புவிநிலை துணைக்கோள் மற்றும் துருவத் துணைக்கோள்:
(i) புவியினைச் சுற்றி வரும் துணைக்கோளின் சுற்றுகாலங்கள் அவற்றின் சுற்றுப்பாதை ஆரத்தைப் பொறுத்து அமைகின்றன. சுற்றுக்காலம் 24 மணி நேரம் உடைய துணைக்கோளி சுற்றுப்பாதை ஆரத்தை கெப்ளரின் மூன்றாம் விதியைச் பயன்படுத்தி கணக்கிடலாம்.
\({ T }^{ 2 }=\quad \cfrac { { 4\pi }^{ 2 } }{ { GM }_{ E } } \left( { R }_{ E }+h \right) ^{ 3 }\)
\(\left( { R }_{ E }+h \right) ^{ 3 }=\cfrac { GM_{ E }{ T }^{ 2 } }{ 4\pi ^{ 2 } } \)

\({ R }_{ E }+h=\left( \cfrac { { GM }_{ E }{ T }^{ 2 } }{ { 4\pi }^{ 2 } } \right) \)
(ii)புவியின் நிறை ஆரம் மற்றும் சுற்றுக்காலம் T (=24மணி =86400 வினாடிகள்) ஆகியவற்றின் மதிப்புகளை பிரதியிட்டு கணக்கிட h ன் மதிப்பு 36,000km எனக் கிடைக்கிறது. இவ்வகை துணைக்கோள்கள் புவிநிலைத் துணைக்கோள்கள் (geo -stationary satelites) எனப்படுகின்றன. ஏனென்றால் புவியிலிருந்து பார்க்கும் போது இவை நிலையாக இருப்பது போலத் தோன்றும்.
(iii) இந்தியா செய்தி தொடர்புக்குப் பயன்படுத்தும் புவிநிலைத் துணைக்கோளான இன்சாட் அடிப்படையில் புவி நிலைத் துணைக்கோள்களே. புவியின் பரப்பிலிருந்து 500 முதல் 800 km உயரத்தில் புவியினை வடக்கு-தெற்கு திசையில் மற்றொரு வகை துணைக்கோள்கள் சுற்றி வருகின்றன. புவியின் வட-தென் துருவங்கள் மேல் செல்லும் சுற்றும் பாதையில் புவியினை சுற்றி வரும் இவ்வகை துணைக்கோள்கள் துருவத் துணைக்கோள்கள் எனப்படுகின்றன.
(இவ்) துருவத் துணைக்கோள்களின் சுழற்சிக்காலம் 100 நிமிடங்கள். எனவே ஒரு நாளில் பலமுறை புவியினை சுற்றி வருகின்றன. ஒரு சுற்றின்போது புவியின் வடதுருவம் முதல் தென் துருவம் வரை ஒரு சிறிய  நிலப்பரப்பே (strip of area) கடந்து செல்லும். அடுத்தச் சுற்றின் போது வேறு நிலப்பரப்பு பகுதி மேல் கடந்து செல்லும்.
(v) முதல் சுற்று கால அளவில் புவியானது ஒரு சிறிய கோண அளவு சுழன்று இருக்கும். இவ்வ்ரு அடுத்தடுத்த சுற்றுகள் மூலம் துருவ துணைக்கோளானது புவியின் முழு நிலப்பரப்பையும் கடக்க முடியும்.

புவியை சுற்றும் துணைக்கோளின் ஆற்றல் : புவிப்பரப்பிலிருந்து h உயரத்தில் புவியினை வளம் வரும் துணைக்கோளின் மொத்த ஆற்றல் கீழ்கண்ட முறையில் கணக்கிடப்படுகிறது. துணைக்கோளின் மொத்த ஆற்றல் கணக்கிடப்படுகிறது. துணைக்கோளின் மொத்த ஆற்றல் அதன் இயக்க ஆற்றல் மற்றும் நிலை ஆற்றலின் கூட்டுத் தொகையாகும்.
துணைக்கோளின் நிலை ஆற்றல் :
\(U=-\cfrac { GM_{ s }{ M }_{ E } }{ \left( { R }_{ E }+h \right) } \)
இங்கு M_s -துணைக்கோளின் நிறை 
M_E-புவியின் நிறை,
R_E -புவியின் ஆரம்.

துணைக்கோளின் இயக்க ஆற்றல்:
\(K.E=\cfrac { 1 }{ 2 } { M }_{ s }{ v }^{ 2 }\)
இங்கு v என்பது துணைக்கோளின் சுற்றியியக்க வேகம் மேலும் அதன் 
\(v=\sqrt { \cfrac { GM_{ E } }{ \left( { R }_{ E }+h \right) } } \)
இம்மதிப்பை சமன்பாடு 2 ல் பிரதியிட
துணைக்கோளின் இயக்க ஆற்றல் 
\(E=\cfrac { 1 }{ 2 } \cfrac { { GM }_{ E }{ M }_{ s } }{ \left( { R }_{ E }+h \right) } -\cfrac { { GM }_{ E }{ M }_{ s } }{ \left( { R }_{ E }+h \right) } \)
\(E=\cfrac { { GM }_{ E }{ M }_{ s } }{ 2\left( { R }_{ E }+h \right) } \)
இங்கு எதிர் குறியானது துணைக்கோள் புவியுடன் பிணைக்கப்பட்டுள்ளது என்பதையும் துணைக்கோள் புவியின் ஈர்ப்பு புலத்திலிருந்து தப்பிச் செல்ல இயலாது என்பதையும் எடுத்துக்காட்டுகிறது.
முடிவிலி \(\left( \infty \right) \) மதிப்பை ஹ நெருங்கும் போது, மொத்த ஆற்றல் சுழியை நெருங்கும். இதன் பொருள் என்னவென்றால், துணைக்கோளானது புவியின் ஈர்ப்பு புலத்தின் தாக்கதிலிருந்து முற்றிலும் விடுப்பட்டுள்ளது. மேலும் மிக அதிக தொலைவு உள்ளபோது துணைக்கோள் புவியுடன் பிணைக்கப்படுவதில்லை என்பதாகும். 

A,B என்பதன் தண்டின் நீளம் 2 m 
எடை w A யிலிருந்துx தொலைவில் c ல் தொங்கவிடப்பட்டுள்ளது.
T₁T ₂ இழு விசை (எஃகு மற்றும் பித்தளை கம்பிகள்)
(i) எஃகுக் கம்பியில் தகைவு = \(\cfrac { { T }_{ 1 } }{ { { A }_{ 1 } } } \)
பித்தளையின் தகைவு = \(\cfrac { { T }_{ 2 } }{ { A }_{ 2 } } \)
இரு தகைவுகளும் சமம் எனில் 
\(\cfrac { { T }_{ 1 } }{ { A }_{ 2 } } =\cfrac { { T }_{ 2 } }{ { A }_{ 2 } } \)
\(\cfrac { { T }_{ 1 } }{ { A }_{ 2 } } =\cfrac { { T }_{ 2 } }{ { A }_{ 2 } } =\cfrac { 0.1 }{ 0.2 } =\cfrac { 1 }{ 2 } \)
சமநிலையில் 
T₁ =T₂ (2-x)
\(\cfrac { { T }_{ 1 } }{ T_{ 2 } } =\cfrac { 2-x }{ x } =\cfrac { 1 }{ 2 } =\cfrac { 2-x }{ x } \Rightarrow 4-2x\)
\(x=\quad \cfrac { 4 }{ 3 } 1.33\quad mm\)
(ii) y=
\(\therefore \)   திரிபு = தகைவு/y 
எஃகுக் கம்பியில் திரிபு = \(\cfrac { \cfrac { { T }_{ 1 } }{ { A }_{ 1 } } }{ { Y }_{ 1 } } \)
பித்தளைக் கம்பியில் திரிபு =  \(\cfrac { \cfrac { { T }_{ 2 } }{ { A }_{ 2 } } }{ { Y }_{ 2 } } \)
\(\cfrac { { T }_{ 1 } }{ { A }_{ 1 }{ Y }_{ 1 } } =\cfrac { { T }_{ 2 } }{ { A }_{ 2 }{ Y }_{ 2 } } =\cfrac { 0.1cm^{ 2 }\times 20\times 10^{ 10 }Nm^{ -2 } }{ 0.2{ m }^{ 2 }\times 10\times { 10 }^{ 10 }Nm^{ -2 } } \)
T₁ x= T₂ (2-x)
1 = \(\cfrac { 2-x }{ x } \)
x = 1m

    

  

