A_i என்பது போக்குவரத்துச் சமிக்கை i வது குறுக்குச் சாலையில் நிற்காமல் செல்வதற்கான நிகழ்ச்சி என்க  இங்கு i =1,2,3,4
B_i என்பது போக்குவரத்துச் சமிக்கை i வது குறுக்குச் சாலையில் நிற்காமல் செல்வதற்கான நிகழ்ச்சி என்க  இங்கு i =1,2,3,4
போக்குவரத்துச் சமிக்கைகள் சார்பிலா நிகழ்ச்சிகள், எனவே Ai மற்றும் Bi சார்பிலா நிகழ்ச்சிகள், இங்கு i=1,2,3,4
கொடுக்கப்பட்டவற்றிலிருந்து
P(A_i)=0.4, =1, 2, 3, 4
P(B_i)=0.6, =1, 2, 3, 4
(i) முதல் குறுக்குச் சாலையில் ஒரு மகிழுந்து நிற்காமல் செல்வதற்கான நிகழ்தகவு
P(A_i)=0.4
(ii) முதல் இரண்டு குறுக்குச் சாலைகளில் ஒரு மகிழுந்து நிற்காமல் செல்வதற்கான நிகழ்தகவு
P(A₁∩A₂)=P(A₁A₂)=(0.4)(0.4)=0.16
(iii) மூன்றாவது குறுக்குச் சாலையில் நின்று மற்ற குறுக்குச் சாலைகளில் ஒரு மகிழுந்து  நிற்காமல் செல்வதற்கான நிகழ்தகவு
P(A₁∩A₂∩B₃∩A₄)=P(A₁A₂B₃A₄)=(0.4)(0.4)(0.6)(0.4)=0.0384
(iv) ஒரு குறுக்குச் சாலையில் நின்று மற்ற குறுக்குச் சாலைகளில் ஒரு மகிழுந்து  நிற்காமல் செல்வதற்கான நிகழ்தகவு
P(B₁A₂A₃A₄ U A₁B₂A₃A₄ U A₁A₂B₃A₄ U A₁A₂A₃B₄
=P(B₁A₂A₃A₄)+ P(A₁B₂A₃A₄) + P(A₁A₂B₃A₄)+P(A₁A₂A₃B₄)
=4(0.4)(0.4)(0.6)(0.4)=4(0.0384)=0.1536

I=\(\int\frac{5x-7}{\sqrt{3x-x^{2}-2}}dx\)என்க
5x-7=A\(\frac{d}{dx}(3x-x^{2}-2)+B\)
5x-7=A(3-2x)+B
ஒத்த உறுப்புகளின் கெழுக்களைச் சமப்படுத்த, 
\(-2A=5 \Rightarrow A=-\frac{5}{2}; A+B=-7 \Rightarrow B=\frac{1}{2}\)
I=\(\int\frac{\frac{-5}{2}(3-2x)+\frac{1}{2}}{\sqrt{3x-x^{2}-2}}dx\)
\(I=-\frac{5}{2}\int{\frac{3-2x}{\sqrt{3x-x^{2}+2}}}dx+\frac{1}{2}\int{\frac{1}{\sqrt{3x-x^{2}+2}}}dx\)
=\((-\frac{5}{2})2\sqrt{3x-x^{2}+2}+\frac{1}{2}\int{\frac{1}{\sqrt{(\frac{\sqrt{17}}{2})^{2}-(x-\frac{3}{2})^{2}}}}dx\)
=\(-5\sqrt{3x-x^{2}+2}+\frac{1}{2}\sin^{-1}(\frac{x-\frac{3}{2}}{\frac{\sqrt{17}}{2}})+c\)
எனவே, I=-5\(\sqrt{3x-x^{2}+2}+\frac{1}{2}\sin^{-1}(\frac{2x-3}{\sqrt{17}})+c\)

I=\(\int\frac{2x+3}{\sqrt{x^{2}+x+1}}dx\) என்க
2x+3=A\(\frac{d}{dx}(x^{2}+x+1)+B\)
2x+3=A(2x+1)+B
ஒத்த உறுப்புகளின் கெழுக்களைச் சமப்படுத்த, 
\(2A=2 \Rightarrow A=1; A+B=3 \Rightarrow B=2\)
I=\(\int\frac{2x+3}{\sqrt{x^{2}+x+1}}dx\)
I=\(\int\frac{2x+1}{\sqrt{x^{2}+x+1}}dx+2\int \frac{1}{\sqrt{x^{2}+x+1}}dx\)
=\(2\sqrt{x^{2}+x+1}+2\int \frac{1}{(\sqrt{x+\frac{1}{2})^{2}+(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}}}dx\)
=2\(\sqrt{x^{2}+x+1}+2\log|x+\frac{1}{2}+\sqrt{(x+\frac{1}{2})^{2}+(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}}|+c\)
எனவே ,\(I=2\sqrt{x^{2}+x+1}+2\log|x+\frac{1}{2}+\sqrt{x^{2}+x+1}|+c\)

I=\(\int{\frac{x+1}{x^{2}-3x+1}}dx\) என்க
x+1=\(A\frac{d}{dx}(x^{2}-3x+1)+B\)
x+1=A(2x-3)+B
ஒத்த உறுப்புகளின் கெழுக்களைச் சமப்படுத்த, 
\(2A=1 \Rightarrow A=\frac{1}{2}; -3A+B=1 \Rightarrow B=\frac{5}{2}\)
I=\(\int{\frac{\frac{1}{2}(2x-3)+\frac{5}{2}}{x^{2}-3x+1}}dx\)
\(I=\frac{1}{2}\int{\frac{2x-3}{x^{2}-3x+1}dx+\frac{5}{2}\int{\frac{1}{x^{2}-3x+1}}}dx\)
=\(\frac{1}{2}\log|x^{2}+3+1|+\frac{5}{2}\int{\frac{1}{(x-\frac{3}{2})^{2}-(\frac{\sqrt{5}}{2})^{2}}}dx\)
=\(\frac{1}{2}\log|x^{2}-3x+1|+\frac{5}{2}\frac{1}{2(\frac{\sqrt{5}}{2})}\log|\frac{x-\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{5}}{2}}{x-\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}}|\)
=\(\frac{1}{2}\log|x^{2}-3x+1|+\frac{\sqrt{5}}{2} \log|\frac{2x-3-\sqrt{5}}{2x-3+\sqrt{5}}|+c\)

H₁,H₂,H₃,H₄என்பன முறையே விமானத்தை முதல்,இரண்டாவது,மூன்றாவது மற்றும் நான்காவது முறையில் துப்பாக்கியால் சுட்டு வீழ்த்தும் நிகழ்ச்சி என்க.\(\overline{H}\) என்பது விமானத்தை துப்பாக்கியால் சுட்டு வீழ்த்தாத நிகழ்ச்சியாகும்.
P(H₁)=0.2 \(\Rightarrow\) P(\(\overline{H}_1\))=1-P(H₁)=0.8
P(H₂)=0.4 \(\Rightarrow\) P(\(\overline{H}_2\))=1-P(H₂)=0.6
P(H₃)=0.2 \(\Rightarrow\) P(\(\overline{H}_3\))=1-P(H₃)=0.8
P(H₄)=0.1 \(\Rightarrow\) P(\(\overline{H}_4\))=1-P(H₄)=0.9
விமானம் துப்பாக்கியால் சுட்டுவீழ்த்தப்பட்டதற்கான நிகழ்தகவு 
P(H)=1-P(\(\overline{H}\))=1-P\(\overline{(H_1\cup H_2\cup H_3\cup H_4)}\)
=1-P\({(\overline H_1\cap \overline H_2\cap \overline H_3\cap \overline H_4)}\)
=1-(0.8)(0.6)(0.8)(0.9)=1-0.3456
P(H)=0.6544

A என்பது முதல் முறை எடுக்கப்படும்போது ஜாக் (Jack கிடைக்கப்பெறும் நிகழ்ச்சி என்க.
B என்பது இரண்டாம் முறை எடுக்கப்படும்போது ஜாக் (Jack கிடைக்கப்பெறும் நிகழ்ச்சி என்க.
நிலை(i)
எடுக்கப்பட்ட சீட்டு மீண்டும் சீட்டுக்கட்டில் வைக்கப்படுகிறது
n(A) = 4 (Jack)
n(B) = 4 (Jack
மற்றும் n(S)=52
நிகழ்ச்சி A ஆனது B-ன் நிகழ்தகவினைப் பாதிக்காது.
ஆதலால் A ம் B-ம் சார்பிலா நிகழ்ச்சிகளாகும்.
P(A∩B)=P(A).P(B)
P(A)=\(\frac{4}{52}\), P(B)=\(\frac{4}{52}\)
 P(A∩B)=P(A).P(B)
=\(\frac{4}{52}\).\(\frac{4}{52}\)
=\(\frac{1}{169}\)
நிலை (ii)
எடுக்கப்பட்ட சீட்டு மீண்டும் சீட்டுக்கட்டில் வைக்கப்படவில்லை.
முதல் முறை எடுக்கும்போது மொத்தம் 52 சீட்டுகளும் அதில் 4 ஜாக் (Jack) சீட்டுகளும் இருக்கும். முதல் சீட்டை மீண்டும் வைக்காமல் இரண்டாம் முறை எடுக்கும்போது மொத்தம் 51 சீட்டுகளில் 3 ஜாக் (Jack) சீட்டுகள் இருக்கும். எனவே முதலில் நடந்த நிகழ்ச்சி A ஆனது பின் நடக்கும் நிகழ்ச்சி B-நிகழ்தகவினைப் பாதிக்கின்றது. ஆதலால் A, B நிகழ்ச்சிகள் சார்பிலா நிகழ்ச்சிகள் அல்ல. அவை ஒன்றுக்கொன்று சார்ந்த நிகழ்ச்சிகளாகும்.
எனவே  P(A∩B)=P(A).P(B)
P(A)=\(\frac{4}{52}\)
P(B/A)=\(\frac{3}{51}\)
 P(A∩B)=P(A).P(B)
=\(\frac{4}{52}\).\(\frac{3}{51}\)
=\(\frac{1}{221}\)

கூறுவெளி S={H,T} x {H,T}
S={(H,H),(H,T),(T,H),(T,T)}
மற்றும் E={(H,H),(H,T)}
F={(H,H),(T,H)}
EUF={(H,H),(H,T),(T,H)}
\(E\cap F=\{(H,H)\}\)
(i) P(EUF)=P(E)+P(F)-P(E\(\cap\)F) அல்லது \((={n(EUF)\over n(S)})\)
\(={2\over4}+{2\over4}-{1\over4}={3\over4}\)
(ii) P(E/F) \(={P(E\cap F)\over P(F)}={(1/4)\over (2/4)}={1\over2}\)
(iii) P\((\overline{E}/F)={P(\overline{E}\cap F)\over P(F)}\)
\(={P(F)-P(E\cap F)\over P(F)}\)
\(={(2/4)-(1/4)\over (2/4)}\)
\(={1\over2}\)
(iv) E மற்றும் F சார்பிலா நிகழ்ச்சிகளாகுமா?
\(P(E\cap F)={1\over4}\)
\(P(E)={2\over4},P(F)={2\over4}\)
\(P(E),P(F)={2\over4}.{2\over4}={1\over4}\)
\(\Rightarrow P(E \cap F)=P(E).P(F)\)
எனவே E மற்றும் F சார்பிலா நிகழ்ச்சிகளாகும்.

L, M மற்றும் N நிறுவனங்களிடமிருந்து மகிழுந்துகளை வாங்கும் நிகழ்ச்சிகள் முறையே A₁, A₂ மற்றும் A₃ என்க.
G-ன் மொத்த நிகழ்தகவு, P(G) மற்றும்
A₃ -ன் நிபந்தனை நிகழ்தகவு G தரப்பட்டா ல் P(A₃ /G) ஆகியவற்றைக் காண வேண்டும்
P(A₁) = 0 50, P(G / A₁)=0.90 .
P(A₂)  = 0 30  P(G / A₂)= 0.70
P(A₃) = 0 20, P(G / A₃) = 0.60
(i) A₁, A₂, A₃ ஒன்றையொன்று விலக்கிய மற்றும் யாவுமளாவிய நிகழ்ச்சிகளாதலால் G-ன் மொத்த நிகழ்தகவு
P(G)=P(A₁)P(G/A₁) + P(A₂)P(G/A₂) + P(A₃)P(G/A₃)
P(G)=(0.50)(0.90)+(0.30)(0.70)+(0.20)(0.60)
P(G)=0.78
(ii) A₃-ன் நிபந்தனை நிகழ்தகவு G தரப்பட்டால் P(A₃/G) காண வேண்டும்.
பேயீஸ்-ன் - விதிப்படி
P(A₃/G) =\(\frac { P({ A }_{ 3 })P(G/{ A }_{ 3 }) }{ P({ A }_{ 1 })P(G/{ A }_{ 1 })+P({ A }_{ 2 })P(G/{ A }_{ 2 })+P({ A }_{ 3 })P(G/{ A }_{ 3 }) } \)
P(A₃/G)= \(\frac { (0.20)(0.60) }{ (0.50)(0.90)+(0.30)(0.70)+(0.20)(0.60) } \)
=\(\frac{2}{13}\)

I = \(\int { { tan }^{ -1 }\left( \frac { 2x }{ 1-{ x }^{ 2 } } \right) dx } \)
= tan \(\theta\) \(\Rightarrow\) dx = sec² \(\theta\)d\(\theta\)
I = \(\int { { tan }^{ -1 } } \left( \frac { 2tan\theta }{ 1-{ tan }^{ 2 }\theta } \right) { sec }^{ 2 }\theta d\theta \)
= \(\int { { tan }^{ -1 } } \left( tan2\theta \right) { sec }^{ 2 }\) \(\theta\) d \(\theta\)
= \(\int { 2 } \theta { sec }^{ 2 }\) \(\theta\) d \(\theta\)
= \(2\int { \left( \theta \right) \left( { sec }^{ 2 }\theta d\theta \right) } \)
பகுதித் தொகையிடல் முறையைப் பயன்படுத்த
I = \(2\left[ \theta tan\theta -\int { tan } \theta d\theta \right] \)
= \(2\left( \theta tan\theta -log\left| sec\theta \right| \right) +c\)
\(\int { { tan }^{ -1 }\left( \frac { 2x }{ 1-{ x }^{ 2 } } \right) dx } \) = 2x tan^-1 x - 2log |\(\sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } \)| +c

tan θ = x 
sec θ = \(\sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } \)

A₁ என்பது செயற்பொறியாளர்-1-ன் வேலையை குறிக்கும் நிகழ்ச்சி என்க.
A₂ என்பது செயற்பொறியாளர்-1-ன் வேலையை குறிக்கும் நிகழ்ச்சி என்க.
B என்பது வேலையில் தவறு ஏற்படும் நிகழ்ச்சி என்க.
சார்பு நிலை நிகழ்தகவு P(A₁/B) மற்றும் P(A₂/B) கண்டறிவதன் மூலம் தவறிழைப்பவர்களை ஒப்பிட இயலும்.
கொடுக்கப்பட்டுள்ள விவரங்களின்படி P(A₁)=0.60, P(B/A₁)=0.03
P(A₂)=0.40, P(B/A₂)=0.04
A₁, A₂ ஆகிய இரு நிகழ்ச்சிகள் ஒன்றையொன்று விலக்கிய மற்றும் யாவுமளாவிய நிகழ்ச்சிகளாதலால், பேயீஸ்-ன் தோற்றப்படி
P(A₁/B)=\(\frac { P({ A }_{ 1 })P(B/{ A }_{ 1 }) }{ P({ A }_{ 1 })P(B/{ A }_{ 1 })+P({ A }_{ 2 })P(B/{ A }_{ 2 }) } \)
=\(\frac { (0.60)(0.03) }{ (0.60)(0.03)+(0.40)(0.04) } \)
P(A₁/B)=\(\frac { 9 }{ 17 } \)
P(A₂/B)=\(\frac { P({ A }_{ 2 })P(B/{ A }_{ 2 }) }{ P{ (A }_{ 1 })P(B{ A }_{ 1 })+P({ A }_{ 2 })P(B/{ A }_{ 2 }) } \)
P(A₂/B)=\(\frac { (0.40)(0.04) }{ (0.60)(0.03)+(0.40)(0.04) } \)
P(A₂/B)=\(\frac { 8 }{ 17 } \)
P(A₁/B) > P(A₂/B), என்பதால் செயற்பொறியாளர்-I தவறிழைத்தற்கான நிகழ்தகவு செயற்பொறியாளர்-2 தவறிழைத்தற்கான நிகழ்தகவை விட அதிகமாக  இருப்பதால் வேலையில் ஏற்பட்ட தவறை செயற்பொறியாளர்-1 இழைத்திருக்கக் கூடும்.

M என்பது பூச்சிய கோவை எனில் \(\begin{vmatrix} x & y \\ z & 1 \end{vmatrix}\) =0 அதாவது,x - yz = 0. (x,y,z)-களை தேர்வு செய்யவேண்டிய வாய்ப்புகளுக்கான கணம் {(1,1,1), (2,2,2), (2,2,1), (3,1,3),(3,3,1)}=A என்க 
சாதகமான நிகழ்ச்சிகளின் எண்ணிக்கை n(A)= 5
மொத்த நிகழ்ச்சிகளின் எண்ணிக்கை n(S)=3³ =27
கொடுத்துள்ள அணி பூஜ்ஜியக் கோவை அணியாக  இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு \(P(A)={n(A)\over n(S)}={5\over 27}\)

A, B மற்றும் C என்பவை உரைகளைக் குறிக்கும் என்க 1, 2 மற்றும் 3 ஆனது முறையே A, B மற்றும் C-க்கான கடிதங்களைக் குறிக்கும் என்க.
கடிதங்கள் உரைகளில் இடுவதற்கான எல்லா சாத்தியக் கூறுகளும் அட்டவணையில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன.
C_i என்பது கிடைக்க கூடிய நிகழ்ச்சி என்க.
X என்பது ஒரு கடிதம் மட்டும் சரியான உரையிலிடும் நிகழ்ச்சி என்க.
Y என்பது மூன்று கடிதங்களுமே தவறாக உரையிலிடுவதற்கான நிகழ்ச்சி என்க.
S = {c₁, c₂,c₃,c₄, c₅, c₆}, n(S)= 6

X={c₂,c₃,c₆},   n(X)=3
Y={c₄,c₅}        n(Y)=2
(i) P(X)=\({3\over 6}={1\over2}\)
(ii) P(Y)=\({2\over 6}={1\over3}\)

ஞாயிற்றுக்கிழமையை துவக்க நாளாக கொள்வோம்.
\(\frac { dA }{ dt } =\frac { -3 }{ (t+2)^{ 2 } } \) செ.மீ/நாள்
dA=-3(t+2)^-2 dt
இருபுறமும் தொகையீடு காண
\(\int { dA } =-3\int { (t+2)^{ -2 }dt } \)
⇒ A=-3\(\frac { (t+2)^{ -2+1 } }{ -2+1 } +c\)
⇒ A=3(t+2)^-1+c
⇒ A=\(\frac { 3 }{ t+2 } \)+c    .....(1)
t=1, A=2 செ.மீ² எனில்
2=\(\frac { 3 }{ t+2 } \)+c
⇒ 2=1+c
⇒ c=1
∴ (1) ⇒ A=\(\frac { 3 }{ 1+2 } \)+1     ....(2)
(அ) ஞாயிற்றுக்கிழமை துவக்க நேரம் t =0 என்க
∴ A=\(\frac { 3 }{ t+2 } \)+1
=\(\frac { 3 }{ 2 } +1=\frac { 5 }{ 2 } \)=2.5 செ.மீ²
(ஆ) ஞாயிறு முதல் வியாழன் வரையுள்ள 4 நாட்களில்
∴ t=4, (2) ⇒ A=\(\frac { 3 }{ 4+2 } +1=\frac { 3 }{ 6 } +1=\frac { 1 }{ 2 } +1\)
=1.5  செ.மீ²

ஆரம்ப திசை வேகம் u =39.2 மீ/வினாடி
தொலைவு d =ut-\(\frac{1}{2}\)gt²
g=9.8 மீ/வினாடி
⇒ x=39.2t-\(\frac{1}{2}\)(9.8)t²
∴ x=39.2t-4.9 t2   ....(1)
(அ) பந்து தரையை மோத, x=0
⇒ 39.2t-4.9t²=0
⇒ 39.2t=4.9t²
⇒ 39.2=4.9t [∵ t≠0]
⇒ t=\(\frac { 39.2 }{ 4.9 } \)
∴ t=8 வினாடி
(ஆ) பந்து தரையை மோதும் போது உள்ள வேகம்
t=8 வினாடி
x=39.2t-4.9t²
⇒ v=\(\frac { dx }{ dt } \)=39.2-4.9 (2t)
t=8 வினாடி
v=39.2 - 9.8(8)
=39.2-78.4
=-39.2  மீ/வினாடி
திசைவேகம் குறையெண்ணாக இருக்க முடியாது.
ஆதலால் v =39.2 மீ/வினாடி
(இ) பந்து மேல்நோக்கி செல்லும் உயரம் காண v=0
39.2-9.8t =0
39.2=9.8t
t=\(\frac { 39.2 }{ 9.8 } \)=4 வினாடி
அதிகபட்ச உயரம் x =39.2(4)-4.9(16)
[(1) லிருந்து]
=156.8-78.4=78.4 மீ

கூறுவெளி 
S={1,2,3,4,5,6} ×{1,2,3,4,5,6}
S = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5),(1,6)
    (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5),(2,6)
    (3,1), (3,2), (3,3),(3,4), (3,5),(3,6)
    (4,1), (4,2),(4,3),(4,4), (4,5), (4,6)
    (5,1), (5,2), (5,3), (5,4),(5,5),(5,6)
    (6,1),(6,2), (6,3), (6,4), (6,5),(6,6)}
நிகழக்கூடிய மொத்த நிகழ்ச்சிகள் = 6² =36=n(S)
A என்பது கூடுதல் 7 கிடைக்கும் நிகழ்ச்சி, B என்பது கூடுதல் 9 கிடைக்கும் நிகழ்ச்சி மற்றும் C என்பது கூடுதல் 12 கிடைக்கும் நிகழ்ச்சி என்க.

