வானூர்திக் கட்டணம்
C(m)=0.4m+50
எரிபொருள் கட்டனாம் S(m)=0.03m
வானூர்தி பயணக் கட்டணம் =C(m)+S(m)
\(\therefore f(x)=0.4m+50+0.03m\)
\(=0.43m+50\)
m=1600 மைல்கள் 
\(\therefore 1600\) மைல்கல் வான்தொலைவு பயணச்சீட்டின் கட்டணம் =0.43 x 1600+50=Rs. 738.

log₃ 5 log₂₅ 27 = log₃5 log₂₅ 3³
= log₃5 \(\times\)3 log₂₅3(அடுக்கு விதியின்படி)
\(=3{ \log }_{ 25 }5=\frac { 3 }{ { \log }_{ 5 }25 } =\frac { 3 }{ 2{ \log }_{ 5 }5 } =\frac { 3 }{ 2 } \)

\(\sec { \theta } =-2\)
\(\sec { \theta } =-2\Rightarrow \cos { \theta } =-\frac { 1 }{ 2 } \)
\(\cos { \theta } =\cos { \alpha } ,\alpha \in \left[ 0,\pi \right] \) இன் பொதுத் தீர்வு
\(\theta =2n\pi \pm \alpha ,n\in Z\) என நமக்குத் தெரியும்
\(\alpha \in \left[ 0,\pi \right] \) என்றவாறு \(\cos { \alpha } =-\frac { 1 }{ 2 } =\cos { \left( \pi -\frac { \pi }{ 3 } \right) } =\cos { \frac { 2\pi }{ 3 } } \)
ஆதலால் \(\alpha =\frac { 2\pi }{ 3 } \)
எனவே பொதுத் தீர்வு \(\theta =2n\pi \pm \frac { 2\pi }{ 3 } ,n\in Z\) ஆகும்.

a = 4 மற்றும் 4 + 8d = 7. இதிலிருந்து, d=\(\frac{3}{8}\)எனக் கிடைக்கும். எனவே தேவையான 7 எண்கள் 4\(\frac{3}{8}\),4\(\frac{6}{8}\),5\(\frac{1}{8}\),5\(\frac{4}{8}\),5\(\frac{7}{8}\),6\(\frac{2}{8}\),6\(\frac{5}{8}\)ஆகும். மேலும், a = 12 மற்றும் ar⁵ =\(\frac{3}{8}\)என்பதால் r⁵ =\(\frac{1}{32}\Rightarrow r=\frac{1}{2}.\)எனவே , தேவையான 4 எண்கள் 6,3,1\(\frac{1}{2},\frac{3}{4}\)ஆகும்.

x>0 என்பதைக் கவனத்தில் கொள்க.
\({ \log }_{ 2 }x+{ \log }_{ 4 }x+{ \log }_{ 16 }x=\frac { 7 }{ 2 } \Rightarrow \frac { 1 }{ { \log }_{ x }2 } +\frac { 1 }{ { \log }_{ x }4 } +\frac { 1 }{ { \log }_{ x }16 } =\frac { 7 }{ 2 } \) (அடிமான மாற்று விதியின்படி)
\(\frac { 1 }{ a } +\frac { 1 }{ 2a } +\frac { 1 }{ 4a } =\frac { 7 }{ 2 } ,\) இங்கு a = log_x2,  அதாவது, \(\frac { 7 }{ 4a } =\frac { 7 }{ 2 } \)
\(a=\frac { 1 }{ 2 } \)மற்றும் \({ \log }_{ x }2=\frac { 1 }{ 2 } \Rightarrow { x }^{ 1/2 }=2.\)
எனவே, x = 2² = 4

கொடுக்கப்பட்ட வார்த்தையில் 6 எழுத்துகள் (V, O, W, E, L, S) உள்ளன.
(i) எல்லா எழுத்துச் சரங்களும் E இல் துவங்க வேண்டும். எனவே, மீதமுள்ள 5 எழுத்துகளை வரிசைப்படுத்த ⁵P₅ = 5! வழிகள் உள்ளன. ஆகவே, E இல் தொடங்கும் எழுத்துச் சரங்களின் எண்ணிக்கை 5! = 120.
(ii) எல்லா எழுத்துச் சரங்களும் E இல் தொடங்கி, W இல் முடிக்க வேண்டும், 5! = 120.

