ஒட்டுறவுக் கெழு r =\(\frac { N\Sigma XY-(\Sigma X)(\Sigma Y) }{ \sqrt { N\Sigma { X }^{ 2 }-(\Sigma X)^{ 2 } } \sqrt { N\Sigma { Y }^{ 2 }-(\Sigma Y)^{ 2 } } } \)
=\(\frac { 9(597)-(45\times 108) }{ \sqrt { 9(285)-(45)^{ 2 }\times \sqrt { 9(1356)-(108^{ 2 }) } } } \)
r =+0.95

1/3

இங்கு a =64,000 ,n =12 மற்றும் i =\(\frac { 10 }{ 100 } \)=01
சாதாரண தவணை பங்கீட்டுத் தொகை A =\(\frac { a }{ i } \)[(1+i)ⁿ-1]
 =\(\frac { 64000 }{ 0.1 } \)[(1+0.1)¹²-1]
= 6,40,000[(1.1)¹² –1]
= 6,40,000 [3.3184 – 1]
= 6,40,000 [2.3184]
= 64\(\times \)23184
=ரூ.14,83,776

அதாவது \(\frac { 3\pi }{ 2 } , A மற்றும் B ஆகியன நான்காம் கால் பகுதியில் அமைகிறது. எனில் \(\sin { A }\) மற்றும் \(\sin { B } \) ஆகியவை குறைகுறி உடையதாக இருக்கும்.
ஆகவே, 
\(\sin { A } =-\sqrt { 1-\cos ^{ 2 }{ A } } \)
\(=-\sqrt { 1-\frac { 16 }{ 25 } } \)
\(=-\sqrt { \frac { 25-16 }{ 25 } } \)
\(=-\frac { 3 }{ 5 } \)
\(\sin { B } =-\sqrt { 1-\cos ^{ 2 }{ B } } \)
\(=-\sqrt { 1-\frac { 144 }{ 169 } } \)
\(=-\sqrt { \frac { 169-144 }{ 169 } } \)
\(=-\frac { 5 }{ 13 } \)
\(\Rightarrow \) \(\cos { \left( A+B \right) } =\cos { A } \cos { B } -\sin { A } \sin { B } \)
\(=\left( \frac { 4 }{ 5 } \right) \left( \frac { 12 }{ 13 } \right) -\left( -\frac { 3 }{ 5 } \right) \left( -\frac { 5 }{ 13 } \right) \)
\(=\frac { 48 }{ 65 } -\frac { 15 }{ 65 } =\frac { 33 }{ 65 } \)

x =10p-20p-p² 
 = -p²-20+10p+5-5
x-5 = -p²+10p-25
=-(p²-10p+25)
=  -(p-5)²
X= x-5 மற்றும் P =P-5 என்க.
X = -P² அதாவது P² =-X
இது கீழ்ப்புறம் திறப்புடைய பரவளையம்.
∴ மேலும் x =5 விலை P =5 அதாவது பரவளையத்தின் முனையில் விலை உச்சமாகும்

\(2sin\frac { 3\theta }{ 2 } sin\frac { \theta }{ 2 } \)

x²+y² =9

இரண்டாம் கால்பகுதி

கொடுக்கப்பட்ட ஆங்கில வார்த்தை ‘NOTE’ –ல் உள்ள நான்கு எழுத்துக்களை,கீழ்கண்டவாறு நான்கு காலியிடங்களை கொண் டு குறிப்போம்

முதல் காலியிடத்தை, நான்கு எழுத்துக்களை கொண்டு, நான்கு வழிகளில் நிரப்பலாம். எழுத்துக்களை  மீண்டும் ஒருமுறை பயன்படுத்த முடியாததால், இரண்டாம் காலியிடத்தை 3 முறைகளிலும் மூன்றாம் காலியிடத்தை இரண்டு வழிகளிலும், கடைசி இடத்தை ஒரு வழியிலும் நிரப்பலாம். பெருக்கலின் அடிப்படைக் கொள்கையின்படி உருவாக்கப்படும் மொத்த வார்த்தைகளின் எண்ணிக்கை 4 \(\times \) 3 \(\times \) 2 \(\times \) 1 = 24 வார்த்தைகள் ஆகும்