A={(1,6), (2,5), (3.4), (4,3), (5,2), (6,1)} \(\Rightarrow n(A)=6\)
B={(3,6), (4,5), (5,4), (6,3)} \(\Rightarrow n(B)=4\)
C={(6,6)}\(\Rightarrow n(C)=1\)
(i) P (கூடுதல் 7கிடைக்க)=P(A)
=\({n(A)\over n(S)}={6\over 36}={1\over6}\)
(ii) P(7அல்லது 9கிடைக்க)=P(Aஅல்லதுB)=P(A U B)
=P(A)+P(B)
(A மற்றும் B ஒன்றையொன்று விலக்கிய நிகழ்ச்சிகள்,\(A\cap B = \emptyset\))
\(={n(A)\over n(S)}={n(B)\over n(S)}={6\over 36}+{4\over 36}={5\over 18}\)
(iii) P(7அல்லது 12கிடைக்க)=P(Aஅல்லது C)=P(A U C)
=P(A)+P(C)
(A மற்றும் C ஒன்றையொன்று விலக்கிய நிகழ்ச்சிகள்)
\(={n(A)\over n(S)}={n(C )\over n(S)}={6\over 36}+{1\over 36}={7\over 18}\)

மோட்டார் சைக்கிளின் திசைவேகம் v எனவும் மற்றும் முடுக்கம் a எனவும் எடுத்து கொள்வோம், s என்பது  தூரத்தைக் குறிக்கிறது.நுண்கணிதத்தில் v-ஐ \(v=\frac{ds}{dt}\)எனவும் a-ஐ \(a=\frac{d}{d}\) எனவும் குறிப்போம்.மோட்டார் சைக்கிளின் வேகத்தைக் குறைக்கும் போது அதன் முடுக்கம் மோட்டார் சைக்கிளின் இயக்கத்தின் எதிர் திசையில் செயல்படுகிறது.ஆகையால் முடுக்கத்தைக் குறைக் குறியீடுடன் எழுதுவோம்.
மோட்டார் சைக்கிளின் எதிர்முடுக்கம் 8 மீ/வினாடி² எனத் தரப்பட்டுள்ளது.
எனவே, \(a=\frac{dv}{dt}=\) -8 மீ/வினாடி²
\(v=\int{a \ dt}=\int{-8dt}=-8t+c_{1}\)
பிரேக்கைப் பயன்படுத்தும்போது 
t=0, மற்றும் v=24 மீ/வி.
24=-8(0)+c₁⇒ c₁=24    
எனவே, v=-8t+24.
அதாவது,  \(\frac{ds}{dt}= -8t+24\).
தூரம் கேட்கப்பட்டுள்ளதால் அதனைக் காண்பதற்காக மேலும் ஒருமுறை தொகையீடு காண வேண்டியது அவசியமாகிறது.
\(s=\int{v\ dt}=\int{(-8t+24)}dt\)
\(s=-4t^{2}+24t+c_{2}\)
c₂-ஐ தீர்மானிக்க, பிரேக்கை எங்கே உபயோக்கின்றோமோ,அங்கிருந்து நிறுத்தும் தூரம் s அளவிடப்படுகிறது.அதாவது t=0,s=0 எனில் 
\(s=-4t^{2}+24t+c_{2} \Rightarrow 0=-4(0)^{2}+24(0)+c_{2} \Rightarrow c_{2}=0\)
\(s=-4t^{2}+24t\)
பிரேக்கைப் பயன்படுத்திய பின்பு மோட்டார் சைக்கிள் நிற்பதற்கான நேரம் அறிந்திருந்தால்,நிறுத்துதல் தூரத்தை மதிப்பிடலாம்.திசைவேகச் சமன்பாட்டிலிருந்து நேரம் தீர்மானிக்கப்படுகிறது.
வாகனம் நிறுத்தப்படும்போது,v=0 ஆகும்.
\(\Rightarrow v=-8t+24 \Rightarrow 0=-8t+24 \Rightarrow t=3\).
t=3, எனில்,
\(s=-4t^{2}+24t \Rightarrow s=-4(3)^{2}+24(3)\)
s=36மீட்டர் <40மீட்டர் 
எனவே வாகனம் தடுப்பிற்கு 4 மீட்டர் முன்பே நிற்கும்.                

காலம் t-ஐ பொறுத்து உயரம் h -ன் மாறு வீதம் எனபது காலம் t -ஐ பொறுத்து h-ஐ வகையீடு செய்வதாகும்.
எனவே, \(\frac{dh}{dt}=\frac{18}{\sqrt{t}}=18t^{-\frac{1}{2}}\) 
எனவே உயரத்தினை பொது வடிவம் பெறுவதற்கு மேலே உள்ள சமன்பாட்டைத் தொகையிட வேண்டும்.
\(h=\int{18t^{-\frac{1}{2}}dt=18(2t^{\frac{1}{2}})}+c=36\sqrt{t}+c\)
t = 0 என இருக்கும்போது உயரம் 5செ.மீ எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
5=0+c ⇒ c=5
\(h=36\sqrt{t}+5\).
(i) நான்கு ஆண்டிற்குப் பிறகு மரத்தின் உயரத்தை நாம் காண வேண்டும்.
t=4 எனில்,
\(h=36\sqrt{t}+5 \Rightarrow h=36\sqrt{4}+5=77\)
நான்கு ஆண்டிற்குப் பிறகு மரத்தின் உயரம் 77 செ.மீ ஆக இருக்கும்.
(ii) h=149 செ.மீ எனில்,t-ஐ காண வேண்டும்.
\(h=36\sqrt{t}+5 \Rightarrow 149=36\sqrt{t}+5\)
\(\sqrt{t}=\frac{149-5}{36}=4 \Rightarrow t=16\)
எனவே உயரம் 149செ.மீ வளர,மரம் 16 ஆண்டுகள் எடுத்துக்கொள்கிறது.                     

உயரத்தைப் பொறுத்து எடையின் மாறுவீதம்  
\(\frac{dw}{dh}=4.364\times 10^{-5}h^{2}\)
\(w=\int 4.364\times 10^{-5}h^{2} \ dh\)
\(w= 4.364\times 10^{-5} (\frac{h^{3}}{3})+c\)
உயரம் பூஜ்ஜியம் எனும்போது அந்நபரின் எடை பூஜ்ஜியமாக  இருக்கும் என்பது தெளிவு.தொடக்க நிபந்தனை h=0 எனும்போது w=0, என்பதை மேலே உள்ள சமன்பாட்டில் பிரதியிட்டால், தொகையீட்டு மாறிலியை c-ஐக் கணக்கிடலாம்.      
\(w= 4.364\times 10^{-5} (\frac{h^{3}}{3})+c\Rightarrow c=0\)
ஒரு நபரின் எடை மற்றும் உயரம் ஆகியவற்றிக்கிடையேயான தொடர்பானது 
\(w= 4.364\times 10^{-5} (\frac{h^{3}}{3})\)ஆகும் 
h=150 செ.மீ எனில் , \(w= 4.364\times 10^{-5} (\frac{150^{3}}{3})\)
உயரம் h=150 செ.மீ எனும்போதும், எடை தோராயமாக w = 49 கிகி.ஆகும்.   

நுண்கணிதப் பயன்பாட்டில் திசை வேகம் \(v=\frac{ds}{dt}\) என்பது காலத்தை பொறுத்து அதன் நிலையில் மாறும் வீதம் ஆகும்.இங்கு s என்பது தொலைவினைக் குறிக்கிறது.தொடர்வண்டியின் திசைவேகம் v(t)=20t+50
ஆகவே \(\frac{ds}{dt}=20t+50\)
தொலைத்தூரச் சார்பு s-ஐ காண்பதற்கு வகையிடல் சார்பினைத் தொகையிட வேண்டும்.
அதாவது \(s =\int {(20t +50)}dt \)
s =10t²+50t+c 
காலம் பூஜ்ஜியமாக இருந்தால் தொடர்வண்டி பயணித்திற்கும் தூரம் பூஜ்ஜியமாகும்.ஆரம்ப கால நிபந்தனை t=0 எனும் போது s=0 எனப் பயன்படுத்தித் தொகை மாறிலி c-ஐக் கணக்கிடலாம்.
⇒ s =10t²+50t+c ⇒ c=0
எனவே, s=10t²+50t
2 மணி நேரத்தில் தொடர் வண்டி பயணித்த தூரம் காண t=2 என s=10t²+50t-ல் பிரதியிட வேண்டும்.
ஆகவே , s=10(2)²+50(2)=140 கிமீ. மாலை 5 மணிக்கு அத்தொடர் வண்டி 140கிமீ தூரம் பயணித்திருக்கும். 

\({ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }=4\quad \)
\(\frac { dy }{ dx } =-\frac { x }{ y } \)
\( \frac { { d }^{ 2 }y }{ { d }x^{ 2 } } =-\frac { d }{ dx } \left( \frac { x }{ y } \right) \)
\(=-\frac { y.1-x.\frac { dy }{ dx } }{ { y }^{ 2 } } \) (வகுத்தல் விதிப்படி)
\(=-\frac { y-x\left( -\frac { x }{ y } \right) }{ { y }^{ 2 } } \)
\(=-\frac { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } }{ { y }^{ 3 } } =-\frac { 4 }{ { y }^{ 3 } } \)

\({ x }^{ 4 }+{ y }^{ 4 }=16\)
உட்படு வகைக்கெழுவின்படி \(4{ x }^{ 3 }+4{ y }^{ 3 }{ y }^{ ' }=0\)
\(y^{ ' }=\frac { { x }^{ 3 } }{ { y }^{ 3 } } \)
\(y^{ '' }\) கண்டறிய \(y^{ ' }\) மீது வகுத்தல் விதியினைப் பயன்படுத்த வேண்டும்.x-ன் சார்பாக y உள்ளது  என்பது கவனத்தில் கொள்ளத்தக்கது.
\(y^{ '' }=\frac { d }{ dx } \left( \frac { { -x }^{ 3 } }{ { y }^{ 3 } } \right) =\frac { -\left[ { y }^{ 3 }\frac { d }{ dx } ({ x }^{ 3 })-{ x }^{ 3 }\frac { d }{ dx } { (y }^{ 3 }) \right] }{ { (y }^{ 3 }{ ) }^{ 2 } } \)
\(=-\frac { \left[ { y }^{ 3 }.3{ x }^{ 2 }-{ x }^{ 3 }(3{ y }^{ 2 }y^{ ' }) \right] }{ { y }^{ 6 } } =\frac { 3{ x }^{ 2 }{ y }^{ 3 }-3{ x }^{ 3 }{ y }^{ 2 }\left( -\frac { { x }^{ 3 } }{ { y }^{ 3 } } \right) }{ { y }^{ 6 } } \)
\(=-\frac { 3{ (x }^{ 2 }{ y }^{ 4 }+{ x }^{ 6 }) }{ { y }^{ 7 } } =-\frac { 3{ x }^{ 2 }{ [{ x }^{ 4 }+y }^{ 4 }] }{ { y }^{ 7 } } \)
\(=\frac { -3{ x }^{ 2 }(16) }{ { y }^{ 7 } } =\frac { -48{ x }^{ 2 } }{ { y }^{ 7 } } \)

உட்படு வகையிடலின்படி \(\frac { d }{ dx } ({ x }^{ 4 })+\frac { d }{ dx } ({ x }^{ 2 }{ y }^{ 3 })-\frac { d }{ dx } ({ y }^{ 5 })=\frac { d }{ dx } (2x+1)\)
இதிலிருந்து, \(4{ x }^{ 3 }+{ x }^{ 2 }\left( 3{ y }^{ 2 }\frac { dy }{ dx } \right) +(2x){ y }^{ 3 }-5{ y }^{ 4 }\frac { dy }{ dx } =2+0\)
அதாவது \(4{ x }^{ 3 }+3{ x }^{ 2 }{ y }^{ 2 }\frac { dy }{ dx } +2x{ y }^{ 3 }-5{ y }^{ 4 }\frac { dy }{ dx } =2\)
எனவே, \((3{ x }^{ 2 }{ y }^{ 2 }-5{ y }^{ 4 })\frac { dy }{ dx } =2-4{ x }^{ 3 }-2x{ y }^{ 3 }\)
 அல்லது \(\frac { dy }{ dx } =\frac { 2-4{ x }^{ 3 }-2x{ y }^{ 3 } }{ 3{ x }^{ 2 }{ y }^{ 2 }-5{ y }^{ 4 } } \)  

நாள் ஒன்றுக்கு வாங்கும் தக்காளியின் அளவு x என்க. மற்றும் விலை  C  என்க.
\(C(x)=\begin{cases} 0.16x,\quad ;\quad 0\le x\le 100 \\ 0.14x,\quad ;\quad x\ge 100 \end{cases}\)
இந்தச் சார்பின் படம் பின்வருமாறு:

x=100-இல் சார்பு தொடர்ச்சியற்றது. ஏனெனில் \(\lim _{ x\rightarrow { 100 }^{ - } }{ C(x)=16 } \) மற்றும் \(\lim _{ x\rightarrow { 100 }^{ + } }{ C(x)=14 } \)
C(100)=14 
இவ்வாறாக, \(\lim _{ x\rightarrow { 100 }^{ - } }{ C(x)=16\neq 14= } \lim _{ x\rightarrow { 100 }^{ + } }{ C(x)=C(100) } \)
இங்குச் சார்பு ஒரு குறிப்பிட்ட மதிப்பு 14-ல் இருந்து மற்றொரு எண் 16க்கு மாற்றம் அடைகிறது. 

எனவே \(\lim _{ x\rightarrow { 0 }^{ - } }{ f(x) } = -1\) மற்றும்\(\lim _{ x\rightarrow { 0 }^{ + } }{ f(x) } = +1.\) 
இங்கு \(f({ 0 }^{ - })\neq f({ 0 }^{ + })\) ஆகையால் எல்லை மதிப்பு இல்லை.

ஒளியின் செறிவு குறைவாக இருக்கும்போது, அதாவது  \(x\rightarrow { 0 }^{ + }\) எனும்போது, சார்பின் எல்லையைக் காண வேண்டும். 
\(\lim _{ x\rightarrow { 0 }^{ + } }{ f(x) } =\lim _{ x\rightarrow { 0 }^{ + } }{ \frac { 160{ x }^{ -0.4 }+90 }{ 4{ x }^{ -0.4 }+15 } } =\lim _{ x\rightarrow { 0 }^{ + } }{ \frac { 160+90{ x }^{ -0.4 } }{ 4+15{ x }^{ -0.4 } } }= \frac { 160 }{ 4 } =40\) மி.மீ

\(\lim _{ v\rightarrow { c }^{ - } }{ (m) } =\lim _{ v\rightarrow { c }^{ - } }{ \frac { { m }_{ 0 } }{ \sqrt { 1-\frac { { v }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } } } } = } \frac { { m }_{ 0 } }{ \sqrt { \lim _{ v\rightarrow { c }^{ - } }{ \left( 1-\frac { { v }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } } \right) } } } \)
h >0 எனில், c-h < v < c இதன் மூலம் \({ (c-h) }^{ 2 }<{ v }^{ 2 }<{ c }^{ 2 }\)
அதாவது \(\frac { { (c-h) }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } } <\frac { { v }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } } <1\quad \Rightarrow \lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { { (c-h) }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } } } <\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { { v }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } } } <\lim _{ h\rightarrow 0 }{ 1 }\)
\( \Rightarrow 1<\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { { v }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } } } <1\Rightarrow \lim _{ h\rightarrow 0 }{ (m)\frac { { v }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } } } <1 \Rightarrow 1<\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { { v }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } } } <1\)
இடையீட்டுத் தேற்றத்தின்படி,\(\lim _{ v\rightarrow { c }^{ - } }{ \frac { { v }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } } =1 } \)
எனவே \(\lim _{ v\rightarrow { c }^{ - } }{ (m) } =\infty \)
ஆகவே, \(v\rightarrow { c }^{ - }\)  எனில் நிறை  மிக மிகப்பெரியதாக (முடிவிலி) அமைகிறது.
இடப்புற எல்லை தேவையானதாக உள்ளது. வலப்புற எல்லை எடுப்பின் \(v\rightarrow { c }^{ + }\) எனில்  \(1-\frac { { v }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } } <0\)ஆக  அமையும்.எனவே நிறை காண இயலாது.

\(\lim _{ x\rightarrow 2 }{ \frac { 2-\sqrt { x+2 } }{ \sqrt [ 3 ]{ 2 } -\sqrt [ 3 ]{ 4-x } } } =\lim _{ x\rightarrow 2 }{ \frac { \sqrt { x+2 } -2 }{ \sqrt [ 3 ]{ 4-x } -\sqrt [ 3 ]{ 2 } } } \)
\(=\lim _{ x\rightarrow 2 }{ \frac { { (x+2) }^{ \frac { 1 }{ 2 } }-({ 2 }^{ 2 })^{ \frac { 1 }{ 2 } } }{ { (4-x) }^{ \frac { 1 }{ 3 } }-{ (2) }^{ \frac { 1 }{ 3 } } } } \)
தொகுதி, பகுதியை (x -2) ஆல் பெருக்க
\(=\lim _{ x\rightarrow 2 }{ \frac { (x+2)^{ \frac { 1 }{ 2 } }-{ 4 }^{ \frac { 1 }{ 2 } } }{ x-2 } } \times \frac { (x-2) }{ { (4-x) }^{ \frac { 1 }{ 3 } }-{ 2 }^{ \frac { 1 }{ 3 } } } \)
\(=\lim _{ x\rightarrow 2 }{ \frac { (x+2)^{ \frac { 1 }{ 2 } }-{ (4) }^{ \frac { 1 }{ 2 } } }{ (x+2)-4 } } \times \frac { -(2-x) }{ (4-x)^{ \frac { 1 }{ 3 } }-{ 2 }^{ \frac { 1 }{ 3 } } } \)
\(=\left[ \lim _{ (x+2)\rightarrow 4 }{ \frac { (x+2)^{ \frac { 1 }{ 2 } }-{ 4 }^{ \frac { 1 }{ 2 } } }{ (x+2)-4 } } \right] \times \frac { -1 }{ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ \frac { (4-x)^{ \frac { 1 }{ 3 } }-{ 2 }^{ \frac { 1 }{ 3 } } }{ 4-x-2 } } } \)
\(=\frac { 1 }{ 2 } \times { (4) }^{ \frac { 1 }{ 2 } -1 }\times \frac { -1 }{ \frac { 1 }{ 3 } \times (2)^{ \frac { 1 }{ 3 } -1 } } =\frac { 1 }{ 2 } { (4) }^{ \frac { -1 }{ 2 } }\times \frac { -1 }{ \frac { 1 }{ 3 } (2)^{ -2/3 } } \)
\(=-\frac { 1 }{ 2 } \times \frac { 3 }{ 1 } \times \frac { 1 }{ { 4 }^{ \frac { 1 }{ 2 } } } \times { 2 }^{ \frac { 2 }{ 3 } }=\frac { -3 }{ 4 } \times \left( { 2 }^{ 2 } \right) ^{ \frac { 1 }{ 3 } }=-\frac { 3 }{ 4 } \sqrt [ 3 ]{ 4 } \)

\(\lim _{ x\rightarrow 1 }{ \frac { \sqrt [ 3 ]{ 7+{ x }^{ 3 } } -\sqrt { 3+{ x }^{ 2 } } }{ x-1 } } \)
\(=\lim _{ x\rightarrow 1 }{ \frac { { (7+{ x }^{ 3 }) }^{ \frac { 1 }{ 3 } }-{ 8 }^{ \frac { 1 }{ 3 } } }{ 7+{ x }^{ 3 }-8 } } \times \frac { { x }^{ 3 }-1 }{ x-1 } -\frac { (3+{ x }^{ 2 })^{ \frac { 1 }{ 2 } }-{ 4 }^{ \frac { 1 }{ 2 } } }{ 3+{ x }^{ 2 }-4 } \times \frac { { x }^{ 2 }-1 }{ x-1 } \)


[\(\because\) x \(\rightarrow\) 1 எனில் x³ \(\rightarrow\) 1 மேலும் 7+x³ \(\rightarrow\) 7+1 =8, x\(\rightarrow\)1 எனும் பொழுது, x² \(\rightarrow\) 1 மேலும் 3+x² \(\rightarrow\) 4]
\(=\lim _{ 7+{ x }^{ 3 }\rightarrow 8 }{ \frac { { \left( 7+{ x }^{ 3 } \right) }^{ \frac { 1 }{ 3 } }-{ 8 }^{ \frac { 1 }{ 3 } } }{ (7+{ x }^{ 3 })-8 } \left( { x }^{ 2 }+x+1 \right) - } \lim _{ 3+{ x }^{ 2 }\rightarrow 4 }{ \frac { { \left( 3+{ x }^{ 2 } \right) }^{ \frac { 1 }{ 2 } }-{ 4 }^{ \frac { 1 }{ 2 } } }{ \left( 3+{ x }^{ 2 } \right) -4 } } \times (x+1)\)
\(=\frac { 1 }{ 3 } (8)^{ \frac { 1 }{ 3 } -1 }\left( { 1 }^{ 2 }+1+1 \right) -\frac { 1 }{ 2 } \left( { 4 }^{ \frac { 1 }{ 2 } -1 } \right) (1+1)\)

\(=\frac { 1-2 }{ 4 } =\frac { -1 }{ 4 } \)

\(\vec { a } ,\vec { b } ,\vec { c } \) என்பன அலகு வெக்டர்கள்.
⇒ \(|\vec { a } |=|\vec { b } |=|\vec { c } |\)=1
\(\vec { a } .\vec { b } =\vec { a } .\vec { c } \)=0,
மற்றும் \(\vec { b } ,\vec { c } \) வெக்டர்களுக்கு இடைப்பட்ட கோணம் \(\frac { \pi }{ 3 } \) எனில்
\(\vec { a } .\vec { b } =\vec { a } .\vec { c } \)=0
⇒ \(\vec { a } \) ஆனது \(\vec { b } \) க்கும் \(\vec { c } \)க்கும் செங்குத்து
\(\vec { a } \) ஆனது \(\vec { a } \times \vec { c } \) க்கு செங்குத்து எனில்
⇒ \(\vec { a } =\lambda (\vec { b } \times \vec { c } )\)
(∵ λ ஒரு எண்ணளவு)
∴ \(|\vec { a } |^{ 2 }={ \lambda }^{ 2 }|\vec { b } \times \vec { c } |^{ 2 }\)
⇒ \(\vec { a } =\lambda (\vec { b } \times \vec { c } )\)   ...(1)
⇒ 1=\({ \lambda }^{ 2 }[|\vec { b } |^{ 2 }|\vec { c } |^{ 2 }]-(\vec { b } .\vec { c } )^{ 2 }]\)
\([\because |\vec { a } |=1,|\vec { a } \times \vec { b } |=|\vec { a } |^{ 2 }|\vec { b } |^{ 2 }-(\vec { a } .\vec { b } )^{ 2 }]\)
⇒ 1=\({ \lambda }^{ 2 }[(1)(1)|\vec { b } |^{ 2 }|\vec { c } |^{ 2 }cos^{ 2 }\frac { \pi }{ 3 } ]\)
[∵ \(\vec { b } ,\vec { c } \) க்கு இடைப்பட்ட கோணம் \(\frac { \pi }{ 3 } \)]
⇒ 1=\({ \lambda }^{ 2 }[1-cos^{ 2 }\frac { \pi }{ 3 } ]\)
⇒ 1=\({ \lambda }^{ 2 }\left( 1-\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) ^{ 2 } \right) \)
⇒ 1=\({ \lambda }^{ 2 }\left( \frac { 3 }{ 4 } \right) \)
⇒ \({ \lambda }^{ 2 }=\frac { 4 }{ 3 } \Rightarrow \lambda =\pm \frac { 2 }{ \sqrt { 3 } } \)
λ=\(\pm \frac { 2 }{ \sqrt { 3 } } \) என (1)-ல் பிரதியிட
\(\vec { a } =\pm \frac { 2 }{ \sqrt { 3 } } (\vec { b } \times \vec { c } )\)
எனவே நிருபிக்கப்பட்டது.

A(2,-1,3), B(4,3,1), C=(3,1,2) என்க.
\(\vec { OA } =2\hat { i } -\hat { j } +3\hat { k } \)
\(\vec { OB } =4\hat { i } +3\hat { j } +\hat { k } \)
\(\vec { OC } =3\hat { i } +\hat { j } +2\hat { k } \)
\(\vec { AB } =\vec { OB } -\vec { OA } \)
=\((4\hat { i } +3\hat { j } +\hat { k } )-(2\hat { i } -\hat { j } +3\hat { k } )\)
=\(2\hat { i } +4\hat { j } -2\hat { k } \)
\(\vec { BC } =\vec { OC } -\vec { OB } \)
=\(3\hat { i } +\hat { j } +2\hat { k } -(4\hat { i } +3\hat { j } +\hat { k } )\)
=\(-\hat { i } -2\hat { j } +\hat { k } \)
\(\vec { CA } =\vec { OA } -\vec { OC } \)
=\(2\hat { i } -\hat { j } +3\hat { k } -(3\hat { i } +\hat { j } +2\hat { k } )\)
=\(-\hat { i } -2\hat { j } +\hat { k } \)
\(\vec { AB } =2\vec { CA } =-2\vec { BC } \)
\(\vec { AB } \) = -2BC பொதுப்புள்ளி B
∴ A,B,C ஒரே கோடமைப்புப்புள்ளிகள் ஆகும்.