எனவே, E ஐ முதலிலும், W ஐ கடைசியிலும் வைக்கவேண்டும். மீதமுள்ள 4 எழுத்துகளை ⁴P₄ = 4! வழிகளில் வரிசைப்படுத்தலாம்.
ஆகவே, E இல் தொடங்கி, W இல் முடிக்கும் எழுத்துச் சரங்களின் எண்ணிக்கை 4! = 24.

இதற்கு N! = 24 x N  என்ற சமன்பாட்டை தீர்க்க வேண்டும்.
N = 1,2,3,4 எனில்,\(N!<24\times N\)
N = 5 எனில்,\(N!=5!=4!\times 5=24N\)
\(N>5\) எனில்,\(N!\ge 5!N>24\times 7\) எனவே,N = 5

(h_n) ஒரு இசைத்தொடர்முறை என்க மற்றும் \({a}_{n}=\frac{1}{{h}^{n}}\)என்க.(a_n) என்பது கூட்டுத்தொடர்முறை என்பதால் a₅=19 மற்றும் a₉=35. a + 4d =19, a + 8d =35 எனக் கிடைக்கும். இவற்றைத் தீர்க்க , a = 3 மற்றும் d = 4 என கிடைக்கும். எனவே , கூட்டுத்தொடர்முறையின் 12 ஆவது உறுப்பு a₁₂ = a + 11d = 47. இதனால் இசைத்தொடர் முறையின் 12 வது உறுப்பு \(\frac{1}{47}\)ஆகும்.

∵ e^-x=\(1-\frac { x }{ 1! } +\frac { { x }^{ 2 } }{ 2! } -\frac { { x }^{ 3 } }{ 3! } +...\)
⇒ e^-2x=\(1-\frac { 2x }{ 1! } +\frac { (2x)^{ 2 } }{ 2! } -\frac { (2x)^{ 3 } }{ 3! } +\frac { (2x)^{ 4 } }{ 4! } -\frac { (2x)^{ 5 } }{ 5! } \)+..
=\(1-2x+2x^{ 2 }\frac { 4x^{ 3 } }{ 3 } +\frac { 2x^{ 4 } }{ 3 } -\frac { 4x^{ 5 } }{ 15 } +...\).

(1.01)^1000000-10000
= (1+.01)^1000000 10,000
= ¹⁰⁰⁰⁰⁰C₀+^1000000C₁(.01)+^1000000C₂(.01)²+....+(.01)^1000000-10,000
=(1+1000000 x (.01) + சாதகமான எண் )-10,000
= 1 + சாதகமான எண்
∴ (1.01)^1000000-10,000>0
⇒ (1.01)^1000000 > 10,000.

\({ \left( { 2x }^{ 2 }-\frac { 3 }{ x } \right) }^{ 3 }\)
∵ (x-a)ⁿ=xⁿ+ⁿC₁x^n-1(-a)¹+ⁿC₂x^n-2(-a)²+......+(-a)ⁿ
⇒ \(\left( 2x^{ 2 }-\frac { 3 }{ x } \right) ^{ 2 }=(2x^{ 2 })^{ 3 }+{ C }_{ 1 }(2x^{ 2 })\left( \frac { -3 }{ x } \right) ^{ 1 }+{ c }_{ 2 }\left( \frac { -3 }{ x } \right) ^{ 2 }+\left( \frac { -3 }{ x } \right) ^{ 3 }\)
= 8x⁶+3(4x⁴)\(\left( \frac { -3 }{ x } \right) +\frac { 3\times 2 }{ 2\times 1 } (2x^{ 2 })\left( \frac { 9 }{ { x }^{ 2 } } \right) +\left( \frac { -27 }{ { x }^{ 3 } } \right) \)
= \({ 8x }^{ 6 }-{ 36 }x^{ 3 }+54-\frac { 27 }{ { x }^{ 3 } } \)

