\(\frac { 10x+30 }{ ({ x }^{ 2 }-9)(x+7) } =\frac { 10(x+3) }{ (x+3)(x-3)(x+7) } \)
\(=\frac { 10 }{ (x-3)(x+7) } =\frac { A }{ x-3 } +\frac { B }{ x+7 } \)
\(=\frac { A(x+7)+B(x-3) }{ (x-3)(x+7) } \)
∴ 10=A(x+7)+B(x-3)
x=3 எனில் A=1
x=-7 எனில் B=-1ஆகையால், 
\(\frac { 10x+30 }{ ({ x }^{ 2 }-9)(x+7) } =\frac { 1 }{ x-3 } -\frac { 1 }{ x+7 } \)

மாறுநிலை புள்ளிகள் -3,-1,1,3
இடைவெளிகள் (-\(\infty\),-3),(-3,-1),[1,1],(1,2),(3,\(\infty\))
தீர்வுக்கணம் (-\(\infty\),-3),[-1,1],(3,\(\infty\))

f(x) - ன் படி 3 என்றும் முதன்மை கெழு 1 என்றும் அறிக. f(x)-ஐ g(x) வகுப்பதனால்
f(x) = (x+b) g(x), \(b\in R\)
எனவே, x³- 3px + 2q = (x + b)(x² + 2ax + a²)
இருபுறமும் உள்ள ஒத்திசைவான கெழுக்களைச் சமப்படுத்த நமக்குக் கிடைப்பது
2a + b = 0, a² + 2ab = -3p மற்றும் 2q = ba²
எனவே, b = -2a, p = a², q = -a³
q = -a³ = -a(a²) = -ap
இதிலிருந்து ap + q = 0 எனக் கிடைக்கும்.

x³- x²- 17x = 22
\(\Rightarrow \) x³- x²- 17x = 22 =0
x =-2 என்பது ஒரு பூஜ்ஜியம் எனில் (x + 2) ஒரு காரணி 
தொகுமுறை வகுத்தலின்படி

ஈவு: 4: x² -3x -11
இங்கு a =1, b =-3, c =-11
\(x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)
\(x=\frac { (-3)\pm \sqrt { { 3 }^{ 2 }-4\times 1\times -11 } }{ 2\times 1 } \)
\(=\frac { \sqrt { 3\pm \sqrt { 9+44 } } }{ 2 } \)
\(=\frac { 3\pm \sqrt { 53 } }{ 2 } \)
\(\therefore \) மற்ற பூஜ்ஜியங்கள் \(\frac { 3+\sqrt { 53 } }{ 2 } ,\frac { 3-\sqrt { 53 } }{ 2 } \)

\(\frac { 1 }{ |2x-1| } <6\)
பகுதி தொகுதிகளை |2x -1| ஆல் பெருக்க
\(\frac { 1 }{ \left| 2x-1 \right| } \frac { \times \left| 2x-1 \right| }{ \times \left| 2x-1 \right| } <6\) 
\(\Rightarrow \frac { \left| 2x-1 \right| }{ \left| 2x-1 \right| ^{ 2 } } <6\Rightarrow |2x-1|<6|2x-1|^{ 2 }\)
\(\Rightarrow 1<6|2x-1|\)
\(\Rightarrow \frac { 1 }{ 6 } <\left| 2x-1 \right| \)
\(\Rightarrow \left| 2x-1 \right| >\frac { 1 }{ 6 } \)
\(\Rightarrow \frac { -1 }{ 6 } \ge 2x-1\ge \frac { 1 }{ 6 } \)
\(\Rightarrow \frac { -1 }{ 6 } +1\ge 2x\ge \frac { 1 }{ 6 } +1\)
\(\Rightarrow \frac { 5 }{ 6 } \ge 2x\ge \frac { 7 }{ 6 } \Rightarrow \frac { 5 }{ 12 } \ge x\ge \frac { 12 }{ 7 } \)
\(\Rightarrow \) தீர்வுக்கணம் :\(\Rightarrow \left( \infty ,\frac { 5 }{ 12 } \right) \cup \left( \frac { 7 }{ 12 } ,\infty \right) \)

y = 2x

-2x +3y =6
\(\Rightarrow -2x=6-3y\Rightarrow x=\frac { 6-3y }{ (-2) } \)

\(\frac{x^2-4}{x^2-2x-15}\le0\) \(\Rightarrow \frac { \left( x+2 \right) \left( x-2 \right) }{ \left( x-5 \right) \left( x+3 \right) } \le 0\)
மாறுநிலைப்புள்ளிகள் : -2, 2,5,-3
சாதகமான இடைவெளிகள் : \(\left( -\infty ,-3 \right) \) (-3, -2) (-2, 2) (2, 5) \(\left( 5,\infty \right) \)

அசமன்பாடு \(\frac { \left( x+2 \right) \left( x-2 \right) }{ \left( x-5 \right) \left( x+3 \right) } \le 0\) ஆனது  (-3, -2),(2, 5) என்ற இடைவெளிகள் நிறைவு செய்கின்றன.

\(\therefore \) தீர்வு கணம்: \(\left( -3,-2 \right] \cup \left[ 2,5 \right) .\)

\(\frac{2x-3}{(x-2)(x-4)}<0\)
x = 3/2, x = 2, x = 4
\(\left( -\infty ,\frac { 3 }{ 2 } \right) \) \(\left( \frac { 3 }{ 2 } ,2 \right) \)(2,4) \((4,\infty )\)

அசமன்பாடு  \(\frac{2x-3}{(x-2)(x-4)}<0\) ஐ \(\left( -\infty ,\frac { 3 }{ 2 } \right) \) ,\(\left( \frac { 3 }{ 2 } ,2 \right) \) என்ற இடைவெளிகள் நிறைவு செய்கின்றன.
\(\therefore \) தீர்வு கணம் \(\left( -\infty ,\frac { 3 }{ 2 } \right) \cup (2,4)\)

ht =- 5t² + 100t, \(0\le t\le 20\)
ஏவுகணை 495 அடி உயரத்தை அடையும்பொழுது t வினாடி என்க.
\(\Rightarrow 0<{ -5t }^{ 2 }+100t-495<0\)
\(\Rightarrow { t }^{ 2 }-20t+99<0\)
\(\Rightarrow (t-11)(t-9)=0\)
\(\Rightarrow t=11,9\)
\(\therefore \) 11 அல்லது 9 வினாடி நேரத்தில் 495 ft உயரத்தை ஏவுகணை அடையும்.

x⁴ = 16
\(\Rightarrow { x }^{ 4 }={ 4 }^{ 2 }\)
\(\Rightarrow \left( { x }^{ 2 } \right) ^{ 2 }={ 4 }^{ 2 }\)
\(\Rightarrow \left( { x }^{ 2 } \right) ^{ 2 }-{ 4 }^{ 2 }=0\left( \because { a }^{ 2 }-{ b }^{ 2 }=(a+b)(a-b \right) \)
\(\Rightarrow \left( { x }^{ 2 }+4 \right) \left( { x }^{ 2 }-4 \right) =0\)
\(\Rightarrow { x }^{ 2 }=-4,{ x }^{ 2 }=4\)
\(x=\pm \sqrt { -4 } =\pm 2i(i=\sqrt { -1 } )\)
\(\Rightarrow { x }^{ 2 }=4,\)
\(x=\pm \sqrt { 4 } =\pm 2\)