\(\vec { OP } =\hat { i } +\hat { j } +\hat { k } \)
\(\vec { OQ } =2\hat { i } +5\hat { j } \)
\(\vec { OR } =3\hat { i } +2\hat { j } -3\hat { k } \)
\(\vec { OS } =\hat { i } -6\hat { j } -\hat { k } \)
\(\vec { PQ } =\vec { OQ } -\vec { OP } \)
=\(2\hat { i } +5\hat { j } -(\hat { i } +\hat { j } +\hat { k } )\)
=\(\\ \hat { i } +4\hat { j } -\hat { k } \)
\(\vec { RS } =\vec { OS } -\vec { OR } \)
=\(\hat { i } -6\hat { j } -\hat { k } -(3\hat { i } +2\hat { j } -3\hat { k } )\)
=\(-2\hat { i } -8\hat { j } +2\hat { k } \)
=\(-2(\hat { i } +4\hat { j } -\hat { k } )=-2\vec { PQ } \)
∴ \(\vec { PQ } ||\vec { RS } \)
∵ \(\vec { RS } =\lambda \vec { PQ } \)
\(\lambda \)=-2

(i) \(\vec { a } =2\hat { i } +3\hat { j } -4\hat { k } \)
\(\vec { b } =3\hat { i } -4\hat { j } +5\hat { k } \)
\(\vec { c } =-3\hat { i } +2\hat { j } +3\hat { k } \)
\(\vec { a } +\vec { b } +\vec { c } =(2\hat { i } +3\hat { j } -4\hat { k } )+(3\hat { i } -4\hat { j } -5\hat { k } )+(-3\hat { i } +2\hat { j } +3\hat { k } )\)
=\(2\hat { i } +\hat { j } -6\hat { k } \)
\(|\vec { a } +\vec { b } +\vec { c } |=\sqrt { { 2 }^{ 2 }+{ 1 }^{ 2 }+(-6)^{ 2 } } =\sqrt { 4+1+336 } \)
எண்ணளவு =\(\sqrt { 41 } \)
திசைக்கொசைன்கள் =\(\frac { 2 }{ \sqrt { 41 } } ,\frac { 1 }{ \sqrt { 41 } } .\frac { -6 }{ \sqrt { 41 } } \)
(ii) \(3\vec { a } -2\vec { b } +5\vec { c }\)
 \(3\vec { a } -2\vec { b } +5\vec { c } =3(2\hat { i } +3\hat { j } -4\hat { k } )\) \(-2(3\hat { i } -4\hat { j } -5\hat { k } )+5(-3\hat { i } +2\hat { j } +3\hat { k } )\)
=\(-15\hat { i } +27\hat { j } +13\hat { k } \)
\(|3\vec { a } -2\vec { b } +5\vec { c } |=\sqrt { (-15)^{ 2 }+27^{ 2 }+{ 13 }^{ 2 } } \)
=\(\sqrt { 225+729+169 } \)
எண்ணளவு =\(\sqrt { 1123 } \)
திசைக்கொசைன்கள் =\(\frac { -15 }{ \sqrt { 1123 } } ,\frac { 27 }{ \sqrt { 1123 } } ,\frac { 13 }{ \sqrt { 1123 } } \)

\(\vec { a } =\hat { i } -2\hat { j } +3\hat { k } \)
\(\vec { b } =-2\hat { i } +3\hat { j } -4\hat { k } \)
\(\vec { c } =-\hat { j } +2\hat { k } \)
\(\vec { a } =\vec { b } +t\vec { c } \) என எழுதலாம்.
⇒ \(\hat { i } -2\hat { j } +3\hat { k } =s(-2\hat { i } +3\hat { j } -4\hat { k } )+t(0\hat { i } -\hat { j } +2\hat { k } )\)
கூறுகளை சமப்படுத்த
1=-2s  ⇒ -2s=1    ...(1)
-2=3s-t ⇒  3s-t=-2  ....(2)
3=-4s+2t  ⇒ -4s+2t=3   ....(3)
(i) லிருந்து, s =-\(\frac{1}{2}\),
(2) லிருந்து 3 x -\(\frac{1}{2}\) -t =-2
-t=\(-2+\frac { 3 }{ 2 } =\frac { -4+3 }{ 2 } =\frac { -1 }{ 2 } \)
t=\(\frac{1}{2}\)
s=-\(\frac{1}{2}\), t=\(\frac{1}{2}\) என (3)-ல் பிரதியிட,
\(-4\left( \frac { -1 }{ 2 } \right) +2\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) \)=2+1=3=RHS
∴ ஒரு வெக்டரை மற்ற இரு வெக்டர்களின் ஒருபடிச் சேர்க்கையாக எழுதலாம். எனவே கொடுக்கப்பட்ட வெக்டர்கள் ஒரு தளத்தில் அமையும் வெக்டர்களாகும்.

நாற்கரம் ABCD-யின் முனைப்புள்ளிகள் -யின் நிலைவெக்டர்கள் \(\vec { a } ,\vec { b } ,\vec { c } ,\vec { d } \) என்க. E, F என்பன AC, BD-யின் நடுப்புள்ளிகள்.

\(\vec { OE } =\frac { \vec { a } +\vec { c } }{ 2 } ,\vec { OF } =\frac { \vec { b } +\vec { d } }{ 2 } \)
நிருபிக்க வேண்டியது:
LHS=\(\vec { AB } +\vec { AD } +\vec { CB } +\vec { CD } \)
=\(\vec { OB } -\vec { OA } +\vec { OD } -\vec { OA } +\vec { OB } -\vec { OC } +\vec { OD } -\vec { OC } \)
=\(\vec { b } -\vec { a } +\vec { d } -\vec { a } +\vec { b } -\vec { c } +\vec { d } -\vec { c } \)
=\(-2\vec { a } +2\vec { b } -2\vec { c } +2\vec { d } \)
=2\((\vec { b } +\vec { d } )-2(\vec { a } +\vec { c } )\)
=2\([(2\vec { OF } )-(2\vec { OE } )]\)
=2 x 2.\((\vec { OF } -\vec { OE } ]=4\vec { EF } \)=RHS
எனவே நிருபிக்கப்பட்டது.

ΔABC-யின் முனைப்புள்ளிகள் A, B, C-யின் நிலை ​​​​​​வெக்டர்கள் \(\vec { a } ,\vec { b } ,\vec { c } \) என்க.

D, E, F என்பன \(\vec { BC } ,\vec { CA } ,\vec { AB } \) என்ற பக்கங்களின் நடுப்புள்ளிகள்.
∴ \(\vec { OD } =\frac { \vec { b } +\vec { c } }{ 2 } \)
\(\vec { OE } =\frac { \vec { a } +\vec { c } }{ 2 } \)
\(\vec { OF } =\frac { \vec { a } +\vec { b } }{ 2 } \)
\(\vec { AD } +\vec { BE } +\vec { CF } =\vec { 0 } \) என நிருபிக்க.
\(LHS = \vec { AD } +\vec { BE } +\vec { CF } \)
=\(\vec { OD } -\vec { OA } +\vec { OE } -\vec { OB } +\vec { OF } -\vec { OC } \)
=\(\frac { \vec { b } +\vec { c } }{ 2 } -\vec { a } +\frac { \vec { a } +\vec { c } }{ 2 } -\vec { b } +\frac { \vec { a } +\vec { b } }{ 2 } -\vec { c } \)

=\(\frac { \vec { 0 } }{ 2 } =\vec { 0 } \) = RHS.
எனவே நிருபிக்கப்பட்டது.

A  = \(\left| \begin{matrix} 0 & cos\theta & sin\theta \\ cos\theta & sin\theta & 0 \\ sin\theta & 0 & cos\theta \end{matrix} \right| \times \left| \begin{matrix} 0 & cos\theta & sin\theta \\ cos\theta & sin\theta & 0 \\ sin\theta & 0 & cos\theta \end{matrix} \right| \) என்க.  
cos 2\(\theta\) = 2cos² \(\theta\) - 1 = 0
2cos² \(\theta\) = 1
cos² \(\theta\) = 1/2
cos \(\theta\) = \(\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \), sin \(\theta\) = \(\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \)
 = \(\left| \begin{matrix} 0 & \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } & \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \\ \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } & \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } & 0 \\ \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } & 0 & \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \end{matrix} \right| \times \left| \begin{matrix} 0 & \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } & \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \\ \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } & \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } & 0 \\ \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } & 0 & \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \end{matrix} \right| \)
\(\therefore \)  \(\triangle \) = \(\left| \begin{matrix} 0+\left( \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \times \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \right) +\left( \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \times \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \right) & \left( 0+\frac { 1 }{ 2 } +0 \right) & \left( 0+0+\frac { 1 }{ 2 } \right) \\ \left( 0+\frac { 1 }{ 2 } +0 \right) & \left( \frac { 1 }{ 2 } +\frac { 1 }{ 2 } +0 \right) & \left( \frac { 1 }{ 2 } +0+0 \right) \\ \left( 0+0+\frac { 1 }{ 2 } \right) & \left( \frac { 1 }{ 2 } +0+0 \right) & \left( \frac { 1 }{ 2 } +0+\frac { 1 }{ 2 } \right) \end{matrix} \right| \)
= \(\left| \begin{matrix} 1 & \frac { 1 }{ 2 } & \frac { 1 }{ 2 } \\ \frac { 1 }{ 2 } & 1 & \frac { 1 }{ 2 } \\ \frac { 1 }{ 2 } & \frac { 1 }{ 2 } & 1 \end{matrix} \right| \) 
= \(1\left( 1-\frac { 1 }{ 4 } \right) -\frac { 1 }{ 2 } \left( \frac { 1 }{ 2 } -\frac { 1 }{ 4 } \right) \frac { 1 }{ 2 } \left( \frac { 1 }{ 4 } -\frac { 1 }{ 2 } \right) \)
= \(\frac { 3 }{ 4 } -\frac { 1 }{ 8 } -\frac { 1 }{ 8 } =\frac { 6-2 }{ 8 } =\frac { 4 }{ 8 } =\frac { 1 }{ 2 } \)
 தீர்வு = \(\frac { 1 }{ 2 } \)

\(\triangle \) =  \(\left| \begin{matrix} 1 & x & { x }^{ 2 } \\ 1 & y & { y }^{ 2 } \\ 1 & z & { z }^{ 2 } \end{matrix} \right| \)
x  = y  என \(\triangle \) ல் பிரதியிட 
=  \(\left| \begin{matrix} 1 & x & { x }^{ 2 } \\ 1 & y & { y }^{ 2 } \\ 1 & z & { z }^{ 2 } \end{matrix} \right| \) = 0
\(\therefore \)  (x  - y ) ஒரு காரணியாகும் , இதைப் போலவே  (y -z ) (z  -x ) ம் காரணிகளாகும்.
கொடுக்கப்பட்ட அணிக்கோவையின் படி 3 ஆகும் 
\(\therefore \) மற்றொரு காரணி  k எனக்  கொள்வோம்.
     \(\therefore \) \(\left| \begin{matrix} 1 & x & { x }^{ 2 } \\ 1 & y & { y }^{ 2 } \\ 1 & z & { z }^{ 2 } \end{matrix} \right| \) = k (x - y ) (y  -z ) (z  - k ) இதில் 
x  = 1, y  = 2, z  = 3 எனப்  பிரதியிட
\(\left| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 \\ 1 & 3 & 9 \end{matrix} \right| \) =  k (1 -2) (2 - 3) (3 - 1)
1 (18 -12) -1 (9- 4)  + 1 (3 - 2) = 2k
6 - 5 + 1 = 2k
2 = 2k
\(\Rightarrow \)  k = 1
\(\left| \begin{matrix} 1 & x & { x }^{ 2 } \\ 1 & y & { y }^{ 2 } \\ 1 & z & { z }^{ 2 } \end{matrix} \right| \) = 1 (x - y) (y - z) (z -x)
\(\Rightarrow \)  \(\triangle\) =   \(\left| \begin{matrix} 1 & x & { x }^{ 2 } \\ 1 & y & { y }^{ 2 } \\ 1 & z & { z }^{ 2 } \end{matrix} \right| \) = \(\left| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ x & y & z \\ { x }^{ 2 } & { y }^{ 2 } & { z }^{ 2 } \end{matrix} \right| \)
(x -y) (y - z) (z -x) நிருபிக்கப்பட்டுள்ளது 

\(\triangle =\left| \begin{matrix} x+a & b & c \\ a & x+b & c \\ a & b & x+c \end{matrix} \right| \) என்க 
இதில் x  = 0 என்க 
\(\triangle =\left| \begin{matrix} a & b & c \\ a & b & c \\ a & b & c \end{matrix} \right| \) = 0 மூன்று நிரைகளும் சர்வசமம் 
x² ஓர் காரணியாகும் மேலும் \(\triangle \)- ல்  x  = -a  - b  - c  என்க  
\(\triangle =\left| \begin{matrix} -b-c & b & c \\ a & -a-c & c \\ a & b & -a-b \end{matrix} \right| \) இதில் 
C₁ = C₁ +C₂ + C₃ எனில்   
\(\triangle =\left| \begin{matrix} 0 & b & c \\ 0 & -a-c & c \\ a & b & -a-b \end{matrix} \right| \) = 0
\(\therefore \) (x  + a  + b  +c  ) ஒரு காரணியாகும் .கொடுக்கப்பட்ட  அணிக்கோவையின் படி 3.மற்றொரு காரணி  k ஆக இருக்க வேண்டும். 
\(\left| \begin{matrix} x+a & b & c \\ a & x+b & c \\ a & b & x+c \end{matrix} \right| \)   = kx² (x  +a  +b  +c  ) இதில்  
a  = 0, b =1, c  = 2, x  = 1 எனப் பிரதியிட    
\(\left| \begin{matrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 3 \end{matrix} \right| \)  = k (1)² (1 + 0 + 1 + 2)
(6 - 2) = k  (4)
4 = 4 k 
k  = 1
\(\therefore \)  \(\left| \begin{matrix} x+a & b & c \\ a & x+b & c \\ a & b & x+c \end{matrix} \right| \) = x² (x  +a  + b + c ) = 0
என கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
x² (x  +a  + b  +c ) = 0
x² = 0   அல்லது  (x  + a  + b  +c ) = 0      
x  = 0, 0 அல்லது 
x  = -a  - b -c 
x  = -(a  + b  +c )

A = \(\left[ \begin{matrix} 5 & 3 & 8 \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{matrix} \right] \)
இரன்டாம் நிரையில்  உள்ள உறுப்புகள் 2,0,1 
2 -ன்  இணைக்காரணி    
A₂₁ = (-1)¹⁺² \(\begin{vmatrix} 3 & 8 \\ 2 & 3 \end{vmatrix}\) 
= (-1)3 (9 - 16)
= -1 x -7 = 7
0 - ன்  இணைக்காரணி
A₂₂ = (-1)²⁺² \(\begin{vmatrix} 5 & 8 \\ 1 & 3 \end{vmatrix}\) = (-1)4 (15 - 8) = 7
1 - ன்  இணைக்காரணி
A₂₃ = (-1)²⁺³ \(\begin{vmatrix} 5 & 3 \\ 1 & 2 \end{vmatrix}\) = (-1)⁵ (10 - 3) = -1 x 7 = -7
\(\therefore \)  | A | = a₂₁ A₂₁ + a₂₂ A₂₂ +a₂₃ A₂₃
= 2 x 7 + 0 x 7 + 1 x - 7 = 14 + 0 - 7 = 7

\(\left| A \right| =\left[ \begin{matrix} \frac { 1 }{ 2 } & \alpha \\ 0 & \frac { 1 }{ 2 } \end{matrix} \right] =\frac { 1 }{ 2 } \times \frac { 1 }{ 2 } -0=\frac { 1 }{ 4 } \)
det A¹ = \(\frac { 1 }{ 4 } \)
det A²  = \(\left( \frac { 1 }{ 4 } \right) ^{ 2 }\)
det A³ = \(\left( \frac { 1 }{ 4 } \right) ^{ 3 }\)
\(\frac { 1 }{ 4 } +\left( \frac { 1 }{ 4 } \right) ^{ 2 }+\left( \frac { 1 }{ 4 } \right) ^{ 3 }\) ......
r = \(\frac { 1 }{ 4 } \) < 1
S_n = \(\frac { a\left( 1-{ r }^{ n } \right) }{ 1-r } \)

= \(\frac { 1 }{ 3 } \left( 1-\frac { 1 }{ { 4 }^{ n } } \right) \) எனவே நிருபிக்கப்பட்டது.

a [0 - (b\(\alpha\)+ c)²] - b [ (-a\(\alpha\) + b) (b\(\alpha\) + c) ] + (a\(\alpha\) + b) [b (b\(\alpha\) +c) -c (a\(\alpha\) + b) ] = 0
-a (b\(\alpha\) + c)² + b (a\(\alpha\) + b) (b\(\alpha\) + c) + b (a\(\alpha\) + b) (b\(\alpha\) + c) - c (\(\alpha\)a + b)² = 0
(b\(\alpha\) + c) [-a (b\(\alpha\) +c)] + b (a\(\alpha\) + b)] + (a\(\alpha\) + b) [b (b\(\alpha\) +c) - c (a\(\alpha\)+ b)] = 0
(b\(\alpha\) + c) [b2 -ac] + (a\(\alpha\) + b) \(\alpha\) (b² -ac ) = 0
(b² -ac) [b + c + (a\(\alpha\) + b)\(\alpha\)] = 0
(b² -ac) [a\(\alpha\)2 + b\(\alpha\) + b\(\alpha\) +c] = 0
(b² -ac) [a\(\alpha\)2 + 2b\(\alpha\) + c] = 0
b² -ac = 0  (அல்லது)  a\(\alpha\)2 + 2b\(\alpha\) + c = 0
b² = ac     \(\therefore \) \(\alpha\) என்பது 
b² = \(\sqrt { ac } \)  ax² + 2bx + c = 0 ன் ஒரு மூலமாகும் 
\(\therefore \) a , b , c  ஒரு G.P . 

O-ஐ ஆதிபுள்ளியாகக் கொண்டு A,B,C என்ற புள்ளிகளின்  நிலை வெக்டர்கள்   \(2\hat { i } +4\hat { j } +3\hat { k } ,4\hat { i } +\hat { j } +9\hat { k } ,10\hat { i } -\hat { j } +6\hat { k } \quad \) என்க.
 \(\overline { OA } =2\hat { i } +4\hat { j } +3\hat { k } ,\overline { OB } =4\hat { i } +\hat { j } +9\hat { k } \ \overline { OC } =10\hat { i } -\hat { j } +6\hat { k } \)
\(\overline { AB } =\overline { OB } -\overline { OA } =(4\hat { i } +\hat { j } +9\hat { k } )-(2\hat { i } +4\hat { j } +3\hat { k } )=2\hat { i } -3\hat { j } +6\hat { k }\)
\(AB=\left| \overline { AB } \right| =\sqrt { { 2 }^{ 2 }+{ (-3) }^{ 2 }+{ 6 }^{ 2 } } =\sqrt { 4+9+36 } =7\)
\(\overline { BC } =\overline { OC } -\overline { OB } =(10\hat { i } -\hat { j } +6\hat { k } )-(4\hat { i } +\hat { j } +9\hat { k } )=6\hat { i } -2\hat { j } -3\hat { k }\)
\(BC=\left| \overline { BC } \right| =\sqrt { { 6 }^{ 2 }+{ (-2) }^{ 2 }+{ (-3) }^{ 2 } } =\sqrt { 36+4+9 } =7\)
\(\overline { CA } =\overline { OA } -\overline { OC } =(2\hat { i } +4\hat { j } +3\hat { k } )-(10\hat { i } -\hat { j } +6\hat { k } )=-8\hat { i } +5\hat { j } -3\hat { k } \)
\(CA=\left| \overline { CA } \right| =\sqrt { { (-8) }^{ 2 }+{ 5 }^{ 2 }+{ (-3) }^{ 2 } } =\sqrt { 64+24+9 } =\sqrt { 98 } \)
\({ BC }^{ 2 }=49,{ CA }^{ 2 }=98.{ AB }^{ 2 }=49\)
அதாவது \({ CA }^{ 2 }={ BC }^{ 2 }+{ AB }^{ 2 }.\)
எனவே கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தினை அமைக்கும் .

\(\left| \begin{matrix} a_{ 1 } & { b }_{ 1 } & { c }_{ 1 } \\ { a }_{ 2 } & { b }_{ 2 } & { c }_{ 2 } \\ { a }_{ 3 } & { b }_{ 3 } & { c }_{ 3 } \end{matrix} \right| \left| \begin{matrix} A_{ 1 } & B_{ 1 } & { C }_{ 1 } \\ { A }_{ 2 } & { B }_{ 2 } & { C }_{ 2 } \\ { A }_{ 3 } & { B }_{ 3 } & { C }_{ 3 } \end{matrix} \right| \)
\(=\left| \begin{matrix} a_{ 1 }A_{ 1 }+b_{ 1 }B_{ 1 }+c_{ 1 }C_{ 1 }\quad & a_{ 1 }A_{ 2 }+b_{ 1 }B_{ 2 }+c_{ 1 }C_{ 2 } & \quad a_{ 1 }A_{ 3 }+b_{ 1 }B_{ 3 }+c_{ 1 }C_{ 3 } \\ a_{ 2 }A_{ 1 }+b_{ 2 }B_{ 1 }+c_{ 2 }C_{ 1 }\quad & a_{ 2 }A_{ 2 }+b_{ 2 }B_{ 2 }+c_{ 2 }C_{ 2 } & \quad a_{ 2 }A_{ 3 }+b_{ 2 }B_{ 3 }+c_{ 2 }C_{ 3 } \\ a_{ 3 }A_{ 1 }+b_{ 3 }B_{ 1 }+c_{ 3 }C_{ 1 }\quad & a_{ 3 }A_{ 2 }+b_{ 3 }B_{ 2 }+c_{ 3 }C_{ 2 } & \quad a_{ 3 }A_{ 3 }+b_{ 3 }B_{ 3 }+c_{ 3 }C_{ 3 } \end{matrix} \right| \)
\(=\left| \begin{matrix} \left| A \right| & 0 & 0 \\ 0 & \left| A \right| & 0 \\ 0 & 0 & \left| A \right| \end{matrix} \right| =\left| A \right| ^{ 3 }\)
\(\left| A \right| \times \left| \begin{matrix} A_{ 1 } & B_{ 1 } & { C }_{ 1 } \\ { A }_{ 2 } & { B }_{ 2 } & { C }_{ 2 } \\ { A }_{ 3 } & { B }_{ 3 } & { C }_{ 3 } \end{matrix} \right| =\left| A \right| ^{ 3 }\)
\(\Rightarrow \left| \begin{matrix} A_{ 1 } & B_{ 1 } & { C }_{ 1 } \\ { A }_{ 2 } & { B }_{ 2 } & { C }_{ 2 } \\ { A }_{ 3 } & { B }_{ 3 } & { C }_{ 3 } \end{matrix} \right| =\left| A \right| ^{ 2 }\)

p=0 எனப்பிரதியிட, \(\left| A \right| =\left| \begin{matrix} { (q+r) }^{ 2 } & 0 & 0 \\ { q }^{ 2 } & { r }^{ 2 } & { q }^{ 2 } \\ { r }^{ 2 } & { r }^{ 2 } & { q }^{ 2 } \end{matrix} \right| =0\)
எனவே,(p -0) என்பது ஒரு காரணியாகும் . அதாவது P  ஒரு காரணியாகும்.
\(\left| A \right| \)  என்பது p,q,r  என்பவற்றில் வட்டச் சமச்சீராகும். எனவே  q,r  ஆகியவையும் \(\left| A \right| \)-ன் காரணிகளாகும்.
\(p+q+r=0\) எனில்,   \(q+r=-p;r+p=-q;p+q=-r\)
\(\left| A \right| =\left| \begin{matrix} { p }^{ 2 } & { p }^{ 2 } & { p }^{ 2 } \\ { q }^{ 2 } & { q }^{ 2 } & { q }^{ 2 } \\ { r }^{ 2 } & { r }^{ 2 } & { r }^{ 2 } \end{matrix} \right| =0\)  எனப்பெறுகிறோம்.
 இங்கு மூன்று நிரல்களும் சர்வசமம். எனவே, (p+q+r)²   என்பது \(\left| A \right| \)-ன் காரணியாகும்.
இப்போது pqr (p+q+r)² என்பது  \(\left| A \right| \)-ன் காரணியாகும்.இதன் படி 5ஆகும் . \(\left| A \right| \)-ன் படி 6 ஆகும்.
எனவே மற்றொரு காரணி \(k(p+q+r)\) ஆகும் .
\(\left| \begin{matrix} { (q+r) }^{ 2 } & { p }^{ 2 } & { p }^{ 2 } \\ { q }^{ 2 } & { (r+p) }^{ 2 } & { q }^{ 2 } \\ { r }^{ 2 } & { r }^{ 2 } & { (p+q) }^{ 2 } \end{matrix} \right| =k(p+q+r)\quad (p+q+r)^{ 2 }\times pqr\)
\(p=1,q=1,c=1\quad \) எனப்பிரதியிட,
\(\left| \begin{matrix} 4 & 1 & 1 \\ 1 & 4 & 1 \\ 1 & 1 & 4 \end{matrix} \right| =k(1+1+1{ ) }^{ 3 }(1)(1)(1)\)
\(4(16-1)-1(4-1)+1(1-4)=27k\)
\( 60-3-3=27k\Rightarrow k=2.\)
எனவே \( ,\left| A \right| =2pqr\quad (p+q+r{ ) }^{ 3 }.\)

(i) எந்த கட்டுப்பாப்பாடும் இல்லாமல் : பகுதி அ மற்றும் பகுதி ஆ -வில் உள்ள மொத்த 8 வினாக்களில் 5 வினாக்களை ⁸C₅ =⁸C₃=56 வழிகளில் தேர்ந்தெடுக்கலாம்
(ii) குறைந்தபட்சம் இரண்டு வினாக்களுக்கு பகுதி அ–வில் விடையளித்தல்: இக்கட்டுப்பாட்டிற்கு சாதகமாக உள்ள வாய்ப்புகள் பின்வருமாறு அட்டவணை படுத்தப்பட்டுள்ளது.

