இங்கு, a = 1, d = 5 மற்றும் r = \(\frac {1}{7}. \)
\({s}_{n}= \frac{a-(a+(n-1)d){r}^{n}}{1-r} +dr\begin{pmatrix} \frac{{1-r^{n-1}}}{(1-r)^{2}} \end{pmatrix}\)
\(=\frac { 1-(1+5(n-1)){ \left( \frac { 1 }{ 7 } \right) }^{ n } }{ 1-\frac { 1 }{ 7 } } +5\times \frac { 1 }{ 7 } { \left( \frac { { \left( 1-\frac { 1 }{ 7 } \right) }^{ n-1 } }{ { \left( 1-\frac { 1 }{ 7 } \right) }^{ 2 } } \right) }\)
\(=\frac { 1-\frac { 5n-4 }{ { 7 }^{ n } } }{ 6\over 7 } +\frac { \frac { 5 }{ 7 } \left( { 7 }^{ n--1 }-1 \right) }{ { 7 }^{ n--1 }{ \left( \frac { 6 }{ 7 } \right) }^{ 2 } } \)
\(=\frac { { 7 }^{ n }-5n+4 }{ { 7 }^{ n-1 }6 } +\frac { 5({ 7 }^{ n-1 }-1) }{ { 7 }^{ n-2 }36 } \)

6,10,4,12,2,14,0,16,-2,...
ஒற்றை உறுப்புகள் = 6,4,2,0,-2
t_n=6+(n-1)(-2)=6-21+2
=8-2n
இரட்டை உறுப்புகள் = 10,12,14,16,...
∴ t_n=10+(n-1)²=10+2n-2
= 8 + 2n

a₁=1
a₂=2
a₃=3
a₄=a₁+a₂+a₃=3+2+1=6
a₅=a₂+a₃+a₄=6+3+2=11
a₆=a₃+a₄+a₅=11+6+3=20
முதல் 6 உறுப்புகள் 1,2,3,6,11,20,....

இங்கு n = 6 இது இரட்டைப்படை எண். எனவே ,(x+y)⁶ -ன் விரிவில் மைய உறுப்பு \({x}^{\frac{6}{2}}{y}^{\frac{6}{2}}\) ஐக் கொண்ட உறுப்பு. அதாவது, x³y³ ஐ கொண்ட உறுப்பு எனவே அந்த மைய உறுப்பு ⁶C₃x³y³ = 20³y³ ஆகும்.

(a-b)ⁿ -ன் ஈருறுப்பு விரிவில் a = 100, b = 2 மற்றும் n = 4 எனப் பிரதியிட
98⁴ = (100 - 2)⁴
= ⁴C₀100⁴ - ⁴C₁100³2 + ⁴C₂100²2² - ⁴C₃100¹2³ + ⁴C₄100⁰2⁴
= 100000000 - 8000000 + 240000 - 3200 + 16
= 92236816.

(a+b)ⁿ என்ற ஈருறுப்புத் தேற்றத்தின் விரிவில் a = 2x, b = 3 மற்றும் n = 5 எனப் பிரதியிட
(2x + 3)⁵ = (2x)⁵+ 5(2x)⁴3 + 10(2x)³3² +10(2x)²3³ +5(2x)3⁴ + 3⁵
= 32x⁵ + 240x⁴ + 720x³ + 1080x² + 810x + 243

e^x=\(1+\frac { x }{ 1! } +\frac { x^{ 2 } }{ 2! } +\frac { { x }^{ 3 } }{ 3! } +..\)
e^5x=\(1+\frac { 5x }{ 1! } +\frac { (5x)^{ 2 } }{ 2! } +\frac { (5x)^{ 3 } }{ 3! } +\frac { (5x)^{ 4 } }{ 5! } +....\)
=\(1+5x+\frac { 25x^{ 2 } }{ 2 } +\frac { 125{ x }^{ 3 } }{ 6 } +\frac { 625{ x }^{ 4 } }{ 24 } +\frac { 3125{ x }^{ 5 } }{ 120 } +...\).

(1+x)ⁿ=n, x=1, a=x
பொது உறுப்பு t_r+1=ⁿC_rx^n-ra^r
⇒ t_r+1=ⁿC_r1^n-rx^r=ⁿC_rx^r   ....(1)
ⁿC_r -ல் x^r-ன் கெழுவைக் காண
r=n-r என பிரதியிட
T_n-r+1=ⁿC_n-rx^n-r
∴ x^r-ன் கெழு மற்றும் x^n-r -ன் கெழு உறுப்பின் கெழு ⁿC_n-r சமமாகும்.