சீராகப் பாயும் நீர்மத்திற்கு மூவகையான ஆற்றல்கள் உண்டு அவை (i) இயக்க ஆற்றல்  (ii) நிலை ஆற்றல் (iii) அழுத்த ஆற்றல் ஆகும்.
(i) இயக்க ஆற்றல்:m நிறையும் v திசைவேகமும் கொண்ட நீர்மத்தின் இயக்க ஆற்றலானது.
\(KE=\cfrac { 1 }{ 2 } { mv }^{ 2 }\)
இதே போல் ஓரலகு பருமனுக்கான இயக்க ஆற்றல் 
  = \(\cfrac { \cfrac { 1 }{ 2 } mv^{ 2 } }{ V } =\cfrac { 1 }{ 2 } \left( \cfrac { m }{ V } \right) ={ v }^{ 2 }=\cfrac { 1 }{ 2 } { \rho v }^{ 2 }\)
(ii) நிலையாற்றல்: தரை மட்டத்திலிருந்து h உயரத்திலுள்ள m நிறை கொண்ட நீர்மத்தின்  நிலையாற்றல் 
PE= mgh 
ஓரலகு நிறைக்கான நிலையாற்றல் 
\(\cfrac { PE }{ m } =\cfrac { mgh }{ m } =gh\)
இதே போல் ஓரலகு பருமனுக்கான  நிலையாற்றல்
= =\(\cfrac { mgh }{ V } =\left( \cfrac { m }{ V } \right) gh=\rho gh\)
(iii) அழுத்த ஆற்றல்: நீர்மத்தின்மீது அழுத்தத்தைச் செலுத்துவதால் 

FXd=(PA) X = P(A X D)
\(\Rightarrow \) F X d = W =PV அழுத்த ஆற்றல் 
எனவே அழுத்த ஆற்றல் E_p =PV 
ஓரலகு நிறைக்கான அழுத்த 
\(\cfrac { { E }_{ p } }{ m } =\cfrac { PV }{ m } =\cfrac { P }{ { \cfrac { m }{ V } } } =\cfrac { P }{ \rho } \)
இதேபோல் ஓரலகு பருமனுக்கான அழுத்த ஆற்றல் 

(i) அடர்த்தி பரப்பு இழுவிசை போன்ற இயற பண்புகள் காரணமாக வெவ்வேறு திரவங்கள் ஒன்றாகப் கலப்பதில்லை. எடுத்துக்காட்டாக நீரும், மண்ணெண்ணெயும் ஒன்றாக கலப்பதில்லை. பாதரசம் கண்ணாடியில் ஒட்டுவதில்லை. ஆனால் நீரானது கண்ணாடியில் ஓட்டும். நீரானது தண்டுகள் வழியாக இலைகள் வரை மேலேறும். அவை பெரும்பாலும் திரவங்களின் மேற்பரப்புகளுடன் தொடர்பு கொண்டவையாக இருக்கின்றன.
(ii) திரவங்களுக்கு வரையறுக்கப்பட்ட வடிவமில்லை ஆனால் வரையறுக்கப்பட்ட பருமன் உண்டு. எனவே அவற்றை கொள்கலனில் ஊற்றும் போது அவை தகவையற்ற மேற்பரப்பைப் பெறுகின்றன. எனவே மேற்பரப்பானது கூடுதலாக ஆற்றலைப் பெறுகிறது. அது மேற்பரப்பு ஆற்றல் எனப்படுகிறது.
(iii) மேற்கண்ட நிகழ்வுக்கு காரணம் பரப்பு இழுவிசை என்ற பண்பாகும். லாப்லஸ் மற்றும் காஸ் என்ற அறிஞர்கள் பரப்பு இழுவிசை மற்றும் வெவ்வேறு சூழ்நிலைகளில் திரவத்தின் இயக்கம் பற்றிய கோட்ப்பாடுகளை உருவாக்கினார். நீர்ம மூலக்கூறுகள் திடப் பொருளில் உள்ளது. போல் இறுகப் பிணைக்கப்படுவதில்லை. எனவே அவை எளிதாக நகருகின்றன.

(iv) ஒரு திரவத்தில் உள்ள ஒரே வகையான நீர்ம மூலக் கூறுகளுக்கிடேயே ஏற்படும் விசையானது ஓரினக்கவர்ச்சி விசை எனப்படுகிறது.ஒரு நீர்மமானது திடப்பொருளைத் தொடும்போது திரவ மற்றும் திடப்பொருள் மூலக் கூறுகள் வேறினக் கவர்ச்சி விசை (adhesive force) என்ற கவர்ச்சி விசயைப் பெறுகின்றன. இவ்வகையான மூலக்கூறுகளுக்கு இடைப்பட்ட விசையானது. 10-9 (அதாவது 10) என்ற குறுந்தொலைவுக்கு மட்டுமே செயல்படும்.
அனைத்து திசைகளிலும் இவ்வகையான மூலக் கூறிடை விசைகள் செயல்படும் தொலைவனது கவர்ச்சிப்புலம் (sphere ஒப்பி influence) எனப்படுகிறது.இப்புலத்திற்கு அப்பாலுள்ள விசைகள் புறக்கணிக்கப்படுகின்றன.
(vi) ஒரு திரவத்தில் A,B மற்றும் C என்ற மூன்று வேறுபட்ட மூலக்கூறுகளைக் கருதுக. எ எனும் மூலக்கூறானது அனைத்து திசைகளிலும் உள்ள எல்லா மூலக்கூறுகளுடன் இடைவினை புரிவதால் A உணரும் தொகுபயன் விசை சுழியாகும். B என்ற மூலக்கூறானது, நான்கில் மூன்று பாகம் காற்றிலும் உள்ளன. பி க்கு கீழ்ப்பகுதியில் அதிக மூலக்கூறுகள் இருப்பதால் அது கீழ் நோக்கிய தொகுப்பயன் விசையைப் பெறுகிறது.
(vii) இதேபோல் C என்ற மூலக்கூறு திரவத்தின் மேற்பரப்பில் உள்ளதால் (அதாவது மேற்பாதி காற்றிலும், கீழ்பாதி திரவத்திலும்) அதிகபட்ச கீழ் நோக்கு விசையைப் பெறுகிறது. ஏனெனில் அதிகமான திரவ மூலக்கூறுகள் கீழ் பகுதியில் உள்ளன. எனவே மூலக்கூறு எல்லைக்குள் உள்ள திரவ மூலக்கூறுகள் அனைத்தும் C மூலக்கூறுடன் இடைவினை புரிந்து கீழ் நோக்கிய விசையை உணர்கிறது என்பது தெளிவாகிறது.உட்பகுதியினுள் இருக்கும் எந்த மூலக்கூறையும் திரவத்தின் மேற்பரப்புக்குக் கொண்டுவர ஓரினக்கவர்ச்சி விசைக்கு எதிராக வேலை செய்ய வேண்டியுள்ளது. இவ்வேலைநிலையானது மூலக்கூறுகளில் நிலையற்றலாக சேமிக்கப்படுகிறது. எனவே, திரவ மேற்பரப்பில் உலா மூலக்கூறுகள் உட்பகுதியினுள் உள்ள மூலக்கூறுகளை விட அதிக நிலையாற்றலைப் பெற்றுள்ளன.
(viii) ஆனால் ஒரு அமைப்பு சமநிலையில் இருக்க வேண்டுமாயின் அதன் நிலையாற்றல் (பரப்பு ஆற்றல்) சிறுமமாக இருக்க வேண்டும். எனவே உறுதிச்சமநிலையில் இருக்க திரவமானது சிறும எண்ணிக்கையிலான மூலக்கூறுகளைப் பெற முயலும். வேறு வகையில் கூறவேண்டுமாயின் திரவமானது சிறும மேற்பரப்பினைப் பெற முயலும். திரவத்தின் இந்த விசையை உண்டாக்குகின்றது.       

(i)ஆற்றல் நடுப்பகுதியில் துகளின் திசைவேகம் வினாடிக்கு 4 மீட்டர் இருப்பதாகக் கருதுக. எனவே இந்தப் புள்ளியைக் கடக்கும் அனைத்துத் துகள்களின் திசைவேகங்களும் அதே மதிப்பைப் பெறும். இது போன்ற, கரை யோரத்தில் பாயும் நீர்மத் துகளின் திசைவேகம் வினாடிக்கு 0.5 மீட்டர் எனில் அதனைப் பின் தொடரும் அனைத்து நீர்மத் துகளின் திசைவேகங்களும் அதே மதிப்பைப் பெறும்.
(ii) ஒரு திரவ ஓட்டத்தில், ஒரு புள்ளியின் வழியே செல்லும் ஒவ்வொரு திரவத்துகளும் அதற்கு முன்னர் சென்ற துகள்களின் பாதையிலேயே அதே திசைவேகத்தில் இயங்கினால் அந்த திரவ ஓட்டமானது வரிச்சீர் ஓட்டம் எனப்படும்.
(iii) இதனை சீரான ஓட்டம் அல்லது அடுக்குமுறை ஓட்டம் (Laminar flow ) எனவும் குறிப்பிடலாம். இயங்கும் பாய்மத்துகள் மேற்கொள்ளும் வளைவான பாதை வரிச்சீர் எனப்படுகிறது. எந்த ஒரு புள்ளியிலும் அதன் தொடுகோடானது அந்தப் புள்ளியில் பாய்ம ஓட்டத்தின் திசையைக் கொடுக்கிறது. இதனை இவ்வாறு அழைப்பதற்குக் காரணம் இது ஒரு நீர் ஓடை அல்லது இலட்சிய நிலையில் உள்ள ஆற்றைப் போன்று உள்ளதே ஆகும்.

