\(I=\int { { e }^{ -3x }cos\ xdx } \)
\(\int { { e }^{ ax }cosbx\ dx=\frac { { e }^{ ax } }{ { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } } [acosbx+bsinbx]+c } \)
இங்கு a = -3, b = 1
\(\therefore I=\int { { e }^{ -3x }cosx\ dx } \)
\(=\frac { { e }^{ -3x } }{ { (-3) }^{ 2 }+{ 1 }^{ 2 } } [-3cosx+sinx]+c\)
=\(\frac{e^{-3x}}{10}[sinx-3cosx]+c\)

\(I=\int { 25xe^{ -5x }dx } \) என்க
u = 25x;
dv = e^-5x dx
\(\Rightarrow \)du = 25 dx;
\(v=\frac { { e }^{ -5x } }{ -5 } \)
\(\therefore \) பகுதித் தொகையிடல் முறையில்
 
\(\int { 25xe^{ 5x }dx=25x } (\frac { { e }^{ -5x } }{ -5 } )+\int { \frac { { e }^{ -5x } }{ 5 } (25) } dx\)
\(=-5xe^{ 5x }+5\int { { e }^{ -5x }dx } \)
\(=-5xe^{ 5x }+5\frac { { e }^{ -5x } }{ -5 } +c\)
= -5xe^-5x -e^-5x + c
= -e^-5x (5x+1) + c

\(\int { (\sqrt { x } +\frac { 1 }{ \sqrt { x } } )^{ 2 } } dx=\int { (x+\frac { 1 }{ x } +2.\sqrt { x } . } \frac { 1 }{ \sqrt { x } } )dx\)
\(=\int { (x+\frac { 1 }{ x } +2)dx=\int { xdx+\int { \frac { 1 }{ x } dx+2\int { dx } } } } \)
\(=\frac{x^{2}}{2}+\log|x|+2x+c\)

\(\int { \frac { sinx }{ 1+sinx } dx } \) = \(\int { \left( \frac { \sin x }{ 1+\sin x } \right) \left( \frac { 1-\sin x }{ 1-\sin x } \right) } dx\)
= \(\int { \frac { sinx-{ sin }^{ 2 }x }{ 1-{ sin }^{ 2 }x } dx } \) = \(\int { \frac { sinx-{ sin }^{ 2 }x }{ { cos }^{ 2 }x } dx } =\int { \frac { sinx }{ { cos }^{ 2 }x } dx } -\int { \frac { { sin }^{ 2 }x }{ { cos }^{ 2 }x } dx } \)
= \(\int { \tan x } \sec xdx-\int { { \tan }^{ 2 } } xdx\)
= \(\int { \tan x } \sec xdx-\int { \left( { \sec }^{ 2 }x-1 \right) dx } \)
= sec x - tan x + x + c.

I என்பது மாநில அரசு பணி கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவு என்க. C என்பது மத்திய அரசு பணி கிடைப்பதற்கான நிகழ்ச்சி என்க.
கொடுக்கப்பட்டவை (I) = 0.12, P (C ) = 0.25, மற்றும் P(I ∩C)=0.07
(i) P (இரண்டிலொரு பணி கிடைப்பதற்கான) = P(I my;yJ C)= P(I UC)
= P(I )+P(C)−P(I ∩C)
= 0.12 + 0.25 − 0.07 = 0.30
(ii) P(ஒரே ஒரு பணி கிடைப்பதற்கான) = P[I மட்டும் அல்லது C மட்டும்].
= P(I ∩ \(\bar C\))+P(\(\bar I\) ∩C)
= {P(I )−P(I ∩C)}+{P(C)−P(I ∩C)}
= {0.12 −0.07} + { 0.25 − 0.07}
= 0.23.

\(\int { { (4x+5) }^{ 6 }dx=\frac { 1 }{ 4 } \frac { { (4x+5) }^{ 6+1 } }{ 6+1 } =\frac { { (4x+5) }^{ 7 } }{ 28 } +c } \)

