P(n) என்ற கூற்று கீழ்க்கண்டவாறு வரையறுக்கப்படுகிறது
1³ + 2³ + 3³ + ....... + n³ = \(\frac { { n }^{ 2 }(n+1)^{ 2 } }{ 4 } \)
n = 1 என பிரதியிட
LHS = 1³ = 1
\(=\frac { 1^2(2)^2 }{ 4 } \Rightarrow 1\)
LHS = RHS
∴ P(1) என்பது உண்மையாகும்.
p(k) : 1³ + 2³ + ..... + k³ = \(\frac { { k }^{ 2 }(k+1)^{ 2 } }{ 4 } \)
P(k + 1) ன்
p(k) : 1³ + 2³ + ..... + k³ + (k + 1)³
\(=P(k)+(k+1)^3\)
= \(\frac { { k }^{ 2 }(k+1)^{ 2 } }{ 4 } +(k+1)^{ 3 }\)
\(=\frac{k^2(k+1)^2+4(k+1)^3}{4}\)
\(=\frac{(k+1)^2\left(k^2+4(k+1)\right)}{4}\)
\(=\frac{(k+1)^2\left(k^2+4 k+4\right)}{4}=\frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}\)
∴ P(k) உண்மையென்றால் P(k + 1) உண்மையாகும்
∴  அனைத்து இயல் மதிப்பிற்கும் P(n) உண்மையாகும்.

2x - z = 0, 5x + y = 4 and y + 3z = 5·
\(\begin{bmatrix} 2&0&-1\\ 5&1&0\\ 0&1&3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\y\\z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\4\\5 \end{bmatrix}\)
\(\Rightarrow\) AX  =  B
இங்கு A \(=\begin{bmatrix} 2&0&-1\\5&1&0\\0&1&3 \end{bmatrix},X=\begin{bmatrix} x\\y\\z \end{bmatrix}\) and B \(=\begin{bmatrix} 0\\4\\ 5\end{bmatrix}\)
\(|A|\) = 2 ( 3 - 0 ) - 0 - 1 ( 5 - 0 ) = 6 - 5 = 1 \(\neq\) 0 
\(\therefore\)  A^–1 யைக் காணஇயலும்.
\(=\left(\begin{array}{ccc} 3 & -15 & 5 \\ -1 & 6 & -2 \\ 1 & -5 & 2 \end{array}\right)\)
\({A}^{-1}={{1}\over{|A|}}adj\ A={{1}\over{1}}\begin{bmatrix} 3&-1&1\\ -15&6&-5\\ 5&-2&2 \end{bmatrix}\)
\(\therefore\)  \(X={A}^{-1}B=\begin{bmatrix} 3&-1&1\\-15&6&-5\\ 5&-2&2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0\\4\\5 \end{bmatrix}\)
\(\begin{bmatrix} x\\y\\z \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0-4+5\\ 0+24-25\\ 0-8+10 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1\\-1\\2 \end{bmatrix}\)
\(x=1, \mathrm{y}=-1, \mathrm{z}=2\)

\(\frac{x+1}{(x+2)^2(x+3)}=\frac{A}{(x+2)}+\frac{B}{(x+2)^2}+\frac{C}{(x+3)} .....(1)\)
(x - 2)² (x + 3) ஆல் இருபுறமும் பெருக்க
x + 1 = A(x - 2)(x + 3)+ B(x + 3)+ C(x - 2)²    ...(2)
x = 2 என (2) ல் பிரதியிட
2+1 = A(0)+ B(5)+ C(0)
\(\therefore B=\frac{3}{5}\)
x = –3 என (2) ல் பிரதியிட
–3+1 = A(0)+ B(0)+ C(-3 - 2)²
\(\therefore C=\frac{-2}{25}\)
x² இன் கெழுக்களை  சமன்பாடு (2) ல் இருபுறமும் சமன்படுத்த
0 = A + C
A = -C
\(\therefore A=\frac{2}{25}\)
A, B மற்றும் C ன் மதிப்புகளை (1) ல் பிரதியிட
\(\frac{x+1}{(x+2)^2(x+3)}=\frac{1}{25(x+2)}+\frac{3}{5(x+2)^2}-\frac{2}{25(x+3)}\)

y = f(x) = x²- 5 என்க.
x க்கு சில உகந்த மதிப்புகளை தெரிவு செய்து y இன் மதிப்புகளை கணக்கிடுக.
இவ்வாறாக கீழ்கண்ட அட்டவணையை நாம் பெறுகிறோம்.