(iv) நீர்ம ஓட்டத்தின் திசைக்கு செங்குத்தான எந்த ஒரு குறுக்குவெட்டு பரப்பிலும் ஒரே திசை வேகத்தைக் கொண்ட சீரான வரிக் கற்றையைக் கருதினால் அந்த கற்றை குழாய் வடிவ ஓட்டம் (tube of flow) எனப்படும். குழாய் வடிவ ஓட்டத்தில் உள்ள எந்த ஒரு நீர்மத் துகளும் அதன் இயக்கம் முழுவதற்கும் குழாயினுள்ளேயே எப்போதும் இருக்கும் மற்றும் மற்ற குழாய் திரவத்துடன் கலக்காது என்பதை முக்கியமாக கவனிக்க வேண்டும்.
(v) குழாய் வடிவ ஓட்டத்தின் அச்சு எப்போதும் வரிச்சீர் ஓட்டத்தை தரும். வரிச்சீர் ஓட்டங்கள் எப்போதும் பாய்மத் துகள்களின் இயக்கப் பாதைகளைக் குறுகிக்கின்றன. பாய்மத்தின் ஓட்டம் மறுநிலைத் திசைவேகம் எனப்படும். ஒரு குறிப்பிட்ட திசைவேகம் வரை வரீச்சீராக உள்ளது. இதன் பொருள், மறுநிலைத் திசைவேகத்திற்குக் குறைவான வேகத்தில் பாயும் போது வரிச்சீர் ஓட்டத்தைப் பெறலாம்.      

தகைவு -திரிபு விவரப்படம் என்பது ஒவ்வொரு பளு மதிப்பிற்கும் தகைவு மற்றும் திரிபு அளவிடப்பட்டு திரிபை X -அச்சிலும் , தகைவை y - அச்சிலும்  கொண்டு வரையப்பட்ட ஒரு வரைபடம் ஆகும். பொருள்களின் மீட்சிப்பண்புகளை தகைவு -திரிபு  விவரப்படத்திலுருந்து பகுப்பாய்வு செய்யலாம். 

(i) பகுதி OA : இந்த பகுதியில் தகைவானது  திரிபுக்கு நேர்த்தகவில் இருக்கும் வகையில் தகைவானது மிகவும் குறைவாக உள்ளது.அதாவது ஹீக்  விதிக்கு  உட்படுகிறது..புள்ளி A ஆனது  விகித எல்லை எனப்படும், ஏனென்றால்  இந்த புள்ளிக்கு மேல் ஹீக் விதி பொருந்தாது. OA கோட்டின் சாய்வு கம்பியின் யங் குணகம் ஆகும்.
(ii) பகுதி AB தகைவானது மிக குறைவான அளவு அதகர்க்கப்பட்டால் இந்தப் பகுதி  அடையப்படுகிறது. இந்த பகுதியில் தகைவானது திரிபுக்கு நேர்த்தகவில்  இல்லை.ஆனால் நீட்சி  விசை நீக்கப்பட்டால் கம்பியானது அதன் தொடக்க நீளத்திர்ற்கு திரும்பும் . இந்த பண்பு B புள்ளியில் முடிவடைகிறது. எனவே பி புள்ளி விளைவுபுள்ளி (மிட்சீ எல்லை )எனப்படும் . தகைவு -திரிபு  வரைபடத்தில் OAB ஆனது பொருளின் (இங்கு கம்பி )மீட்சிப்பணப்பை குறிக்கிறது.
(iii) பகுதிBC : கம்பியானது புள்ள (B)க்கு  (மிட்சீ எல்லை) மேல் நீட்டப்படுமானால் , தகைவு அதிகரிக்கிறது மற்றும் கம்பியானது நீட்சி விசை நீக்கப்படும் போது  தனது ஆரம்ப நீளத்தை மீண்டும் பெறாது.
(iv) பகுதி CD: தகைவானது C-க்கு அப்பால்  அதிகரிக்கப்பட்டால் திரிபு  மிக விரைவாக அதிகரித்து புள்ளி D ஐ அடையும். Dக்கு அப்பால் கம்பியானது எந்த பளுவும் சேர்க்கப்படாமலேயே நீண்டு கொண்டே சென்று புள்ளி E இல் முறிகிறது.எந்த பெருமத்தகைவிற்கு (இங்கு D) அப்பால் கம்பி முறிவடைகிறதோ அங்கு தகைவு முறிவுத்தகைவு  அல்லது நீட்சி வலிமை (tensile  strength) எனப்படும். அதற்குரிய புள்ளி (D ) முறிவுப்புள்ளி  எனப்படும். BCDE பகுதிகம்பிப் பொருளின் மீட்சியற்றத் தன்மையைக்  குறிக்கிறது.                                                                                         

தொடர்மாறிலிச் சமன்பாடு: ஒரு குழாயின் வழியே செல்லும் நீர்ம நிறையின் வீதத்தை அறிய நீர்மம் பாய்வது சீராக இருப்பதாகக் கருதவேண்டும். நீர்மம் பாய்வது சீராக இருப்பதாகக் கருதவேண்டும். நீர்மம் பாய்வது சீராக இருக்க வேண்டுமெனில் பாயும் நீர்மத்தின் ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் திசைவேகமானது நேரத்தைப் பொறுத்து மாறிலியாக அமைய வேண்டும். இந்த நிபந்தனையில் நீர்மத்தின் ஓட்டமானது வரிச்சீர் ஓட்டமாக அமையும்.
(i) சீரற்ற குறுக்கு வெட்டுப்பரப்பு a₁  மற்றும் a₂ அதாவது a₁> a₂ கொண்ட AB என்ற குழாய்க் கருதுக.பாகுநிலையற்ற அமுக்க இயலாத நீர்மம் சீராக v₁ மற்றும் v₂ என்ற திசைவேகத்தில் பாய்ந்து செல்கிறது.

(ii). \(\Delta t\) என்ற கால அளவில் A என்ற பகுதியின் வழியே செல்லும் நீர்மத்தின் நிறை m₁ எனில் \({ m }_{ 1 }=\left( { a }_{ 1 }{ v }_{ 1 }\Delta t \right) \rho \)
\(\Delta t\)  என்ற கால அளவில் A என்ற பகுதியின் வழியே செல்லும் நீர்மத்தின் நிறை m₁ எனில்\({ m }_{ 1 }=\left( { a }_{ 2 }{ v }_{ 2 }\Delta t \right) \rho \)
அமுக்க இயலாத நீர்மத்தில் நிறை மாறாது m₁=m₂
m₁=m₂
\(\left( { a }_{ 1 }{ v }_{ 1 }\Delta t \right) \rho =\left( { a }_{ 2 }{ v }_{ 2 }\Delta t \right) \rho \)
\({ a }_{ 1 }{ v }_{ 1 }={ a }_{ 2 }{ v }_{ 2 }\Rightarrow av=\)மாறிலி 
(iii). இது தொடர் மாறிலிச் சமன்பாடு எனப்படும். இது பாயும் பாய்மங்களின் நிறையானது மாறாமல் இருப்பதைக் காட்டுகிறது. பொதுவாக av = மாறிலி. இதன் பொருள் பருமப்பாயம் அல்லது பாயும் வீதம் குழாய் முழுவதும் மாறிலி என்பதாகும். மாறாக குறுக்கு வெட்டுப் பரப்பு குறைவாக இருப்பின் பாய்மத்தின் திசைவேகம் அதிகமாக இருக்கும்.

துளி மற்றும் குமிழியினுள் மிகையழுத்தம்:
(i) நீர்மத்துளிகளும், சிறு குமிழிகளும் பரப்பு இழுவிசையின் காரணமாகவே கோள வடிவை பெறுகின்றன.
(ii) துளிகளும், குமிழிகளும் குவிந்த மேற்பரப்பை பெற்றுள்ளதால், அவற்றினுள் அழுத்தம் வெளி அழுத்தத்தை விட அதிகமாகும்.
1. திரவ துளியினுள் மிகையழுத்தம்:
(i) R - ஆரமும் T - பரப்பு இழுவிசையும் கொண்ட ஒரு திரவ துளியை கருதுவோம்.
(ii) அரைகோள வடிவ திரவ துளியில் செயல்படும் விசைகள்.
(iii) பரப்பு இழுவிசையால் வலப்புறமாக செயல்படும் விசை F_T = 2ㅠRT
(iv) வெளிப்புற அழுத்தம் P₁ - ஆல் வலப்புறமாக செயல்படும் விசை F_^p1 = P₁ㅠR²
(v) உட்புற அழுத்தம் P₂ ஆல் இடப்புறமாக செயல்படும் விசை F_^p2 = P₂ㅠR²

(vi) திரவத்துளி சமநிலையில் உள்ளதால்
F_T + F_^p1 = F_^p2
2ㅠRT + P₁ㅠR² = P₂ㅠR²
(or) P₂ㅠR² - P₁ㅠR² = 2ㅠRT
(or) (P₂-P₁) ㅠR² = 2ㅠRT
(or) (P₂-P₁) = \(\frac { 2\pi RT }{ \pi { R }^{ 2 } } \)
(or) (P₂-P₁) = \(\frac { 2T }{ R } \)
(vii) இங்கு (P₂-P₁) = ∆P என்பது மிகையாளுதல் ஆகும். எனவே,
∆P = \(\frac { 2T }{ R } \)
2. திரவ குமிழியினுள் மிகையழுத்தம்:
(i) R - ஆரமும் T - பரப்பு இழுவிசையும் கொண்ட ஒரு சோப்பு குமிழியை கருதுவோம்.
(ii) சோப்பு குமிழிக்கு உட்புறம் மற்றும் வெளிப்புறம் என காற்றுடன் தொடும் இரு பரப்புகள் உள்ளன
(iii) எனவே பரப்பு இழுவிசையால் இரண்டு பரப்புகளிலும் விசை செயல்படும்
(iv) அரை கோள வடிவ சோப்பு குமிழியில் செயல்படும் விசைகள்

