தொகுதி =1,3,5,7,9,...
a=1, d=3-1=2
∴ a_n=1+(n-1)2=2n-1
பகுதி =2,4,6,8,10,...
a=2, d=4-2=2
∴ a_n=2+(n-1)2=2n
கொடுக்கப்பட்ட தொடரின் n-ம் உறுப்பு \(\frac { 2n-1 }{ 2n } ,\forall n\epsilon N\).

(a-b)ⁿ -ன் ஈருறுப்பு விரிவில் a = 100, b = 2 மற்றும் n = 4 எனப் பிரதியிட
98⁴ = (100 - 2)⁴
= ⁴C₀100⁴ - ⁴C₁100³2 + ⁴C₂100²2² - ⁴C₃100¹2³ + ⁴C₄100⁰2⁴
= 100000000 - 8000000 + 240000 - 3200 + 16
= 92236816.

log(1-x)=-x-\(\frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } -\frac { { x }^{ 3 } }{ 3 } -\frac { { x }^{ 4 } }{ 4 } \)+...
∴ log(1-2x)=-(2x)-\(\frac { (2{ x) }^{ 2 } }{ 2 } -\frac { (2{ x) }^{ 3 } }{ 3 } -\frac { { (2x) }^{ 4 } }{ 4 } +\frac { { (2x) }^{ 5 } }{ 5 } -\frac { (2{ x) }^{ 6 } }{ 6 } +...\)
log(1-2x)=\(\frac { 4{ x }^{ 2 } }{ 2 } -\frac { { 8x }^{ 3 } }{ 3 } -\frac { { 16x }^{ 3 } }{ 3 } -\frac { { 32x }^{ 5 } }{ 5 } -\frac { 64{ x }^{ 6 } }{ 6 } +...\)
தொடர் |2x|<1 ⇒ |x|<\(\frac{1}{2}\) ஆக இருக்கும் போது ஏற்புடையதாகிறது.

∴ ஏற்புடையதாக இடைவெளி -\(\frac{1}{2}\),\(\frac{1}{2}\)

a, b, c என்பன HP இல் இருந்தால் \(\frac { 1 }{ a } ,\frac { 1 }{ b } ,\frac { 1 }{ c } \)என்பன AP இல் இருக்கும்
எனவே ,\(\frac { 2 }{ b } =\frac { 1 }{ a } +\frac { 1 }{ c } \)இதிலிருந்து கிடைப்பது, ab - ac = ac - bc.
எனவே , a(b - c) = c(a - b) . இதிலிருந்து கிடைப்பது \(\frac { a }{ c } =\frac { a-b }{ a-c } \)
மறுதலையாக ,\(\frac { a }{ c } =\frac { a-b }{ a-c } \)எனில்,a(b - c) = c(a - b)
இருபுறமும் abc ஆல் வகுக்க\(\frac { 1 }{ c } -\frac { 1 }{ b } =\frac { 1 }{ b } -\frac { 1 }{ a } \)
எனவே ,\(\frac { 1 }{ a } ,\frac { 1 }{ b } ,\frac { 1 }{ c } \)என்பன ஒரு கூட்டுத் தொடர் முறையாகிறது. இதனால் a, b, c ஒரு இசைத் தொடர் முறையாகும்