பகுதி அ	பகுதி ஆ	சேர்வுகளின் எண்ணிக்கை
2	3	\(^{ 4 }{ C }_{ 2 }\times ^{ 4 }{ C }_{ 3 }\)
3	2	\(^{ 4 }{ C }_{ 3 }\times ^{ 4 }{ C }_{ 2 }\)
4	1	\(^{ 4 }{ C }_{ 4 }\times ^{ 4 }{ C }_{ 1 }\)

எனவே, விடையளிக்கும் விதங்களின் எண்ணிக்கை
\(^{ 4 }{ C }_{ 2 }\times ^{ 4 }{ C }_{ 3 }+^{ 4 }{ C }_{ 3 }\times ^{ 4 }{ C }_{ 2 }+^{ 4 }{ C }_{ 4 }\times ^{ 4 }{ C }_{ 1 }=24+24+4=52\)

\(\sin { \theta } +\sqrt { 3 } \cos { \theta } =1\)
\(a=1,b=\sqrt { 3 } ,\quad \sqrt { 1+{ \sqrt { 3 } }^{ 2 } } =\sqrt { 1+3 } =\sqrt { 4 } =2\)
முழுவதையும் \(\sqrt { 1+{ \sqrt { 3 } }^{ 2 } } \) ஆல் வகுக்க 
\(\cfrac { 1 }{ 2 } sin\theta +\cfrac { \sqrt { 3 } }{ 2 } cos\theta =\cfrac { 1 }{ 2 } \)
\(sin\cfrac { \pi }{ 6 } sin\theta +cos\cfrac { \pi }{ 6 } cos\theta =\cfrac { 1 }{ 2 } \)
\(\Rightarrow cos\left( \theta -\cfrac { \pi }{ 6 } \right) =\cfrac { 1 }{ 2 } =cos\cfrac { \pi }{ 3 } \)
\(\Rightarrow \left( \theta -\cfrac { \pi }{ 6 } \right) =2n\pi ,n\varepsilon Z\) \(\left[ \because \cos A \cos\ B +\sin A.\sin B=\cos (A-B) \right] \)
\(\Rightarrow \theta =2n\pi \pm \cfrac { \pi }{ 3 } +\cfrac { \pi }{ 6 } ,n\varepsilon Z\)
\(\Rightarrow 2n\pi +\cfrac { \pi }{ 3 } +\cfrac { \pi }{ 6 } \) அல்லது \(2n\pi -\cfrac { \pi }{ 3 } +\cfrac { \pi }{ 6 } \)
\(\Rightarrow \theta =2n\pi +\pi \) அல்லது \(2n\pi -\cfrac { \pi }{ 6 } ,n\epsilon Z\)

\(\sin { 2\theta } -\cos { 2\theta } -\sin { \theta } +\cos { \theta } =0\)
\(\Rightarrow sin2\theta -sin\theta +cos\theta -cos2\theta =0\)
\(\Rightarrow 2cos\left( \cfrac { 2\theta +\theta }{ 2 } \right) .sin\left( \cfrac { 2\theta -\theta }{ 2 } \right) +2sin\left( \cfrac { \theta +2\theta }{ 2 } \right) .\left( \cfrac { 2\theta -\theta }{ 2 } \right) =0\)
\(\Rightarrow 2cos\cfrac { 3\theta }{ 2 } .sin\cfrac { \theta }{ 2 } +2sin\left( \cfrac { 3\theta }{ 2 } \right) .sin\left( \cfrac { \theta }{ 2 } \right) =0\)
\(\Rightarrow 2sin\cfrac { \theta }{ 2 } \left[ cos\cfrac { 3\theta }{ 2 } +sin\cfrac { 3\theta }{ 2 } \right] =0\)
வகை (i) \(sin\cfrac { \theta }{ 2 } =0\)
\(\Rightarrow sin\cfrac { \theta }{ 2 } =sin\pi .n\varepsilon Z\)
\(\Rightarrow \cfrac { \theta }{ 2 } =n\pi \)
\(\Rightarrow \theta =2n\pi ,n\varepsilon Z\)
வகை (ii) \(cos\cfrac { 3\theta }{ 2 } +sin\cfrac { 3\theta }{ 2 } =0\)
\(\Rightarrow sin\cfrac { 3\theta }{ 2 } =-cos\left( \cfrac { 3\theta }{ 2 } \right) \)
\(\Rightarrow \cfrac { sin\cfrac { 3\theta }{ 2 } }{ cos\cfrac { 3\theta }{ 2 } } =-1\)
\(\Rightarrow tan\cfrac { 3\theta }{ 2 } =-1\)
\(\Rightarrow tan\cfrac { 3\theta }{ 2 } =tan\left( \cfrac { -\pi }{ 4 } \right) \)
\(\Rightarrow \cfrac { 3\theta }{ 2 } =n\pi -\cfrac { \pi }{ 4 } ,n\varepsilon Z\)
\(\Rightarrow \theta =\cfrac { 2n\pi }{ 3 } -\cfrac { \pi }{ 6 } ,n\varepsilon Z\)
\(\therefore \) \(\theta \)-ன் தீர்வு \(2n\pi \) அல்லது \(\cfrac { 2n\pi }{ 3 } ,-\cfrac { \pi }{ 6 } ,n\varepsilon Z\)

L.H.S = a(cos B + cos C)
= \(a\left[ \frac { { c }^{ 2 }+{ a }^{ 2 }-{ b }^{ 2 } }{ 2ac } +\frac { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }-{ c }^{ 2 } }{ 2ab } \right] \)
= \(\frac { 1 }{ 2 } \left[ \frac { { c }^{ 2 }+{ a }^{ 2 }-{ b }^{ 2 } }{ c } +\frac { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }-{ c }^{ 2 } }{ b } \right] \) (கொசைன் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி)
= \(\frac { 1 }{ 2bc } \) (bc² + a²b - b³ + a²c + b²c - c³)
= \(\frac { 1 }{ 2bc } \) [-(b³ + c³) + (a²b + a²c) + bc² + b²c]
= \(\frac { 1 }{ 2bc } \) [-(b + c) +(b² - bc - c²) + a²(b + c) + bc(b + c)]
= \(\frac { b+c }{ 2bc } \) [- b² + bc - c² + a² + bc]
= \(\frac { b+c }{ 2bc } \) (a² - b² - c² + 2bc)
= \(\frac { \left( b+c \right) }{ 2bc } \) [(a + b - c) + (a - b + c)]
= \(\left( \frac { b+c }{ 2bc } \right) \) [(2s - 2c) (2s - 2b)]
= \(\frac { b+c\left( 4 \right) }{ 2bc } \) [(s - c) (s - b)]
= 2(b + c) \(\left[ \frac { \left( s-b \right) \left( s-c \right) }{ bc } \right] \)
= 2(b + c) sin² \(\frac { A }{ 2 } \) = R.H.S. எனவே நீருபிக்கப்பட்டது.

\(\cfrac { b+c }{ a } =\cfrac { ksin\quad B+k\quad sin\quad C }{ k\quad sin\quad A } \)
\(\Rightarrow \cfrac { sin\quad B+sin\quad C }{ sin\quad A } =\cfrac { 2sin\left( \cfrac { B+C }{ 2 } \right) cos\left( \cfrac { B-C }{ 2 } \right) }{ 2sin\cfrac { A }{ 2 } cos\cfrac { A }{ 2 } } \)

\(\Rightarrow \cfrac { sin\left( 90-\cfrac { A }{ 2 } \right) .cos\left( \cfrac { A }{ 2 } \right) }{ sin\cfrac { A }{ 2 } .cos\cfrac { A }{ 2 } } \) \(\left( \because \quad A+B+C=180^{ 0 }\Rightarrow \cfrac { B+C }{ 2 } =90-\cfrac { A }{ 2 } \right) \)
\(\Rightarrow \cfrac { cos\cfrac { A }{ 2 } .cos\cfrac { B-C }{ 2 } }{ sin\cfrac { A }{ 2 } .cos\cfrac { A }{ 2 } } =\cfrac { cos\left( \cfrac { B-C }{ 2 } \right) }{ sin\cfrac { A }{ 2 } } \)
\(\Rightarrow \cfrac { cos\cfrac { A }{ 2 } .cos\cfrac { B-C }{ 2 } }{ sin\cfrac { A }{ 2 } .cos\cfrac { A }{ 2 } } =\cfrac { cos\left( \cfrac { B-C }{ 2 } \right) }{ sin\cfrac { A }{ 2 } } \)
\(\Rightarrow { \cfrac { \cfrac { cos(B-(180-A-B) }{ 2 } }{ sin\cfrac { A }{ 2 } } }\left( \because \quad C=180-A-B \right) \)
\(\Rightarrow \cfrac { cos\left( -90+\cfrac { A }{ 2 } +B \right) }{ sin\cfrac { A }{ 2 } } =\cfrac { cos\left[ -\left( 90-\cfrac { A }{ 2 } +B \right) \right] }{ sin\cfrac { A }{ 2 } } \)
\(\Rightarrow \cfrac { cos\left( 90-\left( \cfrac { A }{ 2 } +B \right) \right) }{ sin\cfrac { A }{ 2 } } \Rightarrow \cfrac { b+c }{ a } \Rightarrow \cfrac { sin\left( \cfrac { A }{ 2 } +B \right) }{ sin\cfrac { A }{ 2 } } \)

(i)   

உ

மெ

உ

மெ

உ

மெ

உ

மெ

உ

மெ

உ

மெ

வகை I : உயிர் எழுத்து முதல் இடத்தில் வருமாறு அமைந்தால்  = \(\frac { 6! }{ 2!31 } \) மீதி 6 இடத்தில் மெய்யெழுத்து உள்ளது.
வரிசை மாற்றங்களின் எண்ணிக்கை  = \(\frac { 6! }{ 2! } \)
வழிகளின் எண்ணிக்கை  = \(\left( \frac { 6! }{ 2!3! } \right) \left( \frac { 6! }{ 2! } \right) \)  
வகை II  : மெய்யெழுத்து  முதல்  இடத்தில் வருமாறு அமைந்தால் வழிகளின் எண்ணிக்கை  = \(\left( \frac { 6! }{ 2!3! } \right) \left( \frac { 6! }{ 2! } \right) \)
மொத்த வழிகளின் எண்ணிக்கை  = 2\(\left( \frac { 6! }{ 2!3! } \right) \left( \frac { 6! }{ 2! } \right) \)=2(60) (360) = 43200.
(ii) 6 மெய் எழுத்துக்கள் 2 வழிகளிலும் \(\frac { 6! }{ 2! } \) மற்றும் உயிர் எழுத்துகளில் 'E' என்பது 3 மற்றும் 'I' என்பது 2 வழிகளிலும் வந்துள்ளதால் 7P₆ x \(\frac { 1 }{ 3! } \times \frac { 1 }{ 2! } \) வழிகளில் அமைக்கலாம்.
மொத்த வார்த்தைகளின் எண்ணிக்கை  = \(\frac { 6! }{ 2! } \) x 7P₆ x \(\frac { 1 }{ 3! } \times \frac { 1 }{ 2! } \) = \(\frac { 6\times 5\times 4\times 3! }{ 2 } \times \frac { 7! }{ 1! } \times \frac { 1 }{ 3! } \times \frac { 1 }{ 2 } \)
= 30 x 7 x 6 x 5 x  4 x 3 x 2 x 1
= 151200.
(iii) உயிரெழுத்துக்களின் ஒன்றாக வராத வகையில் இட வரிசைகளின் மொத்த எண்ணிக்கை  = \(\frac { 12! }{ 2!2!3! } \)
 உயிரெழுத்துக்களின் இடவரிசை கள்  = \(\frac { 7! }{ 2! } \left( \frac { 6! }{ 2!3! } \right) \)
\(\therefore \)  உயிரெழுத்துக்கள் ஒன்றாக வராத வகையில்  மொத்த எண்ணிக்கை  = \(\frac { 12! }{ 2!2!3! } -\frac { 7! }{ 2! } \left( \frac { 6! }{ 2!3! } \right) \)
= 19958400 - 151200
= 19807200
(iv) எந்த இரு உயிரெழுத்துக்களும் ஒன்றாக  வராத வகையில் இது முதல் வகையனை ஒத்தது 43,200          

(i) பொது சமன்பாடு  ax²-2hxy+by²+2gx+2fy+c =0
கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு λx²-10xy+12y²+5x-16y-3 = 0
மேற்கண்ட சமன்பாடுகளை ஒப்பிட,
a = λ , b= 12 , c=-3, h = -5 g =\(\frac { 5 }{ 2 } \) ,f = -8
இம்மதிப்புகளை இரட்டைக் கோட்டிற்கான கட்டுப்பாட்டில் பிரதியிட
abc+2fgh-af²-bg₂-ch² = 0
அதாவது \(\lambda(12)(-3)+2(-8)\left( {5\over 2} \right)(-5)-\lambda{(-8)}^{2}-12{(-5)}^{2}=0\)
⇒  -36λ+200-64λ-75+75 = 0
⇒  λ = 2
எனவே, தேவையான சமன்பாடு, 2x² –10xy + 12y² + 5x –16y – 3 = 0
மேற்கண்ட சமன்பாட்டில் இருபடி உறுப்புகள் 2x² –10xy + 12y²- ஐ எடுத்துக்கொண்டு காரணிப்படுத்த
2x² –10xy + 12y² ≡ (x-2y)(2x-6y)
எனவே   2x² –10xy + 12y²+5x-16y-3 ≡ (x-2y+c₁)(2x-6y+c₂)
ஒரே மாதிரியான கெழுக்களைச் சமப்படுத்த,
2c₁+c₂ =5, 3c₁+c₂ = 8 ,c₁c₂= -3
முதல் இரண்டு சமன்பாடுகளைத் தீர்வு காண்பதன் மூலம் c₁= 3 ,c₂= -1 எனக் கிடைக்கும்.
எனவே, தனித்தனிச் சமன்பாடுகள்
x-2y+3 = 0 ,2x-6y-1 =0
(ii) இரட்டைக் கோடுகளின் வெட்டும் புள்ளியைக் காண,
தனித்தனிச் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதன் மூலம் (x,y) =\(\left( -10,\frac { -7 }{ 2 } \right) \)  அல்லது \(\left( \frac { hf-bg }{ ab-{ h }^{ 2 } } ,\frac { gf-af }{ ab-{ h }^{ 2 } } \right) \) என்ற சூத்திரத்தையும் பயன்படுத்திக் காணலாம்.
(iii) கோடுகளுக்கு இடைப்பட்ட கோணம்
\(\tan\theta =\left| \frac { 2\sqrt { { h }^{ 2 }-ab } }{ a+b } \right| \)
= \(\left| \frac { 2\sqrt { 25-24 } }{ 2+12 } \right| =\frac { 1 }{ 7 } \)
எனவே, \(\theta ={ \tan }^{ -1 }\left( \frac { 1 }{ 7 } \right) \)

P(n) : \((r(cos\theta+isin\theta))^{n}=r^{n}(cosn \theta+isinn\theta)\)என்க.
n = 1 எனப் பிரதியிட
P(1)=\((r(cos\theta+isin\theta))^{1}=r(cos\theta+isinn\theta)\)
எனவே P(1) என்பது உண்மை.இந்த கூற்று n=k-க்கு P(k) என்பது உண்மை எனக் கொள்க. எனவே
\((r(cos\theta+isin\theta))^{k}=r^{k}(cosk\theta+isinnk\theta)\)
இப்பொழுது P(k+1) என்பது உண்மை என நிறுவவேண்டும்.
P(k+1)=\((r(cos\theta+isin\theta))^{k+1}\)
=\((r(cos\theta+isin\theta))^{k}=r(cos\theta+isinn\theta)\)
=\(r^{k}(cosk\theta+isink\theta)\times r(cos\theta+isin\theta)\)
=\(r^{k+1}\times((cosk\theta cos\theta+i^{2}sink\theta sin\theta)\times i(sin\theta cos\theta+cos\theta sin\theta))\)
=\(r^{k+1}\times((cosk\theta cos\theta-sink\theta sin\theta)+ i(sin\theta cos\theta+cos\theta sin\theta))\)
=\(r^{k+1}\times(cos({k+1})\theta+isin(k+1)\theta)\)
ஆகவே, P(k+1)என்பது உண்மை. P(k) உண்மை எனக் கொண்டு P(k+1) உண்மை என நிறுவியுள்ளோம். எனவே, கணிதத் தொகுத்தறிதல் கொள்கையின்படி எந்த ஒரு இயல் எண் n-க்கும்,
\((r(cos\theta+isin\theta))^{n}=r^{n}(cos\theta+isinn\theta)\).

L.H.S = \(cos\frac { \pi }{ 15 } cos\frac { 2\pi }{ 15 } cos\frac { 3\pi }{ 15 } cos\frac { 4\pi }{ 15 } cos\frac { 5\pi }{ 15 } cos\frac { 6\pi }{ 15 } cos\frac { 7\pi }{ 15 } =\frac { 1 }{ 128 } \)
= \(\left( cos\cfrac { \pi }{ 15 } .cos\cfrac { 2\pi }{ 15 } .cos\cfrac { 4\pi }{ 15 } cos{ \cfrac { 7\pi }{ 15 } } \right) \left( cos\cfrac { 3\pi }{ 15 } cos\cfrac { 6\pi }{ 15 } \right) .cos\cfrac { 5\pi }{ 15 } \)
= \(\cfrac { 1 }{ 2 } \left\{ cos\cfrac { \pi }{ 15 } .cos\cfrac { 2\pi }{ 15 } .cos\cfrac { 4\pi }{ 15 } .cos\cfrac { 8\pi }{ 15 } \right\} \left\{ \quad cos\cfrac { 3\pi }{ 15 } cos\cfrac { 6\pi }{ 15 } \right\} \)\(\left( \because cos\cfrac { 5\pi }{ 15 } =cos\cfrac { \pi }{ 3 } =\cfrac { 1 }{ 2 } \right) \)
= \(\cfrac { 1 }{ 2 } \left\{ cos\cfrac { \pi }{ 15 } cos\cfrac { 2\pi }{ 15 } cos\cfrac { 4\pi }{ 15 } cos\cfrac { 8\pi }{ 15 } \right\} \left\{ \quad cos\cfrac { 3\pi }{ 15 } cos\cfrac { 6\pi }{ 15 } \right\} \)\(\left\{ \because cos\cfrac { 7\pi }{ 15 } =cos\left( \pi -\cfrac { 8\pi }{ 15 } \right) =-cos\cfrac { 8\pi }{ 15 } \right\} \)
= \(\cfrac { 1 }{ 2 } \left\{ \cfrac { { sin2 }^{ 4 }\cfrac { \pi }{ 15 } }{ { 2 }^{ 4 }sin\cfrac { 4 }{ 15 } } \right\} \times \left\{ \cfrac { { sin2 }^{ 2 }\times \cfrac { 3\pi }{ 15 } }{ { 2 }^{ 2 }.sin\cfrac { 3\pi }{ 15 } } \right\} \)  \(\left[ \because \quad cosA.cos2A.cos{ 2 }^{ n-1 }\quad A=\cfrac { sin2"A }{ 2",sinA } \right] \)
= \(\cfrac { -1 }{ 2 } \left\{ \cfrac { sin\cfrac { 16\pi }{ 15 } }{ 16sin\cfrac { \pi }{ 15 } } \right\} \left\{ \cfrac { sin\cfrac { 12\pi }{ 15 } }{ 4sin\cfrac { 3\pi }{ 15 } } \right\} \)=\(\cfrac { -1 }{ 2 } \left\{ \cfrac { sin\left( \pi +\cfrac { \pi }{ 15 } \right) }{ 16sin\cfrac { \pi }{ 15 } } \right\} \left\{ \cfrac { sin\left( \pi -\cfrac { 3\pi }{ 15 } \right) }{ 4sin{ \cfrac { 3\pi }{ 15 } } } \right\} \)
=\(\cfrac { -1 }{ 2 } \left\{ \cfrac { -sin\cfrac { \pi }{ 15 } }{ 16sin\cfrac { \pi }{ 15 } } \right\} \left\{ \cfrac { sin\cfrac { 3\pi }{ 15 } }{ 4sin\cfrac { 3\pi }{ 15 } } \right\} \)
= \(\cfrac { -1 }{ 2 } \times \cfrac { -1 }{ 16 } \times \cfrac { 1 }{ 4 } =\cfrac { 1 }{ 128 } =R.H.S\)

n ஆம் உறுப்பு T_n என்க.
T_n =1+4+4²+4³+.....
=\(\frac { 1({ 4 }^{ n }-1) }{ 4-1 } =\frac { { 4 }^{ n }-1 }{ 3 } \)
n உறுப்புகளின் கூடுதல் S_n என்க.
S_n =\(\overset { n }{ \underset { k=1 }{ \Sigma } } { T }_{ k }=\overset { n }{ \underset { k=1 }{ \Sigma } } \frac { { 4 }^{ k }-3 }{ 3 } =\frac { 1 }{ 3 } \left( \overset { n }{ \underset { k=1 }{ \Sigma } } 4^{ k }-\overset { n }{ \underset { k=1 }{ \Sigma } } 3 \right) \)
⇒ S_n=\(\frac{1}{3}\)[4¹+4²+...+4ⁿ-3ⁿ]
⇒ S_n=\(\frac { 1 }{ 3 } \left[ 4\frac { ({ 4 }^{ n }-1) }{ 4-1 } -3n \right] \)
⇒ S_n=\(\frac { 1 }{ 3 } \left[ 4\frac { ({ 4 }^{ n }-1) }{ 3 } -3n \right] =\frac { 1 }{ 3 } \left[ 4\frac { ({ 4 }^{ n }-1)-9n }{ 3 } \right] \)