(v) பரப்பு இழுவிசையால் வலப்புறமாக செயல்படும் விசை F_T = 2(2ㅠRT)
(iv) வெளிப்புற அழுத்தம் P1 ஆல் வலப்புறமாக செயல்படும் விசை
F_T + F_^p1 = F_^p2
2(2ㅠRT) + P₁ㅠR² = P₂ㅠR²
(or) P₂ㅠR² - P₁ㅠR² = 4ㅠRT
(or) (P₂-P₁) ㅠR² = 4ㅠRT
(or) (P₂-P₁) = \(\frac { 4\pi RT }{ \pi { R }^{ 2 } } \)
(or) (P₂-P₁) = \(\frac { 4T }{ R } \)
(vii) இங்கு (P₂-P₁) = ∆P என்பது மிகையாளுதம் ஆகும். எனவே,
∆P = \(\frac { 4T }{ R } \)
3. காற்று குமிழியினுள் மிகையழுத்தம்:
(i) R - ஆறாம் கொண்ட காற்றுக் குமிழி ஒன்று
T - பரப்பு இழுவிசை கொண்ட நீர்மத்தில் உள்ளதாக கருதுவோம்
(ii) அரைக்கோள வடிவ காற்றுக் குமிழியில் செயல்படும் விசைகள்
(iii) பரப்பு இழுவிசையால் வலப்புறமாக செயல்படும் விசை F_T = 2ㅠRT
(iv) வெளிப்புற அழுத்தம் P₁ - ஆல் வலப்புறமாக செயல்படும் விசை  F_^P1 = P₁ㅠR²
(v) உட்புற அழுத்தம் P2 ஆள் இடப்புறமாக செயல்படும் விசை  F_^P2 = P₂ㅠR²

(vi) திரவத்துளி சமநிலையில் உள்ளதால்,
F_T+Fp₁ = Fp₂
2(2ㅠRT) + P₁ㅠR² = P₂ㅠR²
(or) P₂ㅠR² - P₁ㅠR² = 2ㅠRT
(or) (P₂-P₁) ㅠR² = 2ㅠRT
(or) (P₂-P₁) = \(\frac { 2\pi RT }{ \pi { R }^{ 2 } } \)
(or) (P₂-P₁) = \(\frac { 2T }{ R } \)
(vii) இங்கு (P₂-P₁) = ∆P என்பது மிகையாளுதம் ஆகும். எனவே,
∆P = \(\frac { 2T }{ R } \)

முற்றுத்திசைவேகத்திற்கான சமன்பாடு:
(i) கோளம் ஒன்று அதிக பகுதிநிலை திரவம் தானாக விழுழுவதற்காக கொள்வோம்
(ii) (கோளத்தின் ஆரம் = r
கோளத்தின் அடர்த்தி = ρ
திரவத்தின் அடர்த்தி = σ
திரவத்தின் பாக்கியம் எண் = η
(i) கோளத்தின் மீது கீழ்நோக்கிய செயல்படும் ஈர்ப்பு விசை 
\({ F }_{ g }=mg=\rho Vg=\rho \frac { 4 }{ 3 } { \pi }r^{ 2 }g\)
(iv) கோளத்தால் இடப்பெயர்ச்சி செய்யப்பட்ட திரவத்தால் மேல்நோக்கி செயல்படும் உந்துவிசை,
\(U={ m }^{ ' }g=\sigma Vg=\sigma \frac { 4 }{ 3 } { \pi }r^{ 2 }g\)
(v) முற்று திசைவேகத்தில் மேல்நோக்கிய பாகுநிலை விசை
F = 6π η r v_t

(vi) எனவே சமநிலையில்
F_g=U+F
(or) F_g-U=F
\(\rho \frac { 4 }{ 3 } { \pi }r^{ 3 }g-\sigma \frac { 4 }{ 3 } { \pi }r^{ 3 }g=6\pi \eta r{ v }_{ t }\)
\(\frac { 4 }{ 3 } { \pi }r^{ 3 }(\rho -\sigma )g=6\pi \eta r{ v }_{ t }\)
\({ v }_{ t }=\frac { 4 }{ 3 } \frac { { \pi r }^{ 3 }(\rho -\sigma )g }{ 6\pi \eta r } \)
\({ v }_{ t }=\frac { 2 }{ 9 } \frac { { r }^{ 2 }(\rho -\sigma )g }{ \eta } \)
(vii) எனவே, v_t ∝ r²
(viii) இங்கு ρ > σ என்பதால் (ρ - σ) மதிப்பு நேர்குறி மதிப்பாக அமையும். எனவே முற்று திசைவேகம் மேற்க்குறியாகிறது. எனவே முற்று திசைவேகம் நேரக்குறியானது. இதனால், கோளம் திரவத்தின் வழியே கீழ்நோக்கி இயங்கும்.
(ix) மாறாக ρ < σ எனில் (ρ - σ) மதிப்பு எதிர்க்குறி மதிப்பாக அமையும். எனவே முற்று திசைவேகம் எதிர்க்குறியாகும். இதனால்தான் திரவத்தில் உள்ள காற்று குமிழ்கள் மேல்நோக்கி எழுகிறது.

நீர்ம பரப்பிலிருந்து கீழே h ஆழத்தில் மொத்த அழுத்தம்:
(i) நிலையான நீர்மத்தில் A-குறுக்குவெட்டு பரப்பு கொண்ட உருளை வடிவ நீர் மாதிரியாய்க் கருதுவோம்.
(ii) நீர்மத்தின் மேற்பரப்பிலிருந்து நீர்மத்திரியின் மேல்மட்டம் h₁ ஆழத்திலும் கீழ்மட்டம் h₂ ஆழத்திலும் உள்ளது என்க.
(iii) h₁ மற்றும் h₂ ஆழத்தில் அழுத்தங்கள் முறையே P₁ மற்றும் P₂ என்க.
(iv) நீர் மாதிரியின் மேல்மட்டத்தில் மேல்நோக்கி செயல்படும் விசை F₁ மற்றும் கீழ்மட்டத்தில் கீழ்நோக்கி செயல்படும் விசை F₂ என்க.
(v) எனவே,
F₁ = P₁ A
F₂ = P₂ A
(vi) நீர்மாதிரியின் நிறை m - எனில் கீழ்நோக்கி செயல்படும் அதன் எடை Fg = mg
(vii) எனவே சமநிலையில்
F₂ = F₁ + F_g
P₂ A = P₁ A + mg ...(1)
(viii) நீரின் அடர்த்தி ρ - எனில்
m = ρV = ρA(h₂ - h₁)
(ix) இதனை சமன்பாடு (1) - ல் பிரதியிட
P₂A = P₁A + ρ A(h₂ - h₁)g 
(or) P₂ = P₁ + ρ(h₂ - h₁)g    ...(2)
(x) நீர் மாதிரியின் மேல்மட்டம் நீர்மத்தின் மேற்பரப்பிலும், கீழ்மட்டம் h ஆழத்திலும் கருதினால் h₂ = h  ஆகும்
(xi) மேலும் P₁ = Pa (காற்றழுத்தம்) மற்றும் P₂ = P (என்க). எனவே சமன்பாடு (2) ஆனது.
P = P_a + ρ(0 - h)g
P = P_a + ρhg  ...(3)
இங்கு, P_a = 1.013 x 10⁵ ⟶ காற்றழுத்தம்
(xii) எனவே, h ஆழத்தில் உள்ள அழுத்தம், நீரின் பரப்பில் உள்ள அழுத்தத்தைவிட (அதாவது காற்றழுத்தத்தை விட) அதிகமாகும்.
காற்றழுத்தத்தை புறக்கணித்தால்,
P = ρgh ....(4)
(xii) கொடுக்கப்பட்ட திரவத்திற்கு ρ மற்றும் g  மாறிலி. எனவே அழுத்தமானது நீர்மத்தம்பத்தின் உயரம் அல்லது செங்குத்து தொலைவுக்கு நேர்தக்கவில் இருக்கும். அதாவது அழுத்தமானது குறுக்கு பரப்பு அல்லது அடிப்பரப்பு அல்லது வடிவத்தை சார்ந்ததல்ல.

மூவகை மீட்சிக் குணகங்கள் உள்ளன.
(i) யங்குணகம் (young's modulus) :
(ii)பருமக் குணகம் (bulk modulus ) :
(iii) விறைப்புக் குணகம் அல்லது சறுக்குப் பெயர்ச்சிக் குணகம் (the  rigidity modulus or modulus ).       
யங் குணகம் (Young’s modulus)
ஒரு கம்பியா னது நீட்டிக்கப்பட்டால் அல்லது அமுக்கப்பட்டால் இழுவிசைத் தகைவு (அல்லது அமுக்கத்தகைவு) மற்றும் இழுவிசைத்திரிபு (அல்லது அமுக்கத்திரிபு) ஆகியவற்றுக்கு இடையே உள்ள விகிதம் யங் குணகம் என வரையறுக்கப்படுகிறது.
பருமக் குணகம் (Bulk modulus)
பருமத்தகைவுக்கும் பருமத்திரிபுக்கும் இடையே உள்ள விகிதமே பருமக் குணகம் என வரையறுக்கப்படுகிறது.
விறைப்புக் குணகம் அல்லது சறுக்குப் பெயர்ச்சிக் குணகம்: (Rigidity modulus or Shear modulus):
சறுக்குப் பெயர்ச்சித் தகைவிற்கும் சறுக்குப் பெயர்ச்சித் திரிபுக்கும் உள்ள விகிதம் விறைப்புக்குணகம் என வரையறுக்கப்படுகிறது.