(-3, 4), (-2, -1), (-1, -4), (0, -5), (1, -4), (2, -1), (3, 4) ஆகிய புள்ளிகளை வரைபடத்தில் குறித்து மென்மையான வளைவரையால் இணைக்கவும்.
f(x) இன் வரைபடமானது படத்தில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

A_ij = (–1)^i+jM_ij
A₁₁ = (–1)¹⁺¹M₁₁ =\(\left| \begin{matrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right| \)=0
A₁₂ = (–1)¹⁺²M₁₂ =\(-\left| \begin{matrix} 0 & 0 \\ -4 & 0 \end{matrix} \right| \)=0
A₁₃ = (–1)¹⁺³M₁₃ =\(\left| \begin{matrix} 0 & 1 \\ -4 & 1 \end{matrix} \right| \)=0-(-4)=4
A₂₁ = (–1)²⁺¹M₂₁ =\(-\left| \begin{matrix} -2 & -3 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right| \)=-(0-(-3))=-3
A₂₂ = (–1)²⁺²M₂₂ =\(\left| \begin{matrix} 1 & -3 \\ -4 & 0 \end{matrix} \right| \)=0-12=-12
A₂₃ = (–1)²⁺³M₂₃ =\(-\left| \begin{matrix} 1 & -2 \\ -4 & 1 \end{matrix} \right| \)=-(1-8)=7
A₃₁ = (–1)³⁺¹M₃₁ =\(\left| \begin{matrix} -2 & -3 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right| \)=0-(-3)=3
A₃₂ = (–1)³⁺²M₃₂ =\(-\left| \begin{matrix} 1 & -3 \\ 0 & 0 \end{matrix} \right| \)=0-0=0
A₃₃ = (–1)³⁺³M₃₃ =\(\left| \begin{matrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right| \)=1-0=1
\(\left| { A }_{ ij } \right| =\left[ \begin{matrix} 0 & 0 & 4 \\ -3 & -12 & 7 \\ 3 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \)
Adj A =[Aij]^T
\(=\left[ \begin{matrix} 0 & -3 & 3 \\ 0 & -12 & 0 \\ 4 & 7 & 1 \end{matrix} \right] \) 

அதாவது \(\frac { 3\pi }{ 2 }  A மற்றும் B ஆகியன நான்காம் கால் பகுதியில் அமைகிறது. எனில் \(\sin { A }\) மற்றும் \(\sin { B } \) ஆகியவை குறைகுறி உடையதாக இருக்கும்.
\(\cos A={4\over 5}\)  மற்றும் \(\cos\ B={12\over 13},\)
ஆகவே, 
\(\sin { A } =-\sqrt { 1-\cos ^{ 2 }{ A } } \)
\(=-\sqrt { 1-\frac { 16 }{ 25 } } \)
\(=-\sqrt { \frac { 25-16 }{ 25 } } \)
\(=-\frac { 3 }{ 5 } \)
\(\sin { B } =-\sqrt { 1-\cos ^{ 2 }{ B } } \)
\(=-\sqrt { 1-\frac { 144 }{ 169 } } \)
\(=-\sqrt { \frac { 169-144 }{ 169 } } \)
\(=-\frac { 5 }{ 13 } \)
sin(A – B) = sinA cosB – cosA sinB
\(=\left({-3\over5}\right)\left( {12\over 13} \right)-\left( {4\over5} \right)\left( {-5\over 13} \right)\)
\(={-36\over 65}+{20\over 65}={-16\over 65}\)