(x+y)ⁿ கொடுக்கப்பட்டது. இதில் n ஓர் ஒற்றை எண் எனில் n ன் கெழு இரண்டு நடு உறுப்புகள் (x+y)ⁿ
நடு உறுப்புகள் \(\frac { { T }_{ n-1 } }{ 2 } ,\frac { { T }_{ n+1 } }{ 2 } \)
\({ T }_{ \frac { n-1 }{ 2 } }={ n }_{ { C }_{ \frac { n+1 }{ 2 } } }{ x }^{ \frac { n+1 }{ 2 } }{ y }^{ \frac { n-1 }{ 2 } }\& { T }_{ \frac { n+1 }{ 2 } }={ n }_{ { C }_{ \frac { n+1 }{ 2 } } }{ x }^{ \frac { n-1 }{ 2 } }{ y }^{ \frac { n+1 }{ 2 } }\)
நடு உறுப்புகளின் கெழுக்கள் \({ n }_{ { C }_{ \frac { n+1 }{ 2 } } },{ n }_{ { C }_{ \frac { n-1 }{ 2 } } }\) ஆகும்.
\({ n }_{ { C }_{ \frac { n+1 }{ 2 } } }={ n }_{ { C }_{ \frac { n-1 }{ 2 } } }\Rightarrow \frac { n+1 }{ 2 } =\frac { n-1 }{ 2 } \) அல்லது \(\frac { n+1 }{ 2 } +\frac { n-1 }{ 2 } \)=n
[∴ ⁿC_x=ⁿC_y ⇒ x=y x+y=n]
⇒ \(\frac { n+1 }{ 2 } =\frac { n-1 }{ 2 } \) ⇒ 0=2 ஆக இருக்க முடியாது.
\(\frac { n+1 }{ 2 } +\frac { n-1 }{ 2 } =n\Rightarrow \frac { 2n }{ 2 } =n\Rightarrow \)n
∴ \({ n }_{ { C }_{ \frac { n+1 }{ 2 } } }={ n }_{ C_{ \frac { n-1 }{ 2 } } }\\ \) 
∴ இரண்டு நடு உறுப்புகளின் கெழுக்கள் சமமாகும்.

(a+b)ⁿ=ⁿC₀aⁿb⁰+ⁿC₁a^n-1b¹+ⁿC₂a^n-2b²+..........ⁿC_na⁰bⁿ
⇒ (102)⁴ = (100+2)⁴ 
=(100)⁴+⁴C₁(100)³(2)¹+⁴C₂(100²)(2²)+⁴C₃(100¹)(2³)+⁴C₄(100⁰)(2⁴)
⇒ 100000000+4(1000000)(2)+\(\frac { 4\times (3) }{ 2(1) } \)(10000)(4)+400(8)+16
=100000000+8000000+240000+3200+16
=108,243,216

\({ \left( 2x-\frac { 1 }{ 2x } \right) }^{ 4 }=^{ 4 }{ C }_{ 0 }{ (2x) }^{ 4 }{ \left( -\frac { 1 }{ 2x } \right) }^{ 0 }+^{ 4 }{ C }_{ 1 }{ (2x) }^{ 3 }{ \left( -\frac { 1 }{ 2x } \right) }^{ 1 }+^{ 4 }{ C }_{ 2 }{ (2x })^{ 2 }{ \left( -\frac { 1 }{ 2x } \right) }^{ 2 }+^{ 4 }{ C }_{ 3 }{ (2x })^{ 1 }{ \left( -\frac { 1 }{ 2x } \right) }^{ 3 }+^{ 4 }{ C }_{ 4 }{ (2x })^{ 0 }{ \left( -\frac { 1 }{ 2x } \right) }^{ 4 }\)\(={ (2x) }^{ 4 }-4{ (2x) }^{ 3 }\left( \frac { 1 }{ 2x } \right) +6{ (2x) }^{ 2 }{ \left( \frac { 1 }{ 2x } \right) }^{ 2 }-4(2x){ \left( \frac { 1 }{ 2x } \right) }^{ 3 }+{ \left( \frac { 1 }{ 2x } \right) }^{ 4 }\)
\(=16{ x }^{ 4 }-16{ x }^{ 2 }+6-\frac { 1 }{ { x }^{ 2 } } +\frac { 1 }{ { 16x }^{ 4 } } \)