B = \(\begin{vmatrix} 1 &-3 &2 \\4 &-1&2\\3&5&2 \end{vmatrix}\)
Minor of 1 = M₁₁ = \(\begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 5 & 2 \end{vmatrix}=-2-10=-12\)
Minor of -3 = M₁₂ = \(\begin{vmatrix}4 &2 \\ 3 & 2 \end{vmatrix}=8-6=2\)
Minor of 2 = M₁₃ = \(\begin{vmatrix} 4 & -1 \\ 3 & 5\end{vmatrix}=20+3=23\)
Minor of 4 = M₂₁ = \(\begin{vmatrix} -3 & 2 \\5 & 2 \end{vmatrix}=-6+10=-16\)
Minor of -1 = M₂₂ = \(\begin{vmatrix}1 & 2 \\ 3 & 2 \end{vmatrix}=2-6=-4\)
Minor of 2 = M₂₃ = \(\begin{vmatrix} 1& -3 \\3 &5 \end{vmatrix}=5+9=14\)
Minor of 3 = M₃₁ = \(\begin{vmatrix} -3 &2 \\ -1 & 2 \end{vmatrix}=-6+2=-4\)
Minor of 3 = M₃₂ = \(\left|\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 4 & 2 \end{array}\right|=2-8=-6\)
Minor of 2 = M₃₃ = \(\begin{vmatrix} 1 & -3 \\4 & -1 \end{vmatrix}=-1+12=11\)
Co-factor of 1 = A₁₁ = (-1)¹⁺¹ M₁₁ = -12
Co-factor of -3 = A₁₂= (-1)¹⁺² M₁₂ = -2
Co-factor of 2 = A₁₃= (-1)¹⁺³ M₁₃ = 23
Co-factor of 4 = A₂₁ = (-1)²⁺¹ M₂₁ = 16
Co-factor of -1 = A₂₂ = (-1)²⁺² M₂₂ = -4
Co-factor of 2 = A₂₃ = (-1)2+3 M₂₃ = -14
Co-factor of 3 = A₃₁ = (-1)³⁺¹ M₃₁ = -4
Co- factor of 5 = A₃₂ = (-1)³⁺² M₃₂ = 6
Co-factor of 2 = A₃₃ = (-1)³⁺³ M₃₃ = 11

கீழே ஒவ்வொரு செயலுக்கான வலையமைப்பில் முந்தைய ஆரம்ப நேரம் மற்றும் சமீபத்திய முடிவு நேரம் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

E₁ = 0                                                                     L₅ = 21
E₂ = E₁ + t₁₂ = 0 + 8 = 8                                         L₄ = L₅ - t₄₅ = 21 - 3 = 18
E₃ = E₁ + t₁₃ = 0 + 4 = 4                                         L₃ = L₄ - t₃₄ = 18 - 5 = 13
E₄ = E₂ + t₂₄ அல்லது E₃ + t₃₄ = 8 + 10 =18         L₂ = L₅ - t₂₅ அல்லது L₄-t₂₄ = 18-10=8
(E₂ + t₂₄ அல்லது E₃ + t₃₄                                             (L₅ - t₂₅ அல்லது L₄ - t₂₄
(பெருமமாக உள்ளதை எடுக்க வேண்டும்)    (சிறுமமாக உள்ளதை எடுக்க வேண்டும்)
E₅=(E₂ = t₂₅ அல்லது E₄ + t₄₅) = 18 + 3 = 21         L₁ = L₂-t₁₂ அல்லது L₅ - t₁₃ = 8 - 8 = 0
(E₂+t₂₅ அல்லது E₄ + t₄₅                                         (L₂ - t₁₂ அல்லது L₃ - t₁₃
(பெருமமாக உள்ளதை எடுக்க வேண்டும்)     (சிறுமமாக உள்ளதை எடுக்க வேண்டும்)
இங்கு தீர்வுக்கு உகந்த பாதை 1-2-4-5 இரு கோடுகளால் குறிக்கப்படுகிறது.