\(y=\frac { \sin ^{ 2 }{ x } }{ \cos { x } } \)
\(\frac { dy }{ dx } =\frac { cosx.\frac { d }{ dx } ({ sin }^{ 2 }x)-{ sin }^{ 2 }x.\frac { d }{ dx } (cosx) }{ cos^{ 2 }x } \)
[வகுத்தல் விதியின்படி]
\(=\frac { cosx.2.{ sin }xcosx-{ sin }^{ 2 }x(-sinx) }{ cos^{ 2 }x } \)
\(=\frac { 2{ sin }xcos^{ 2 }x+{ sin }^{ 3 }x }{ cos^{ 2 }x } \)
\(=sinx\left( \frac { 2cos^{ 2 }x+{ sin }^{ 2 }x }{ cos^{ 2 }x } \right) \)
\(=sinx\left( \frac { cos^{ 2 }x+cos^{ 2 }x+{ sin }^{ 2 }x }{ cos^{ 2 }x } \right) \)
\(=sinx\left( \frac { 1+cos^{ 2 }x }{ cos^{ 2 }x } \right) \)
\(=sinx\left( \frac { 1 }{ cos^{ 2 }x } +\frac { cos^{ 2 }x }{ cos^{ 2 }x } \right) =sinx(sec^{ 2 }x+1)\)

மூன்று நாணயங்களை ஒரு முறைச் சுண்டுவதும் ஒரே நாணயத்தை மூன்று முறைச் சுண்டுவதும் ஒன்றே எனபதைக் கவனிக்கவும். கூறுவெளி S={H, T} x {H, T} x {H, T}
S={HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}, n(S)=8
A என்பது ஒரு தலை விழும் நிகழ்ச்சி, B என்பது குறைந்தது ஒரு தலை விழும் நிகழ்ச்சி மற்றும் C என்பது அதிகபட்சமாக ஒரு தலை விழும் நிகழ்ச்சி என்க.
A={HTT, THT, TTH}, n(A)=3
B={HTT, THT, TTH, }, n(S)=8
C= {TTT,HTT,THT,TTH}; n(C) = 4 .
எனவே தேவைப்படும் நிகழ்தகவுகள்
(i) P(A)=\(\frac { n(A) }{ n(S) } =\frac { 3 }{ 8 } \)
(ii) P(B) =\(\frac { n(B ) }{ n(S) } =\frac { 7 }{ 8 } \)
(iii) P(C) =P(A)=\(\frac { n(C ) }{ n(S) } =\frac { 4 }{ 8 } =\frac { 1 }{ 2 } \)

\(\lim _{ x\infty }{ \frac { { x }^{ 4 }-5x }{ { x }^{ 2 }-3x+1 } } =\lim _{ x\rightarrow \infty }{ \frac { { x }^{ 4 }\left( 1-\frac { 5 }{ { x }^{ 3 } } \right) }{ { x }^{ 2 }\left( 1-\frac { 3 }{ x } +\frac { 1 }{ { x }^{ 2 } } \right) } } \)
\(=\lim _{ x\rightarrow \infty }{ \frac { { x }^{ 2 }\left( 1-\frac { 5 }{ { x }^{ 3 } } \right) }{ \left( 1-\frac { 3 }{ x } +\frac { 1 }{ { x }^{ 2 } } \right) } =\infty \left[ \because \frac { 1 }{ x } \rightarrow 0;x\rightarrow \infty \right] } \)
\(=\lim _{ x\rightarrow \infty }{ \frac { { x }^{ 4 }-5x }{ { x }^{ 2 }-3x+1 } =\infty } \)

\(\frac { 1 }{ 2 } \) [x₁y₂ - x₂y₁ + x₂y₃ -x₃y₂ + x₃y₁ -x₁y₃]
இக்கோவையை அணிக்கோவை வடிவத்தில்    
= \(\frac { 1 }{ 2 } \left| \begin{matrix} { x }_{ 1 } & { y }_{ 1 } & 1 \\ { x }_{ 2 } & { y }_{ 2 } & 1 \\ { x }_{ 3 } & { y }_{ 3 } & 1 \end{matrix} \right| \)  என எழுதலாம். 
\(\therefore \)  x₁y₁ x₂y₂ x₃y₃   
(0,0) (1, 2) (4,3)  என கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. 
\(\therefore \) முக்கோணத்தின் பரப்பு  \(\frac { 1 }{ 2 } \left| \begin{matrix} { x }_{ 1 } & { y }_{ 1 } & 1 \\ { x }_{ 2 } & { y }_{ 2 } & 1 \\ { x }_{ 3 } & { y }_{ 3 } & 1 \end{matrix} \right| \)
 = \(\frac { 1 }{ 2 } \) = [0 (2 - 3) - 0 (1 - 4) + 1 (3 - 8)]
= \(\frac { 1 }{ 2 } \) ( - 5) = \(\frac { -5 }{ 2 } =\frac { 5 }{ 2 } \) = 2.5  அலகுகள்  (\(\because \) பரப்பு  எப்பொழுதும் மிகையே )