(a+b)¹⁰ -ன் ஈருறுப்புப் விரிவில் a = 3 மற்றும் b = 2x எனக் கொள்க.
x⁶ என்பது (2x)⁶ எனக் கொண்டுள்ள உறுப்பில் மட்டுமே காணப்படும். x⁶ ஐக் கொண்ட உறுப்பு,
¹⁰C₆a⁴b⁶ = ¹⁰C₄a⁴b⁶ =\(\frac {10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3\times 2\times 1}{3}^{4}{(2x)}^{6}=210 \times {3}^{4} \times {2}^{6}{x}^{6} \)  [ \(\because \) ¹⁰C₆ = ¹⁰C₄ ]
(3+2x)¹⁰என்ற விரிவில் x⁶ -ன் கெழு \(210 \times {3}^{4} \times {2}^{6}\) ஆகும்.

இங்கு, a = 1 , d = 3 மற்றும் r=\(\frac{1}{5}\)
\({ S }_{ \infty }=\frac { a }{ 1-r } +\frac { dr }{ { (1-r) }^{ 2 } } \)
\(=\frac { 1 }{ 1-\frac { 1 }{ 5 } } +\frac { 3\times \frac { 1 }{ 5 } }{ { (1-\frac { 1 }{ 5 } ) }^{ 2 } } \)
\(=\frac { 5 }{ 4 } +\left( \frac { 3 }{ 5 } \right) \left( \frac { 25 }{ 16 } \right) \)
\(=\frac { 35 }{ 26 } \)

கொடுக்கப்பட்ட தொடரின் k ஆவது உறுப்பு t_k என்க.\({ t }_{ k }=\frac { 1 }{ \sqrt { k } +\sqrt { k+1 } } \)  இதை இரு கோவைகளின் வித்தியாசமாக எழுதினால் தொலைநோக்கி கூடுதல் முறை மூலம் தீர்க்கலாம் 
\({ t }_{ k }=\frac { 1 }{ \sqrt { k } +\sqrt { k+1 } } =\frac { \sqrt { k } -\sqrt { k-1 } }{ (\sqrt { k } +\sqrt { k+1 } )(\sqrt { k } -\sqrt { k+1 } ) } =\frac { \sqrt { k } -\sqrt { k-1 } }{ k-(k+1) } =\sqrt { k+1 } -\sqrt { k } \)
எனவே, \({ t }_{ 1 }+{ t }_{ 2 }+......+{ t }_{ n }=(\sqrt { 2 } -\sqrt { 1 } )+(\sqrt { 3 } -\sqrt { 2 } )+.....+(\sqrt { n+1 } -\sqrt { n } )=\sqrt { n+1 } -1\)

n மாதங்களில் கடன் முழுவதும் தீர்க்கப்படும் எனில் மொத்தத் தொகை ஒரு கூட்டுத்தொடரை அமைக்கும்.
∴ கூட்டுத் தொடரின் கூடுதல் S_n =3250
⇒ \(\frac{n}{2}\)[2a+(n-1)d]=3250
⇒ \(\frac{n}{2}\)[40+(n-1)15]=3250
⇒ n(15n+25)=6500
⇒ 15n²+25n-6500=0
⇒ 3n²+5n-1300=0
⇒ (3n+65)(n-20)=0
∴ n=\(\frac{-65}{3}\) அல்லது n=20 ⇒ n=20
∴ மொத்தத் தொகை 20 மாதங்களில் தீர்க்கப்படும்.

