\(​​y=u+v\Rightarrow \frac { dy }{ dx } =\frac { du }{ dx } +\frac { dv }{ dx } \).......(1)
\(u=x ^{logx}\) என்க.
இரு புறமும் மடக்கை எடுக்க
log u=log x^logx =logx.logx=(logx)² 
\(\frac { 1 }{ u } \frac { du }{ dx } =2logx\times \frac { 1 }{ x } =\frac { 2logx }{ x } \)
\(\Rightarrow \frac { du }{ dx } =u\left( \frac { 2logx }{ x } \right) =x^{ logx }\left( \frac { 2logx }{ x } \right) \)
மற்றும் v=(log x)^x
இருபுறமும் மடக்கை எடுக்க 
log v=log((log x)^x)=x.log(logx)
\(\frac { 1 }{ v } \frac { dv }{ dx } =x.\frac { d }{ dx } (log(logx))+loglog(x).\times \frac { d }{ dx } (1)\)

\(=\frac { 1 }{ logx } +log(logx)\)
\(\Rightarrow \frac { dv }{ dx } =v\left[ \frac { 1 }{ logx } +log(logx) \right] \)
\(=(logx)^{ x }\left( \frac { 1 }{ logx } +log(logx) \right) \)..(3)
(2),(3)ஐ (1)-ல் பிரதியிட 
\(\frac { dy }{ dx } =x^{ logx }\left( \frac { 2logx }{ x } \right) +(logx)^{ x }\left[ \frac { 1 }{ logx } +log(logx) \right] \)

\(\log \ y=\log x^{ \cos x }\Rightarrow \log y=\cos x.\log x\)
\(\frac { 1 }{ y } .\frac { dy }{ dx } =cosx.\frac { d }{ dx } (logx)+logx.\frac { d }{ dx } (cosx)\)
\(\frac { 1 }{ y } .\frac { dy }{ dx } =cosx\times \frac { 1 }{ x } +logx(-sinx)\)
\(=\frac { cosx }{ x } -sinx.logx\)
\(\Rightarrow \frac { dy }{ dx } =y[\frac { cosx }{ x } -sinx.logx]\)
\(\Rightarrow \frac { dy }{ dx } =x^{ cosx }[\frac { cosx }{ x } -sinx.logx]\)

x = at² ; y = 2at என்பதால் 
\(\frac { dy }{ dx } =\frac { { y }^{ ' }(t) }{ { x }^{ ' }(t) } =\frac { 2a }{ 2at } =\frac { 1 }{ t } .\)

\(g(t)=4\sec { t } +\tan { t } \)
\(g'(t)=4.\frac { d }{ dt } (sect)+\frac { d }{ dt } (tant)\)
\(=4\sec t \tan t+{ sec }^{ 2 }t\)

\(g(t)={ t }^{ 3 }\cos { t } \)
\(g'(t)={ t }^{ 3 }\frac { d }{ dt } (cost)+cost\frac { d }{ dt } ({ t }^{ 3 })\)
(பெருக்கல் விதிப்படி)
\({ t }^{ 3 }-(-\sin t)+\cos t(3{ t }^{ 3 })\)
\(=3{ t }^{ 3 }\cos t-{ t }^{ 3 }\sin t\)

f(x) = 6
f'(x)=\(\lim_{\triangle x\rightarrow0}{f(x+\triangle x )-f(x)\over \triangle x}\)
f(x) = 6
\(\Rightarrow f(x+\triangle x)=6\)
\(\therefore f'(x)=\lim_{\triangle x \rightarrow 0}{6-6\over \triangle x}=\lim_{\triangle x \rightarrow 0}{0\over \triangle x}=0\)
(1), (2) லிருந்து
\(\therefore f'(x)=0\)

\(y=\sin ^{ -1 }{ (3x-4{ x }^{ 3 }) } \) என்க 
\(x=\sin\theta \)
\(\Rightarrow \theta =\sin ^{ -1 } x\)
\(y=\sin ^{ -1 } (3sin\theta -4\sin ^{ 3 } \theta )\)
\(=\sin ^{ -1 } (sin3\theta )\)
\([\because sin3\theta =3sin\theta -4\sin ^{ 3 } \theta ]\)
\(y=3\theta =3\sin ^{ -1 } x\)
\(\therefore \frac { dy }{ dx } =3\times \frac { 1 }{ \sqrt { 1-x^{ 2 } } } =\frac { 3 }{ \sqrt { 1-x^{ 2 } } } \)

\(y=\cos ^{ -1 }{ \left( \frac { 1-{ x }^{ 2 } }{ 1+{ x }^{ 2 } } \right) } \)
\(x=\tan\theta \)என்க
\(\Rightarrow \theta =tan^{ -1 }x\)
\(\therefore y=\cos ^{ -1 }{ \left( \frac { 1-{ tan }^{ 2 }\theta }{ 1+{ tan }^{ 2 }\theta } \right) } \)
\(=\cos ^{ -1 } (cos2\theta )\)
\(\left[ \because cos2\theta =\frac { 1-{ tan }^{ 2 }\theta }{ 1+{ tan }^{ 2 }\theta } \right] \)
\(y=2\theta \)
\(\Rightarrow y=2.\tan^{ -1 }x\)
\(\frac { dy }{ dx } =2\times \frac { 1 }{ 1+x^{ 2 } } =\frac { 2 }{ 1+x^{ 2 } } \)