தென்னந்தோப்பை வைத்திருப்பவர்களின் சதவீதத்தை n(C) எனவும் நெல்வயலை வைத்திருப்பவர்களின் சதவீதத்தை n(P) எனவும் கொள்க. இங்கு n(C) = 80, n(P) = 65 என  கொடுக்கப்பட்டு உள்ளது. சேர்த்தல் - நீக்கல் கொள்கையின் படி, \(n\left( C\cap P \right) =n\left( C \right) +n\left( P \right) -n\left( C\cup P \right) \)\(n\left( C\cup P \right) \) ன் பெரும மதிப்பு 100. எனவே, \(n\left( C\cap P \right) \)-ன் குறைந்தபட்ச மதிப்பு 80 + 65-100 = 45. எனவே, குறைந்தபட்சம் 45 சதவீதம் பேர் இரண்டையும் வைத்திருப்பார்கள்.

y = x² + x + 2 
a = 1, b = 1, c = 2
D = b² - 4ac = 1² -4 x 1 x 2
= 1 - 8 
= -7 < 0
எனவே கொடுக்கப்பட்ட வரைபடம் x அச்சை வெட்டாது.

A x B = {(x,1),(y,2),(z,1)}எனத் தரப்பட்டுள்ளது
n(A)=3, n(B)=2 என்பதால் 
n(A x B)=6
A x B={(x,1),(y,2),(z,1),(x,2),(y,1),(z,2)}
\(\Rightarrow\)A= {x, y, z},B = {1,2}

(a +b )⁷-ன் ஈருறுப்பு விரிவில் a = 2 மற்றும் b = -3x எனக் கொள்க . x³ ஆனது (-3x)³ எனக் கொண்டுள்ள உறுப்பில் மட்டுமே காணப்படும். x³ ஐக் கொண்ட உறுப்பு.
⁷C₃a⁴b³ =\(\frac {7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1}{2}^{4}{-(3x)}^{3}=35 \times {2}^{4} \times {(-3)}^{3}{x}^{3} .\) 
எனவே (2-3x)⁷ -ன் விரிவில் x³ -ன் கெழு 35 \(\times\) 16 \(\times\)(-27) = -15120 ஆகும்.

LHS = (sin 45⁰ + θ) - sin (45⁰ - θ)
= sin 45⁰ . cosθ + cos 45⁰ sinθ - [sin 45⁰. cosθ - cos 45⁰ sinθ]
= \(\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \) cosθ + \(\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \) sinθ - [ \(\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \) cosθ - \(\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \) sin θ]
= \(\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \) cosθ + \(\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \) sinθ - \(\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \) cosθ + \(\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \) sinθ
= \(2\frac { \sin { \theta } }{ \sqrt { 2 } } \)
= \(\sqrt { 2 } \) sinθ = RHS

\(\Rightarrow \frac { -1 }{ 4 } \le 3-\frac { 3 }{ 4 } x\le \frac { 1 }{ 4 } \)
\(\Rightarrow \frac { -1 }{ 4 } -3\le -\frac { 3 }{ 4 } x\le \frac { 1 }{ 4 } -3\)
\(\Rightarrow \frac { -13 }{ 4 } \le \frac { -3 }{ 4 } x\le \frac { -11 }{ 4 } \)
4 ஆல் பெருக்க 
\(\Rightarrow -13\ge -3x\ge -11\)
\(\Rightarrow \frac { 11 }{ 3 } \le x\le \frac { 13 }{ 3 } \)

வில்லின் நீளம் s, ஆரம் r, மையக்கோணம் \(\theta\) எனில், s = r\(\theta\)
\(\theta\) = 15° = 15 x \(\frac{\pi}{180}=\frac{\pi}{12}\) ஆரையன்கள்
s = r\(\theta\) \(\Rightarrow\) s = 5 x \(\frac{\pi}{12}=\frac{5\pi}{12}\) செ.மீ.