புவிபரப்பிலிருந்து h உயரத்தில் உள்ள நிறை m ஐ கருதுவோம். புவியின் ஈர்ப்பு விசையால் அப்பொருள் உணரும் முடுக்கம்.
\(g'=\frac { GM }{ { ({ R }_{ e }+h) }^{ 2 } } \)
\({ g }^{ ' }=\frac { GM }{ { R }^{ 2 }_{ e }{ \left( 1+\frac { h }{ { R }_{ e } } \right) }^{ 2 } } \)
\(g'=\frac { GM }{ { R }_{ e }^{ 2 } } { \left( 1+\frac { h }{ { R }_{ e } } \right) }^{ -2 }\)

h << R_e எனில் ஈருறுபு தேற்றத்தினை பயன்படுத்தி பின்பு உயிர் அடுக்குகளைப் புரக்கணித்துப் பின்வருமாறு எழுதலாம்.
\(g'=\frac { GM }{ { R }_{ e }^{ 2 } } \left( 1-2\frac { h }{ { R }_{ e } } \right) \)
\(g'=g\left( 1-2\frac { h }{ { R }_{ e } } \right) \)
இதிலிருந்து g' < g என நாம் காண்கிறோம். இதன் பொருள் குத்துயரம் h அதிகரிக்கும்போது ஈர்ப்பு முடுக்கம் g குறைகிறது என்பதாகும்.  

ஈர்ப்பியல் விதியின் முக்கிய பண்புகள்:
(i) ஈர்ப்பியல் விசையானது r² க்கு எதிர்த் தகவில் உள்ளதால் இரு நிறைகளுக்கு இடையேயான தொலைவு அதிகரிக்கும் போது, ஈர்ப்ப்பியல் விசையின் வலிமை குறைகிறது. ஆகவேதான் சூரியனிடமிருந்து புவியை விட அதிக தொலைவில் உள்ள யுரேனஸ் புவியினை வீட்டா குறைந்த அளவு ஈர்ப்பியல் விசையினை உணர்கிறது.

(ii) இரு துகள்களுக்கு இடையே செயல்படும் ஈர்ப்பியல் விசை எப்பொழுதும் செயல் -எதிர்ச்செயல்(action-reaction) இணையாகவே அமையும். புவி மீது சூரியன்  ஏற்படுத்தும் ஈர்ப்பியல் விசை சூரியனை நோக்கி செயல்படும். இது எதிர்செயல் விசை(reaction force) ஆகும். இரு விசைகளும் வெவ்வேறு பொருள்களின் மீது செயல்படுகின்றன.
(iii) சூரியனின் ஈர்ப்பு விசையினால் பூமியின் மீது ஏற்படும் திருப்பு விசையானது கீழே தரப்பட்டுள்ளது.
\(\vec { r } =\vec { r } \times \vec { F } =\vec { r } \times \left( -\frac { G{ M }_{ s }{ M }_{ E } }{ { r }^{ 2 } } \hat { r } \right) \)
ஏனென்றால் \(\vec { r } =r\hat { r } ,(\hat { r } \times \hat { r } )\) =0.
எனவே \(\vec { \tau } =\frac { \vec { dL } }{ dt } \)=0. இதிலிருந்து அறிவது என்னவென்றால் பூமியின் கோண உந்தம் \(\vec {L}\)சூரியனைப் பொறுத்து ஒரு மாறா வெக்டராகும். இது அனைத்துக் கோள்களுக்கும் பொருந்தும். இன்னும் செல்வதென்றால் இந்த கோண உந்த மாறாத் தன்மைதான் கெப்ளரின் இரண்டாம் விதியை ஏற்படுத்துகிறது.
(iv) m₁ மற்றும் m₂ நிறைகள் புள்ளி நிறைகள் என்ற அனுமானத்தின் அடிப்படையிலேயே  \(\vec { F } =-\frac { G{ M }_{ 1 }{ M }_{ 2 } }{ { r }^{ 2 } } \hat { r } \)சமன்பாடு பயன்படுத்தப்படுகிறது. சூரியனைச் சுற்றி வருகிறது எனும் போது நாம் சூரியனையும் புவியையும் புள்ளி நிறைகளாக கருதுகிறோம். சூரியனுக்கும் புவிக்கும் இடையே உள்ள தொலைவினை அவற்றின் விட்டத்துடன் ஒப்பிடும் போது அவற்றை புள்ளி திட்டத்துடன் ஒப்பிடும் போது அவற்றை புள்ளி நிறைகளாக கருதுவதில் தவறில்லை.
(v) ஒரே ஒரு சிறப்பு நேர்வில் மட்டும் இரு பொருள்கள் மிக அருகில் இருந்தாலும், புள்ளிநிறை என்ற அனுமானத்தை பயன்படுத்தலாம்.
(vi) சீரான அடர்த்தியும் நிறை M மம் வுடைய உள்ளீடற்ற கோளத்திற்கும், அக்கோளத்திற்கு வெளியே உள்ள புள்ளிநிறை m க்கும் இடையே உள்ள ஈர்ப்பியல் விசையை கணக்கிடும் போது, இவை இரண்டும் குறைந்த தொலைவில் உள்ள போதும் கோளத்தை புள்ளி நிறை என கருதி ஈர்ப்பியல் விசை சமன்பாட்டை பயன்படுத்தலாம். உள்ளீடற்ற கோலத்திற்கு பதிலாக நிறை M வுடைய புள்ளி நிறையானது அக்கோளத்தின் மையப்புள்ளியில் உள்ளதாககே கருதுவோம். பின்பு இவ்விரு புள்ளி நிறைகளுக்கும் இடையே உள்ள ஈர்ப்பியல் விசையை கணக்கிடலாம். இந்த மதிப்பு உள்ளீடற்ற கோளத்திற்கும் புள்ளி நிறைக்கும் இடையேயான ஈர்ப்பியல் விசைக்கு சமம் ஆகும். உள்ளீடற்ற கோளத்தின் மொத்த நிறையும் அதன் மையப்புள்ளியில் இருப்பது போல தோன்றும்.
(vii) நிறை M வுடைய உள்ளீடற்ற கோளம் ஒன்றை கருதுவோம். உள்ளீடற்ற கோளத்தின் உட்புறம் நிறை m  ஐ வைப்போம். நிறை m உணரும் ஈர்ப்பியல் விசை சுழி ஆகும்.
(viii) நன்கு பழுத்த மாங்கனி , மரத்திலிருந்து கீழே விழுவதற்கு, நிலா புவியை சுற்றுவதற்கும் காரணம் ஒரே ஈர்ப்பியல் விசைதான் என்று விளக்கியதே ஈர்ப்பியல் விதியின் வெற்றியாகும். 

நிலாவின் சுற்றுப்பாதை வட்டம் என கருதுவோம் எனில் நிலாவின் ஆற்றல் 
\({ E }_{ m }=-\frac { { GM }_{ E }{ M }_{ E } }{ { 2R }_{ m } } \)
இங்கு M_E என்பது புவியின் நிலை 6.02 × 10²⁴ kg; நிலாவின் நிறை 7.35 × 10²² kg; நிலவுக்கும் புவிக்கும் இடையேயான தொலைவு  R_m = 3.84 × 10⁵ km; ஈரப்பியல் மாறிலி G = 6.67 x 10^-11Nm²/kg².
\({ E }_{ m }=-\frac { { 6.67\times 10 }^{ -11 }\times 6.02\times { 10 }^{ 24 }\times 7.35\times { 10 }^{ 22 } }{ { 2 }\times 3.84\times { 10 }^{ 5 }\times { 10 }^{ 3 } } \)
\({ E }_{ m }=-38.42\times { 10 }^{ -19 }\times { 10 }^{ 46 }\)
\({ E }_{ m }=-38.42\times { 10 }^{ 27 } \ Joule\)
இங்கு எதிரக்குறியானது நிலா புவியுடன் பிணைக்கப்பட்டுள்ளதை குறிக்கின்றது.
இதே முறையில் புவியின் ஆற்றல் எதிரக்குறி தன்மை உடையது என்பதை  நிரூபிக்கலாம்.