S_n=\(\frac { 4 }{ 9 } \)(4n-1)-n

S =6+66+666+.....n உறுப்புகள் வரை
=6(1+11+111+.......)n உறுப்புகள் வரை
=\(\frac { 6 }{ 9 } \)(9+99+999+........) n உறுப்புகள் வரை
(∵ 9 ஆல் பெருக்கி 9 ஆல் வகுக்க)
= \(\frac { 6 }{ 9 } \)[(10-1)+(10²-1)+(10³-1)+.....] n  உறுப்புகள் வரை
= \(\frac { 6 }{ 9 } \)(10+10²+10³+......) - (1+1+1+.......) n உறுப்புகள் வரை
=\(\frac { 6 }{ 9 } \left( \frac { 10(10^{ n }-1) }{ 10-1 } -n \right) \)  [பெருக்கி தொடரில் a=10, r=10, S_n=\(\frac { ({ r }^{ n }-1) }{ r-1 } \)]
=\(\frac { 6 }{ 9 } \left[ \frac { 10({ 10 }^{ n }-1) }{ 9 } -n \right] =\frac { 6 }{ 9 } \left[ \frac { 10({ 10 }^{ n }-1)-9n }{ 9 } \right] \)
∴ S_n=\(\frac { 6 }{ 18 } \)[10(10ⁿ-1)-9n]

S_n=8+88+888+8888+.....
=8(1+11+111+1111+.....)n உறுப்புகள் கூடுதல் வரை
=\(\frac{8}{9}\)(9+99+999+....)9 ஆல் பெருக்கி வகுக்க
=\(\frac{8}{9}\)[(10-1)+(100-1)+(1000-1)+.......]
Sn=\(\frac{8}{9}\)[(10¹+10²+10³+......+10ⁿ)]-(1+1+1+.....+1, n உறுப்புகள்)]
10¹+10²+10³+......+10ⁿ, a=10, r =10 இது ஒரு G.P.
∴ s_n=\(\frac { a({ r }^{ n }-1) }{ (r-1) } =\frac { 10({ 10 }^{ n }-1) }{ 10-1 } =\frac { 10 }{ 9 } \)(10ⁿ-1)
1+1+1+........n உறுப்புகள் வரை =n.
(1) ல் இந்த மதிப்புகளை பிரதியிட
∴ s_n=\(\frac { 8 }{ 9 } \left[ \frac { 10({ 10 }^{ n }-1)-n }{ 9 } \right] =\frac { 8 }{ 81 } \)[10(10ⁿ-1)-9n]

கொடுக்கப்பட்ட கோட்டின் சமன்பாடு
x² - 2kxy -y² = 0 .....(1)
x² - 2lxy -y² = 0 ......(2)
(2) ஆனது (1)-ன் இருசமவெட்டி என கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
a = 1, b = -1, 2h = -2k \(\Rightarrow\) h = -k
(1) - ன் இருசமவெட்டிக்கான  சமன்பாடு
\(\Rightarrow \frac { { x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 } }{ a-b } =\frac { xy }{ h } \Rightarrow \frac { { x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 } }{ 2 } =\frac { xy }{ -k } \)
\(\Rightarrow\) -k(x²-y²) = 2xy
\(\Rightarrow\) -kx² + ky² = 2xy = 0
\(\Rightarrow\) -kx² - ky² + 2xy = 0 ........(3)
(2) மற்றும் (3) சமம் என்று கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
(2), (3) ஐ ஒப்பிட
\(\frac { 1 }{ k } =\frac { -2l }{ 2 } =\frac { -1 }{ -k } \Rightarrow \frac { 1 }{ k } =-l=\frac { 1 }{ k } \Rightarrow k=1,kl=-1\) ....(4)
(2)-ன் இருசமவெட்டிக்கான சமன்பாடு
\(\frac { { x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 } }{ a-b } =\frac { xy }{ l } \)
\(\Rightarrow\) -lx² + ly² = 2xy
\(\Rightarrow\) -lx² + ly² - 2xy = 0  .......(5)
\(\Rightarrow\) lx² -ly² + 2xy = 0
(1) மற்றும் (5) சமம் என நிரூபிக்க
ஒத்த உறுப்புகளின் கெழுக்களை ஒப்பிட
\(\frac { 1 }{ l } =\frac { -2k }{ 2 } =\frac { -1 }{ -l } \Rightarrow \frac { 1 }{ l } =\frac { -k }{ 1 } =\frac { 1 }{ l } \)
\(\Rightarrow -kl=1\Rightarrow kl=-1\)
(4) மற்றும் (6) லிருந்து இரண்டாவது ஜோடி முதல் ஜோடி கோடுகளின் கோண இருசமவெட்டியாகும் என்பது முடிவாகிறது.  

கொடுக்கப்பட்ட கோட்டின் சமன்பாடு 12x²+2kxy+2y²+11x-5y+2=0 
இங்கு a=12, h=k, b=2, g=\(\frac {11}{2}\),f=\(\frac {-5}{2}\), c=2
இரட்டை இணை கோடுகளுக்கான கட்டுப்பாடு
⟶abc+2 fgh-af²-bg²-ch²=0 
12(2)(2)+(-5)(\(\frac{1}{2}\))(k)-12(\(\frac{25}{4}\))-2(\(\frac{121}{4}\))-2k²=0

முழுவதையும் 4 ஆல் பெருக்க
192-110 k-300-242-8k²=0
\(\Rightarrow \)-8k²-110k-350=0
\(\Rightarrow \)4k²+55k +175=0
\(\Rightarrow \)(k-5)(4k+35)=0
\(\Rightarrow \)k=-5 (அ) k =\(\frac {-35}{4}\)

f(x) = |x| + x =\(\{ \begin{matrix} x+x=2x, & x\ge 0 \\ -x+x, & x<0 \end{matrix}\)
g(x)=|x|-x=\(\{ \begin{matrix} x-x=0, & x\ge 0 \\ -x-x=-2x, & x<0 \end{matrix}\)

P(n):=\(cos\alpha+cos(\alpha+\beta)+cos(\alpha+2\beta)+...+cos(\alpha+(n-1)\beta)\) =\(cos(\alpha+\frac{(n-1)\beta}{2})\times\frac{sin(\frac{n\beta}{2})}{sin(\frac{\beta}{2})}\)என்க.
n = 1 என பிரதியிட
P(1)=\(cos(\alpha)=\frac{cos(\alpha).sin(\frac{\beta}{2})}{sin(\frac{\beta}{2})}\)
எனவே P(1) என்பது உண்மை. இந்த கூற்று n=k-க்கு P(k) உண்மை எனக் கொள்க.
எனவே, \(cos\alpha+cos(\alpha+\beta)+cos(\alpha+2\beta)+...+cos(\alpha+(k-1)\beta)\)=\(cos(\alpha+\frac{(k-1)\beta}{2})\times\frac{sin(\frac{k\beta}{2})}{sin(\frac{\beta}{2})}\)
இப்பொழுது P(k+1) என்பது உண்மை என நிறுவவேண்டும்.
\(P(k+1)=\underbrace{cos\alpha+cos(\alpha+\beta)+cos(\alpha+2\beta)+...+cos(\alpha+(k-1)\beta)}+cos(\alpha+k\beta)\)
P(k+1)=P(k)+\(cos(\alpha+k\beta)\)
\(=\frac{cos(\alpha+\frac{(k-1)\beta}{2})sin(\frac{k\beta}{2})}{sin(\frac{\beta}{2})}+cos(\alpha+k\beta)\)
=\(\frac{1}{sin(\frac{\beta}{2})}[cos\left(\alpha+\frac{(k-1)\beta}{2}\right )sin(\frac{k\beta}{2})+cos(\alpha+k\beta)sin(\frac{\beta}{2})]\)
=\(\frac{1}{sin(\frac{\beta}{2})}=[cos((\alpha+\frac{\beta}{2})-\frac{\beta}{2})sin(\frac{k\beta}{2})+cos(\alpha+k\beta)sin(\frac{\beta}{2})]\)
=\(\frac{1}{sin(\frac{\beta}{2})}=[(cos(a+\frac{k\beta}{2})cos(\frac{\beta}{2}+sin(\alpha+\frac{k\beta}{2})sin(\frac{\beta}{2}))sin(\frac{k\beta}{2})+cos(\alpha+k\beta)sin(\frac{\beta}{2})]\)
=\(\frac{1}{sin(\frac{\beta}{2})}=[cos(a+\frac{k\beta}{2})cos(\frac{\beta}{2})sin(\frac{k\beta}{2})+sin\frac{\beta}{2}(sin(\alpha+\frac{k\beta}{2})sin(\frac{k\beta}{2})+cos(\alpha+k\beta))]\)
=\(\frac{1}{sin(\frac{\beta}{2})}=[cos(a+\frac{k\beta}{2})cos(\frac{\beta}{2})sin(\frac{k\beta}{2})+\frac{sin(\frac{\beta}{2})}{2}(2sin(\alpha+\frac{k\beta}{2})sin(\frac{k\beta}{2})+2cos(\alpha+k\beta))]\)
=\(\frac{1}{sin(\frac{\beta}{2})}=[cos(a+\frac{k\beta}{2})cos(\frac{\beta}{2})sin(\frac{k\beta}{2})+\frac{sin(\frac{\beta}{2})}{2}(cos\alpha-cos(\alpha+k\beta)+2cos(\alpha+k\beta))]\)
=\(\frac{1}{sin(\frac{\beta}{2})}[cos(a+\frac{k\beta}{2})cos(\frac{\beta}{2})sin(\frac{k\beta}{2})+\frac{sin(\frac{\beta}{2})}{2}(cos\alpha+cos(\alpha+\beta))]\)
=\(\frac{1}{sin(\frac{\beta}{2})}=[cos(a+\frac{k\beta}{2})cos(\frac{\beta}{2})sin(\frac{k\beta}{2})+\frac{sin(\frac{\beta}{2})}{2}(2cos(\alpha+\frac{k\beta}{2})cos(\frac{-k\beta}{2}))]\)
=\(\frac{cos(a+\frac{k\beta}{2})}{sin(\frac{\beta}{2})}[sin(\frac{k\beta}{2})cos(\frac{\beta}{2})+sin\frac{\beta}{2}cos(\frac{k\beta}{2})]\)
=\(\frac{cos(a+\frac{k\beta}{2})sin(\frac{(k+1)\beta}{2})}{sin(\frac{\beta}{2})}\)
அதாவது,
\(cos\alpha+cos(\alpha+\beta)+cos(\alpha+2\beta)+...+cos(\alpha+(k-1)\beta)\)=\(cos(\alpha+\frac{k\beta}{2})\times\frac{sin(\frac{(k+1)\beta}{2})}{sin(\frac{\beta}{2})}\)
ஆகவே, P(k+1) என்பது உண்மை. P(k) உண்மை எனக் கொண்டு P(k+1) உண்மை என நிறுவியுள்ளோம்.எனவே, கணிதத் தொகுத்தறிதல் கொள்கையின்படி எந்த ஒரு இயல் எண் n∈N -க்கும்,
\(cos\alpha+cos(\alpha+\beta)+cos(\alpha+2\beta)+...+cos(\alpha+(n-1)\beta)\)= \(cos(\alpha+\frac{(n-1)\beta}{2})\times\frac{sin(\frac{n\beta}{2})}{sin(\frac{\beta}{2})}\)

ஒரு G.P-யில் 
A முதல் உறுப்பு, R-பொது வித்தியாசம் என்க.
a=p ஆவது உறுப்பு ⇒ a=AR^p-1
⇒ log a=logA+(p-1)log R   ...(1)
b=q ஆவது உறுப்பு ⇒ b=AR^q-1
⇒ log b=log A+(q-1)log R   .....(2)
c=r ஆவது உறுப்பு ⇒ c=AR^r-1
⇒ log c=log A+(r-1) log R  .....(3)
LHS=(q-r)log a+(r-p)log b+(p-q)log c
=(q-r)[logA+(p-1)logR]+(r-p)[log A+(q-1)logR]+(p-q)[logA+(r-1)logR]
=logA[q-r+r-p+p-q]+log R[(p-1)(q-r)+(q-1)(r-p)+(r-1)(p-q)]
log A[0]+log R[pq-pr-q+r+qr-qp-r+p+rp-rq-p+q]
=log R[0]=0
∴ (q-r)log a+(r-p)log b+(p-q)log c=0

a, b இரு எண்கள் என்க.
∴ A=\(\frac { a+b }{ 2 } ,G=\sqrt { ab } ,H=\frac { 2ab }{ a+b } \)
கொடுக்கப்பட்டுள்ளது =A-G=10 & A-H=16
⇒ G=A-10 & =A-16
G²=AH
⇒ (A-10)²=A(A-16)
⇒ A²+100-20A=A²-16A
⇒ 4A=100 ⇒ A=25
∴ \(\frac { a+b }{ 2 } \quad \)=A=25 ⇒ a+b=50    .....(1)
∴ G=A-10=15 ⇒ \(\sqrt { ab } \)=15
⇒ ab=225 ⇒ b=\(\frac { 225 }{ a } \)    ....(2)
(2)-ஐ (1)-ல் பிரதியிட
a+\(\frac { 225 }{ a } \)=50 ⇒ a²+225=50a
⇒ a²-50a+225=0 ⇒ (a-45)(a-5)=0
⇒ a=5, 45
a=5, b=\(\frac { 225 }{ 5 } \) ⇒ b=45
a=45, b=\(\frac { 225 }{ 45 } \) ⇒ b=5
∴ அந்த எண்கள் 5,45.

y=m₁s,y=m₂x என்பன ஆதிப்புள்ளி வழியே செல்லும் கோடுகளின் சமன்பாடுகள் என்க 

\(m=tan \theta \Rightarrow {-1\over-1}=1\)
\(\theta=45^o\)
\(\therefore y=x\) என்ற கோடு X அச்சுடன் 45^o கோணத்தை ஏற்படுத்துகிறது. 
y= m₁x,y=xஎன்ற கோட்டுடன் \(\alpha\) கோணத்தை உண்டாக்குகிறது.
y= m₁x-ன் சாய்வு(\(\alpha\)+45)^o
y= m₂x-ன் சாய்வு(45-\(\alpha\)')
\(\therefore m_1=\tan(\alpha'+45)\)
m₂=tan(45-\(\alpha\))
\(\Rightarrow m_{ 1 }=\frac { tan\alpha +tan45 }{ 1-tan\alpha -tan45 } \) மற்றும் \( m_{ 2 }=\frac { tan45 -tan\alpha }{ 1+tan\ 45 -tan\alpha } \)
\(\Rightarrow m_{ 1 }=\frac { tan\alpha +1 }{ 1-tan\alpha } \),மற்றும் \( m_{ 2 }=\frac {1 -tan\alpha }{ 1+tan\alpha } \)....(1)
\(\Rightarrow m_{ 1 }=\frac { tan\alpha +1 }{ 1-tan\alpha } m_{ 2 }=\frac { 1-tan\alpha }{ 1+tan\alpha } \)
\(\Rightarrow m_{ 1 }+m_{ 2 }=\frac { tan\alpha +1 }{ 1-tan\alpha } +\frac { 1-tan\alpha }{ 1+tan\alpha } \)
\(\Rightarrow m_{ 1 }+m_{ 2 }=\frac { (tan\alpha +1)^{ 2 }+(tan\alpha -1)^{ 2 } }{ 1-tan^{ 2 }\alpha } \)

\(=\frac { 2+2tan^{ 2 }\alpha }{ 1-tan^{ 2 }\alpha } \left[ cos2\alpha =\frac { 1-tan^{ 2 }\alpha }{ 1+tan^{ 2 }\alpha } \right] \)
\(m_{ 1 }+m_{ 2 }=2sec2\alpha \)
\(m_{ 1 }+m_{ 2 }=\left( \frac { tan\alpha +1 }{ 1-tan\alpha } \right) \left( \frac { 1-tan\alpha }{ 1+tan\alpha } \right) =1\)
y= m₁x,y=m₂x-ன் ஒருங்கிணைந்த சமன்பாடுகள் 
\(\Rightarrow\)m₁ m₂x² -(m₁ + m₂)xy+ y² = 0
\(\Rightarrow\)1 (x²) - (2 sec²\(\alpha\)) xy +y² = 0
\(\Rightarrow\)x² - 2xy sec2\(\alpha\)+y² = 0
\(\Rightarrow\)y² - 2xy sec2\(\alpha\)+x² = 0

எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

2x² - xy -3y² - 6x + 19y - 20 = 0 என்பது கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு
2x² - xy - 3y² = (2x - 3y) (x+y) (காரணிப்படுத்துதல்)
\(\therefore\) (2x² - xy - 3y² - 6x + 19y - 20) = (2x - 3y + l)(x+y+m)
x, y-ன் கெழுக்களை இருபுறமும் சமப்படுத்த
-6 = 2m + 1   ......(1)
19 =-3m +1   ......(2)
(-) = (+)    (-)
_____________
-25 = 5m
\(\Rightarrow\) m = -5
m = -5  என (1) ல் பிரதியிட
-6 = 2(-5) +1 \(\Rightarrow\) -6 = -10 + l
\(\therefore\) l = 4
\(\therefore\) தனித்தனி சமன்பாடுகள் 2x - 3y + 4 = 0  .....(3)
x + y - 4 = 0    .....(4)
வெட்டும் புள்ளியை காண (3), (4) ஐத் தீர்க்க
(3)      \(\Rightarrow\) 2x - 3y + 4 =0
(4)\(\times\)2 \(\Rightarrow\) 2x + 2y -10 = 0
                (-)    (-)  (+)
               -----------------------
         \(\Rightarrow\)    -5y + 14 = 0
\(\Rightarrow\)  -5y =-14
\(\Rightarrow\)   y = \(\frac { 14 }{ 5 } \)
  y = \(\frac { 14 }{ 5 } \)    என (3) ல் பிரதியிட
\(2x-3\left( \frac { 14 }{ 5 } \right) +4=0\)
\(\Rightarrow 2x-\frac { 42 }{ 4 } +4=0\)
\(\Rightarrow 2x=\frac { 42 }{ 4 } -4=\frac { 42-20 }{ 5 } =\frac { 22 }{ 5 } \)
\(\Rightarrow x=\frac { 11 }{ 5 } \)
\(\therefore\) வெட்டும் புள்ளி = \(\left( \frac { 11 }{ 5 } ,\frac { 14 }{ 5 } \right) \)
\(\therefore\) கொடுக்கப்பட்டுள்ள கோடுகள் ஒன்றையொன்று வெட்டும் கோடுகள் ஆகும்.
\(\theta\) இரண்டு கோடுகளுக்கு இடைப்பட்ட கோணம் எனில்
\(tan\theta =\pm \frac { 2\sqrt { { h }^{ 2 }-ab } }{ a+b } \)
\(=\pm \frac { 2\sqrt { { \left( -\frac { 1 }{ 2 } \right) }^{ 2 }-2(-3) } }{ +2+3 } \)
\(\left[ \begin{matrix} \because a=2 \\ 2h=-1 \\ b=-3 \\ h=\frac { 1 }{ 2 } \end{matrix} \right] \)
\(=\pm \frac { 2\sqrt { \frac { 1 }{ 4 } +6 } }{ -1 } =2\sqrt { \frac { 25 }{ 4 } } \)
\(=2\left( \frac { 5 }{ 2 } \right) =5\)
\(\therefore \theta ={ tan }^{ -1 }(5)\) 

P₁=(0,0) விலிருந்து x secθ +y cosθ = 2aθ  ற்கு இடைப்பட்ட செங்குத்துத் நீளம் என்க.
P₁=\(\pm \left( \frac { x(0)+y(0)-2a }{ \sqrt { { sec }^{ 2 }\theta +cosec\theta } } \right) \)
=\(\frac { 2a }{ \sqrt { \frac { 1 }{ { cos }^{ 2 }\theta } \_ \frac { 1 }{ { sin }^{ 2 }\theta } } } =\frac { 2a }{ \sqrt { \frac { { sin }^{ 2 }\theta +{ cos }^{ 2 }\theta }{ { cos }^{ 2 }\theta +{ sin }^{ 2 }\theta } } } \) [\(\therefore \)sin²θ +cos²θ=1]
P₁=\(\frac { 2a }{ \sqrt { \frac { 1 }{ { sin }^{ 2 }\theta .{ cos }^{ 2 }\theta } } } \)=2a sinθ cosθ -----(1)
P₂=(0, 0) விலிருந்து x cosθ -y sinθ -a cosθ 2 செங்குத்துத் தொலைவு என்க.
=\(\pm \left( \frac { x(0)+y(0)-acos2\theta }{ \sqrt { { sin }^{ 2 }\theta +{ (-{ cos }^{ 2 }\theta ) }^{ 2 } } } \right) \)
=\(\frac { acos2\theta }{ \sqrt { 1 } } \)
=a.cos²θ  [sin²θ+cos²θ=1] -----(2)
(1), (2)-ஐ வர்க்கப்படுத்தி கூட்டினால் கிடைப்பது 
P₁²+P₂²=(2asinθ cosθ)²+(a.cos²2θ)² 
=(a.sin2θ)²+(a.cos2θ)² [\(\therefore \)sin 2θ=2cosθ sinθ]
=a²sin²2θ+a²cos²2θ=a²+cos²2θ)
=a²(1)  \(\therefore \)P₁²+P₂²=a², எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது. 