|3AB| = 3³ |A|.|B|
=3 \(\left| \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right| \times -1\times 3=\left| \begin{matrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{matrix} \right| \times -1\times 3\)
= 3³ x  -1 x 3 = 27 x - 3 = -81

|AA^T| = |A| |A^T| = |A| |A|     ( \(\because\)  |A| = |A|^T)
= 2 x 2 = 4 

p² - 1 = 1
p² = 1 + 1 = 2  \(\Rightarrow\) \(p=\pm \sqrt { 2 } \)
-31- q³ = -4
\(\Rightarrow\)  -q³ = -4 + 31 = 27 = 3³
\(\Rightarrow\) q = -3
r + 1 = \(\frac { 3 }{ 2 } \)
\(\Rightarrow\) r = \(\frac { 3 }{ 2 } -1=\frac { 3-2 }{ 2 } =\frac { 1 }{ 2 } \)
s - 1 = -\(\pi\)
s = -\(\pi\) + 1 = 1 - \(\pi\)
\(\therefore\) \(p=\pm \sqrt { 2 } \), q = -3, r = \(\frac { 1 }{ 2 } \) , s = 1 - \(\pi\).

\(\vec { a } \times \vec { b } =\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ 3 & 1 & 4 \\ 1 & -1 & 1 \end{matrix} \right| =\hat { i } (1+4)-\hat { j } (3-4)+\hat { k } (-3-1)=5\hat { i } +\hat { j } -4\hat { k } \)
\( \left| \vec { a } \times \vec { b } \right| =\left| 5\hat { i } +\hat { j } -4\hat { k } \right| =\sqrt { 42 } \)
இணைகரத்தின் பரப்பளவு \(\sqrt { 42 } \) ச.அலகுகள்  

\(\vec { a } \times \vec { b } =\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ -3 & 4 & -7 \\ 6 & 2 & -3 \end{matrix} \right| =\hat { i } (-12+14)-\hat { j } (9+24)+\hat { k } (-6-24)=2\hat { i } -51\hat { j } -30\hat { k } \)
\(\vec { a } .(\vec { a } \times \vec { b } )=(-3\hat { i } +4\hat { j } -7\hat { k } ).(2\hat { i } -51\hat { j } -30\hat { k } )=-6-204+210=0\)
எனவே,   \(\vec { a } \) மற்றும் \(\vec { a } \times \vec { b } \) ஆகியவை ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்து 

\(\vec { a } \)-ன் திசையில் உள்ள  ஓரலகு வெக்டர் \(\frac { \vec { a } }{ \left| \vec { a } \right| } \) ஆகும். எனவே, \(5\hat { i } -3\hat { j } +4\hat { k } \)ன் திசையில் ஓரலகு வெக்டர் \(\frac { 5\hat { i } -3\hat { j } +4\hat { k } }{ \left| 5\hat { i } -3\hat { j } +4\hat { k } \right| } =\frac { 5\hat { i } -3\hat { j } +4\hat { k } }{ \sqrt { { 5 }^{ 2 }+{ 3 }^{ 2 }+{ 4 }^{ 2 } } } =\frac { 5\hat { i } -3\hat { j } +4\hat { k } }{ \sqrt { 50 } } \)

\(\left[ \begin{matrix} 0 & \sin { \alpha } & \cos { \alpha } \\ \sin { \alpha } & 0 & \sin { \beta } \\ \cos { \alpha } & -\sin { \beta } & 0 \end{matrix} \right] =0{ M }_{ 11 }-\sin { \alpha } { M }_{ 12 }+\cos { \alpha } { M }_{ 13 }\)
\(=0-\sin { \alpha } (0-\cos { \alpha } \sin { \beta } )+\cos { \alpha } (-\sin { \alpha \sin { \beta } -0)=0. } \)

