } \)

45.

\(\left( \frac { cosx }{ cosecx } \right) -\sqrt { 1-{ sin }^{ 2 }x } \sqrt { 1-cos^{ 2 }x } \) க்குச் சமமானது.

(a)

cos²x -sin²x

(b)

sin²x - cos²x

(c)

(d)

46.

y = e^2x எனில், x =0 இல் \(\frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } \) இன் மதிப்பு

(a)

(b)

(c)

(d)

47.

y =x மற்றும் \(z=\frac { 1 }{ x } \) எனில் \(\frac { dy }{ dx } \) =

(a)

x²

(b)

(c)

-x²

(d)

\(-\frac { 1 }{ { x }^{ 2 } } \)

48.

3x+2y-1 =0 என்ற கோட்டின் x-வெட்டுத்துண்டு

(a)

(b)

(c)

\(\frac { 1 }{ 3 } \)

(d)

\(\frac { 1 }{ 2 } \)

49.

ax²+2hxy+by²= 0 என்ற இரட்டை நேர்கோடுகளின் சாய்வுகள் m₁ ,m₂ எனில், m₁+m₂ மதிபபு

(a)

\(\frac { 2h }{ b } \)

(b)

- \(\frac { 2h }{ b } \)

(c)

\(\frac { 2h }{ a } \)

(d)

- \(\frac { 2h }{ a } \)

50.

ஈருறுப்பு கெழுக்களின் கூடுதல் ______.

(a)

2ⁿ

(b)

n²

(c)

(d)

n+17

51.

ஒரு குறிப்பிட்ட விரிவாக்கத்தின் ஈருறுப்பு கெழுக்களின் கூடுதல் 256 எனில், அவ்விரிவில் உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை______.

(a)

(b)

(c)

(d)

52.

\(A=\left[ \begin{matrix} cos\theta & sin\theta \\ -sin\theta & cos\theta \end{matrix} \right] \)எனில் |2A| என்பது _____.

(a)

4cos2θ

(b)

(c)

(d)

53.

\(\left| \begin{matrix} 5 & 5 & 5 \\ 4x & 4y & 4z \\ -3x & -3y & -3z \end{matrix} \right| \)இன் மதிப்பு______.

(a)

(b)

(c)

(d)

-3

Visit QB365-SLMS - https://www.qb365.in/slms/

Answers Key:

Generic 2

9 x 2 = 18

Σxy=120, Σx²=90, Σy²=640 என கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
r =\(\frac { \Sigma xy }{ \sqrt { \Sigma x^{ 2 }\Sigma { y }^{ 2 } } } =\frac { 120 }{ \sqrt { 90(640) } } =\frac { 120 }{ \sqrt { 57600 } } =\frac { 120 }{ 240 } \)
∴ r=0.5

(i) 3/10
(ii) 3/5
(iii) 1/10

S = {1,2,3,4,5,6} என்பது கூறுவெளி என அறிகிறோம்.
இங்கு A = {3,6} ; B = { 2,4,6} எனவே (A\(\cap \)B) ={6}
P(A)=\(\frac { 2 }{ 6 } =\frac { 1 }{ 3 } \)
P(B) =\(\frac { 3 }{ 6 } =\frac { 1 }{ 2 } \) மற்றும் P(A\(\cap \)B)=\(\frac{1}{6}\)
தெளிவாக, P(A\(\cap \)B) = P(A) P(B)
எனவே A மற்றும் B ஆகியவை சாரா நிகழ்வுகளாகும்.

ரூ 12500

\(\frac { -33 }{ 65 } \)

\(\frac { d }{ dx } \left( 7{ e }^{ x } \right) =7\frac { d }{ dx } \left( { e }^{ x } \right) =7{ e }^{ x }\)

வட்ட மையம் C(–1, 3)
இது ax+2y+2 = 0 என்ற நேர்க்கோட்டின் மேல் உள்ளது
எனவே -a+6+2 = 0
a =6

\(A=\left[ \begin{matrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{matrix} \right] \)
\(\left[ { A }_{ ij } \right] =\left[ \begin{matrix} 4 & -1 \\ -3 & 2 \end{matrix} \right] \)
adj A = [Aij]^T
\(=\left[ \begin{matrix} 4 & -3 \\ -1 & 2 \end{matrix} \right] \)

1 இன் சிற்றணிக்கோவை = M₁₁ = 3
− 2 இன் சிற்றணிக்கோவை = M₁₂ = 4
4 இன் சிற்றணிக்கோவை = M₂₁ = − 2
3 இன் சிற்றணிக்கோவை = M₂₂ = 1
1 இன் இணைக்காரணி = A₁₁ =(-1)¹⁺¹M₁₁=3
–2 இன் இணைக்காரணி = A₁₂=(-1)¹⁺²M₁₂=-4
4 இன் இணைக்காரணி = A₂₁=(-1)²⁺¹M₂₁=2
3 இன் இணைக்காரணி = A₂₂=(-1)²⁺²M₂₂=1

Generic 3

10 x 3 = 30

10.