GP=\(\frac{a}{r}\),a,ar என்க.
\(\frac{a}{r}\)-a.a=5832 என கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
⇒ a³=5832=18³ 
⇒ a=18
\(\frac{a}{r}\), a+b, ar+9  ஒரு A.P.
∴  a+6-\(\frac{a}{r}\),=ar+9-a-6
⇒ 18+6-\(\frac{18}{r}\)=18r+9-18-6
⇒ 24-\(\frac{18}{r}\)=18r-15
⇒ 18r+\(\frac{18}{r}\)=39
⇒ 18r²-39r+18=0
⇒ (2r-3)(3r-2)=0
⇒ r=\(\frac { 3 }{ 2 } ,\frac { 2 }{ 3 } \)

வகை I
a=18, r=\(\\ \frac { 3 }{ 2 } \)  ∴ GP=\(\frac { 18 }{ \left( \frac { 3 }{ 2 } \right) } ,18,18\left( \frac { 3 }{ 2 } \right) \)⇒ 12,18,27
வகை II
a=18, r=\(\\ \frac { 2 }{ 3 } \)  ∴ G.P=\(\frac { 18 }{ \left( \frac { 2 }{ 3 } \right) } ,18,18\left( \frac { 2 }{ 3 } \right) \) ⇒ 27,18,12

log₂x-3log_1/2x = 6
\(\Rightarrow \frac { 1 }{ { \log }_{ x }^{ 2 } } -\frac { 3 }{ { \log }_{ x }^{ \frac { 1 }{ 2 } } } =6\)
\(\Rightarrow \frac { 1 }{ { \log }_{ x }^{ 2 } } -\frac { 3 }{ { \log }_{ x }^{ 1 }-{ \log }_{ x }^{ 2 } } =6\)
\(\Rightarrow \frac { 1 }{ { \log }_{ x }^{ 2 } } -\frac { 3 }{ 0-{ \log }_{ x }^{ 2 } } =6\)
\(\Rightarrow \frac { 1 }{ { \log }_{ x }^{ 2 } } -\frac { 3 }{ { \log }_{ x }^{ 2 } } =6\)
\(\Rightarrow \frac { 1 }{ { \log }_{ x }^{ 2 } } -(4)=6\)
\(\Rightarrow \frac { 1 }{ { \log }_{ x }^{ 2 } } =\frac { 6 }{ 4 } =\frac { 3 }{ 2 } \)
\(\Rightarrow { \log }_{ x }^{ 2 }=\frac { 3 }{ 2 } \)
\(\Rightarrow { 2 }^{ \frac { 3 }{ 2 } }=x\)
\(\Rightarrow (2^{ 3 })1/2=x\Rightarrow (8)^{ 1/2 }=x\)
\(\Rightarrow x=\sqrt { 8 } =\sqrt { 4\times 2 } \)
\(\Rightarrow x=2\sqrt { 2 } .\)

(i) நான்கு-இலக்க எண்களின் எண்ணிக்கையானது கொடுக்கப்பட்ட 5 இலக்கங்களிலிருந்து 4 இலக்கங்களைக் கொண்டு உருவாக்கப்படும் வரிசை மாற்றங்களின் எண்ணிக்கைக்கு சமம். எனவே, இதன் மதிப்பு \(^{ 5 }{ P }_{ 4 }=5\times 4\times 3\times 2=120\)
(ii) இரட்டைப்படை எண்ணிற்கு கடைசி இலக்கம் 2 அல்லது 4 ஆக இருக்கவேண்டும். எனவே, கடைசி இலக்கத்தை ²P₁ வழிகளில் நிரப்பலாம். மேலும் மீதி இருக்கும் 3 இடங்களை மீதி இருக்கும் 4 இலக்கங்களை கொண்டு ⁴P₃ வழிகளில் நிரப்பலாம். எனவே தேவையான இரட்டைப்படை எண்களின் எண்ணிக்கை \(^{ 2 }{ P }_{ 1 }\times ^{ 4 }{ P }_{ 3 }=2\times 24=48\)

(iii) ஓர் எண் 4 ஆல் வகுபட அந்த எண்ணின் கடைசி இரண்டு இலக்கங்கள் 4 ஆல் வகுபட வேண்டும். எனவே, கடைசி இரண்டு இலக்கங்கள் நிரப்ப 12, 24, 32, 52 (4 வழிகள்) என இருக்க வேண்டும். மீதமுள்ள முதல் இரண்டு இடங்களை மீதமுள்ள 3 இலக்கங்களை கொண்டு ³P₂ வழிகளில் நிரப்பலாம். எனவே, 4 ஆல் வகுபடும் எண்களின் எண்ணிக்கை \(^{ 4 }{ P }_{ 1 }\times ^{ 3 }{ P }_{ 2 }=4\times 6=24\)

5ⁿ⁺¹+4x 6ⁿ -ஐ 20 ஆல் வகுக்க. மீதி 9
படி (1)
\(\Rightarrow \)n=1 என்க
5²+4x 6=15+24=49=2x20+9
படி (2)
\(\Rightarrow \)P(k) என்பது உண்மை
5^k+1+4x 6^k =m(20+9)
\(\Rightarrow \)P(k+1) உண்மை என நிரூபிப்போம்.
5^k+1=20m +9-4(6^k)+24.6^k -----(1)
\(\Rightarrow \)P(k+1) என்பது உண்மை என நிரூபிப்போம்.
5^k+2+4x 6^k+1
=5^k+1.5¹+4.6^k .6¹=5^k+1.5+246^k 
=20 m+9-(6^k )+24.6^k  [(1) ஐ பயன்படுத்த]
=20 m +9+20.6^k =20(m+6^k )+9 =20(m+6^k ).
\(\therefore \)P(k+1) என்பது உண்மை. எனவே கணிதத் தொகுத்தறிதல் கொள்கையின்படி n-ன் எல்லா மதிப்புகளும் P(n) உண்மை என நிரூபிக்கப்பட்டது.

P(n) = 1.2 + 2.3 + 3.4 + . ...n (n  + 1) = \(\frac { n\left( n+1 \right) n+2 }{ 3 } \)
படி (1) 
\(\Rightarrow\) n=1 என்க 
1.2 = \(\frac { 1(1+1)\left( 1+2 \right) }{ 3 } =\frac { 2\left( 3 \right) }{ 3 } \)
 \(\therefore \) P(1) உண்மையாகும் 
படி (2)
P(k ) உண்மை எனக்கொள்வோம் 
1.2 + 2.3 + .3.4+ .....+ k (k  + 1) = \(\frac { k\left( k+1 \right) \left( k+2 \right) }{ 3 } \)  ..... (1)
படி (3)
P(k  + 1) உண்மை என நிரூபிப்போம் 
நிரூபிக்க 1.2 + 2.3 + 3.4 +  ... + k(k  + 1) + (k  + 1) (k  + 2) = \(\frac { k\left( k+1 \right) \left( k+2 \right) \left( k+3 \right) }{ 3 } \)
LHS  = 1.2 + 2.3  + 3.4 + ...k (k  + 1) + (k  +1 ) (k  + 2)
= \(\frac { k\left( k+1 \right) \left( k+2 \right) }{ 3 } \) = (k + 1) (k  +2)  = (k  +1)(k  + 2)\(\left[ \frac { k }{ 3 } +1 \right] \)
= \(\frac { \left( k+1 \right) \left( k+2 \right) \left( k+3 \right) }{ 3 } \) = RHS 
\(\therefore \) p (k  + 1) உண்மை 
எனவே கணிதத் தொகுத்தறிதல் கொள்கையின் படி n -ன் அணைத்து மதிப்புகளும் P(n) உண்மையாகும் என நிரூபிக்கப்பட்டது.              

P(n )  = 2 + 4 + 6 + ....+ 2n  = n² + ன் என்க 
படி (1)
\(\Rightarrow \)  n  = 1 என்க 
\(\therefore \) P(1) = 1² + 1 = 2  
\(\therefore \) (P) (1) உண்மை 
படி (2)
P(k) உண்மை எனக் கொள்வோம் 
2 + 4 + 6 + ....  +2k  = k² + k  ..... (1)
படி (3) 
p (k  +1) உண்மை என நிரூபிப்போம் 
நிரூபிக்க 2 + 4 + 6 + .... 2k  +2 (k  + 1)
= (k  + 1)² + (k  +1) = (k  + 1) (k + 1 + 1) = (k + 1) (k + 2)
LHS = 2 + 4 + 6 + ...2k + 2 (k + 1)
= k² + k + 2k + 2 [பயன்படுத்தவும் (1) ]
= k² + 3k  + 2 = (k  +1) (k  +2) = RHS 

\(\therefore \) P (k  + 1)  என்பது உண்மை 
எனவே கணிதத் தொகுத்தறிதல்  கொள்கையின் படி n -ன் எல்லா மதிப்புகளும் P (n ) உண்மையாகும்  என நிரூபிக்கப்பட்டது             

x என்பது வருடங்களின் எண்ணிக்கையையும், y என்பது மக்கள் தொகையையும் குறிக்கிறது எனக் கொள்வோம்.
x₁(2005)  y₁(1,35,000)
x₂(2010)  y₂(1,45,000)
இரு புள்ளி வடிவம், x, y ற்கு இடைப்பட்ட தொடர்பு
\(\frac { x-{ x }_{ 1 } }{ { x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 } } =\frac { y-{ y }_{ 1 } }{ { y }_{ 2 }-{ y }_{ 1 } } \)
\(\Rightarrow \frac { x-2005 }{ 2010-2005 } =\frac { y-1,35,000 }{ 1,45,000-1,35,000 } \)
\(\Rightarrow \frac { x-2005 }{ 5 } =\frac { y-1,35,000 }{ 10,000 } \)
\(\Rightarrow x-2005=\frac { y-1,35,000 }{ 2000 } \)
= 2000(x-2005)+1,35,000 ....(1)
2015-ம் ஆண்டு மக்கள் தொகையைக் காண்க.
x = 2015(1) பிரதியிட
y = 2000(2015-2005)+1,35,000
= 2000(10) + 1,35,000
= 20000+1,35,000
= 1,55,000
2015-ம் ஆண்டு மக்கள் தொகை = 1,55,000 

\(=\frac { { 6x }^{ 2 }-x+1 }{ { x }^{ 2 }(x+1)(x+1) } =\frac { { 6x }^{ 2 }-x+1 }{ (x^{ 2 }+1)(x+1) } \)
\(\Rightarrow \frac { { 6x }^{ 2 }-x+1 }{ { (x }^{ 2 }+1)(x+1) } \frac { Ax+B }{ { x }^{ 2 }+1 } +\frac { C }{ x+1 } \)
\(\Rightarrow { 6x }^{ 2 }-x+1=\left( Ax+B \right) (x+1)+C\left( { x }^{ 2 }+1 \right) ...(1)\)
x  =-1 என (1) -ல் பிரதியிட 
 6 + 1 + 1 = C (1+1) \(\Rightarrow \) C =4
x² - ன் கெழுக்களை இருபுறமும் சமப்படுத்த
6 = A + C = A + 4  \(\Rightarrow \) A  = 2
x = 0 என (1) -ல் பிரதியிட 
1 = B + C \(\Rightarrow \) B + 4  \(\Rightarrow \) B =- 3
\(\therefore \frac { { 6x }^{ 2 }-x+1 }{ { (x }^{ 2 }+1)(x+1) } =\frac { { 6x }^{ 2 }-x+1 }{ x^{ 3 }+x^{ 2 }+x+1 } =\frac { 2x-3 }{ { x }^{ 2 }+1 } +\frac { 4 }{ x+1 } \)

\(=\frac { A }{ x+1 } +\frac { B }{ (x+1)^{ 2 } } +\frac { C }{ x-2 } \)
\(\Rightarrow x+12=A(x+1)(x-2)+B(x-2)+C(x+1)^{ 2 }...(1)\)
x =-1 என (1) -ல் பிரதியிட 
11 = B (-3) \(\Rightarrow \boxed { B=\frac { -11 }{ 3 } } \)
14 = C (9) \(\Rightarrow \boxed { C=\frac { 14 }{ 9 } } \)
x² - ன் கெழுக்களை இருபுறமும் சமப்படுத்த 
0 = A + C \(\Rightarrow \boxed { A=\frac { -14 }{ 9 } } \)
\(\therefore \frac { x+12 }{ \left( { x+1 } \right) ^{ 2 }(x-2) } =\frac { -14 }{ 9(x+1)^{ 2 } } -\frac { 11 }{ 3(x+1)^{ 2 } } +\frac { 14 }{ 9(x-2) } \)

\(=\frac { A }{ x-1 } +\frac { B }{ { (x-1) }^{ 2 } } +\frac { C }{ { (x-1) }^{ 3 } } \)
\(\Rightarrow \frac { C }{ { (x-1) }^{ 3 } } =\frac { A\left( { x-1 } \right) ^{ 2 }+B(x-1)+C }{ { (x-1) }^{ 3 } } \)
\(\Rightarrow x=A(x-1)^{ 2 }+B(x-1)+C...(1)\)
x =1 என (1) - ல் பிரதியிட 
1 = C 
x = 0 என (1) - ல் பிரதியிட
0 = A -B +C
\(\Rightarrow \) 0 = A -B + 1 
\(\Rightarrow \) A -B = -1....(2)
x² - ன் கெழுக்களை இருபுறமும் சமப்படுத்த 0 = A 
0 = A 
A = 0 என (2) - ல் பிரதியிட 
0 - B =-1 \(\Rightarrow \) B =1
\(\therefore \frac { x }{ (x-1)^{ 3 } } =\frac { 0 }{ x-1 } +\frac { 1 }{ (x-1)^{ 2 } } +\frac { 1 }{ (x-1)^{ 3 } } =\frac { 1 }{ (x-1)^{ 2 } } +\frac { 1 }{ (x-1)^{ 3 } } \)

\(\frac{x}{(x^2+1)(x-1)(x+2)}\) = \(\frac { Ax+B }{ \left( { x }^{ 2 }+1 \right) } +\frac { C }{ (x-1) } +\frac { D }{ (x+2) } \)
\(=\frac { { (Ax+B)(x-1)(x+2)+C(x }^{ 2 }+1)(x+2)+D(x^{ 2 }+1)(x-1) }{ { (x }^{ 2 }+1)(x-1)(x+2) } \)
\(\Rightarrow x={ (Ax+B)(x-1)(x+2)+C(x }^{ 2 }+1)(x+2)+D(x^{ 2 }+1)(x-1).....(1)\)
x =1 என (1)- ல் பிரதியிட 
1 = C (2)(3) \(\Rightarrow \boxed { C=\frac { 1 }{ 6 } } \)
x =-2 என (1)-ல் பிரதியிட 
 -2 = D (5)(-3) \(\Rightarrow \boxed { D=\frac { 2 }{ 15 } } \)
x = 0 என (1)- ல் பிரதியிட 
\(\Rightarrow 0=B(-1)(2)+C(1)(2)+D(1)(-1)\)
\(\Rightarrow 0=-2B+2C-D\)
\(\Rightarrow 0=-2B+2\left( \frac { 1 }{ 6 } \right) -\frac { 2 }{ 15 } \)
\(\Rightarrow 2B=\frac { 2 }{ 6 } -\frac { 2 }{ 15 } =\frac { 1 }{ 3 } -\frac { 2 }{ 15 } \)
\(\Rightarrow 2B=\frac { 5-2 }{ 15 } =\frac { 3 }{ 15 } =\frac { 1 }{ 5 } \Rightarrow \boxed { B=\frac { 1 }{ 10 } } \)
x³ - ன் கெழுக்களை இருபுறமும் சமப்படுத்த 
0 = A+ C+ D
\(\Rightarrow A=-C-D\)
\(\Rightarrow A=\frac { -1 }{ 6 } -\frac { 2 }{ 15 } \Rightarrow A=\frac { -5-4 }{ 30 } =\frac { -9 }{ 30 } =\frac { -3 }{ 10 } \)
\(\Rightarrow \boxed { A=\frac { -3 }{ 10 } } \)
\(\therefore \frac { x }{ \left( { x }^{ 2 }+1 \right) \left( x-1 \right) \left( x+2 \right) } =\frac { \frac { -3 }{ 10 } x+\frac { 1 }{ 10 } }{ \left( { x }^{ 2 }+1 \right) } +\frac { \frac { 1 }{ 6 } }{ \left( x-1 \right) } -\frac { \frac { 2 }{ 15 } }{ \left( x+2 \right) } \)
\(=\frac { -3x+1 }{ 10\left( { x }^{ 2 }+1 \right) } +\frac { 1 }{ 6(x-1) } +\frac { 2 }{ 15(x+2) } \) 

\(\frac{1}{x^2-a^2}\) = \(=\frac { 1 }{ (x-a)(x+a) } =\frac { A }{ x+a } =\frac { B }{ x-a } \)
\(\frac{1}{x^2-a^2}\) = \(=\frac { A(x-a)+B(x+a) }{ (x-a)(x+a) } \)
\(\Rightarrow \) 1 =  A (x -a) +(x +a) .......(1)
x = a என 1-ல் பிரதியிட
1 = B (2a)  \(\Rightarrow \)B  =1/2a
x =- a  என 1 ல் பிரதியிட 
1 = A (-2a)  \(\Rightarrow A=-\frac { 1 }{ 2a } \)
\(\therefore \frac { 1 }{ { x }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } =\frac { -\frac { 1 }{ 2 } a }{ x+a } +\frac { \frac { 1 }{ 2a } }{ x-a } =\frac { -1 }{ 2a(x+a) } +\frac { 1 }{ 2a(x-a) } \)  

x=tan A, y=tanB, z=tan C
x+y+z-xyz = 0
\(\Rightarrow \) tanA+tanB+tanC-tanA tanB tanC =0
\(tan\left( A+B+C \right) =\cfrac { tan\left( A+B \right) +tanC }{ 1-tan(A+B).tanC } =0\)
\(\Rightarrow \) tan(A+B)+tanC=0
\(\Rightarrow \cfrac { tanA+tanB }{ 1-tanA.tanB } +tanC=0\)
\(\Rightarrow \) tan A+tan B+tan C(1-tanA tanB)=0
\(\Rightarrow \) tan A+tan B+tan C-tan A tan B tan C =0
\(\Rightarrow \) tan A+tan B+tan C= tan A.tan B.tan C
\(\Rightarrow \) tan A+ tan B +tan C-tan A. tan B. tan C =0
\(\Rightarrow \) tan (A+B+C)
\(\Rightarrow \) tan2 (A+B+C)=0
\(\Rightarrow \) tan 2(A+B+C)=0
\(\Rightarrow \)  tan (2A+2B+2C)=0
\(\Rightarrow \) tan 2A+tan 2B+tan 2C= tan 2A tan 2B tan 2C
(1)-ன் படி 
x =tan A, tan 2A= \(\cfrac { 2tan\quad A }{ 1-tan^{ 2 }A } \)= \(\cfrac { 2x }{ 1-{ x }^{ 2 } } \)
\(\tan2B =\cfrac { 2tan\quad B }{ 1-tan^{ 2 }B } =\cfrac { 2y }{ 1-{ y }^{ 2 } } \)
\(\tan2C=\cfrac { 2tan\quad C }{ 1-tan^{ 2 }C } =\cfrac { 2z }{ 1-{ z }^{ 2 } } \)
இந்த மதிப்புகளை (1) ல் பிரதியிட 
tan 2A+ tan 2B+ tan 2C= \(\cfrac { 2x }{ 1-{ x }^{ 2 } } +\cfrac { 2y }{ 1-{ y }^{ 2 } } +\cfrac { 2z }{ 1-{ z }^{ 2 } } =\cfrac { 2x }{ 1-{ x }^{ 2 } } .\cfrac { 2y }{ 1-{ y }^{ 2 } } .\cfrac { 2z }{ 1-{ z }^{ 2 } } \)
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

1. y = | x - 1 | + 1

வரைபடம் ஓரலகு வலப்புறமாக மேல்நோக்கி நகர்வதால் பெறப்படுகிறது.
2. y = | x + 1 | - 1

வரைபடம் ஓரலகு இடப்புறமாக கீழ்நோக்கி  நகர்வதால் பெறப்படுகிறது.
3. y = | x + 2 | + 3

வரைபடம் 2 அலகுகள் இடது புறமாக மற்றும் 3 அலகுகள் கீழ்ப்புறமாக நகர்த்துவதால் பெறப்படுகிறது.

(1+x)ⁿ=ⁿC₀1ⁿ+ⁿC₁1^n-1x¹+ⁿC₂1^n-2x²+.......+ⁿC_nxⁿ
⇒ (1+x)ⁿ=C₀+C₁x+C₂x²+......+C_nxⁿ ...(1)
(x+1)n=C₀xⁿ+C₁x^n-1+C₂x^n-2+...........+C_n   ....(2)
(1),(2) ஐ பெருக்க
(1+x)ⁿ(x+1)ⁿ=[C₀+C₁x+C₂x²+......+C_nxⁿ] x [C₀xⁿ+C₁x^n-1+......+C_n]
⇒ (1+x)²ⁿ=[C₀+C₁x+C₂x²+......+C_nxⁿ] x [C₀xⁿ+C₁x^n-1+......+C_n]    ...(3)
இந்த உறுப்பு அனைத்து n ன் மதிப்புகளுக்கும் பொருந்தும். xn ன் கெழுக்களை இருபுறமும் சமப்படுத்த
⇒ T_r+1=²ⁿC_r(1)^2n-rx^r
பொது உறுப்பு n=r என பிரதியிட
L.H.S.-ல் xⁿ ன் கெழு ²ⁿC_n    RHS-ல் xⁿ ன் கெழு
⇒ \({ C }_{ 0 }^{ 2 }+{ C }_{ 1 }^{ 2 }+{ C }_{ 2 }^{ 2 }+.....+{ C }_{ n }^{ 2 }\quad \quad { C }_{ 0 }^{ 2 }+{ C }_{ 1 }^{ 2 }+{ C }_{ 2 }^{ 2 }+.....={ 2n }_{ { C }_{ n } }\)
⇒ \({ C }_{ 0 }^{ 2 }+{ C }_{ 1 }^{ 2 }+{ C }_{ 2 }^{ 2 }+.....+{ C }_{ n }^{ 2 }\quad =\frac { (2n)! }{ n!n! } \)  \(\left[ \because { n }_{ { C }_{ r } }=\frac { n! }{ r!(n-r)! } \right] \)
∴ எனவே \({ C }_{ 0 }^{ 2 }+{ C }_{ 1 }^{ 2 }+{ C }_{ 2 }^{ 2 }+.....+{ C }_{ n }^{ 2 }\quad =\frac { 2n! }{ (n!)^{ 2 } } \).

1.y = sin(-x)

y = sin x-ன் வரைபடம் y = sin x-வரைபடத்தின் y-அச்சை பொறுத்த பிரதிபலிப்பு வரைபடமாகும்.
2. y = -sin(-x)

y = -sin(-x)-ன் வரைபடம் x அச்சைப் பொறுத்து sin(-x)ன் பிரதிபலிப்பு வரைபடமாகும் 
3.\(y=sin({\pi \over 2}+x)\)

y = sin x
\(sin({\pi \over 2}+x)\) -ன் வரைபடம் sin x வரைபடத்தை \({\pi\over2}\)அலகுகள் இடப்பக்க நகர்வினால் பெறப்படுகிறது.
4.\(y=sin({\pi \over 2}-x)\)

y = sin x
\(sin({\pi \over 2}-x)\) -ன் வரைபடம்  sin x வரைபடத்தை \({\pi\over2}\)அலகுகள் வலப்பக்க நகர்வினால் பெறப்படுகிறது.

(1+x)ⁿ-ன் பொது உறுப்பு
T_r+1=ⁿC_r(1)^n-rx^r
5 வது, 6வது, 7வது உறுப்பின் கெழுக்களைக் காண
r =4,5,6 என (1)-ல் பிரதியிட
∴ 2 ⁿC₅=ⁿC₄+ⁿC₆
⇒ 2=\(\frac { { n }_{ { C }_{ 4 } } }{ { n }_{ { C }_{ 5 } } } +\frac { { n }_{ C_{ 6 } } }{ { n }_{ { C }_{ 5 } } } \Rightarrow 2=\frac { 5 }{ n-4 } +\frac { n-5 }{ 6 } \)    \(\left[ \because \frac { { n }_{ C_{ r } } }{ { n }_{ { C }_{ r-1 } } } =\frac { n-r+1 }{ r } \right] \)
⇒ 2=\(\frac { 30+(n-5)(n-4) }{ 6(n-4) } \).
⇒ 12(n-4)=30+n²-5n-4n+20
⇒ 12n-48=30+n²-9n+20
⇒ n²-21n+98=0
⇒ n(n-7)-14(n-7)=0
⇒ (n-14)(n-7)=0
⇒ n=14 அல்லது n=7.