\(\int { sin^{ 2 }5x=\frac { 1 }{ 2 } \int { 1-cos2(5x)dx } } \)
\([\because cos2x=1-2{ sin }^{ 2 }x\Rightarrow { sin }^{ 2 }x=\frac { 1 }{ 2 } (1-cos2x)\)
\(=\frac { 1 }{ 2 } [\int { 1 } -cos10xdx]=\frac { 1 }{ 2 } [\int { dx-\int { cos10xdx } ] } \)
=\(\frac{1}{2}[x-\frac{sin10x}{10}]\)+c

f'(x) = 9x²- 6x 
f (0) =-3
இருபுறமும் தொகையீடு காண 
\(\int { f'(x)dx=\int { { 9x }^{ 2 }-6xdx } } \)
\(f(x)=9\int { { x }^{ 2 }dx-6\int { xdx } } \)
\(f(x)=\frac { { 9x }^{ 3 } }{ 3 } -\frac { { 6x }^{ 2 } }{ 2 } +c={ 3x }^{ 2 }-{ 3x }^{ 2 }+c...(1)\)
f(0) =- என்பதால் 
\(\Rightarrow f(0)=3(0)-3(0)+c\Rightarrow c=-3\)
c =-3 என (1) - ல் பிரதியிட 
f(x) =3x³ -3x² -3
f(x) =3(x³ -x² -1)

\(\int { \left( { 1+x }^{ 2 } \right) ^{ -1 }dx=\int { \frac { 1 }{ 1+{ x }^{ 2 } } } } dx=\tan^{ -1 }x+c\)

P(A) = \(\frac { 3 }{ 4 } \), P(B) = \(\frac { 2 }{ 5 } \)
(A U B) = S
⇒ P(A U B) = P(S) = 1
⇒ P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
⇒ 1 = \(\frac { 3 }{ 4 } +\frac { 2 }{ 5 } \) - P(A ∩ B)
⇒ P(A ∩ B) = \(\frac { 3 }{ 4 } +\frac { 2 }{ 5 } \) - 1
= \(\frac { 15+8-20 }{ 20 } =\frac { 23-20 }{ 20 } \)
∴ P(A ∩ B) = \(\frac { 3 }{ 20 } \)
P(A/B) = \(\frac { P\left( A\cap B \right) }{ P\left( B \right) } \)

\(\int { \frac { 1 }{ \sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } } } dx={ sin }^{ -1 }x+c\)

x = at² ; y = 2at என்பதால் 
\(\frac { dy }{ dx } =\frac { { y }^{ ' }(t) }{ { x }^{ ' }(t) } =\frac { 2a }{ 2at } =\frac { 1 }{ t } .\)

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டில் x=1 எனப் பிரதியிட \({ y }^{ 2 }=3\) அல்லது \(y=\pm \sqrt { 3 } \) எனப் பெறலாம். எனவே, \((1,\sqrt { 3 } )\)  மற்றும் \((1,-\sqrt { 3 } )\) -ல் தொடுகோடுகள் அமையும். இரண்டு வெவ்வேறு உட்படு சார்புகளுக்கான வரைபடங்களில் உள்ள புள்ளிகளாக \((1,\sqrt { 3 } )\)  மற்றும் \((1,-\sqrt { 3 } )\) அமைந்தாலும் ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் சரியான சாய்வு கிடைக்கும். எனவே \((1,\sqrt { 3 } )\)-ல் \(\frac { dy }{ dx } =-\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \) மற்றும் \((1,-\sqrt { 3 } )\)-ல் \(\frac { dy }{ dx } =\frac { -1 }{ -\sqrt { 3 } } =\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \)

\(y=\frac { { e }^{ 3x } }{ 1+{ e }^{ x } } \)
வகுத்தல் விதியைப் பயன்படுத்தி 
\(\frac { dy }{ dx } =\frac { (1+{ e }^{ x }).\frac { d }{ dx } ({ e }^{ 3x })-{ e }^{ 3x }.\frac { d }{ dx } (1+{ e }^{ x }) }{ (1+{ e }^{ x })^{ 2 } } \)
\(=\frac { (1+{ e }^{ x }).{ e }^{ 3x }.3-{ e }^{ 3x }(0+{ e }^{ x }) }{ (1+{ e }^{ x })^{ 2 } } \)
\(=\frac { 3{ e }^{ 3x }+3{ e }^{ 4x }-{ e }^{ 4x } }{ (1+{ e }^{ x })^{ 2 } } =\frac { 3{ e }^{ 3x }+2{ e }^{ 4x } }{ (1+{ e }^{ x })^{ 2 } } \)