செயல்	காலம்(tij)	EST	EFT = EST + tij	LST=LFT-tij	LFT
1-2	8	0	8	0	8
1-3	4	0	4	9	13
2-4	10	8	18	8	18
2-5	2	8	10	19	21
3-4	5	4	9	13	18
4-5	3	18	21	18	21

இந்தத் திட்டத்தை நிறைவு செய்யும் நீண்ட காலம் 21 நாட்கள்.
தீர்வுக்கு உகந்த பாதை 1-2-4-5 மற்றும் திட்டம் நிறைவு செய்யும் காலம் 21 நாட்கள்.

Y=2.3X – 35.67; மாணவனின் எடை = 125.79 lb

35/68

ரூ.13240, ரூ.36420, இயந்திரம் B வாங்கலாம்

q =5-2p₁+p₂-p₁² p₂
\(\frac { \partial q }{ \partial { P }_{ 1 } } \) = -2 -2p₁ p₂
\(\frac { \partial q }{ \partial { P }_{ 2 } } \) = 1-p₁²
\(\frac { Eq }{ { Ep }_{ 1 } } =-\frac { { P }_{ 1 } }{ q } \frac { \partial q }{ \partial { P }_{ 1 } } =\frac { -{ P }_{ 1 } }{ 5-2{ P }_{ 1 }+{ P }_{ 2 }-{ P }_{ 1 }^{ 2 }{ P }_{ 2 } } \)  (-2-2p₁p₂)
= \(\frac { 2{ P }_{ 1 }+2{ P }_{ 1 }^{ 2 }{ P }_{ 2 } }{ 5-2{ P }_{ 1 }+{ P }_{ 2 }-{ P }_{ 1 }^{ 2 }{ P }_{ 2 } } \)
இங்கு p₁=3 மற்றும் p₂=7
\(\frac { Eq }{ { E }p_{ 1 } } =\frac { 2(3)+2(9)(7) }{ 5-6+7-(9)(7) } =\frac { 132 }{ -57 } =\frac { -132 }{ 57 } \)
\(\frac { Eq }{ { E }p_{ 2 } } =-\frac { { P }_{ 2 }\partial q }{ q\quad \partial { P }_{ 2 } } =\frac { -{ P }_{ 2 }(1-{ p }_{ 1 }^{ 2 }) }{ 5-{ 2p }_{ 1 }+{ p }_{ 2 }-{ p }_{ 1 }^{ 2 }{ p }_{ 2 } } \)
=\(\frac { -{ P }_{ 2 }+{ p }_{ 2 }{ p }_{ 1 }^{ 2 } }{ 5-{ 2p }_{ 1 }+{ p }_{ 2 }-{ p }_{ 1 }^{ 2 }{ p }_{ 2 } } \)
இங்கு p₁=3 மற்றும் p₂=7
\(\frac { Eq }{ { E }p_{ 2 } } =\frac { -7+7(9) }{ 5-6+7-(9)(7) } =\frac { 56 }{ -57 } =\frac { -56 }{ 57 } \)​​​​​​​

சராசரி செலவு [AC] =இறுதிநிலைச் செலவு [MC] எனும் பொழுது சராசரி செலவானது சிறுமத்தை அடையும் என்பதை நாம் அறிவோம் 
செலவு : C=\(\frac { 1 }{ 3 } \)x³-3x²+9x 
∴ AC =\(\frac { 1 }{ 3 } x^{ 2 }-3x+9\)
MC  =x²-6x+9 
இப்பொழுது,  AC =MC ⇒\(\frac { 1 }{ 3 } \)x²-3x+9 =x²-6x+9
⇒ 2x²-9x = 0
⇒ x=\(\frac { 9 }{ 2 } \) அலகுகள் [∵ x > 0]