n உறுப்புகளின் கூடுதல் S_n என்க.
S_n=\(\frac { n }{ 2 } \)[2a+(n-1)d]
S₁₀=52 கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
⇒ 52=\(\frac { 10 }{ 2 } \)[2a+(10-1)d]
⇒ 52=10a+45d    ......(1)
S₁₅=77 கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
⇒ 77=\(\frac { 15 }{ 2 } \)[2a+(15-1)d]
⇒ 77=15a+105d    .....(2)
(1) x 15 ⟶ 780 = 150 a + 675 d
(2) x 10 ⟶ 770 = 150 a + 1050 d_
       ________________________
                10   =-375 d
⇒ d=\(\frac { -2 }{ 75 } \) என (1) ல் பிரதியிட
52=10a+45\(\frac { -2 }{ 75 } \) ⇒ 10a=52+\(\frac { 6 }{ 5 } =\frac { 260+6 }{ 5 } \)
⇒ 10a=\(\frac { 266 }{ 5 } \Rightarrow a=\frac { 133 }{ 25 } \)
S₂₀=\(\frac { 20 }{ 2 } \left[ 2\left( \frac { 133 }{ 25 } \right) +(20-1)\left( \frac { -2 }{ 75 } \right) \right] =10\left[ \frac { 266 }{ 25 } -\frac { 38 }{ 75 } \right] \)
⇒ S₂₀=10\(\left( \frac { 798-38 }{ 75 } \right) \)
⇒ S₂₀=\(\frac { 304 }{ 3 } \).

P=Rs.500, R-வட்டி வீதம் =10%
ஓராண்டு முடிவில் தொகை =\(\left( p+\frac { PR }{ 100 } \right) =P\left( 1+\frac { R }{ 100 } \right) \)
இரண்டாம் ஆண்டு முடிவில் தொகை =\(P\left( 1+\frac { R }{ 100 } \right) \left( 1+\frac { R }{ 100 } \right) \left( \frac { R }{ 100 } \right) \)
=\(P\left( 1+\frac { R }{ 100 } \right) \left( 1+\frac { R }{ 100 } \right) =P\left( 1+\frac { R }{ 100 } \right) ^{ 2 }\)
முதல் உறுப்பு மற்றும் பெருக்கு விகிதம் ஒரு G.P.-யை அமைக்கிறது.
10-ஆவது ஆண்டு முடிவில் G.P. யின் தொகை = 11^th உறுப்பு 
=\(P\left( 1+\frac { R }{ 100 } \right) ^{ 10 }\)
=500\(\left( 1+\frac { 10 }{ 100 } \right) ^{ 10 }\)=500\(\left( \frac { 11 }{ 10 } \right) ^{ 10 }\)
10-ம் ஆண்டு முடிவில் தொகை = 500(1.1)¹⁰=1296.87

a, b இரு எண்கள் என்க.
∴ A=\(\frac { a+b }{ 2 } ,G=\sqrt { ab } ,H=\frac { 2ab }{ a+b } \)
கொடுக்கப்பட்டுள்ளது =A-G=10 & A-H=16
⇒ G=A-10 & =A-16
G²=AH
⇒ (A-10)²=A(A-16)
⇒ A²+100-20A=A²-16A
⇒ 4A=100 ⇒ A=25
∴ \(\frac { a+b }{ 2 } \quad \)=A=25 ⇒ a+b=50    .....(1)
∴ G=A-10=15 ⇒ \(\sqrt { ab } \)=15
⇒ ab=225 ⇒ b=\(\frac { 225 }{ a } \)    ....(2)
(2)-ஐ (1)-ல் பிரதியிட
a+\(\frac { 225 }{ a } \)=50 ⇒ a²+225=50a
⇒ a²-50a+225=0 ⇒ (a-45)(a-5)=0
⇒ a=5, 45
a=5, b=\(\frac { 225 }{ 5 } \) ⇒ b=45
a=45, b=\(\frac { 225 }{ 45 } \) ⇒ b=5
∴ அந்த எண்கள் 5,45.