\(y=\sqrt [ 3 ]{ 1+{ x }^{ 3 } } \)
\(u=1+x^{ 3 }=(1+x^{ 3 })^{ \frac { 1 }{ 3 } }\)
\(u=1+x^{ 3 }\Rightarrow y=u^{ \frac { 1 }{ 3 } }\)என்க
\(\therefore \frac { du }{ dx } =3x^{ 2 }\)மற்றும்  \(\frac { dy }{ dx } =\frac { 1 }{ 3 } u^{ \frac { 1 }{ 3 } -1 }=\frac { 1 }{ 3 } u^{ \frac { -2 }{ 3 } }\)
\(\therefore \frac { dy }{ dx } =\frac { dy }{ du } \times \frac { du }{ dx } =\frac { 1 }{ 3 } u^{ \frac { -2 }{ 3 } }.(3x^{ 2 })\)

முதலில்  \(f(x)=({ x }^{ 2 }+x+1{ ) }^{ \frac { -1 }{ 3 } }\) என எழுதுவோம். 
எனவே, \({ f }^{ ' }(x)=-\frac { 1 }{ 3 } ({ x }^{ 2 }+x+1{ ) }^{ \frac { -1 }{ 3 } 1 }\frac { d }{ dx } ({ x }^{ 2 }+x+1{ ) }\)
\(=-\frac { 1 }{ 3 } ({ x }^{ 2 }+x+1{ ) }^{ \frac { -4 }{ 3 } }\times (2x+1)\)
\(=-\frac { 1 }{ 3 } (2x+1)({ x }^{ 2 }+x+1{ ) }^{ \frac { -4 }{ 3 } }.\)

எல்லா  \(x\ge 0\)-க்கும்  \(-x\le \sin { x } \le x\)என நமக்குத் தெரியும்.
\(\lim _{ x\rightarrow 0 }{ (-x)=0 } \) மற்றும் \(\lim _{ x\rightarrow 0 }{ (x)=0 } \)
இடையீட்டுத் தேற்றப்படி \(\lim _{ x\rightarrow 0 }{ \sin { x=0 } } \)

\(\lim _{ x\rightarrow 5 }{ \frac { \sqrt { x+4 } -3 }{ x-5 } } \)
தொகுதி, பகுதியை \(\sqrt { x+4 } +3\) ஆல் பெருக்க
\(=\lim _{ x\rightarrow 5 }{ \frac { \sqrt { x+4 } -3 }{ x-5 } } \times \frac { \sqrt { x+4 } +3 }{ \sqrt { x+4 } +3 } \)
\(=\lim _{ x\rightarrow 5 }{ \frac { (x+4)-{ 3 }^{ 2 } }{ (x-5)\left[ \sqrt { x+4 } +3 \right] } } \)

\(=\frac { 1 }{ \sqrt { 4+4 } +3 } =\frac { 1 }{ \sqrt { 9 } +3 } =\frac { 1 }{ 3+3 } =\frac { 1 }{ 6 } \)

\(f(x)=\frac { cos\ x-1 }{ x } \)என்க

\(\therefore \lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { cos\ x-1 }{ x } =0 } \)

\(f(x)=\frac { x-2 }{ { x }^{ 2 }-x-2 } \)
\(=\frac { x-2 }{ (x-2)(x+1) } \)என்க.
\(f(x)=\frac { 1 }{ (x+1) } \)

\(\therefore \lim _{ x\rightarrow 2 }{ \frac { x-2 }{ { x }^{ 2 }-x-2 } } =0.\bar { 3 } \)

மூன்று புள்ளிகளின் நிலைவெக்டர்கள் \(\vec { a } ,\vec { b } ,\vec { c } \) என்க.
\(2\vec { a } -7\vec { b } +5\vec { c } \)=0
⇒ \(2\vec { a } +5\vec { c } =\vec { b } \)
⇒ \(\vec { b } =\frac { 2 }{ 7 } \vec { a } +\frac { 5 }{ 7 } \vec { b } \)
⇒ \(\vec { b } =s\vec { a } +s\vec { b } \)
∴ \(\vec { b } \) ஆனது இரு வேறு வெக்டர்களின் ஒருபடிச் சேர்க்கையாக எழுத முடியும் என்பதால் அவை ஒரே கோட்டில் அமையும்.