0.906

11.

பெருக்கு சாரசரியின் கணக்கீடு

மதிப்பெண்கள்	m	f	log m	f log m
0.10	5	8	0.6990	5.5920
10-20	15	12	1.1761	14.1132
20-30	25	18	1.3979	25.1622
30-40	35	8	1.5441	12.3528
40-50	45	6	1.6532	9.9192
		N=52		Σf log m=67.1394

GM=Antilog\(\left( \frac { \Sigma flogX }{ N } \right) \)
=Antilog\(\left( \frac { 67.1394 }{ 52 } \right) \)
GM=Antilog 19.55

12.

13.

14.

15.

கணக்கு	அச்சு	முனை	குவியம்	இயக்குவரையின் சமன்பாடு	செவ்வகலம்
(a)y²=20x	y =0	V(0,0)	F(5,0)	x = -5	20 அலகுகள்
(b) x²=8y	x =0	V(0,0)	F(0,-2)	y=-2	8 அலகுகள்
(c) x²=-16y	x =0	V(0,0)	F(0,-4)	y=4	16 அலகுகள்

16.

17.

LHS = 8C₄+8C₃
\(=\frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1}+\frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1}\)
\(=70+56=126\)
\(\mathrm{RHS}=9 C_4=\frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1}\)
\(=126\)
8C₄+8C₃=9C₄=126

18.

19.

2x-3y+21 = 0

Generic 5

14 x 5 = 70

20.

x₁ = 20; x₂=30 மற்றும் Z_max=1650

21.

X	x=(X-13)	x²	Y	y=(Y-41)	y²	xy
10	-3	9	40	-1	1	3
12	-1	1	38	-3	9	3
13	0	0	43	2	4	0
12	-1	1	45	4	16	-4
16	3	9	37	-4	16	-12
15	2	4	43	2	4	4
ΣX=78	Σx=0	Σx²=24	ΣY=246	Σy=0	Σy²=50	Σxy=-6

(i) Yன் மீது X ன் தொடர்புப் போக்குச் சமன்பாடு
\(X-\bar { X } =r\frac { { \sigma }_{ x } }{ { \sigma }_{ y } } (Y-\bar { Y } )\)
\(\bar { X } =\frac { 78 }{ 6 } =13,\bar { Y } =\frac { 246 }{ 6 } =41\)
b_xy =\(r\frac { { \sigma }_{ x } }{ { \sigma }_{ y } } =\frac { \Sigma xy }{ \Sigma { y }^{ 2 } } =\frac { -6 }{ 50 } \)=-0.12
X-13=-0.12(Y-41)
X-13=-0.12Y + 4.92
X=-0.12Y + 17.92
(ii) X ன் மீது Y ன் தொடர்புப் போக்குச் சமன்பாடு
\(Y-\bar { Y } =r\frac { { \sigma }_{ y } }{ { \sigma }_{ x } } (X-\bar { X } )\)
b_yx=\(r\frac { { \sigma }_{ y } }{ { \sigma }_{ x } } =\frac { \Sigma xy }{ \Sigma { x }^{ 2 } } =\frac { -6 }{ 24 } \)=-0.25
Y–41 =–0.25 (X–13 )
Y–41 =–0.25 X + 3.25
Y =–0.25 X + 44.25
X=20, எனில் Y-ன் மதிப்பு
Y = –0.25 (20)+44.25
= –5 + 44.25
=39.25 (விலை ரூ.20 எனும் போது வாய்ப்புத் தேவை 39.25)

22.

X=0.8Y-1 மற்றும் Y=8 எனில் இயலக்கூடிய X-ன் மதிப்பு = 5.4
Y=0.8X + 2.6 மற்றும் X=12 எனில் இயலக்கூடிய Y-ன் மதிப்பு = 12

23.