கெப்ளரின் மூன்றாம் விதிப்படி 
T² = c(R_E + h)³
T^2/3 = c^1/3(R_E + h)
\({ \left( \frac { { T }^{ 2 } }{ c } \right) }^{ 1/3 }\)= (R_E + h)
\(c=\frac { { 4\pi }^{ 2 } }{ { GM }_{ E } } \)எனப் பிரதியிட 
\({ \left( \frac { { T }^{ 2 }{ GM }_{ E } }{ 4\pi ^{ 2 } } \right) }^{ \frac { 1 }{ 3 } }=\left( { R }_{ E }+h \right) ;\)
\(h={ \left( \frac { { T }^{ 2 }{ GM }_{ E } }{ 4\pi ^{ 2 } } \right) }^{ 1/3 }-{ R }_{ E }\)
இங்கு புவியின் பரப்பிலிருந்து நிலாவின் தொலைவு h ஆகும்.
R_E - புவியின் ஆரம் = 6.4 × 10⁶ m
M_E - புவியின் நிறை  = 6.02 × 10²⁴ kg
G - ஈரப்பியல் மாறிலி = 6.67 × 10⁻¹¹ \(\frac { { Nm }^{ 2 } }{ { kg }^{ 2 } } \) ஆகிய மதிப்புகளை பிரதியிட்டு 
புவிபரப்பிலிருந்து நிலா உ ள்ள தொலைவு  3.77 × 10⁵ km  எனக் கணக்கிடலாம்

புவியினால் ஆப்பிள் உணரும் ஈர்ப்பியல் விசை 
\(F=\frac { { GM }_{ E }M_{ A } }{ { R }^{ 2 } } \)
இங்கு M_A -ஆப்பிள் நிறை, M_E-புவியின் நிறை, R-புவியின் ஆரம் ஆகும்.
நியூட்டன் இரண்டாம் விதையைப் பயன்படுத்த 

\(M_{ A }a_{ A }=-\frac { { GM }_{ E }M_{ A } }{ { R }^{ 2 } } \)
\(a_{ A }=-\frac { { GM }_{ E } }{ { R }^{ 2 } } \)
 இங்கு 'a_A' ஆப்பிளின் முடுக்கம். இது 'g' க்கு சமம் 
 இதேபோல் புவியினால் நிலா உணரும் விசை 
\(F=\frac { { GM }_{ E }M_{ A } }{ { R }_{ m }^{ 2 } } \)
இங்கு R_m =புவிக்கும் நிலவுக்கும் உள்ள தொலைவு, M_m - நிலாவின் நிறை 
நிலா உணரும் முடுக்கம் 
\(a_{ m }=-\frac { { GM }_{ E } }{ { R }_{ m }^{ 2 } } \)
ஆப்பிளின் முடுக்கத்திற்கும், நிலாவின் முடுக்கத்திற்கும் இடையே உள்ள தகவு 
\(\frac { { a }_{ A } }{ { a }_{ m } } =\frac { { R }_{ m }^{ 2 } }{ { R }^{ 2 } } \)
நிலாவின் சுற்றுப்பாதையானது புவியின் ஆரத்தை போல 60 மடங்கு என ஹிப்பார்க்கஸ் (Hipparchus) முன்னேர கண்டறிந்துள்ளார்.
R_m = 60 R.
\({ a }_{ A }/{ a }_{ m }=\frac { { \left( 60R \right) }^{ 2 } }{ { R }^{ 2 } } =3600\)
இதன் மூலம் ஆப்பிளின் முடுக்கமானது, நிலாவின் முடுக்கத்தைப் போல 3600 மடங்கு பெரியது என அறிகின்றோம். தனது ஈர்ப்பியல் சமன்பாட்டின் மூலம் இதே முடிவை நியூட்டன்  பெற்றார். ஆப்பிளின் முடுக்கம் 9.8 ms^-2 என எளிதில் கண்டறியப்பட்டது. புவியினை சுற்றும் நிலாவின் சுழற்சிக்காலம் 27.3 நாட்கள் என்பதை மைய நோக்கு முடுக்கு சமன்பாட்டில் பயன்படுத்த, நமக்கு கிடைப்பது 
\(\frac { { a }_{ A } }{ { a }_{ m } } =\frac { 9.8 }{ { 0.00272 } } =3600\)
ஈர்ப்பியல் விதியின் மூலமாகவும் இதே மதிப்பினையே நியூட்டன் பெற்றார்.

   

ஈர்ப்பியல் விசை \(F \propto m_1 m_2\)
\(m_1^1=2 m ; m_2^1=2 m_2\) எனில்
\(F \propto m_1^1 m_2^1 \)
\(F \propto\left(2 m_1\right)\left(2 m_2\right) \)
\(F \propto 4 m_1 m_2\)

இரவில் வெறுங்கண்களால் கோள்களின் இயக்கங்களை உற்று நோக்கினோம் எனில் கோள்கள் கிழக்கு திசையில் பயணித்து பின்பு பின்னோக்கி மேற்கு திசையில் இயங்கி மீண்டும் கிழக்கு திசையில் பயணிப்பதை காணலாம். இதற்கு "கோள்களின் பின்னோக்கு இயக்கம்" (Retro grade motion) என்று பெயர்.

சூரியனைக் கோள்கள் சுற்றுவது போல துணைக்கோள்கள் புவியைச் சுற்றி வருகின்றன. எனவே கெப்ளரின் விதிகள் மனிதன் உருவாக்கிய செயற்கைத் துணைக்கோள்களுக்கும் பொருந்துகின்றன.

நைட்ரஜன், ஆக்சிஜன் போன்ற கனமான மூலக்கூறுகள் தப்பிச் செல்ல போதுமான வேகம் உடையவை அல்ல. ஆனால் ஹைட்ரஜன், ஹீலியம் போன்ற லேசான மூலக்கூறுகள் புவிப்பரப்பை விட்டு தப்பி செல்வதற்கு போதுமான வேகம் கொண்டுள்ளன.

(i) நுண்புழையேற்றத்தின் காரணமாக மண் விளக்கிலுள்ள எண்ணெயானது திரியில் மேலே ஏறுகிறது. இதேபோல் தாவரத்தில் இலைகளுக்கு கிளைகளுக்கும் வேரிலிருந்து உயிர் சாறு (sap) மேலேறுகிறது.
(ii) உறிஞ்சு தாளானது மையை உறிஞ்சுகிறது
(iii) கண்களிலிருந்து  கண்ணீர் தொடர்ந்து வடிய  நுண்புழைச் செயல்பாடு  தேவையானதாகும்.
(iv) கோடைகாலங்களில் பருத்தி  ஆடைகள் விரும்பி அணியப்படுகின் றன. ஏனெனில் பருத்தி  ஆடைகளிலுள்ள  நுண்ணிய  துவாரங்கள் வியர்வைக்கு நுண்புழைக் குழாய்களாக செயல்படுகின்றன.                                         

ஈர்ப்பியல் விசை எப்பொழுதும் ஈர்க்கும் தன்மை உடையது என்பதை குறிக்கிறது. ஈர்ப்பியல் விசையானது எப்போதும் இருநிறைகளையும் இணைக்கும் நேர்க்கோட்டின் வழியே செயல்படும்.

இரண்டாம் நூற்றாண்டைச் சேர்ந்த கிரேக்க ரோமானிய வானியல் அறிஞர் கிளாடியஸ் தாலமி (Claudius ptolemy) வான் பொருள்களான சூரியன், நிலா, செவ்வாய், வியாழன் போன்றவற்றின் இயக்கத்தை விளக்குவதற்காக ஒரு கொள்கையை உருவாக்கினார். இம்மாதிரியே புவிமையக் கொள்கை என அழைக்கப்பட்டது. 

பரப்பு இழுவிசைக்கு எடுத்துக்காட்டுகள்:
(i) நீர்பூச்சிகள் (water bugs) மற்றும் நீர் தாண்டிப் பூச்சிகள் (water striders )நீரின் மேற்பரப்பில் நடக்கின்றன நீர்ம மூலக்கூறுகள் உள்நோக்கி இழுக்கப்படுவதால்  நீரின் மேற்பரப்பானது  மீட்சியுள்ள அல்லது இழுத்துக் கட்டப்பட்ட படலத்தை போன்று செயல்படுகிறது.
(ii) இது நீர் பபூச்சிகளின் எடையை சமன் செய்து  அவை நீரின் மேற்பரப்பில் நடக்க உதவுகிறது. இந்த நிகழ்வை பரப்பு இழுவிசை என அழைக்கின்றோம். வண்ணம்  பூசும் தூரிகையின் முடிகள் நீரிலிருந்துவெளியே எடுத்தால் ஒன்றாக ஒட்டிக் கொள்கின்றன. இதன் காரணம் அவற்றில் உருவான நீர் மெல்லேடுகள் ஒரு சிறும பரப்பிற்கு  சுருங்க முனைவதாகும்.                           

ஒரு பொருளின் ஒப்படர்த்தி என்பது அந்த பொருளின்  அடர்த்திக்கும் 4⁰C - ல் நீரின் அடர்த்திக்கும் இடையே உள்ள விகிதம் என வரையறுக்கப்படுகிறது. இது ஒரு பரிமாணற்ற நேர்க்குறி மதிப்புள்ள ஸ்கேலர் அளவாகும்.         

(i) ஒரு பாய்மத்தின் அடர்த்தி என்பது அதன் ஓரலகு பருமனுக்கான நிறை என வரையறுக்கப்படுகிறது. 'V' பருமனைக் கொண்டு m நிறையுள்ள  பாய்மத்தின் அடர்த்தி p = m/V . இதன் SI அலகு  மற்றும் பரிமாணம் முறையே Kg m^-3 மற்றும்  [ML^-3 ]ஆகும் 
(ii) இது நேர்க்குறி மதிப்புள்ள ஸ்கேலர் அளவாகும்.                    