45 செ.மீ., 30° கிழக்கிலிருந்து வடக்காக

\(\vec { a } \times \vec { b } =\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ 4 & -1 & 3 \\ -2 & 1 & -2 \end{matrix} \right| =\hat { i } (2-3)-\hat { j } (-8+6)+\hat { k } (4-2)=-\hat { i } +2\hat { j } +2\hat { k } \)
\(\vec { a } \) மற்றும் \(\vec { b } \) க்கு செங்குத்தாக உள்ள வெக்டர்கள் \(\pm \frac { (\vec { a } \times \vec { b } ) }{ \left| \vec { a } \times \vec { b } \right| } =\pm \left[ \frac { -\hat { i } +2\hat { j } +2\hat { k } }{ 3 } \right] \)
 \(\vec { a } \)மற்றும் \(\vec { b } \) க்கு செங்குத்தாக எண்ணளவு 6 உடைய வெக்டர்கள் \(\pm 2(-\hat { i } +2\hat { j } +2\hat { k } ).\)

\({ C }_{ 2 }\rightarrow { C }_{ 2 }-{ C }_{ 1 },{ C }_{ 3 }\rightarrow { C }_{ 3 }-{ C }_{ 1 }\) எனில் 
\(LHS=\left| \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ x & y-x & z-x \\ { x }^{ 2 } & { y }^{ 2 }-{ x }^{ 2 } & { z }^{ 2 }-{ x }^{ 2 } \end{matrix} \right| =(y-z)(z-x)\left| \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ x & 1 & 1 \\ { x }^{ 2 } & y+x & z+x \end{matrix} \right| \)
\(=(y-x)(z-x)[(z+x)-(y+x)]\)
\( =(y-x)(z-x)(z-y)\)
\(=(x-y)(y-z)(z-x)=RHS\)

\(I=\int { { e }^{ x }secx(1+tan\ x)dx } \)
\(=\int { { e }^{ x }(sec\ x+sec\ x\ tan\ x)dx } \)
\(f(x)=sec\ x\Rightarrow f'(x)=sec\ x\ tan\ x\)
\(\therefore\) I ஆனது \(\int { { e }^{ x }[f(x)+f'(x)]dx={ e }^{ x }.f(x) } \) எனும் வடிவில் உள்ளது.
\(\therefore I={ e }^{ x }.secx+c\)

\(I=\int { x(1-x)^{ 17 } } \)என்க
\(u=1-x\Rightarrow x=1-u\)
du =-dx 
\(\therefore I=\int { (1-u)({ u }^{ 17 })(-dx) } \)
\(=-\int { { u }^{ 17 }- } { u }^{ 18 }dx\)
\(=\int { { u }^{ 18 }d-\int { { u }^{ 17 }dx } } \)
=\(\frac{(1-x)^{19}}{19}-\frac{(1-x)^{18}}{18}+c\)
\([\because u=1-x]\)

A₁ - இயந்திரம் - I தயாரிக்கும் பொருட்கள் என்க.
A₂ - இயந்திரம் - II தயாரிக்கும் பொருட்கள் என்க.
P(A₁) = \(\frac { 60 }{ 100 } \)  P(B/A₁) = \(\frac { 2 }{ 100 } \)
P(A₂) = \(\frac { 40 }{ 100 } \) P(B/A₂) = \(\frac { 4 }{ 100 } \)
A₁, A₂ ஒன்றையொன்று விலக்கும் நிகழ்ச்சிகள், B -ன் நிகழ்தகவு காண வேண்டும் எனில்
P(B) = P(A₁).P(B/A₁) + P(A₂).P(B/A₂)
P(B) = \(\frac { 60 }{ 100 } \times \frac { 2 }{ 100 } +\frac { 40 }{ 100 } \times \frac { 4 }{ 100 } \)
P(B) = \(\frac { 120 }{ 10000 } +\frac { 160 }{ 10000 } =\frac { 280 }{ 10000 } \)
P(B) = 0.028