4 சட்டைகளை  3 ஆண்கள்  = ⁴P₃ வழிகளில் அணியலாம்.
5 மேல் சட்டைகள் 3 ஆண்கள்  =  ⁵P₃ வழிகளில் அணியலாம்.
6 தொப்பிகளை 3 ஆண்கள்  = ⁶P₃  வழிகளில் அணியலாம்.
 \(\therefore \) மொத்தமாக வழிகள் அணியும் வழிகள்  = ⁴P₃  x  ⁵P₃ x  ⁶P₃ 
=
= 24 x  60 x  120  
= 1,72,800 வழிகள். 

=  \(\frac { 12\times 11\times 10\times 9! }{ 9!3\times 2 } =\frac { 12\times 11\times 10 }{ 6 } \)
= 2 x 11 x 10 = 220

ஒன்றாவது இடத்தை 1,2,3,4,5 என்ற எண்களைப் பயன்படுத்தி 5 வழிகளில் நிரப்பலாம்.
பத்தாவது இடத்தை 4 வழிகளில் நிரப்பாலம்.
\(\therefore \)  இரண்டு இலக்க எண்களை (எந்த எண்ணும் திரும்ப வராத முறையில்  4 x  5  = 20 வழிகளில் நிரப்பலாம்.)     

cosC - cos D = 2sin \(\frac { C+D }{ 2 } \sin\frac { D-C }{ 2 } \) என நமக்குத் தெரியும்
c = \(\frac { 3x }{ 2 } \)  மற்றும் D = \(\frac { 9x }{ 2 } \)
\(\cos\frac { 3x }{ 2 } -\cos\frac { 9x }{ 2 } =2\sin\frac { \frac { 3x }{ 2 } +\frac { 9x }{ 2 } }{ 2 } \sin\frac { \frac { 9x }{ 2 } -\frac { 3x }{ 2 } }{ 2 } =2\sin3x \sin \frac { 3x }{ 2 } \) எனக் கிடைக்கிறது

\({ cosec }^{ -1 }\left( \frac { 2 }{ \sqrt { 3 } } \right) \) = y என்க. இங்கு \(-\frac { \pi }{ 2 } \le y\le \frac { \pi }{ 2 } \)
\(\Rightarrow cosec{ y }=\frac { 2 }{ \sqrt { 3 } } =\sin { y } =\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \)
எனவே, \({ cosec }^{ -1 }\left( \frac { 2 }{ \sqrt { 3 } } \right) \) இன் முதன்மை மதிப்பு \(\frac { \pi }{ 3 } \) ஆகும்.

a₁=1
a₂=2
a₃=3
a₄=a₁+a₂+a₃=3+2+1=6
a₅=a₂+a₃+a₄=6+3+2=11
a₆=a₃+a₄+a₅=11+6+3=20
முதல் 6 உறுப்புகள் 1,2,3,6,11,20,....

sin \(\left( \frac { -11\pi }{ 3 } \right) \) = sin (-11 x 60⁰)
= sin (-660⁰)
= - sin (2 x 360 - 60⁰)
= - (- sin60⁰)
= sin 60⁰ = \(\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \)

\(\tan { \left( \frac { 19\pi }{ 3 } \right) } \) = \(\tan { \frac { 19 }{ 3 } } \) x 180⁰ tan (19 x 60⁰)
= tan (1140⁰)
= tan (3 x 360 + 60⁰)
= tan 60⁰ = \(\sqrt { 3 } \)

பூஜ்ஜியங்களைக் காண f (x) = 0 என்க 
4x² - 25 = 0
4x² = 25
\({ x }^{ 2 }=\frac { 25 }{ 4 } \Rightarrow x=\sqrt { \frac { 25 }{ 4 } } \)
\(\Rightarrow x=\pm \frac { 5 }{ 2 } \)
எனவே பூஜ்ஜியங்கள் \(\frac { 5 }{ 2 } ,\frac { -5 }{ 2 } \)ஆகும்.