CI	f	cf
10-20	12	12
20-30	19	31
30-40	5	36
40-50	10	46
50-60	9	55
60-70	6	61
70-80	6	67
	N=67

Q₁=\(\left( \frac { N }{ 4 } \right) \) ஆவது உறுப்பின் மதிப்பு =\(\left( \frac { 67 }{ 4 } \right) \)=16.75 ஆவது உறுப்பின் மதிப்பு எனவே Q1 ஆனது (20-30) என்ற இடைவெளியில் அமைந்துள்ளது.
L=20, \(\frac { N }{ 4 } \)=16.75; pcf=12, f=19, c=10
Q₁=L+\(\left( \frac { \frac { N }{ 4 } -pcf }{ f } \right) \times c\)
Q₁=20+\(\left( \frac { 16.75-12 }{ 19 } \right) \times 10\)=20+2.5=22.5
Q₃=\(\left( \frac { 3N }{ 4 } \right) \)ஆவது உறுப்பின் மதிப்பு =50.25 ஆவது உறுப்பின் மதிப்பு
எனவே Q₃ ஆனது (50-60) என்ற இடைவெளியில் அமைந்துள்ளது.
L=50, \(\frac { 3N }{ 4 } \)=50.25; pcf=46, f=9, c=10
Q₃=L+\(\left( \frac { \frac { 3N }{ 4 } -pcf }{ f } \right) \times c\)
Q₃=50+\(\left( \frac { 50.25-46 }{ 9 } \right) \times 10\)=20+2.5=22.5
QD =\(\frac{1}{2}\)(Q₃ – Q₁)
=\(\frac { 50.25-46 }{ 9 } \)=16.11
∴ QD=16.11

24.

25.

26.

f(x) = 4x³-6x²–72x+30
f'(x) = 12x²-12x-72
= 12(x²–x–6)
= 12(x–3)(x+2)
f'(x) = 0 ⇒12(x–3)(x+2)=0
x=3 (or) x=-2
x =3 மற்றும் x=-2 என்ற புள்ளிகளில் f(x) தேக்கநிலையை அடையும்

இந்த மெய்யெண் கோடு (∞,-2),(-2,3) மற்றும் (3,∞) என மூன்று பிரிவுகளாகப் பிரிக்கப்படுகிறது

இடைவெளிகள்	f'(x)-ன் குறியீடு	கூடும்/குறையும் இடைவெளி
(-∞,-2)	(-) (-) > 0	இடைவெளி (,-∞-2]-ல் கூடும் சார்பு
(-2,-3)	(-) (+) < 0	இடைவெளி [-2,3]-ல் குறையும் சார்பு
(3,∞)	(+) (+) > 0	இடைவெளி [3,∞]-ல் குறையும் சார்பு

27.

28.

\(\frac { 3 }{ \sqrt { 10 } } \) மற்றும் \(\frac { 1 }{ \sqrt { 10 } } \)

29.

\(\frac { \pi }{ 4 } +\frac { x }{ 2 } \)

30.

a₁₁ = 50, a₁₂ = 75, x₁ = 200
a₂₁ = 100, a₂₂ = 50, x₂ = 200
\({b}_{11}={{{a}_{11}}\over{{x}_{1}}}={{50}\over{200}}={{1}\over{4}};{b}_{12}=\frac{{a}_{12}}{{x}_{12}}=\frac{75}{200}=\frac{3}{8}\)
\({b}_{21}=\frac{{a}_{11}}{x_1}{{100}\over{200}}={{1}\over{2}};{b}_{22}={{{a}_{22}}\over{{x}_2{}}}={{50}\over{200}}={{1}\over{4}}\)
\(\therefore\) B \(=\begin{bmatrix} \frac{1}{4}&\frac{3}{8}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{4} \end{bmatrix}\)
\(I-B=\begin{bmatrix}1&0\\0&1 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} \frac{1}{4} &\frac{3}{8}\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{4} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} {{3}\over{4}}&{{-3}\over{8}}\\ -{{1}\over{2}} &{{3}\over{4}} \end{bmatrix}\)
\(|I-B| ={{9}\over{16}}-{{3}\over{16}}={{6}\over{16}}={{3}\over{8}}>0 \)
X = (I - B)^-1 D இங்கு D \(=\begin{bmatrix} 300 \\ 600 \end{bmatrix}\)
\(X=\frac{8}{3}\left(\begin{array}{ll} \frac{1}{4} & \frac{3}{8} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} 300 \\ 600 \end{array}\right)\)
\(=\frac{8}{3}\left(\begin{array}{c} 75+225 \\ 150+150 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} 800 \\ 800 \end{array}\right)\)

31.