(1 + x)²ⁿ
2n 
நடு உறுப்பைக் காண \(t_{\frac{n}{2}+1}=t_{\frac{2 n}{2}+1}=t_{n+1}\)
\(r=n\)
\(t_{r+1}=n C_r x^{n-r} a^r\)
\(t_{n+1}=2 n C_n(1)^{2 n-n} x^n\)
\(=2 n C_n \cdot x^n\)
\(n C_r=\frac{n !}{r !(n-r) !}\)
\(=\frac{(2 n) !}{n !(2 n-n) !} x^n\)
\(=\frac{(2 n)(2 n-1)(2 n-2)(2 n-3) \ldots 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2.1}{n ! n !} x^n\)
\(=\frac{(2 n)(2 n-2) \ldots 4.2(2 n-1)(2 n-3) \ldots 5.3 .1}{n ! n !} x^n\)
\(=\frac{2^n(n(n-1) \ldots 2.1)(2 n-1)(2 n-3) \ldots 5.3 .1}{n ! n !} x^n\)
\(=\frac{2^n \cdot n !(2 n-1)(2 n-3) \ldots 5 \cdot 3 \cdot 1}{n ! n !} x^n\)
\(=\frac{1.3 .5 \ldots(2 n-3)(2 n-1) 2^n x^n}{n !}\)

f(x) = | x | ={\(x,\quad x\ge 0\\ -x,\quad x<0\)
\(L\left[ { f }^{ ' }\left( 0 \right) \right] =\underset { x\rightarrow { 0 }^{ - } }{ lim } \frac { f\left( x \right) -f\left( 0 \right) }{ x-0 } \)
\(=\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \frac { f\left( 0-h \right) -f\left( 0 \right) }{ 0-h-0 } ,x=0-h\)
\(=\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \frac { f\left( -h \right) -f\left( 0 \right) }{ -h } \)
\(=\ \underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \frac { \left| -h \right| -\left| 0 \right| }{ -h } \)
\(=\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \frac { \left| -h \right| }{ -h } \)
\(=\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \frac { h }{ -h } \)
\(=\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \left( -1 \right) \)
= –1
\(R\left[ { f }^{ ' }\left( 0 \right) \right] =\underset { x\rightarrow { 0 }^{ + } }{ lim } \frac { f\left( x \right) -f\left( 0 \right) }{ x-0 } \)
\(=\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \frac { f\left( 0+h \right) -f\left( 0 \right) }{ 0+h-0 } ,x=0+h\)
\(=\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \frac { f\left( h \right) -f\left( 0 \right) }{ h } \)
\(=\ \underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \frac { \left| h \right| -\left| 0 \right| }{ h } \)
\(=\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \frac { \left| h \right| }{ h } \)
\(=\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \frac { h }{ h } \)
\(=\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } 1\)
1
\(L\left[ { f }^{ ' }\left( 0 \right) \right] \neq R\left[ { f }^{ ' }\left( 0 \right) \right] \)
f(x) ஆனது x = 0 இல் வகையிடத்தக்கதல்ல.