y = f(x) = x² + 5x + 4 என்க.
\({ x }^{ 2 }+5x+\left( \frac { 5 }{ 2 } \right) ^{ 2 }-\left( \frac { 5 }{ 2 } \right) ^{ 2 }+4\left( x+\frac { 5 }{ 2 } \right) ^{ 2 }-\frac { 25 }{ 4 } +4\)
\(=\left( x+\frac { 5 }{ 2 } \right) ^{ 2 }-\frac { 25+16 }{ 4 } =\left( x+\frac { 5 }{ 2 } \right) ^{ 2 }-\left( \frac { 3 }{ 2 } \right) ^{ 2 }\)

A x A-ல் என்ற கணத்தில் 16 உறுப்புகள் உள்ளன எனில் A-ல் உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை 4 ஆகும்.
\(\Rightarrow n(A)=4\)
A x A -ல் உறுப்புகள் (1,3),(0,2) எனில்  
A-ல் உள்ள உறுப்புகள் A = {0, 1, 2, 3}} என இருக்கலாம்.

E = {x ∈ N : x என்பது ஒரு விகிதமுறு எண்}.
\(\Rightarrow E=\{{1\over1},{2\over1},{3\over1},{4\over1}......... \}\)
\(\Rightarrow E\) ஒரு முடிவுறா கணம்.

B = {(x - 1)(x + 1)(x² - 1) = 0 எனும் சமன்பாட்டின் மிகை மூலங்களின் கணம்} என்க 
\(\Rightarrow x=1,-1 \therefore \) B = {1}.

7, -3 மூலங்கள் 
மூலங்களின் கூடுதல் = 7+ (-3) = 4
மூலங்களின் பெருக்கற்பலன் = 7 x -3 = -21
\(\therefore \) தேவையான இருபடிச் சமன்பாடு 
\(\Rightarrow x^{ 2 }-\)(மூலங்களின் கூடுதல்) x + மூலங்களின் பெருக்கற்பலன் = 0
\(\Rightarrow x^{ 2 }-4x-21=0.\)

cos (– 45°) = \(\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \)

sin (– 45°) = – sin (45°) = \(-\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \)

(a-b)ⁿ -ன் ஈருறுப்பு விரிவில் a = 100, b = 2 மற்றும் n = 4 எனப் பிரதியிட
98⁴ = (100 - 2)⁴
= ⁴C₀100⁴ - ⁴C₁100³2 + ⁴C₂100²2² - ⁴C₃100¹2³ + ⁴C₄100⁰2⁴
= 100000000 - 8000000 + 240000 - 3200 + 16
= 92236816.

⁸P₄= 8×7×6×5 = 1680

cos (π + θ) = - cos θ
L.H.S = cos (π + θ) = - cosθ = RHS 
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது

\(x\ge -1\)மற்றும் x  < 4
\(\Rightarrow x\in \left[ -1,4 \right] \)

(a+b)ⁿ என்ற ஈருறுப்புத் தேற்றத்தின் விரிவில் a = 2x, b = 3 மற்றும் n = 5 எனப் பிரதியிட
(2x + 3)⁵ = (2x)⁵+ 5(2x)⁴3 + 10(2x)³3² +10(2x)²3³ +5(2x)3⁴ + 3⁵
= 32x⁵ + 240x⁴ + 720x³ + 1080x² + 810x + 243

ஒரு முக்கோணம்  வரைய  ஒரே கோட்டிலமையாத 3 புள்ளிகள் தேவை.
7 புள்ளிகள் குழு A என்றும்  8 புள்ளிகள் குழு  B என்றும் கொள்வோம்.

 முக்கோணம்  அமைக்க தேவையான வலிகளின் எண்ணிக்கை  =  ⁷C₂ x  ⁸C_{1 +}  ⁷C₁ x  ⁸C_{2 =} \(\frac { 7\times 6 }{ 1\times 2 } \times 8+7\times \frac { 8\times 7 }{ 1\times 2 } \)
= 21 x  8 + 7 + 28 = 168 + 196 = 364

இந்தியர்கள் 7, அமெரிக்கர்கள் 5 இவர்களில்  5 பேரை தேர்வு செய்தல் நிபந்தனை  இந்தியர்கள்  அதிக  எண்ணிக்கையில் இருக்க வேண்டும்.