அமுக்கத்தகைவு : \(\triangle \)A  இன் இரு பக்கங்களிலும் செயல்படும் விசைகள் ஒன்றை யொன்று தள்ளினாள் அதாவது  அதன் இரு முனைகளிலும் சமமான  எதிரெதிரான  விசைகளால்  தள்ளப்படுகிறது என்றால் \(\triangle \)A அது  அமுக்கத்திற்கு உட்படுகிறது. தற்போது  நீட்சித்தகைவானது அமுக்கத்தகைவு என அழைக்கப்டுகிறது.                

           

10 ms^-1

(i) மாசுப்பொருள்கள் கலந்திருப்பது அல்லது கலப்படம் சேர்ந்திருக்கும் அளவை பொறுத்து பரப்பு இழுவிசையயை பாதிக்கிறது.
(ii) கரை பொருள்கள் கலந்திருப்பதும் பரப்பு இழுவிசையின் மதிப்பைப் பாதிக்கிறது.
(iii) மின்னூட்ட மானது பரப்பு இழுவிசையை பாதிக்கும்.
(iv) வெப்பநிலையானது நீர்மத்தின் பரப்பு இழுவிசையை மாற்றுவதில் முக்கிய பங்காற்றுகிறது.                 

ஸ்டோக்  r ஆரமுள்ள கோளப் பொருளின் மீது செயல்படும் பாகியல் விசை F ஆனது.
(i) கோளத்தின் ஆரம் (r)
(ii) கோளத்தின்  திசைவேகம் (v ) மற்றும் 
(iii) திரவத்தின் பாகியல் எண்  ஆகியவற்றை சார்ந்தது  என்ற முடிவைப் பெற்றார் .
எனவே  Fa n^xr^yv^z \(\Rightarrow\) F = kn^xr^yv^z,
இங்கு k என்பது ஒரு பரிணாமற்ற் மாறிலி.
பரிமாணங்களைப் பயன்படுத்தி மேற்கண்ட சமன்பாட்டை இவ்வாறு எழுதலாம்.
[MLT^-2] = k [ML^-1T^-1]^x [L]^y x [LT^-1]^z
தீர்வு காண , x  = 1, y  = 1 மற்றும் z  = 1 எனவே  F = kn rv  சோதனை மூலம் k  = 6\(\pi \) என ஸ்டாக் கண்டறிந்தார் . இந்த தொடர்பு ஸ்டோக்  விதி எனப்படும்.                    

வ.எண்	வரிச்சீர் ஓட்டம்	சுழற்சி ஓட்டம்
1.	ஒரு திரவ ஓட்டத்தில்  ஒரு புள்ளியின் வழியே செல்லும் ஒவ்வொரு திரவத்துகளும்  அதற்கு முன்னர் சென்ற துகள்களின் பாதையிலேயே அதே திசைவேகத்தில் இயங்கினால் அந்த திரவ ஓட்டமானது வரிச்சீர் ஓட்டம் எனப்படும்	இயங்கும் பாய்மத்தின் வேகம் மாறுநிலைத் திசைவேகத்தை (V) விட அதிகமானால் இயக்கமானது சுழற்சி ஓட்டமாகும். இந்நேர்வில்  ஒவ்வொரு துகளிலும் திசைவேகமானது, எண் மதிப்பிலும் திசையிலும் மாறுவதால் தனிப்பட்ட துகள்கள்  வரிச்சீர் ஓட்டத்தில் இயங் காது.
2.	எடுத்துக்காட்டு : ஒரு ஆற்றில் அமைதியாக செல்லும் நீரின் ஓட்டம்	எடுத்துக்காட்டு : ஒரு படகின் அல்லது கப்பலின் பின்புறமுள்ள நீரின் ஓட்டம்.

\(K.E.(r=\infty )=\frac { 1 }{ 2 } { Mv }_{ \infty }^{ 2 }\)
\({ V }_{ e }=\sqrt { 2g({ R }_{ E }+h) } =\sqrt { 2g({ R }_{ E }+\infty ) } \)
\(r=\infty \)
\({ v }_{ e }=\sqrt { { v }_{ \infty }^{ 2 }+2g{ R }_{ E } } \)

சூரியனை புவி சுற்றும் வேகம்
v = 30 kms^-1
=30 \(\times\) 10³ ms^-1
புவி இயக்க ஆற்றல் \(K.E=\frac { 1 }{ 2 } { mv }^{ 2 }=?\)
புவியின் நிறை =5.9 \(\times\) 10²⁴ kg
K.E = \(\frac { 1 }{ 2 } \times 5.9\times { 10 }^{ 24 }\times 30\times 30\times { 10 }^{ 3 }\times { 10 }^{ 3 }\)
\(=\frac { 1 }{ 2 } \times 5.9\times { 10 }^{ 24 }\times 900\times { 10 }^{ 6 }\)
= 2655 \(\times\)10³⁰ or = 26.55 \(\times\) 10³² J
P.E = -49.84 \(\times\) 10³²J  [11-ம் கணக்கின் தீர்வு]
\(\therefore\) மொத்த ஆற்றல்
E = P.E. + K.E.
= -49.84 \(\times\) 10³² + 26.55 \(\times\) 10³²
= - 23.29 \(\times\) 10³²J
மொத்த ஆற்றல் எதிர்க்குறி தண்மையுடையது. ஏனெனில் புவி சூரியனுடன் பிணைக்கப்பட்டுள்ளதை குறிக்கிறது. 

பருவங்களே இருக்காது.

ஈர்ப்பு விசை திடீரென மறையும் போது சந்திரன் புவியைச் சுற்றி வரும் தனது சுழற்சியை நிறுத்திவிடும்.அதன் வழக்கமான சுற்றுப்பாதைக்கு தோடு கோட்டுத் திசையில் ஒரு வேகத்துடன் பூமியைச் சுற்றுமாறு சாய்ந்து அமையும்.

ஒரு பொருளைச் சுற்றியுள்ள வெளியில் அதனால் உணரப்படும் புவிஈர்ப்பு விசையானது அதன் புவிஈர்ப்பு புலம் என வரையறுக்கப்படுகிறது.
நிறை M ஆல் r தொலைவில் ஏற்படும் ஈர்ப்பு புலம் பின்வருமாறு குறிக்கப்படுகிறது.
\(\vec { E } =-\frac { G{ M }_{ 1 } }{ { r }^{ 2 } } \hat { r } \)

துகள் விடுப்பதற்கான K.E  = P .E 
\(\frac { 1 }{ 2 } { mv }_{ e }^{ 2 }=\frac { GMm }{ R } \)
ஆனால் அளிக்கப்பட்ட K.E  = \(\frac { 1 }{ 2 } \times \frac { 1 }{ 2 } { mv }_{ e }^{ 2 }=\frac { GMm }{ 2R } \)
துகள் h உயரத்திற்குஎலும்புமானால் 
\(\frac { 1 }{ 2 } \times \frac { 1 }{ 2 } { mv }_{ e }^{ 2 }=\frac { GMm }{ R+h } \)
\(\frac { GMm }{ 2R } =\frac { GMm }{ R+h } \)
h = R     

கோளின் மீதான ஈர்ப்பு விசை (nth அடுக்கில் )
\(F=\frac { GMm }{ { r }^{ n } } \)
இவ்விசையானது  மைய விலக்கு விசை mrw2 ஐ  கோளுக்கு அளிக்கிறது.
\(\frac { GMm }{ { r }^{ n } } ={ mrw }^{ 2 }=mr\left( \frac { 2\pi }{ T } \right) \)
\({ T }^{ 2 }=\frac { v\times 4\pi ^{ 2 }\times { v }^{ 2 } }{ Gm } \)
\(\frac { 4{ \pi }^{ 2 }r^{ (n+1) } }{ Gm } \)
\(T=\frac { 2\pi }{ \sqrt { Gm } } r\frac { \left( n+1 \right) }{ 2 } \)
\(\therefore \) T a \(r\frac { \left( n+1 \right) }{ 2 } \)    

g'=g cos \(\alpha \)
T =\(2\pi \sqrt { \frac { l }{ cos\alpha } } =2\pi \sqrt { \frac { 1 }{ cos\alpha } } \)

குன்றின் உச்சியில் ஈர்ப்பு தன்னிலை ஆற்றலானது புவிபரப்பில் ஈர்ப்பு தன்னிலை ஆற்றலை விட்ட அதிகம்.
அதாவது V_{குன்று}>V_தரை

வெக்டர் அளவுகளான \(\vec {F}\)அல்லது \(\vec {E }\)ஆகியவற்றை விட ஸ்கேலார் அளவுகளான U(r) அல்லது V(r) ஆகியவற்றைப் பயன்படுத்தி பொருள்களின் இயக்கத்தை எளிதாக பகுப்பாய்வு செய்ய முடியும். நவீன இயற்பியல் கோட்பாடுகளில் (Modern theories of physics) eerppu தன்னிலை ஆற்றல் (potential) முக்கிய பங்கினை வகித்து வருகிறது.