கொடுக்கப்பட்டது: \(\left( { x }^{ 2 }+\frac { 1 }{ x } \right) ^{ 3 }\)(1+x³)⁵⁰
\(\left( { x }^{ 2 }+\frac { 1 }{ x } \right) ^{ 3 }\)-ன் விரிவு
=\(\left( { x }^{ 2 } \right) ^{ 5 }+5_{ C_{ 1 } }({ x }^{ 2 })^{ 4 }\left( \frac { 1 }{ x } \right) ^{ 1 }+{ 5 }_{ { C }_{ 2 } }({ x }^{ 2 })^{ 3 }\left( \frac { 1 }{ x } \right) ^{ 2 }+{ 5 }_{ { C }_{ 3 } }({ x }^{ 2 })\left( \frac { 1 }{ x } \right) ^{ 3 }+{ 5 }_{ { C }_{ 4 } }({ x }^{ 2 })^{ 1 }\left( \frac { 1 }{ x } \right) ^{ 4 }+\left( \frac { 1 }{ x } \right) ^{ 4 }+\left( \frac { 1 }{ x } \right) ^{ 5 }\)
=\({ x }^{ 10 }+5\frac { { x }^{ 8 } }{ x } +\frac { 5\times 4 }{ 2\times 1 } .\frac { { x }^{ 6 } }{ { x }^{ 2 } } +\frac { 5\times 4 }{ 2\times 1 } \frac { { x }^{ 4 } }{ { x }^{ 3 } } +5\frac { { x }^{ 2 } }{ { x }^{ 4 } } +\frac { 1 }{ { x }^{ 5 } } \)
=\({ x }^{ 10 }+5{ x }^{ 7 }+10{ x }^{ 4 }+10x+\frac { 5 }{ { x }^{ 2 } } +\frac { 11 }{ { x }^{ 5 } } \)
=(1+x³)⁵⁰
பொது உறுப்பு
=T_r+1=⁵⁰C_r(1)^50-r(x³)^r=⁵⁰C_rx^3r  ...(1)
⇒ \(\left( { x }^{ 2 }+\frac { 1 }{ x } \right) (1+x^{ 3 })^{ 50 }\)
=\(({ x }^{ 10 }+5{ x }^{ 7 }+10{ x }^{ 4 }+10x+\frac { 5 }{ { x }^{ 2 } } +\frac { 1 }{ { x }^{ 5 } } )(1+{ x }^{ 3 })^{ 50 }\)
=\(\left( { x }^{ 10 }+5{ x }^{ 7 }+10{ x }^{ 4 }+10x+\frac { 5 }{ { x }^{ 2 } } +\frac { 1 }{ { x }^{ 5 } } \right) ({ 50 }_{ { C }_{ 0 } }+{ 50 }_{ { C }_{ 1 } }{ x }^{ 3 }+{ 50 }_{ { C }_{ 2 } }{ x }^{ 6 }+{ 50 }_{ { C }_{ 3 } }{ x }^{ 6 }+{ 50 }_{ { C }_{ 3 } }{ x }^{ 9 }+...)\)
=\(\left( { x }^{ 10 }+5{ x }^{ 7 }+10{ x }^{ 4 }+10x+\frac { 5 }{ { x }^{ 2 } } +\frac { 1 }{ { x }^{ 5 } } \right) (1+50{ x }^{ 3 }+1225{ x }^{ 6 }+19600{ x }^{ 9 }+...)\)
x⁴-ன் கெழு
=10 (மாறிலி உறுப்பு (1+x³)⁵⁰)+10[(1+x³)⁵⁰ ல் உள்ள x³ ன் கெழு )5 (x⁶ ன் கெழு)+1(x⁹ ன் கெழு)
= 10(1)+10(⁵⁰C₁)+5(⁵⁰C₂)+1(⁵⁰C₃)  (∵ (1)-ஐப் பயன்படுத்தி)
=10 + 10 x 50 + 5 x \(\frac { 50\times 49 }{ 2\times 1 } +\frac { 50\times 49\times 48 }{ 3\times 2\times 1 } \)
=10+500+6125+19600=26235
∴ x⁴-ன் கெழு=26235

\({ \left( { x }^{ 2 }-\frac { 1 }{ { x }^{ 3 } } \right) }^{ 6 }\), n=6, x=x², a=\(\frac { -1 }{ { x }^{ 3 } } \)
∴ பொது உறுப்பு ⇒ T_r+1=ⁿC_rx^n-ra^r
⇒ T_r+1=⁶C_r(x^r)^6-r \(\left( \frac { -1 }{ { x }^{ 3 } } \right) ^{ r }\)
=(-1)^r6C_rx^12-5r  ...(1)
x⁶ ன் கெழுவினைக்கான 12-5r=6 எனக் கொள்க.
12-5r=6 ⇒ 12-6=5r ⇒ 6=5r
r=\(\frac{6}{5}\) இங்கு x⁶ இருக்கமுடியாது
x²-ன் கெழுவைக் காண 12-5r=2 என பிரதியிட
12-5r=2
⇒ 12-2=5r ⇒ 10=5r ⇒ r=2
r=2 என (1) ல் பிரதியிட
T₃=(-1)²⁶C₂x^12-10=\(\frac { 6\times 5 }{ 2\times 1 } \)x²=15x²
∴ x² ன் கெழு =15

a secθ - c tanθ = b   ....(1)
b secθ + d tanθ = c  ......(2)
(1) x b ⇒ ab secθ - bc tanθ = b²   ...(3)
(2) x a ⇒ ab secθ + ad tanθ = ac    .....(4)
 _____________________
(3) - (4)  ⇒ tanθ [bc + ad] = b² - ac
- tanθ = \(\frac { { b }^{ 2 }-ac }{ bc+ad } \)
tanθ = \(\frac { ac-{ b }^{ 2 } }{ bc+ad } \)
(1) x d ⇒ ad secθ  - cd tanθ = bd    .....(5)
(2) x c ⇒ bc secθ + cd tanθ = c²   .....(6)
_______________________________
(5) - (6) = (ad + bc) secθ = bd + c²
sec θ = \(\frac { bd+{ c }^{ 2 } }{ ad+bc } \)
sec²θ - tan²θ = 1
⇒\({ \left( \frac { bd+{ c }^{ 2 } }{ ad+bc } \right) }^{ 2 }-{ \left( \frac { ac-{ b }^{ 2 } }{ bc+ad } \right) }^{ 2 }\) = 1
⇒ \(\frac { { \left( bd+{ c }^{ 2 } \right) }^{ 2 } }{ { \left( ad+bc \right) }^{ 2 } } -\frac { { \left( ac-{ b }^{ 2 } \right) }^{ 2 } }{ { \left( bc+ad \right) }^{ 2 } } \) = 1
⇒ \(\frac { { \left( bd+{ c }^{ 2 } \right) }^{ 2 }-{ \left( ac-{ b }^{ 2 } \right) }^{ 2 } }{ { \left( ad+bc \right) }^{ 2 } } \) = 1
(bd + c²) - (ac - b²)² = (ad + bc)²
⇒ (c² + bd)² = (ad + bc)² + (ac - b²)²
எனவே θ நீக்கப்பட்டுள்ளது.

secθ + tanθ = p   .....(1)
sec²θ - tan²θ = 1 
(sec θ + tanθ) (secθ - tanθ) = 1
p(secθ - tanθ) = 1
secθ - tanθ =\(\frac { 1 }{ p } \)   ......(2)
(1) + (2) (secθ + tanθ) (secθ - tanθ) = \(p+\frac { 1 }{ p } \)
2 secθ = \(\frac { { p }^{ 2 }+1 }{ p } \)
secθ = \(\frac { { p }^{ 2 }+1 }{2 p } \) .......(3)
(1) - (2)  (secθ + tanθ) - (secθ - tanθ) = \(p-\frac { 1 }{ p } \)
2 tanθ = \(\frac { { p }^{ 2 }-1 }{ p } \)
tan θ = \(\frac { { p }^{ 2 }-1 }{2 p } \)    ......(4)
(4) \(\div \) (3) ⇒ \(\frac { \tan { \theta } }{ \sec { \theta } } =\frac { { p }^{ 2 }-1 }{ 2p } \div \frac { { p }^{ 2 }+1 }{ 2p } \)
\(\frac { \frac { \sin { \theta } }{ \cos { \theta } } }{ \frac { 1 }{ \cos { \theta } } } =\frac { { p }^{ 2 }-1 }{ 2p } \times \frac { 2p }{ { p }^{ 2 }+1 } \)
sinθ = \(\frac { { p }^{ 2 }-1 }{ { p }^{ 2 }+1 } \) .......(5)
(3), (4), (5) - லிருந்து தீர்வு பெறப்பட்டது.

P(h, k) நகரும் புள்ளி என்க.
A(4, 0), B(-4, 0) கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள்.
PA + PB = 10
\(\sqrt { { (h-4) }^{ 2 }+{ (k-0) }^{ 2 } } +\sqrt { { (h+4) }^{ 2 }+{ (k-0) }^{ 2 } } =10\)
\(\sqrt { { (h-4) }^{ 2 }+{ k }^{ 2 } } =10-\sqrt { { (h-4) }^{ 2 }+{ k }^{ 2 } } \)
இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த
\(\Rightarrow { (h-4) }^{ 2 }+{ k }^{ 2 }=100+\left[ { \left( h+4 \right) }^{ 2 }+{ k }^{ 2 } \right] -20\sqrt { { (h+4) }^{ 2 }+{ k }^{ 2 } } \)
\(\Rightarrow h^{ 2 }-8h+16+{ k }^{ 2 }=100+{ h }^{ 2 }+16+8h+{ k }^{ 2 }-20\sqrt { { (h+4) }^{ 2 }+{ k }^{ 2 } } \)

\(\Rightarrow -16h-100=-20\sqrt { { (h+4) }^{ 2 }+{ k }^{ 2 } } \)
-4 ஆல் இருபுறமும் வகுக்க
\(\Rightarrow 4h+25=5\sqrt { { (h+4) }^{ 2 }+{ k }^{ 2 } } \)
இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்தினால் கிடைப்பது.
\(\Rightarrow\) (4h + 25)² = 25(h² + 8h + 16 + k²)
\(\Rightarrow\)(16h² + 625 + 200h = 25h² + 400 + 200h + 25k²
\(\Rightarrow\) 9h² + 25k² = 225 \(\Rightarrow\) 9h² + 25k² = 225  (\(\because\) 225 ஆல் இருபுறமும் வகுக்க)
\(\Rightarrow \frac { { h }^{ 2 } }{ 25 } +\frac { { k }^{ 2 } }{ 9 } =1\)
\(\therefore\) P(h, k) ன் நியமப்பாதை \(\frac { { x }^{ 2 } }{ 25 } +\frac { { y }^{ 2 } }{ 9 } =1\)

P(n)= 3²ⁿ⁺²-8n-9 ஆனது 8ஆல் வகுபடும் என்க.
n = 1 என பிரதியிட P(1)=3²⁺²-8(1)-9=64, இது 8ஆல் வகுபடும்.
எனவே P(1) உண்மை.
n = k-க்கு இந்த கூற்று உண்மை எனக்  கொள்க.
எனவே P(k)=3^2k+2-8k-9 ஆனது 8ஆல் வகுபடும்.
ஆகவே, P(k)=3^2k+2-8k-9 =8k₁,k₁∈N
ஆகவே,3^2k+2=8k₁+8k+9 என எழுதலாம்.
P(k+1)=3^2(k+1)+2-8(k+1)-9 ஆனது 8ஆல் வகுபடும் என நிறுவ வேண்டும்.
P(k+1)=3^2(k+1)+2-8(k+1)-9 
=3²3^2k+2-8k-8-9
=3²(8k₁+8k+9)-8k-17 
=72k₁+72k+81-8k-17=72k₁+64k+64
=8(9k₁+8k+1)
=8k₂,k₂=9k₁+8k+1∈N
P(k+1) என்பது 8ஆல் வகுபடும். எனவே P(k+1) என்பது உண்மை. P(k) உண்மை எனக் கொண்டு P(k+1) உண்மை என நிறுவியுள்ளோம். எனவே கணிதத் தொகுத்தறிதல்படி n≥1-க்கு 3²ⁿ⁺²-8n-9 ஆனது 8ஆல் வகுபடும்.

x -அச்சானது ஓர் அலகு ஆயிரம் அலகுகள் கொண்ட குறுந்தகடுகளின் எண்ணிக்கையையும், y -அச்சு ஓர் அலகு ஒரு ரூபாயையும் குறிக்கிறது என்க.
(i) தேவைச் சமன்பாடு (Demand equation)
(x₁, y₁) மற்றும் (x₂, y₂) என்ற புள்ளிகள் முறையே (22, 8) மற்றும் (0, 30) என எடுத்துக்கொள்வோம்.
இரு புள்ளி வடிவ நேர்க்கோட்டின் சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்த

⇒ \(\frac { y-8 }{ 30-8 } =\frac { x-22 }{ 0-22 } \)
⇒ y_D=-x+30
(ii) வழங்கல் சமன்பாடு (Supply function)
(x₁,y₁) மற்றும் (x₂,y₂) என்ற புள்ளிகள் முறையே (0, 6) மற்றும் (24,14) என எடுத்துக்கொள்வோம்.
இரு புள்ளி வடிவ நேர்க்கோட்டின் சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்த
\(\frac { y-6 }{ 14-6 } =\frac { x-0 }{ 24-0 } \)
⇒ y_s=\(\frac { 1 }{ 3 } x\)+6
(iii) சந்தை சமநிலையில் தேவை மற்றும் வழங்கல் சமநிலையை அடையும்.
அதாவது, y_D=y_s
-x+30=\(\frac { 1 }{ 3 } x\)+6
⇒ x=18 மற்றும் y=12
சந்தை சமநிலையில் ஒரு குறுந்தகட்டின் விலை ரூ12 மற்றும் குறுந்தகடுகளின் எண்ணிக்கை 18,000 ஆக இருக்கும்.
(iv) ஒரு குறுந்தகட்டின் விலை ரூ 10 இருக்கும்போது
தேவை சமன்பாட்டில்,
y =10 ⇒ y_D=-x+30
⇒ x=20
அதாவது, தேவையான குறுந்தகடுகளின் எண்ணிக்கை 20,000 ஆகும்.
இதைப்போல், வழங்கல் சமன்பாட்டில்
y=10 ⇒ y_s=\(\frac { 1 }{ 3 } x\)+6,
⇒ x=12
இங்கு, வழங்கப்படும் குறுந்தகடுகளின் எண்ணிக்கை 12,000 ஆகும்.

A = { a, b, c } என்க
(i)R={(a,a),(b,b),(c,c)}
R ஒரு தற்சுட்டு, சமச்சீர் மற்றும் கடப்புத் தொடர்பு 
R ஒரு சமானத் தொடர்பு ஆகும்.
n(R)=A ன் மீதான மிகச்சிறிய செவ்வெண்மையுடைய சமானத் தொடர்பு  n(R)=3
(ii) R={(a,a),(a,b),(a,c),(b,b),(b,a),(b,c),(c,a),(c,b),(c,c)}என்க 
R ஒரு தற்சுட்டு \(\because (a,a),(b,b),(c,c)\in R\)
R ஒரு சமச்சீர் தொடர்பு 
\(\because (a,b)\in R\Rightarrow(b,a)\in R\)
\((b,c)\in R \Rightarrow (c,b)\in R\)
\((c,a)\in R\Rightarrow (a,c)\in R\)
R ஒரு கடப்புத் தொடர்பு 
\(\because (a,b),(b,c)\in R\Rightarrow(a,c)\in R\)
\(\therefore R\) என்பது A -ன் மீதான மிகப்பெரிய செவ்வெண்மையுடைய சமானத் தொடர்பு ஆகும்.
n(R)=9.

k(x - 1)² = 5x - 7 
\(\Rightarrow k({ x }^{ 2 }-2x+1)=5x-7\)
\(\Rightarrow { kx }^{ 2 }-2kx+k=5x-7\)
\(\Rightarrow { kx }^{ 2 }-2kx-5x+k+7=0\)
\({ kx }^{ 2 }+x(-2k-5)+(k+7)=0\)
\(\alpha ,2\alpha \) என்பன இரு மூலங்கள் எனில் 
\(\alpha +2\alpha =\frac { 2k+5 }{ k } \)
\(3\alpha =\frac { 2k+5 }{ k } \)
\(\alpha =\frac { 2k+5 }{ 3k } \) .....(1)
\(\alpha (2\alpha )=\frac { k+7 }{ k } \)
\(2{ \alpha }^{ 2 }=\frac { k+7 }{ k } \)
\({ \alpha }^{ 2 }=\frac { k+7 }{ 2k } ....(2)\)
(1) ஐ (2)-ல் பிரதியிட 
\(\left( \frac { 2k+5 }{ 3k } \right) ^{ 2 }=\frac { k+7 }{ 2k } \)
\(\frac { { 4k }^{ 2 }+20k+25 }{ { 9k }^{ 2 } } =\frac { k+7 }{ 2k } \)
\(\frac { { 4k }^{ 2 }+20k+25 }{ { 9k } } =\frac { k+7 }{ 2 } \)
\({ 8k }^{ 2 }+45k+50={ 9k }^{ 2 }+63k\)
\(\Rightarrow { k }^{ 2 }+23k-50=0\)
\(\Rightarrow \) (k -2) (k +25) =0
\(\Rightarrow \) k = 2 அல்லது -25 என நிரூபிக்கப்பட்டது. 

முதல் ஒற்றைப்படை இயல் எண் = x என்க
அடுத்த ஒற்றைப்படை இயல் எண் = x +2
\(\Rightarrow x>10\) கொடுக்கப்பட்ட கூற்று ...(1)
\(\Rightarrow x+2>10\quad ...(2)\)
x + x + 2 <40 ...(3)
\(\Rightarrow x>10\quad \quad ...(4)\)
(3) லிருந்து 2x +2 <40
\(\Rightarrow 2x<38\)
\(\Rightarrow x<\frac { 38 }{ 2 } \)
\(\Rightarrow x<19\quad .....(5)\)
x ஒற்றைப்படை இயல் எண்கள் என்பதால் x = 11, 13, 15, 17
\(\therefore \) தேவையான ஜோடிகள் (11,13), (13,15), (15,17), (17,19).

30 விழுக்காடு அமிலம் கலந்த கரைசல் = x லிட்டர் என்க.
\(\therefore \) மொத்த கரைசல் = (600+x)
30% x + 12% 600 > 15% (600+x)
\(\Rightarrow \frac { 30x }{ 100 } +\frac { 12 }{ 100 } \times 600>\frac { 15 }{ 100 } (600+x)\)
\(\Rightarrow 30x+7200>9000+15x\) (100 ஆல் பெருக்க) 
\(\Rightarrow 15x+7200>9000\)
\(\Rightarrow 15x>9000-7200\)
\(\Rightarrow 15x>1800\)
\(\Rightarrow x>120...(1)\)
\(30\) % of x + 12% of 600 < \(\frac { 18 }{ 100 } (600+x)\)
\(\Rightarrow \frac { 30x }{ 100 } +\frac { 12 }{ 100 } \times 600<\frac { 18 }{ 100 } (600+x)\)
\(\Rightarrow 30x+7200>18(600+x)\)
\(\Rightarrow 30x+7200>10800+18x\)
\(\Rightarrow 12x>10800-7200\)
\(\Rightarrow 12x>3600\)
\(\Rightarrow x<\frac { 3600 }{ 12 } \)
\(\Rightarrow x<300.....(2)\)
(1), (2) லிருந்து 120 < x <300
\(\therefore \) 30% அமிலம் கலந்த கரைசல் 120 லிட்டரை விட அதிகமாகவும் மற்றும் 300 லிட்டரை விட குறைவாகவும் கிடைக்கிறது.

x=-2-ல் \(f(x)=\frac { { x }^{ 2 }-4 }{ ({ x }^{ 2 }+4x+4)(x+3) } \)
\(f(x)=\frac { { x }^{ 2 }-4 }{ ({ x }^{ 2 }+4x+4)(x+3) } \)

\(=\lim _{ x\rightarrow -{ 2 }^{ - } }{ \frac { x-2 }{ (x+2)(x+3) } } \)
\(=\frac { -Ve }{ 0(-Ve) } =\infty \)
\(\therefore\)  f(-2^-) \(\rightarrow\) \(\infty\) (x\(\rightarrow\)-2^- எனும் பொழுது)

\(f(-{ 2 }^{ + })=\lim _{ x\rightarrow { -2 }^{ + } }{ \frac { x-2 }{ (x+2)(x+3) } } \)

\(\therefore\) f(-2⁺) \(\rightarrow\) -\(\infty \)(x\(\rightarrow\) 2⁺ எனும் பொழுது)

f(x)=f(y) என எடுத்துக்கொள்வோம். எனவே
\({x\over x^2-1}={y\over y^2-1}\)
⇒ x(y²– 1) = y( x² – 1)
⇒ xy² - x - yx² + y = 0
⇒ (y-x) (xy+1)=0
இதிலிருந்து x = y அல்லது xy = -1. எனவே xy = -1 என்றவாறு x மற்றும் y என்ற இரு எண்களை நாம் தேர்ந்தெடுத்தால் அப்பொழுது f(x) = f(y) என கிடைக்கும்.
\(\left(2,-{1\over2}\right),\left(7,-{1\over7}\right),\left(-2,{1\over 2}\right)\)என எண்ணற்ற பல உறுப்புகள் xy = -1 எனக் கிடைக்கும்.அதாவது \(f(2)=f\left(-1\over2\right)={2\over3}\)ஆகும்.இது f(x)=f(y) ⇒ x = y என்ற நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்யாததால், f ஒன்றுக்கொன்றானது அல்ல

X,Y\(\in \)N
தற்சுட்டு:
x R x \(\Rightarrow x+2x=1 \Rightarrow 3x=1\)
\(\Rightarrow x={1\over3}\notin N\)
\(\therefore R\)  என்பது தற்சுட்டு தொடர்பு அல்ல.
சமச்சீர் தொடர்பு:
x R x \(\Rightarrow\) y R x, x, y\(\in\) N
\(\begin{matrix} xRy\Rightarrow x+2y=1 \\ yRx\Rightarrow y+2x=1 \end{matrix}\} \) இது x,y -ன் வெவ்வேறு மதிப்புகளுக்கு பொருந்தாது.
\(\therefore R\) ஒரு சமச்சீர் அல்ல.
கடப்புத்  தொடர்பு: 
x R y,y R z\(\Rightarrow\) x R z
x R y, y R z, x, y, z\(\in\)N மதிப்புகளுக்கு பொருந்தாது.
\(\therefore R\) ஒரு கடப்புத் தொடர்பு அல்ல.
\(\Rightarrow\) R என்பது தற்சுட்டுத் தொடர்பும் அல்ல.
சமச்சீர் தொடர்பும் அல்ல.
கடப்புத் தொடர்பும் அல்ல.

l,m,n \(\in\) p என்க.
தற்சுட்டு:
ஆனதிற்கு செங்குத்தாக இருக்க முடியாது.
ஒரு தற்சுட்டு தொடர்பு அல்ல.
சமச்சீர் தொடர்பு:
lRm=mRl
l ஆனது m ற்குச் செங்குத்து 
m ஆனது l ற்குச் செங்குத்து 
\(\therefore R\) என்பது ஒரு சமச்சீர் தொடர்பு.
கடப்புத் தொடர்பு:
l R m மேலும் m R n\(\neq\)l R n
l ஆனது m ற்குச் செங்குத்து 
m ஆனது n ற்குச் செங்குத்து
ஆனால் l ஆனது  n ற்குச் செங்குத்து ஆக இருக்க முடியாது 
\(\therefore R\) ஆனது ஒரு கடப்புத் தொடர்பு அல்ல. 
\(\Rightarrow R\) என்பது ஒரு சமச்சீர் தொடர்பு மட்டுமே.