LHS=\(({ x }^{ 3 }+6)^{ \frac { 1 }{ 6 } }-({ x }^{ 3 }+3)^{ \frac { 1 }{ 3 } }\)
=\({ x }^{ \frac { 3 }{ 3 } }\left( 1+\frac { 6 }{ x } \right) ^{ \frac { 1 }{ 3 } }-{ x }^{ \frac { 3 }{ 3 } }\left( 1+\frac { 3 }{ x } \right) ^{ \frac { 1 }{ 3 } }\)  (∵ x பெரியதாக இருந்தால் \(\frac { 1 }{ { x }^{ 3 } } \) மிகச் சிறியதாக இருக்கும். ∴ \(\left| \frac { 3 }{ { x }^{ 3 } } \right| \)<1)
=\(x\left( 1+\frac { 6 }{ x } \right) ^{ \frac { 1 }{ 3 } }-{ x }\left( 1+\frac { 3 }{ x } \right) ^{ \frac { 1 }{ 3 } }=x\left( 1+\left( \frac { 1 }{ 3 } \right) \left( \frac { 6 }{ x } \right) \right) -x\left( 1+\left( \frac { 1 }{ x } \right) \left( \frac { 3 }{ x } \right) \right) \)
=\(x+\frac { 2 }{ { x }^{ 2 } } -x-\frac { 1 }{ { x }^{ 2 } } =\frac { 1 }{ { x }^{ 2 } } \)=RHS

(a+b)ⁿ-ன் பொது உறுப்பு T_n+1=ⁿC_r a^n-r b^r
4 வது உறுப்பின் கெழுவைக்கான r=3 என (1) ல் பிரதியிட
∴ T₄=ⁿC₃a^n-3b³
13 வது உறுப்பின் கெழுவைக்காண
r=12 என (1) ல் பிரதியிட
∴ T₁₃=ⁿC₁₂a^n-12b^12
nC₃=ⁿC₁₂ எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
⇒ n=3+12=15 ⇒ n=15.

7⁴⁰⁰ = (7²)²⁰⁰ = (50 - 1)²⁰⁰
= ²⁰⁰C₀ 50²⁰⁰ -²⁰⁰C₁50¹⁹⁹ +.....+²⁰⁰C₁₉₈50²(-1)¹⁹⁸+²⁰⁰C₁₉₉50(-1)¹⁹⁹+²⁰⁰C₂₀₀(-1)²⁰⁰ 
= 50²(²⁰⁰C₀50^198-200C₁50¹⁹⁷+......+²⁰⁰C₁₉₈(-1)¹⁹⁸)-200\(\times\)50+1
50² மற்றும் 200 என்பன 100 ஆல் வகுபடும். எனவே , 7⁴⁰⁰ -ன் கடைசி இரண்டு இலக்கங்கள் 0 1.

\(|x|<1\) எனில், \((1+x)^n\) = \(1+nx+\frac { n(n-1) }{ 2! } { x }^{ 2 }+\frac { n(n-1)(n-2) }{ 3! } { x }^{ 3 }+...\)
\(\sqrt [ 3 ]{ 65 } =65^{ \frac { 1 }{ 3 } }\)
\(=(64+1)^{ \frac { 1 }{ 3 } }\)
\(=64^{ \frac { 1 }{ 3 } }\left( 1+\frac { 1 }{ 64 } \right) ^{ \frac { 1 }{ 3 } }\)
\(=4{\left(1+{1\over 64} \right)}^{1\over4}\)
\(=4\left( 1+\frac { 1 }{ 3 } \times \frac { 1 }{ 64 } +\frac { \frac { 1 }{ 3 } \left( \frac { 1 }{ 3 } -1 \right) }{ 2! } \times { \left( \frac { 1 }{ 64 } \right) }^{ 2 }+... \right) \)
\(=4+\frac { 1 }{ 48 } -4\times \frac { 1 }{ 9 } \times \frac { 1 }{ 64 } \times \frac { 1 }{ 64 } +....\)
\(=4+\frac { 1 }{ 48 } -\frac { 1 }{ 9216 } +....\)
\(\approx 4+0.02\) (ஏனெனில் \(\frac { 1 }{ 9216 }\)+.... மிகச்சிறிய எண்)
எனவே \(\sqrt [ 3 ]{ 65 } = 4.02 \)(தோராயமாக)