குழுவை அமைக்கும் மொத்த வழிகள் 

= 7 x 25 + 35 x  10 + 21 = 175 + 350  + 21 = 546 

இலக்கங்கள்  திரும்ப வருமாறு  (0,1,2,3,4,5) 

1ம் இடத்தை நிரப்புவதற்கு தேவையான வழிகள்  = 3
10ம் இடத்தை நிரப்புவதற்கு தேவையான வழிகள்  = 6
100ம் இடத்தை நிரப்புவதற்கு தேவையான வழிகள்  = 5
 \(\therefore \) பெருக்கலின்  அடிப்படைக் கொள்கையின் படி  = 3 x  6 x 5  = 90 வழிகள்.        

கொடுக்கப்பட்டது: log_5-x(x²- 6x + 65) = 2
\(\Rightarrow { x }^{ 2 }-6x+65(5-x)^{ 2 }\)
\(\Rightarrow { x }^{ 2 }-6x+65=25+{ x }^{ 2 }-10x\Rightarrow 10x-6x=-65+25\)
\(\Rightarrow 10x-6x=-65+25\Rightarrow 4x=-40.\)
\(\therefore x=-10.\)

\(x=3y\Rightarrow \frac { x }{ 3 } =y\)

x = yஎனில் 

∵ (a-b)ⁿ=ⁿC₀aⁿ+ⁿC₁a^n-1b+ⁿC₂a^n-2b²+..........ⁿC_na⁰bⁿ
⇒ 99⁴=(100-1)⁴
=100⁴-⁴C₁100³+⁴C₂100²-⁴C₃100(1³)+1⁴
=100000000-4(1000000)+\(\frac { 4\times 3 }{ 2\times 1 } \)(10000)-4(100)+1
=100000000-4000000+60000-400+1
=96,059,601

a+b\(\le\)6,a,b ∈ N ; a R b 
\(a+b\le6\Rightarrow a\le6-b\)

வரிசை ஜோடிகள் (5,1),(4,2),(3,3),(2,4),(1,5)
கடப்புத்  தொடர்பு: 
\((4,2)\in R\)
\((2,4)\in R\)
\(\Rightarrow(4,4)\notin R\) \(\therefore R\) ஒரு கடப்புத் தொடர்பு அல்ல;

இயல் எண்களில் கணத்தில் R என்பது “ 2a + 3b = 30 எனில் aRb” என வரையறுக்கப்படுகிறது.
a,b \(\in\) N\(\Rightarrow\)2a + 3b = 30;2a + 3b = 30
2a= 30-3b
\(a={30-3b\over 2}\)

வரிசைச் சோடிகள்: (12,2),(9,4),(6,6),(3,8)
சமச்சீர் தொடர்பு:
\((9,4)\in R\Rightarrow (4,9)\notin R\)
\(\therefore R\) ஒரு சமச்சீர் தொடர்பு அல்ல.

(i) தற்சுட்டு
\(\Rightarrow R=\) {(a,a),(b,b),(a,c)} ஒரு தற்சுட்டு ஆக இருக்க முடியும்.
(c, c) என்ற உறுப்பு R-ல் சேர்க்கப்பட வேண்டும்.
(ii) சமச்சீர்
R={(a,a),(b,b),(a,c)} உடன் (c, a) சேர்த்தால் அது ஒரு சமச்சீர் தொடர்பு உடையதாகும்.
(iii) கடப்பு
R = {(a, a), (b, b), (a, c)} ஒரு கடப்புத் தொடர்பு ஆக இருக்க சேர்க்கப்பட வேண்டும்.
(iv) சமானத் தொடர்பு
R ஒரு சமானத் தொடர்பு ஆக இருக்க அது ஒரு தற்சுட்டு, சமச்சீர், கடப்பு தொடர்பு ஆக இருக்க வேண்டும்.
∴R = {(a, a), (b, b), (a, c)} (c, c) மற்றும் {(c, a). எனவே குறைந்த பட்ச உறுப்புகள் (c,c) மற்றும் (c,a).