ஒரே நேரத்தில் பத்து நாணயங்களைச் சுண்டுவதும், ஒரே நாணயத்தைப் பத்துமுறை சுண்டுவதும் ஒரே கூறுவெளியைக் கொடுக்கும்.
S என்பது கூறுவெளி என்க 
அதாவது 
A என்பது சரியாக இரு தலைகள் கிடைப்பதற்கான நிகழ்ச்சி 
B என்பது அதிகபட்சமாக இரு தலைகள் கிடைப்பதற்கான நிகழ்ச்சி மற்றும்
C என்பது குறைந்த பட்சம் இரு தலைகள் கிடைப்பதற்கான நிகழ்ச்சி என்க.
பத்து நாணயங்கள் சுண்டப்படும்போது கூறுவெளியின் உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை 2ⁿ =2¹⁰=1024

n( S) = 1024
 n(A)=¹⁰C₂ =45
n(B)=¹⁰C₀+¹⁰C₁+ ¹⁰C₂=1+10 +45 =56
n(C)=¹⁰C₂+ ¹⁰C₃+¹⁰C₄+.......+¹⁰C₁₀
=n(S)−(¹⁰C₀+ ¹⁰C₁)= 1024-11=1013
தேவையான நிகழ்தகவுகள் 
(i) \(P(A)={n(A)\over n(S)}={45\over 1024}\)
(ii)\(P(B)={n(B)\over n(S)}={56\over 1024}={7\over 128}\)
(iii) \(P(C)={n(C)\over n(S)}={1013\over 1024}\)

x-ஐப் பொறுத்து உட்படு வகைக்கெழுவின்படி
\(\frac { dy }{ dx } =\frac { \frac { dy }{ dt } }{ \frac { dx }{ dt } } =\frac { a\quad \cos { t } }{ -a\sin { t } } =-\frac { \cos { t } }{ \sin { t } } \),
\(\frac { { d }^{ 2 }y }{ d{ x }^{ 2 } } =\frac { d }{ dx } \left( \frac { dy }{ dx } \right) \)
\(=\frac { d }{ dx } \left( \frac { -\cos { t } }{ \sin { t } } \right) \)
\(=\frac { d }{ dt } \left( \frac { -\cos { t } }{ \sin { t } } \right) \frac { dt }{ dx } =-\left[ -{ cosec }^{ 2 }t \right] \times \frac { 1 }{ { x }^{ ' }(t) } \)
\(={ cosec }^{ 2 }t\times \frac { 1 }{ -a\sin { t } } \)
\(=-\frac { { cosec }^{ 3 }t }{ a } \)

\(f(x)=\tan ^{ -1 }{ (1+{ x }^{ 2 }) } \) என்க 
\(g(x)={ x }^{ 2 }+x+1\)
\(\frac { df }{ dg } =\frac { { f }^{ ' }(x) }{ { g }^{ ' }(x) } \)
\({ f }^{ ' }(x)=\frac { 2x }{ 1+{ x }^{ 2 } } \)
\({ g }^{ ' }(x)=2x+1\)
\(\frac { df }{ dg } =\frac { \frac { 2x }{ 1+{ x }^{ 2 } } }{ 2x+1 } =\frac { 2x }{ (2x+1)(1+{ x }^{ 2 }) } \)

\(u={ x }^{ x },\ v=x\log { x } \)
\(\log { u } =x\ \log { x } \)
\(\frac { 1 }{ u } \frac { du }{ dx } =x.\frac { 1 }{ x } +1.\log { x } =1+\log { x } \)
\(\frac { du }{ dx } =u(1+\log { x } )={ x }^{ x }(1+\log { x } )\)
\(\frac { dv }{ dx } =1+\log { x } \)
\(\frac { d({ x }^{ x }) }{ d(x\log { x } ) } =\frac { du }{ dv } =\frac { \frac { du }{ dx } }{ \frac { dv }{ dx } } ={ x }^{ x }\)

\(y=\tan ^{ -1 }{ \left( \frac { 1+x }{ 1-x } \right) } \)
\(\frac { 1+x }{ 1-x } =t\) என்க 
எனவே, \(y=\tan ^{ -1 }{ t } \)
\(\frac { dy }{ dx } =\frac { d }{ dt } (\tan ^{ -1 }{ t } ).\frac { dt }{ dx } \) 
\(=\frac { 1 }{ 1+{ t }^{ 2 } } .\frac { (1-x)+(1+x)(-1) }{ (1-x{ ) }^{ 2 } } \)
\(=\frac { 1 }{ 1+{ \left( \frac { 1+x }{ 1-x } \right) }^{ 2 } } .\frac { (1-x)+(1+x) }{ (1-x{ ) }^{ 2 } } =\frac { 1 }{ 1+x^{ 2 } } .\)

\(y=(2x+1{ ) }^{ 5 }{ (x }^{ 3 }-x+1{ ) }^{ 4 }\) என்க.
\(u=2x+1;\quad v={ x }^{ 3 }-x+1\) என எடுத்துக்கொண்டால் 
\(y={ u }^{ 5 }.{ v }^{ 4 }\)
\(\frac { dy }{ dx } ={ u }^{ 5 }.\frac { d }{ dx } ({ v }^{ 4 })+{ v }^{ 4 }.\frac { d }{ dx } ({ u }^{ 5 })\) (பெருக்கல் விதிப்படி)
\(={ u }^{ 5 }.4{ v }^{ 4-1 }\frac { dv }{ dx } +{ v }^{ 4 }.5{ u }^{ 5-1 }\frac { du }{ dx } \)    (இணைப்பு விதிப்படி)
\(=4{ u }^{ 5 }.{ v }^{ 3 }\times (3{ x }^{ 2 }-1)+5{ v }^{ 4 }{ u }^{ 4 }\times 2\)
\(=4{ (2x+1) }^{ 5 }{ ({ x }^{ 3 }-x+1) }^{ 3 }(3{ x }^{ 2 }-1)+10{ ({ x }^{ 3 }-x+1) }^{ 4 }{ (2x+1) }^{ 4 }\)
\(={ (2x+1) }^{ 4 }{ ({ x }^{ 3 }-x+1) }^{ 3 }[4(2x+1)^{ 3 }(3{ x }^{ 2 }-1)+10{ ({ x }^{ 3 }-x+1) }]\)
\(=2{ (2x+1) }^{ 4 }{ ({ x }^{ 3 }-x+1) }^{ 3 }{ (17{ x }^{ 3 }+6{ x }^{ 2 }-9x+3) }\)

இங்கு sine சார்பு வெளிப்புறச் சார்பாகவும் வர்க்க சார்பு உட்சார்பாகவும் உள்ளது.
u = x²  எனக்.
அதாவது, \(y=\sin { u. } \)
எனவே, \(\frac { dy }{ dx } =\frac { dy }{ du } \times \frac { du }{ dx } \)
\(=\cos { u\quad \times } (2x)\\ =\cos { { (x }^{ 2 }) } .2x\\ =2x\cos { { (x }^{ 2 }) } .\)

\( \frac { dy }{ dx } =3{ x }^{ 2 }+10x+3\)

\(f(x)=\tan { x } \) என்ற சார்பு \(x=(2n+1)\frac { \pi }{ 2 } ,n\in Z\) என்ற இடங்களில் வரையறுக்கப்படவில்லை. மற்ற எல்லா இடங்களிலும் இது தொடர்ச்சியானது, எனவே \(f(x)=\tan { x } \) சார்பு  
\(...\left( -\frac { 3\pi }{ 2 } ,-\frac { \pi }{ 2 } \right) ,\left( -\frac { \pi }{ 2 } ,\frac { \pi }{ 2 } \right) ,\left( \frac { \pi }{ 2 } ,\frac { 3\pi }{ 2 } \right) ,...\) போன்ற திறந்த இடைவெளிகளில் தொடர்ச்சியானது. 

\(\frac { 1 }{ x } -1\le \left\lfloor \frac { 1 }{ x } \right\rfloor \le \frac { 1 }{ x } +1\)
\(\frac { 2 }{ x } -1\le \left\lfloor \frac { 2 }{ x } \right\rfloor \le \frac { 2 }{ x } +1\)

\( \frac { 15 }{ x } -1\le \left\lfloor \frac { 15 }{ x } \right\rfloor \le \frac { 15 }{ x } +1\)
கூடுதல் காண,
\(\frac { 120 }{ x } -15\le \left\lfloor \frac { 1 }{ x } \right\rfloor +\left\lfloor \frac { 2 }{ x } \right\rfloor +...+\left\lfloor \frac { 15 }{ x } \right\rfloor \le \frac { 120 }{ x } +15\)
\(120-15x\le x\left[ \left\lfloor \frac { 1 }{ x } \right\rfloor +\left\lfloor \frac { 2 }{ x } \right\rfloor +...+\left\lfloor \frac { 15 }{ x } \right\rfloor \right] \le 120+15x\)
\(\lim _{ x\rightarrow { 0 }^{ + } }{ (120-15x) } \le \lim _{ x\rightarrow { 0 }^{ + } }{ x\left[ \left\lfloor \frac { 1 }{ x } \right\rfloor +\left\lfloor \frac { 2 }{ x } \right\rfloor +...+\left\lfloor \frac { 15 }{ x } \right\rfloor \right] } \le \lim _{ x\rightarrow { 0 }^{ + } }{ (120+15x) } \)
\(120\le \lim _{ x\rightarrow { 0 }^{ + } }{ x\left[ \left\lfloor \frac { 1 }{ x } \right\rfloor +\left\lfloor \frac { 2 }{ x } \right\rfloor +...+\left\lfloor \frac { 15 }{ x } \right\rfloor \right] } \le 120\)
\(\lim _{ x\rightarrow { 0 }^{ + } }{ x\left[ \left\lfloor \frac { 1 }{ x } \right\rfloor +\left\lfloor \frac { 2 }{ x } \right\rfloor +...+\left\lfloor \frac { 15 }{ x } \right\rfloor \right] } =120.\)

புஜ்ஜியத்திற்கு அருகில் (இருபுறமிருந்தும் உள்ள x-ன் மதிப்புகளை அட்டவணைப்படுத்தினால் \(f(x)=\frac { 1 }{ { x }^{ 2 }+{ x }^{ 3 } } -\)ன் மதிப்பு எல்லையற்று அதிகரிக்கின்றது என அறியலாம்.எனவே \(x\rightarrow 0\) எனில் \(f(x)\rightarrow \infty \) ஆகும்.
இந்தச் சார்பின் எல்லை மதிப்பினை அட்டவணை இல்லாமல் காண்பதற்கு, முதலில் தொகுதியையும் பகுதியையும் x² -ஆல் வகுக்க வேண்டும்.எல்லை மதிப்புக் காணும்போது \(x\neq 0 \) மற்றும் \({ x }^{ 2 }\neq 0\). எனவே வகுத்தல் சாத்தியமாகிறது.
\(\lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { 1 }{ { x }^{ 2 }+{ x }^{ 3 } } } =\lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { \frac { 1 }{ { x }^{ 2 } } }{ \frac { { x }^{ 2 }+{ x }^{ 3 } }{ { x }^{ 2 } } } } =\frac { \lim _{ x\rightarrow 0 }{ (\frac { 1 }{ { x }^{ 2 } } ) } }{ \lim _{ x\rightarrow 0 }{ (1+x) } } \)
தற்போது \(x\rightarrow 0\) எனில் \(\frac { 1 }{ { x }^{ 2 } } \rightarrow \infty \) மற்றும் \(\lim _{ x\rightarrow 0 }{ (1+x) } =1.\)
அதாவது, பகுதி 1-ஐ நெருங்கும்போது தொகுதி முடிவில்லாமல் அதிகரிக்கின்றது. அதாவது, \(\frac { 1 }{ { (x }^{ 2 }+{ x }^{ 3 }) } \) முடிவிலியை நோக்கிச் செல்கிறது எனலாம்.

\(\vec { a } =\hat { i } +2\hat { j } +\hat { k } \)
\(\vec { b } =\hat { i } +3\hat { j } +4\hat { k } \)
\(\vec { a } ,\vec { b } \) வெக்டர் தளத்திற்கு செங்குத்தாகவும் உள்ள அலகு
வெக்டர் =\(\frac { \vec { a } \times \vec { b } }{ |\vec { a } \times \vec { b } | } \)
\(\vec { a } \times \vec { b } =\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 4 \end{matrix} \right| \)
=\(\hat { i } (8-3)\hat { j } (4-1)+\hat { k } (3-2)\)
=\(5\hat { i } -3\hat { j } +\hat { k } \)
\(|\vec { a } \times \vec { b } |=\sqrt { { 5 }^{ 2 }+(-3)^{ 2 }+{ 1 }^{ 2 } } \)
=\(\sqrt { 25+9+1 } =\sqrt { 35 } \)
∴ \(10\sqrt { 3 } \) எண்ணளவு கொண்ட அலகு வெக்டர்
=\(\pm 10\sqrt { 3 } \left( \frac { 5\hat { i } -3\hat { j } +\hat { k } }{ \sqrt { 35 } } \right) \).

sin\(\frac { \theta }{ 2 } \) =\(\quad \frac { 1 }{ 2 } |\vec { a } -\vec { b } |\)
\(\vec { a } ,\vec { b } \) என்பன அலகு வெக்டர்கள் அவற்றிற்கு இடைப்பட்ட கோணம் θ என்க.
\(|\vec { a } -\vec { b } |^{ 2 }=|\vec { a } |^{ 2 }+|\vec { b } |^{ 2 }-2(\vec { a } ).(\vec { b } )\)
=1+1-2\(|\vec { a } ||\vec { b } |\)cosθ
=2-2cosθ=2(1-cosθ)
=2.2sin²\(\frac { \theta }{ 2 } \)
sin\(\frac { \theta }{ 2 } \)=\(\frac { 1 }{ 2 } |\vec { a } -\vec { b } |\)

\(\left| A \right| =\left| \begin{matrix} x+1 & 3 & 5 \\ 2 & x+2 & 5 \\ 2 & 3 & x+4 \end{matrix} \right| \) என்க.

x =1 எனப்பிரதியிட, \(\left| A \right| =\left| \begin{matrix} 2 & 3 & 5 \\ 2 & 3 & 5 \\ 2 & 3 & 5 \end{matrix} \right| =0\)
இங்கு மூன்று நிரைகளும் சர்வசமம். எனவே,\({ (x-1) }^{ 2 }\)  ஆனது \(\left| A \right| \)-ன் ஒரு காரணியாகும். 
\(\left| A \right| \)-ல் x=-9 எனப்பிரதியிட,\(\left| A \right| =\left| \begin{matrix} -8 & 3 & 5 \\ 2 & -7 & 5 \\ 2 & 3 & -5 \end{matrix} \right| =\left| \begin{matrix} 0 & 3 & 5 \\ 0 & -7 & 5 \\ 0 & 3 & -5 \end{matrix} \right| =0\quad \)
எனவே, \((x+9)\) ஆனது \(\left| A \right| \)-ன் காரணிகளாகும் . \([{ C }_{ 1 }\rightarrow { C }_{ 1 }+{ C }_{ 2 }+{ C }_{ 3 }]\)
அதாவது \({ (x-1) }^{ 2 }(x+9)\) என்பது \(\left| A \right| \)-ன் காரணியாகும். இதன் படி 3 ஆகும். அணிக்கோவை x-ல் அமைந்த 3-ம் படி பல்லுறுப்புக் கோவையாகும்.
எனவே, மீதமுள்ள மற்றொரு காரணி, மாறிலி 'k '   ஆகும் .
ஆகவே, \(\left| \begin{matrix} x+1 & 3 & 5 \\ 2 & x+2 & 5 \\ 2 & 3 & x+4 \end{matrix} \right| ={ k(x-1) }^{ 2 }(x+9)\)
x³ உறுப்புகளை இருபுறமும் சமப்படுத்த, k=1 எனப்பெறுகிறோம் .
எனவே,   \(\left| A \right| \)=\({ (x-1) }^{ 2 }(x+9)\)

\(AB=\left[ \begin{matrix} 4 & 6 & 2 \\ 0 & 1 & 5 \\ 0 & 3 & 2 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 0 & 1 & -1 \\ 3 & -1 & 4 \\ -1 & 2 & 1 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 16 & 2 & 22 \\ -2 & 9 & 9 \\ 7 & 1 & 14 \end{matrix} \right] \)
\({ (AB) }^{ T }=\left[ \begin{matrix} 16 & -2 & 7 \\ 2 & 9 & 1 \\ 22 & 9 & 14 \end{matrix} \right] ...(1)\)
\({ B }^{ T }=\left[ \begin{matrix} 0 & 3 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \\ -1 & 4 & 1 \end{matrix} \right] ,\quad { A }^{ T }=\left[ \begin{matrix} 4 & 0 & 0 \\ 6 & 1 & 3 \\ 2 & 5 & 2 \end{matrix} \right] \)
\( { B }^{ T }{ A }^{ T }=\left[ \begin{matrix} 0 & 3 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \\ -1 & 4 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 4 & 0 & 0 \\ 6 & 1 & 3 \\ 2 & 5 & 2 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 16 & -2 & 7 \\ 2 & 9 & 1 \\ 22 & 9 & 14 \end{matrix} \right] ...(2)\)
(1) மற்றும் (2)-லிருந்து, \({ (AB) }^{ T }={ B }^{ T }{ A }^{ T }\)

\(\cos { 2x } =1-3\sin { x } \)
cos 2x=1-2sin²x
\(\Rightarrow cos2x=1-3\Rightarrow 1-2sin^{ 2 }x\)
\(\Rightarrow \) -2sin²x=-3sinx
\(\Rightarrow \) sinx(2sinx-3)=0
\(\Rightarrow \) sinx=0 அல்லது 2sin x -3=0
2sin x=3
\(sinx=\cfrac { 3 }{ 2 } \)
வகை (i) sin x =0
x=0,\(\pi \)
வகை (ii) \(x=\cfrac { 3 }{ 2 } \)-ஆக இருக்க முடியாது
\(\therefore \) sin x ன் மதிப்புகள் I ஐ விட பெரியதாக இருக்க முடியாது.
\(\therefore \) x-ன் மதிப்புகள் 0, \(\pi \)

ⁿP_r = 720, ⁿC_r = 120  என கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. 
\(\frac { n! }{ \left( n-r \right) ! } \) = 720 ......(1)
\(\frac { n! }{ r!\left( n-r \right) ! } \) = 120 ........(2)
\(\frac { \frac { n! }{ r!\left( n-r \right) ! } }{ \frac { n! }{ r!\left( n-r \right) ! } } \) = \(\frac { 720 }{ 120 } \) (1) மற்றும்  (2) னை வகுக்க )
\(\frac { n! }{ \left( n-r \right) ! } \times \frac { r!\left( n-r \right) ! }{ n! } =6\)
\(\Rightarrow \)  r! = 6 \(\Rightarrow \) r! = 3 x  2 x  1 = 3!
r  = 3
r  = 3 என்பதை  (1) ல் பிரதியிட 
\(\frac { n! }{ \left( n-r \right) ! } =\frac { n! }{ \left( n-r \right) ! } \) = 720 \(\Rightarrow \) \(\frac { n! }{ r!\left( n-3 \right) ! } \) = 720
\(\Rightarrow \) \(\frac { n\left( n-1 \right) \left( n-2 \right) \left( n-3 \right) ! }{ \left( n-3 \right) ! } \) = 720  \(\Rightarrow \) n(n-1) (n-2) = 720
\(\Rightarrow \)  n (n - 1) (n-2) = 10 x 9 x 8
\(\Rightarrow \) n = 10    

கொடுக்கப்பட்டது:a² + b² = 7ab
2ab ஐ இருபுறமும் கூட்ட 
\(\Rightarrow { a }^{ 2 }b^{ 2 }+2ab=7ab+2ab\)
\(\Rightarrow { (a+b) }^{ 2 }=9ab\)
\(\Rightarrow \frac { { (a+b) }^{ 2 } }{ 9 } =ab\)
\(\Rightarrow (\frac { a+b }{ 3 } )^{ 2 }ab\)
இருபுறமும் வர்க்கமூலம் காண 
\(\Rightarrow \frac { a+b }{ 3 } ab\)
\(\Rightarrow \log(\frac { a+b }{ 3 } )=\log(ab)^{ \frac { 1 }{ 2 } }\)
\(=\frac { 1 }{ 2 } \log(ab)\)
\(\log(\frac { a+b }{ 3 } )=\frac { 1 }{ 2 } [\log a+\log b]\) எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

ஒரு கூற்று உண்மையில்லை என்பதனை ஒரு எடுத்துக்காட்டு மூலம் நிரூபிக்கலாம். கீழ்க்காணும் படத்தை கவனிக்கவும்.
படத்திலிருந்து, தெளிவாக f மற்றும் g o f ஆகியவை ஒன்றுக்கொன்றாகும். ஆனால் g ஒன்றுக்கொன்று அல்ல. எனவே கூற்று உண்மையில்லை என்பதை படம் தெளிவாகக் காட்டுகிறது.

x -ன் மதிப்புகள் -3 -ஐ விடக் குறைவாகவோ அல்லது 3 -ஐ விட கூடுதலாக இருப்பின் 9-x² என்ற கோவை குறையெண்ணாக மாறும். எனவே இம்மதிப்புகளுக்கு \(\sqrt{9-x^2}\) காண இயலாது.அதாவது \(\sqrt{9-x^2}\) ஆனது [-3, 3] என்ற இடைவெளியில் மட்டுமே காண இயலும்.
x –ன் மதிப்புகள் -1 அல்லது அதனை விடக் கூடுதலாகவும், அதே நேரத்தில் 1 அல்லது அதனை விடக் குறைவாகவும் இருக்கும்போது x² - 1- என்ற கோவை குறையெண்ணாகவோ அல்லது பூஜ்ஜியமாகவோ மாறும். அதாவது குறையெண்ணாக இருக்கும்போது \(\sqrt{x^2-1}\)என்பதனைக் காண இயலாது. மேலும் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும்போது f வரையறுக்க இயலாது. அதாவது \(\sqrt{x^2-1}\) ன்பதனை [-1, 1] என்ற இடைவெளிக்கு வெளியில் காணலாம். அதாவது (-∞, -1)U (1, ∞) என்ற இடைவெளியில் \(\sqrt{x^2-1}\)–ன் மதிப்பு காணலாம்.
மேற்காணும் இரண்டு நிபந்தனைகளையும் இணைக்கும்போது \(f(x)={\sqrt{9-x^2}\over \sqrt{x^2-1}}\) –ன் மதிப்பு [-3, 3]  ∩ ((-∞, -1)U(1,∞))என்ற இடைவெளியில் மட்டுமே காணலாம். அதாவது f ன் மீப்பெரு சார்பகம் [-3, -1) U(1,3] ஆகும்.

1 மணி நேரத்தில் தொடர்வண்டி கடக்கும் தூரம் = 66 கி.மீ 
(60 x 60) வினாடிகளில் கடக்கும் தூரம் = 66 கி.மீ
1 கி.மீ. = 1000 மீ.
1 வினாடியில் கடக்கும் தூரம் = \(\frac { 66\times 1000 }{ 60\times 60 } \)
= 11 x 10
= \(\frac { 110 }{ 6 } \) மீ 
20 வினாடிகளில் கடக்கும் தூரம் = 20 x \(\frac { 110 }{ 6 } =\frac { 1100 }{ 3 } \)
l = \(\frac { 1100 }{ 3 } \) மீ
20 வினாடிகளில் கடக்கும் கோணம் = θ
θ = \(\frac { l }{ r } \)

θ = \(\frac { 11 }{ 45 } \) ஆரையன் 
∴ θ = \(\frac { 11 }{ 45 } \times \frac { { 180 }^{ 0 } }{ \pi } \)

p ஒரு தளத்திலுள்ள அனைத்து முக்கோணங்களின் கணம் என்க.
p-ல் R என்ற தொடர்பானது "a ஆனது b-ன் வடிவொத்தவையாக இருப்பின் aRb " என வரையறுக்கப்படுகிறது.
a,b,c\(\in \)P என்க.
தற்சுட்டு:
a R a\(\Rightarrow \)a ஆனது a க்கு வடிவொத்தது. a\(\in \)P
∴R ஒரு தற்சுட்டு.
சமச்சீர் தொடர்பு:
a R b \(\Rightarrow \)b R a 
a ஆனது b க்கு வடிவொத்தது.
b ஆனது a க்கு வடிவொத்தது. a,b \(\in \)P
∴R ஒரு சமச்சீர் தொடர்பு.
கடப்புத்  தொடர்பு: 
a R b, b R a \(\Rightarrow \) a R c
a ஆனது b க்கு வடிவொத்தது.
b ஆனது c க்கு வடிவொத்தது.
\(\therefore\) a ஆனது c க்கு வடிவொத்தது.
a,b,c \(\in \)P∴ R ஒரு கடப்புத் தொடர்பு 
∴ R ஒரு சமானத் தொடர்பு ஆகும்.