அழுத்தம்  = hps  = 3000 x  1000 x  10
= 3 x  10⁷ Nm^{-2
= \(\frac { \triangle V }{ V } =\frac { \rho }{ \beta } =\frac { 3{ \times 10 }^{ 7 }{ Nm }^{ -2 } }{ 2.2\times { 10 }^{ 9 }{ Nm }^{ -2 } } \)
=} 1.36 x  10^-2
= 1.36%  

Y = 2G (1 + \(\sigma \) )
2 - 4G = 2G (1 + \(\sigma \) )
\(\sigma \) = 1.2 - 1 0.2

திரவத்தின் ஓட்டத்தை புரிந்து கொள்ள ரெனால்டு Rc  மதிப்பை கீழ்கண்டவாறு கண்டறிந்தார் .

வ.எண்	ரெனால்டு எண்	ஓட்டம்
1	Rc  < 1000	வரிச்சீர்  ஓட்டம்
2	1000 < Rc < 2000	சீரற்ற  ஓட்டம்
3	Rc > 2000	சுழற்சி ஓட்டம்

சுழற்சி ஓட்டம் தொடங்கும் Rc  இன மாறுநிலை  மதிப்பு வடிவியலாக ஒரே மாதிரியுள்ள  ஒட்டங்களுக்கு சமான  மதிப்பை கொண்டுள்ளது. உதரணமாக மாறுபட்ட  அடர்த்திகள் மற்றும் பாகியல்  எண்கள் மதிப்புள்ள இரு திரவங்கள் (எண்ணெய்  மற்றும் நீர்  )சம வடிவம்  மற்றும் அளவுகளை கொண்ட இரு ககுழாய்கள் வழியே சென்றால் ஒரே Rc  மதிப்பில் சுழற்சி ஓட்டம் தொடங்குகிறது. மேற்கண்ட கருத்திலிருந்து  ஒற்றுமை வவிதியை பெறலாம், அதன் கூற்றானது இரு வடிவியல்  ரீதியாக ஒரே மாதிரியான பாய்ம  ஓட்டங்கள் இருந்தால் அவை இரண்டும் ஒரே ரெனால்டு  எண்ணை கொண்டிருக்கும் வரை அடிப்படையில் ஒன்றுக்கொன்று சமமானதாகும்                                 

ஒரு நிலையான கிடைமட்ட ஏட்டின்  மீது திரவம் சீராகப் பாய்வதாகக்  கொள்க, ஒரு நிலையான  ஏட்டில் இருந்து  தொலைவாக சென்றால் ஏடுகளின் வேகங்கள்  சீராக அதிகரிக்கிறது. A  மற்றும் B  என்ற  இரு இணையான ஏடுகளை கருதுக. நிலையான ஏட்டிலிருந்து  x மற்றும்  x  + dx  தொலைவில் அருகாமையில் உள்ள ஏடுகளின்  திசைவேகங்கள் முறையே v மற்றும்  v  + dv எனக்  கொள்க.                   

பரப்பு விதி (Law of area):
(i) சூரியனையும் ஒரு கோளையும் இணைக்கும் ஆர வெக்டரானது சமகால இடைவெளியில் சம பரப்புகளை ஏற்படுத்தும்.
(ii) கோள் ஒன்று சூரியனை சுற்றி வரும்போது \(\triangle \)t என்ற சிறிய நேர அலைல் ஆரவெக்டர் ஏற்படுத்திய பரப்பு. \(\triangle \)A. நீள்வட்டத்தின் மையத்தில் சூரியன் இல்லை.
(iii) எனவே கோள் சூரியனுக்கு அருகே வேகத்திலும், சூரியனிடமிருந்து நீண்ட தொலைவில் செல்லும் போது குறைந்த திசைவேகத்திலும் செல்லும். இதன் மூலம் சமகால அளவில் சம அளவு பரப்புகளை கடந்து செல்கிறது. கோள்களின் வேகம் மாறுபடுவதை தரவுகள் மூலம் கெப்ளர் கண்டறிந்தார்.

சறுக்குப் பெயர்ச்சித்திரிபு: ஒரு கன சதுரத்தில் பொருளானது இடப்பெயர்ச்சி மற்றும் சுழற்சி  சமநிலையில்  உள்ளதாக  கருதுவோம். கன சதுரம் உருக்குலையுமாறு AD வழியே F என்ற தொடவியல் விசையை செலுத்துவோம். எனவே சறுக்குப் பெயர்ச்சித்திரிபு அல்லது  சறுக்குப் பெயர்ச்சி 

\(\left( { \varepsilon }_{ s } \right) { \varepsilon }_{ s }=\frac { AA' }{ BA } =\frac { x }{ h } =tan\theta \)
சிறிய கோண மதிப்பிற்கு tan\(\theta \) -  \(\theta \) எனவே  சறுக்குப் பெயர்ச்சித் திரிபு அல்லது சறுக்குப் பெயர்ச்சித்
\({ \varepsilon }_{ s }=\frac { x }{ h } =\theta \) = சறுக்குப் பெயர்ச்சி கோணம் 
(ii) பருமத் திரிபு : ஒரு பொருளானது  பருமத்தகைவுக்கு உட்படுத்தப்பட்டால் அதன் பருமன் மாறும்  பொருளின் தொடக்க பருமன் தகைவுக்கு Vமுன் எனவும் தகைவினால் இறுதி பருமன்  V  + \(\triangle \)V  எனவும் கொள்க. பருமனில் ஏற்படும் சிறிய மாறுபாட்டை அளவிடும் பருமத் திரியை  கிழ்க்கண்டவாறு குறிப்பிடலாம்.
பருமத் திரிபு , \({ \varepsilon }_{ v }=\frac { \triangle V }{ V } \)

சமன்பாடு 7.34 இல் இருந்து \(h ∝ \frac { 1 }{ r } \Rightarrow hr=\)மாறிலி  
r₁ மற்றும் r₂ ஆரமுடைய இரு நுண்புழைக் குழாய்கள் திரவத்தில் அமிழ்ந்துள்ளபோது நுண்புழையேற்ற உயரமானது முறையே h₁ மற்றும் h₂ எனில்,
h₁r₁ = h₂r₂ =மாறிலி 
\(\Rightarrow { h }_{ 2 }=\frac { { h }_{ 1 }{ h }_{ 2 } }{ { r }_{ 2 } } =\frac { \left( 2\times { 10 }^{ -2 }m \right) \times r }{ \frac { r }{ 3 } } \Rightarrow { h }_{ 2 }=6\times { 10 }^{ -2 }m\)

சோப்புக் குமிழியினுள் மிகையழுத்தம்
\(\Delta P={ P }_{ 2 }-{ P }_{ 1 }=\frac { 4T }{ R } \)
ஆனால் ΔP = P₂ − P₁ = ρgh ⇒ ρgh \(=\frac { 4T }{ R } \)
⇒ பரப்பு இழுவிசை
\(T =\frac { ρghR }{ 4 } = \frac {(800)(9.8)(4\times { 10 }^{ -3 })(2\times { 10 }^{ -2 } )}{ 4 } \)
பரப்பு இழுவிசை = T = 15.68 x 10^-2 Nm^-1

\(F=-\eta A\frac { dv }{ dx } \)
எண் மதிப்பில், \(\eta =\frac { F }{ A } \frac { dx }{ dv } \)
\(=\frac { (2.5N) }{ \left( 2.5\times { 10 }^{ -4 }{ m }^{ 2 } \right) } \frac { \left( 0.25\times { 10 }^{ -3 }m \right) }{ \left( 3\times { 10 }^{ -2 }{ ms }^{ -1 } \right) } \)
= 0.083×10³ Nm^-2s

கனசதுரத்தின் ஒவ்வொரு பக்கமும் l என்க. 3cm ஆழத்திற்கு கனசதுரம் நிரப்பும் பருமன் 
v = (3cm) x l² = 3l²cm²
மிதத்தில் விதிப்படி 
\(V\rho g=mg\Rightarrow V\rho =m\)
நீரின் அடர்த்தி ρ = 1000 kgm³
\(\Rightarrow \left( { 3l }^{ 2 }\times { 10 }^{ -2 }m \right) \times \left( 1000{ kgm }^{ -3 } \right) =300\times { 10 }^{ -3 }kg\)
\({ l }^{ 2 }=\frac { 300\times { 10 }^{ -3 } }{ 3\times { 10 }^{ -2 }\times 1000 } { m }^{ 2 }\Rightarrow { l }^{ 2 }=100\times { 10 }^{ -4 }{ m }^{ 2 }\)
l = 10 × 10^-2 m = 10 cm
எனவே கனசதுரத்தின் பருமன் V = l³ = 1000cm²

பிஸ்டன்களின் விட்டங்கள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளதால் பிஸ்டனின் ஆரங்களைக் கணக்கிடலாம்.
r =\(\frac {D}{2}\)
சிறிய பிஸ்டனின் பரப்பு, \({ A }_{ 1 }=\pi { \left( \frac { 5 }{ 2 } \right) }^{ 2 }=\pi { (2.5) }^{ 2 }\)
பெரிய பிஸ்டனின் பரப்பு, \({ A }_{ 2 }={ \left( \frac { 60 }{ 2 } \right) }^{ 2 }=\pi { (30) }^{ 2 }\)
\({ F }_{ 2 }=\frac { { A }_{ 2 } }{ { A }_{ 1 } } \times { F }_{ 1 }=\left( 50N \right) \times { \left( \frac { 30 }{ 2.5 } \right) }^{ 2 }=7200N\)
50N விசையை செலுத்தி 7200 N விசையைப் பெறலாம். மேலும் அந்த அளவு பளுவை உயர்த்தலாம்.