\(u=\tan ^{ -1 }{ { \left( \frac { \sin { x } }{ 1+\cos { x } } \right) } } \)
\(v=\tan ^{ -1 }{ { \left( \frac { \cos { x } }{ 1+\sin { x } } \right) } } \)என்க
\(u=\tan ^{ -1 } \left( \frac { 2sin\frac { x }{ 2 } cos\frac { x }{ 2 } }{ 2cos^{ 2 }\frac { x }{ 2 } } \right) \)
\([\because sin2\theta =2sin\theta cos\theta ,1+cos2\theta =2cos^{ 2 }\theta ]\)
\(u=\tan ^{ -1 } \left( tan\frac { x }{ 2 } \right) \Rightarrow \frac { x }{ 2 } \)
\(\therefore \frac { du }{ dx } =\frac { 1 }{ 2 } \)
\(v=\tan ^{ -1 }{ { \left( \frac { \cos { x } }{ 1+\sin { x } } \right) } } \)
\(v=\tan ^{ -1 } \frac { sin\left( \frac { \pi }{ 2 } +x \right) }{ 1-cos\left( \frac { \pi }{ 2 } +x \right) } \)
\([\because sin\left( \frac { \pi }{ 2 } +x \right) =cosx\)மற்றும்\(sinx=-cos\left( \frac { \pi }{ 2 } +x \right) ]\)
\(=\tan ^{ -1 } \left( \frac { 2sin\left( \frac { \pi }{ 2 } +\frac { x }{ 2 } \right) cos\left( \frac { \pi }{ 2 } +\frac { x }{ 2 } \right) }{ 2sin^{ 2 }\left( \frac { \pi }{ 2 } +\frac { x }{ 2 } \right) } \right) \)
\([\because sin\theta =2sin\theta /2cos\theta /2]\)
\(=\tan ^{ -1 } \left( cos\left( \frac { \pi }{ 2 } +\frac { x }{ 2 } \right) \right) \)
\(=\tan ^{ -1 } \left\{ \tan\left( \frac { \pi }{ 2 } -\left( \frac { \pi }{ 4 } +\frac { x }{ 2 } \right) \right) \right\} \)
\(=\frac { \pi }{ 4 } -\frac { x }{ 2 } \)
\(\therefore \frac { dv }{ dx } =-\frac { 1 }{ 2 } \)
\(\therefore \frac { du }{ dv } =\frac { \frac { du }{ dx } }{ \frac { dv }{ dx } } =\frac { \frac { 1 }{ 2 } }{ -\frac { 1 }{ 2 } } =\frac { 1 }{ 2 } \times \frac { -2 }{ 1 } \)
\(\therefore \frac { du }{ dv } =-1\)

\(\lim _{ x\rightarrow \infty }{ { { \left( \frac { { x }^{ 2 }-2x+1 }{ { x }^{ 2 }-4x+2 } \right) }^{ x } } } \)\(=\lim _{ x\rightarrow \infty }{ { \left( 1+\frac { 2x-1 }{ { x }^{ 2 }-4x+2 } \right) }^{ x } } \)
\(=\lim _{ x\rightarrow \infty }{ \left( { \left[ { \left[ 1+\frac { 2x-1 }{ { x }^{ 2 }-4x+2 } \right] }^{ \frac { { x }^{ 2 }-4x+2 }{ 2x-1 } } \right] }^{ \frac { { (2x-1)x } }{ { x }^{ 2 }-4x+2 } } \right) } \)

\(={ e }^{ \left( \lim _{ x\rightarrow \infty }{ \frac { { 2x }^{ 2 }-x }{ { x }^{ 2 }-4x+2 } } \right) }\) \(\left[ \because \lim _{ x\rightarrow \infty }{ { \left( 1+\frac { 1 }{ x } \right) }^{ x }=e } \right] \)

[\(\because x\rightarrow \infty \) எனில் \(\frac { 1 }{ x } \rightarrow 0\)
\(={ e }^{ \left( \frac { 2-\frac { 1 }{ 0 } }{ 1-\frac { 4 }{ 0 } +\frac { 2 }{ 0 } } \right) }={ e }^{ 2 }\)

\(\lim _{ x\rightarrow a }{ \frac { \sqrt { x-b } -\sqrt { a-b } }{ { x }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } } (a>b)\)
தொகுதி, பகுதியை \(\sqrt { x-b } +\sqrt { a-b } \) ஆல் பெருக்க
\(=\lim _{ x\rightarrow a }{ \frac { \sqrt { x-b } -\sqrt { a-b } }{ { x }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } } \) \(\times \\ \times \)\(\frac { \sqrt { x-b } +\sqrt { a-b } }{ \sqrt { x-b } +\sqrt { a-b } } \)
\(=\lim _{ x\rightarrow a }{ \frac { (x-b)-(a-b) }{ { x }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } \times \frac { 1 }{ \sqrt { x-b } +\sqrt { a-b } } } \)