\(AB=\left[ \begin{matrix} 1 & 3 & 7 \\ 4 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} \frac { -4 }{ 35 } & \frac { 11 }{ 35 } & \frac { -5 }{ 35 } \\ \frac { -1 }{ 35 } & \frac { -6 }{ 35 } & \frac { 25 }{ 35 } \\ \frac { 6 }{ 35 } & \frac { 1 }{ 35 } & \frac { -10 }{ 35 } \end{matrix} \right] \)
\(=\left[ \begin{matrix} 1 & 3 & 7 \\ 4 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \end{matrix} \right] \frac { 1 }{ 35 } \left[ \begin{matrix} -4 & 11 & -5 \\ -1 & -6 & 25 \\ 6 & 1 & -10 \end{matrix} \right] \)
\(=\frac { 1 }{ 35 } \left[ \begin{matrix} 35 & 0 & 0 \\ 0 & 35 & 0 \\ 0 & 0 & 35 \end{matrix} \right] \)
\(=\frac { 35 }{ 35 } \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \)
\(=\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] =I\)
\(BA=\left[ \begin{matrix} \frac { -4 }{ 35 } & \frac { 11 }{ 35 } & \frac { -5 }{ 35 } \\ \frac { -1 }{ 35 } & \frac { -6 }{ 35 } & \frac { 25 }{ 35 } \\ \frac { 6 }{ 35 } & \frac { 1 }{ 35 } & \frac { -10 }{ 35 } \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & 3 & 7 \\ 4 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \end{matrix} \right] \)
\(=\frac { 1 }{ 35 } \left[ \begin{matrix} -4 & 11 & -5 \\ -1 & -6 & 25 \\ 6 & 1 & -10 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & 3 & 7 \\ 4 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \end{matrix} \right] \)
\(​​=\frac { 1 }{ 35 } \left[ \begin{matrix} 35 & 0 & 0 \\ 0 & 35 & 0 \\ 0 & 0 & 35 \end{matrix} \right] =\frac { 35 }{ 35 } \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \)
\(=\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] =I\)
AB = BA = I
ஆகையால் A மற்றும் B அணிகள் ஒன்றுக்கொன்று நேர்மாறு ஆகும்.

தரவு \(\left| A \right| =\left| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right| =1-2=-1\neq 0\)
∴ A^-1 யைக் காணஇயலும்.
\(\left| B \right| =\left| \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 2 \end{matrix} \right| =0+1=1\neq 0\)
B^-1யைக் காணஇயலும்.
\(AB=\left[ \begin{matrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 2 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 2 & 3 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right] \)
\(AB=\left[ \begin{matrix} 2 & 3 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right] \)
=-1≠0
AB^-1 யைக் காணஇயலும்.
\(adj(AB)=\left[ \begin{matrix} 1 & -3 \\ -1 & 2 \end{matrix} \right] \)
\(({ AB) }^{ -1 }=\frac { 1 }{ \left| AB \right| } adj(AB)\)
\(=\frac { 1 }{ -1 } \left[ \begin{matrix} 1 & -3 \\ -1 & 2 \end{matrix} \right] \)
\(=\left[ \begin{matrix} -1 & 3 \\ 1 & -2 \end{matrix} \right] ...(1)\)
\(adjA=\left[ \begin{matrix} 1 & -2 \\ -1 & 1 \end{matrix} \right] \)
\({ A }^{ -1 }=\frac { 1 }{ \left| A \right| } adjA\)
\(=\frac { 1 }{ -1 } \left[ \begin{matrix} 1 & -2 \\ -1 & 1 \end{matrix} \right] \)
\(=\left[ \begin{matrix} -1 & 2 \\ 1 & -1 \end{matrix} \right] \)
\(adjB=\left[ \begin{matrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right] \)
\({ B }^{ -1 }=\frac { 1 }{ \left| B \right| } adjB\)
\(=\frac { 1 }{ 1 } \left[ \begin{matrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right] \)
\(=\left[ \begin{matrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right] \)
\({ B }^{ -1 }{ A }^{ -1 }=\left[ \begin{matrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} -1 & 2 \\ 1 & -1 \end{matrix} \right] \)
\(=\left[ \begin{matrix} -1 & 3 \\ 1 & -2 \end{matrix} \right] ...(2)\)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து (AB)^-1=B^-1A^-1 ஆகும்