ஆண்கள்	பெண்கள்	வழிகளின் எண்ணிக்கை
(6)	(4)
3	2	\(6 C_3 \times 4 C_2\)	120
2	3	\(6 C_2 \times 4 C_3\)	60
1	4	\(6 C_1 \times 4 C_4\)	6
			186

ஆண்கள்	பெண்கள்	வழிகளின் எண்ணிக்கை
(6)	(4)
5	0	\(6 C_5 \times 4 C_0\)	6
4	1	\(6 C_4 \times 4 C_1\)	60
3	2	\(6 C_3 \times 4 C_2\)	120
			186

32.

\(3 x-y+2 z=13 ; 2 x+y-z=3\)
\(x+3 y-5 z=-8\)
இதனை
\(\left(\begin{array}{ccc} 3 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 3 & -5 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 13 \\ 3 \\ -8 \end{array}\right)\)
\(A X=B \Rightarrow X=A^{-1} B\)
இங்கு
\( A=\left(\begin{array}{ccc} 3 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 3 & -5 \end{array}\right), X=\left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right)\)
\(B=\left(\begin{array}{c} 13 \\ 3 \\ -8 \end{array}\right)\)
\(|A|=3(-5+3)+1(-10+1)+2(6-1)\)
\(=-6-9+10=-5 \neq 0\)
A^–1 யைக் காணஇயலும்.
\(\mathrm{A}_{11}= 3=(-5+3)=-2 \)
\(\mathrm{A}_{12}=-1=-(-10+1)=9 \)
\(\mathrm{A}_{13}= 2=(6-1)=5\)
\(\mathrm{A}_{21}= 2=-(5-6)=1\)
\(\mathrm{A}_{22}= 1=-15-2=-17 \)
\(\mathrm{A}_{23}=-1=-(9+1)=-10\)
\(\mathrm{A}_{31}= 1=1-2=-1\)
\(\mathrm{A}_{32}= 3=-(-3-4)=7 \)
\(\mathrm{A}_{33}=-5=3+2=5\)
\(\text {Co-factor matrix }=\left(\begin{array}{ccc} -2 & 9 & 5 \\ 1 & -17 & -10 \\ -1 & 7 & 5 \end{array}\right)\)
\(A^{-1}=\frac{1}{|A|} \operatorname{adj} A=\frac{1}{-5}\left(\begin{array}{ccc} -2 & 1 & -1 \\ 9 & -17 & 7 \\ 5 & -10 & 5 \end{array}\right)\)
\(X=A^{-1} B=\frac{-1}{5}\left(\begin{array}{ccc} -2 & 1 & -1 \\ 9 & -17 & 7 \\ 5 & -10 & 5 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} 13 \\ 3 \\ -8 \end{array}\right)\)
\(=\frac{-1}{5}\left(\begin{array}{ccc} -26 & 3 & 8 \\ 117 & -51 & -56 \\ 65 & -30 & -40 \end{array}\right)\)
\(=\frac{-1}{5}\left(\begin{array}{c} -15 \\ 10 \\ -5 \end{array}\right)\)
\(\left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 3 \\ -2 \\ 1 \end{array}\right)\)
\(x=3, \mathrm{y}=-2, \mathrm{z}=1\)

33.

\(\frac{x+1}{(x+2)^2(x+3)}=\frac{A}{(x+2)}+\frac{B}{(x+2)^2}+\frac{C}{(x+3)} .....(1)\)
(x - 2)² (x + 3) ஆல் இருபுறமும் பெருக்க
x + 1 = A(x - 2)(x + 3)+ B(x + 3)+ C(x - 2)² ...(2)
x = 2 என (2) ல் பிரதியிட
2+1 = A(0)+ B(5)+ C(0)
\(\therefore B=\frac{3}{5}\)
x = –3 என (2) ல் பிரதியிட
–3+1 = A(0)+ B(0)+ C(-3 - 2)²
\(\therefore C=\frac{-2}{25}\)
x² இன் கெழுக்களை சமன்பாடு (2) ல் இருபுறமும் சமன்படுத்த
0 = A + C
A = -C
\(\therefore A=\frac{2}{25}\)
A, B மற்றும் C ன் மதிப்புகளை (1) ல் பிரதியிட
\(\frac{x+1}{(x+2)^2(x+3)}=\frac{1}{25(x+2)}+\frac{3}{5(x+2)^2}-\frac{2}{25(x+3)}\)