\(y={ e }^{ -mx }\)
\(u=-mx\Rightarrow y=e^{ u }\)என்க
\(\therefore \frac { du }{ dt } =-m\)மற்றும்\(\frac { dy }{ du } =e^{ u }\)
\(\therefore \frac { dy }{ du } =\frac { dy }{ du } \times \frac { du }{ dx } =e^{ u }\times (-m)=-me^{ u }\)
\(=-me^{ -mx }\ [\because u=-mx]\)
\(=-my\ [\because y=e^{ -mx }]\)

\(y=\cos { { (a }^{ 3 }+{ x }^{ 3 }) } \)
\(u={ a }^{ 3 }+{ x }^{ 3 }\Rightarrow y=cosu\)என்க
\(\therefore \frac { du }{ dt } =0+3{ x }^{ 2 }=3{ x }^{ 2 }\) மற்றும்\( \frac { dy }{ du } =-sinu\)
\(\therefore \frac { dy }{ du } =\frac { dy }{ du } \times \frac { du }{ dx } =-sinu\)
\(=-3{ x }^{ 2 }.sinu\)
\(\therefore \frac { dy }{ dx } =-3{ x }^{ 2 }.sin{ (a }^{ 3 }+{ x }^{ 3 })\)

\(f(t)=\sqrt [ 3 ]{ 1+\tan { t } } =(1+tant)^{ \frac { 1 }{ 3 } }\)
\(u=1+tant\Rightarrow f(u)=u^{ \frac { 1 }{ 3 } }\)என்க
\(\therefore \frac { du }{ dt } =sec^{ 2 }t\)மற்றும் 
\(f'(u)=\frac { 3 }{ 2 } u^{ \frac { 1 }{ 3 } -1 }=\frac { 3 }{ 2 } u^{ -\frac { 2 }{ 3 } }\)
\(\therefore f'(t)=f'(u).\frac { du }{ dt } =\frac { 1 }{ 3 } u^{ -\frac { 2 }{ 3 } }sec^{ 2 }t\)
\(=\frac { 1 }{ 3 } sec^{ 2 }t(1+tant)^{ -\frac { 2 }{ 3 } }\)
\(\left[ \because u=1+tant \right] \)

\(y={ e }^{ x }\sin { x } \)
பெருக்கல் விதியைப் பயன்படுத்தி 
\(\frac { dy }{ dx } ={ e }^{ x }.\frac { d }{ dx } (\sin x)+\sin x.\frac { d }{ dx } ({ e }^{ x })\)
\({ e }^{ x }.\cos+\sin x.{ e }^{ x }={ e }^{ x }(\cos x+\sin x)\)

(i) வரைபடத்திலிருந்து x = -1-ல் வரைபடத்திற்கு கூர்முனை உள்ளது.
x = -1-ல் வகைமை இல்லை 
(ii) x = 4-ல் தொடர்ச்சியற்றது.
f க்கு x = 4-ல் வகைமை இல்லை.
(iii) x = 8-ல் தொடர்ச்சியற்றது.
f க்கு x = 8-ல் வகைமை இல்லை.
(iv) x = 11-ல் செங்குத்து தொடுகோடு அமைகிறது.
f க்கு x = 11-ல் வகைமை இல்லை.

f(x)=|x-1|
f'(1^-)=\(\lim_{ x\rightarrow 1^- }{f(x)-f(1)\over x-1}\)
\(=\lim_{ x\rightarrow 1^- }{|x-2|-0\over x-2}\)
\(=\lim_{ x\rightarrow 1^- }{|x-2|\over x-2}=\lim_{ x\rightarrow 1^- }{(x-2)\over x-2}=-1\)
\(\therefore f'(1^-)=-1\)
\(\therefore f'(1^+)=\lim_{ x\rightarrow 0^+ }{f(x)-f(1)\over x-0}\)
\(=\lim_{ x\rightarrow 0^+ }{|x-1|-0\over x-1}=\lim_{ x\rightarrow 1^+ }{|x-1|\over x-1}\)
\(=\lim_{ x\rightarrow 1^+ }{|x-1|\over x-1}=1\)
\(\therefore f'(1^+)=1\)
ஒரு பக்க வகைக்கெழு, f'(1^-)\(\neq\)f'(1⁺)அதனால் f'(1)கிடைக்கபெறாது 
\(\therefore\) x = 1ல் வகைமை இல்லை.

\(y=\tan ^{ -1 }{ \left( \frac { \cos { x } +\sin { x } \quad }{ \cos { x } -\sin { x } } \right) } \).......(1)
\(\frac { \cos { x } +\sin { x } \quad }{ \cos { x } -\sin { x } } \)
தொகுதி, பகுதியை cos x-ஆல் வகுக்க 
\(\frac { 1+\frac { \sin { x } }{ \cos { x } } }{ 1-\frac { \sin { x } }{ \cos { x } } } =\frac { 1+tanx }{ 1-tanx } =\frac { tan\frac { \pi }{ 4 } +tanx }{ 1-tan\frac { \pi }{ 4 } .tanx } \left[ \because tan\frac { \pi }{ 4 } =1 \right] \)
\(=tan\left( \frac { \pi }{ 4 } +x \right) \).....(2)
(2)ஐ (1)ல் பிரதியிட,
\(y=\tan ^{ -1 } \left( \tan\left( \frac { \pi }{ 4 } +x \right) \right) \)
\(y=\frac { \pi }{ 4 } +x\)
\(\therefore \frac { dy }{ dx } =0+1=1\)