\(\frac{2 x^2-5 x-7}{(x-2)^3}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{(x-2)^2}+\frac{C}{(x-2)^3}\)
⇒ \(\frac { 2x^{ 2 }-5x-7 }{ (x-2)^{ 3 } } =\frac { A(x-2)^{ 2 }+B(x-2)+C }{ (x-2)^{ 3 } } \)
⇒ 2x² - 5x - 7 = A(x - 2)² + B(x - 2) + C     ..(1)
x = 2 ன்  (1)
2(4) - 5(2) - 7 = C
C = 8 - 10 - 7 = - 9
2 = A
x = 0
\(-7=A(-2)^2-2 B+C\)
\(-7=2(4)-2 B-9\)
\(-7-8+9=-2 B\)
\(-6=-2 B \Rightarrow B \doteq 3\)
\(\frac{2 x^2-5 x-7}{(x-2)^2}=\frac{2}{x-2}+\frac{3}{(x-2)^2}-\frac{9}{(x-2)^3}\)

0.95

\(\bar { X } \)=13; \(\bar { Y}\)=17 மற்றும் r =0.6

சராசரி =7.5, MD =2.3

பெருக்கு சாரசரியின் கணக்கீடு

மதிப்பெண்கள்	m	f	log m	f log m
0.10	5	8	0.6990	5.5920
10-20	15	12	1.1761	14.1132
20-30	25	18	1.3979	25.1622
30-40	35	8	1.5441	12.3528
40-50	45	6	1.6532	9.9192
		N=52		Σf log m=67.1394

GM=Antilog\(\left( \frac { \Sigma flogX }{ N } \right) \)
=Antilog\(\left( \frac { 67.1394 }{ 52 } \right) \)
GM=Antilog 19.55

மொத்த செலவு C =AC\(\times \)x 
=\(\bar C \)\(\times \)x
= 0.05x³ +16x+100 
இறுதி நிலைச் செலவு: MC =\(\frac { dC }{ dx } \)
= 0.15x²+16
\(\left( \frac { dC }{ dx } \right) _{ x=50 }\) = 0.15(50)²+16
 = 375+16
 = ரூ.391

cos²A + cos² (A + 120^o)+ cos² (A - 120^o)
= cos²A + cos² (A + 120^o)+(1 - sin² (A - 120^o))                               (அதாவது cos²A =1 - sin²A)
= cos2A + 1 +(cos² )A + 120^o )- sin² (A - 120^o)
= cos²A + 1 + cos[(A + 120^o) + (A - 120^o]cos [(A + 120^o)](A - 120^o)]
= cos²A +1 + cos2A cos240^o                                                           (அதாவது cos2A - sin2B = cos]A + Bg cos]A-B))
= cos2A +1+ 2 cos²A - 1)cos(180^o + 60^o)                                        (அதாவது 2 cos²A =1 + cos 2A)
= cos²A + 1+ (2 cos²A - 1)(-cos 60_o)
=cos² A +1+ (2 cos² A-1 )\((\frac{1}{2})\)
= cos² A +1 cos² A +\(\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\)

ax²+2hxy+2y²+2gx+2fy+c=0 
இருபுறமும் x ஐ பொறுத்து வகையீடு காண,
\(2ax+2h+(x\frac{dy}{dx}+y)+2by\frac{dy}{dx}+2g+2f\frac{dy}{dx}=0\)
\((2ax+2h+2g)+(2hx+2by+2f)\frac{dy}{dx}=0\)
\(\frac{dy}{dx}=-\frac{(ax+hy+g)}{hx+by+f}\).