\(=\lim _{ x\rightarrow a }{ \frac { 1 }{ (x+a)(\sqrt { x-b } +\sqrt { a-b) } } } \)
\(=\frac { 1 }{ (a+a)(\sqrt { a-b } +\sqrt { a-b } } =\frac { 1 }{ 2a(2\sqrt { a-b } ) } \)
\(=\frac { 1 }{ 4a\sqrt { a-b } } \)

\((i)f(-{ 5 }^{ - }).\)
\(x<-5\) எனில், \(\left| x+5 \right| =-(x+5)\)
எனவே, \( f(-{ 5 }^{ - })=\lim _{ x\rightarrow -{ 5 }^{ - } }{ \frac { -(x+5) }{ (x+5) } } =-1\)
\((ii)f(-{ 5 }^{ + }).\)
\(x>-5\) எனில், \(\left| x+5 \right| =(x+5)\)
எனவே, \( f(-{ 5 }^{ + })=\lim _{ x\rightarrow -{ 5 }^{ + } }{ \frac { (x+5) }{ (x+5) } } =1\)    
\(f(-{ 5 }^{ - })\neq f(-{ 5 }^{ + })\). எனவே எல்லை மதிப்பு இல்லை.

\(\triangle =\left| \begin{matrix} { a }^{ 2 }+{ x }^{ r } & ab & ac \\ ab & { b }^{ 2 }+{ x }^{ 2 } & bc \\ ac & bc & { c }^{ 2 }+{ x }^{ 2 } \end{matrix} \right| \)
= [ (a² +x²) [ (b² + x²) (c²+ x²) - b²c² ] - ab [ab (c² + x²) - abc² ] + ac [acb² -ac (b² + x²)]
= [(a² + x²) [b²c² + c²x² + b²c² + x4 -b²c²]] - ab (abc²  + ab - abc²) + a²c²b² - a²c² (b² + x²)]

= c²x⁴ + b²x⁴ + a²x⁴ + x⁶
= x⁴ (a² + b² + c²) + x⁶ இது x ⁴ ஆல் வகுபடும் 
மாற்றுமுறை :

\(\left| \begin{matrix} { a }^{ 2 }+{ x }^{ r } & ab & ac \\ ab & { b }^{ 2 }+{ x }^{ 2 } & bc \\ ac & bc & { c }^{ 2 }+{ x }^{ 2 } \end{matrix} \right| \)
= \(\left| \begin{matrix} { a }^{ 2 } & ab & ac \\ ab & { b }^{ 2 } & bc \\ ac & bc & { c }^{ 2 } \end{matrix} \right| +\left| \begin{matrix} { x }^{ 2 } & 0 & 0 \\ 0 & { x }^{ 2 } & 0 \\ 0 & 0 & { x }^{ 2 } \end{matrix} \right| =\left| \begin{matrix} { a }^{ 2 } & ab & ac \\ ab & { b }^{ 2 } & bc \\ ac & bc & { c }^{ 2 } \end{matrix} \right| +{ x }^{ 6 }\)
= a² (b² c² - b² -c²) - ab (abc² - abc²) + ac (ab²c -ab²c) + x⁶
= 0 - 0 +0 + x⁶
x⁶ இது  x⁴ ஆல் வகுபடும் எனவே நிருபிக்கப்பட்டது.

\(\vec { a } \)-ஐ \(4\hat { i } -3\hat { j } +10\hat { k } \) எனக் கொள்க. 
\(\vec { a } \)-ன் திசையில் அலகு வெக்டர் \(\hat { a } \) ஆனது \(\frac { \vec { a } }{ \left| \vec { a } \right| } \) க்குச் சமம். அதாவது \(\frac { 4\hat { i } -3\hat { j } +10\hat { k } }{ 5\sqrt { 5 } } \) க்குச் சமம்.
எண்ணளவை 5-ம் \(4\hat { i } -3\hat { j } +10\hat { k } \)-க்கு இணையாகவும் உள்ள வெக்டர் \(\left( \frac { 4\hat { i } -3\hat { j } +10\hat { k } }{ 5\sqrt { 5 } } \right) =\frac { 4\hat { i } }{ \sqrt { 5 } } -\frac { 3 }{ \sqrt { 5 } } \hat { j } +2\sqrt { 5 } \hat { k } .\) எனவே தேவையான புள்ளி \(\left( \frac { 4 }{ \sqrt { 5 } } ,\frac { 3 }{ \sqrt { 5 } } ,2\sqrt { 5 } \right) \)