\(A=\left(\begin{array}{ccc} -3 & -5 & 4 \\ -2 & 3 & -1 \\ 1 & -4 & -6 \end{array}\right)\)
\(|A| =-3(-18-4)+5(12+1)+4(8-3) \)
\(=66+65+20=151 \neq 0\)
\(A_{11}=-3=-18-4=-22 \)
\(A_{12}=-5=-(12+1)=-13 \)
\(A_{13}= 4=8-3=5 \)
\(A_{21}=-2=-(30+16)=-46 \)
\(A_{22}=3=18-4=14 \)
\(A_{23}=-1=-(12+5)=-17 \)
\(A_{31}= 1=5-12=-7 \)
\(A_{32}=-4=-(3+8)=-11 \)
\(A_{23}=-6=-9-10=-19\)
\(\text {Co-factor matrix }=\left(\begin{array}{ccc} -22 & -13 & 5 \\ -46 & 14 & -17 \\ -7 & -11 & -19 \end{array}\right)\)
\(A^{-1}=\frac{1}{|A|} \operatorname{adj} A=\frac{1}{151}\left(\begin{array}{ccc} -22 & -46 & -7 \\ -13 & 14 & -11 \\ 5 & -17 & -19 \end{array}\right)\)
\(\frac { 1 }{ 151 } \left[ \begin{matrix} -22 & -46 & -7 \\ -13 & 14 & -11 \\ 5 & -17 & -19 \end{matrix} \right] \)

A(7,-5) என்க.
வட்டத்தின் சமன்பாடு x²+y²-6x+4y-12
(7,-5) ஐ பிரதியிட
 x²+y²-6x+4y-12 = 7²+(-5)²-6(7)+4(-5)-12
 = 49+25-42-20-12 =0
 ∴ (7,-5)ஆனது வட்டத்தின் மேல் அமைகிறது
இங்கு g =-3 மற்றும் f =2
 ∴  மையம் =C(3,-2)
விட்டத்தின் மறுமுனை B(x,y) என்க.
AB ன் மையம் =  \(\left( \frac { x+7 }{ 2 } ,\frac { y-5 }{ 2 } \right) \) =C(3,-2)
\(\frac { x+7 }{ 2 } \)=3             \(\frac { y-5 }{ 2 } \)   =-2
x+7 =6           y-5 = -4
x =- 1             y= 1
∴ விட்டத்தின் மறுமுனை (–1 , 1) ஆகும்

f(x) இன் சார்பகம் (0, ∞) மற்றும் வீச்சகம் R மேலும் இதன் வளைவரையானது (1, 0) இன் வழிச் செல்லும் என்பதை நாம் அறிவோம்.
வகை (i) a > 1 மற்றும் x > 0 எனில் f(x)=log_a\(x=\begin{cases} <0,00,x>1 \end{cases}\)
இங்கு x-ன் மதிப்பு அதிகரிக்கும்போது, f(x) இன் மதிப்பு அதிகரிக்கிறது.

வகை (ii) 0 < a < 1 மற்றும் x > 0 எனில்
f(x)=log_ax=\(\begin{cases}<0,00,x>1 \end{cases}\)
இங்கு x இன் மதிப்பு அதிகரிக்கும்போது , f(x) இன் மதிப்பு குறைகிறது.

\(t_{r+1} =6 C_r n^{6-r}\left(\frac{2^r}{x^r}\right) \)
\(=6 C_r x^{6-2 r} 2^r \)
\(6-2 r =0 = r =3 \)
\(t_{r+1} =6 C_3 2^3=160 \)

\(\left|\begin{array}{cc} 20 & 15 \\ 15 & 5 \end{array}\right|=5 \times 5\left|\begin{array}{ll} 4 & 3 \\ 3 & 1 \end{array}\right|\)
\(=5 \times 5 \times-5\)
\(=-125\)

\(\left|\begin{array}{ccc} 2 x+y & x & y \\ 2 y+z & y & z \\ 2 z+x & z & x \end{array}\right| \quad c_1 \rightarrow c_1-c_3\)
\(\left|\begin{array}{ccc} 2 x & x & y \\ 2 y & y & z \\ 2 z & z & x \end{array}\right|=0 \ \text { } c_1 \sim c_3\)

\(n P_r =720(\mathrm{nCr}) \)
\(\frac{n !}{(n-r) !} =720\left(\frac{n !}{r !(n-r) !}\right) \)
\(r ! =720 \)
\(r ! =6 ! \)
r = 6