∵  (a-b)ⁿ=ⁿC₀aⁿ+ⁿC₁a^n-1b+ⁿC₂a^n-2b²+..........ⁿC_na⁰bⁿ
⇒ 9⁷=(10-1)⁷
=10⁷-⁷C₁10⁶+⁷C₂10⁵-⁷C₃10⁴+⁷C₄10³-⁷C₅10²+⁷C₆10-1
=10000000-7(1000000)+\(\frac { 7\times 6 }{ 2\times 1 } \)(100000)-\(\frac { 7\times 6\times 5 }{ 3\times 2\times 1 } \)(1000)-\(\frac { 7\times 6 }{ 2\times 1 } \)(100)+7(10)-1
=10000000-7000000+2100000-350000+35000-2100+70-1
=4782969

(a +b )⁷-ன் ஈருறுப்பு விரிவில் a = 2 மற்றும் b = -3x எனக் கொள்க . x³ ஆனது (-3x)³ எனக் கொண்டுள்ள உறுப்பில் மட்டுமே காணப்படும். x³ ஐக் கொண்ட உறுப்பு.
⁷C₃a⁴b³ =\(\frac {7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1}{2}^{4}{-(3x)}^{3}=35 \times {2}^{4} \times {(-3)}^{3}{x}^{3} .\) 
எனவே (2-3x)⁷ -ன் விரிவில் x³ -ன் கெழு 35 \(\times\) 16 \(\times\)(-27) = -15120 ஆகும்.

கொடுக்கப்பட்ட தொடரின் k ஆவது உறுப்பு t_k என்க.\({ t }_{ k }=\frac { 1 }{ \sqrt { k } +\sqrt { k+1 } } \)  இதை இரு கோவைகளின் வித்தியாசமாக எழுதினால் தொலைநோக்கி கூடுதல் முறை மூலம் தீர்க்கலாம் 
\({ t }_{ k }=\frac { 1 }{ \sqrt { k } +\sqrt { k+1 } } =\frac { \sqrt { k } -\sqrt { k-1 } }{ (\sqrt { k } +\sqrt { k+1 } )(\sqrt { k } -\sqrt { k+1 } ) } =\frac { \sqrt { k } -\sqrt { k-1 } }{ k-(k+1) } =\sqrt { k+1 } -\sqrt { k } \)
எனவே, \({ t }_{ 1 }+{ t }_{ 2 }+......+{ t }_{ n }=(\sqrt { 2 } -\sqrt { 1 } )+(\sqrt { 3 } -\sqrt { 2 } )+.....+(\sqrt { n+1 } -\sqrt { n } )=\sqrt { n+1 } -1\)

(a+b)ⁿ-ன் பொது உறுப்பு T_n+1=ⁿC_r a^n-r b^r
4 வது உறுப்பின் கெழுவைக்கான r=3 என (1) ல் பிரதியிட
∴ T₄=ⁿC₃a^n-3b³
13 வது உறுப்பின் கெழுவைக்காண
r=12 என (1) ல் பிரதியிட
∴ T₁₃=ⁿC₁₂a^n-12b^12
nC₃=ⁿC₁₂ எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
⇒ n=3+12=15 ⇒ n=15.

3⁶⁰⁰=(3²)³⁰⁰=9³⁰⁰ என்க.
⇒ 3⁶⁰⁰ =(10-1)³⁰⁰
ஈருறுப்புத் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி
3⁶⁰⁰=³⁰⁰C₀(10)³⁰⁰-³⁰⁰C₁(10)²⁹⁹+³⁰⁰C₂10²⁹⁸+......+1)
=(10)³⁰⁰-300(10)²⁹⁹+......-300(10)+1
∴ கடைசி இரு உறுப்புகள் 0,1.

∵ (a-b)ⁿ=ⁿC₀aⁿ+ⁿC₁a^n-1b+ⁿC₂a^n-2b²+..........ⁿC_na⁰bⁿ
⇒ 99⁴=(100-1)⁴
=100⁴-⁴C₁100³+⁴C₂100²-⁴C₃100(1³)+1⁴
=100000000-4(1000000)+\(\frac { 4\times 3 }{ 2\times 1 } \)(10000)-4(100)+1
=100000000-4000000+60000-400+1
=96,059,601

இதை நிறுவ, 6ⁿ - 5n = 25k + 1, k என்பது ஒரு இயல் எண், என நிறுவினால் போதுமானது
எனில், \({ \left( 1+x \right) }^{ 6 }=^{ n }{ C }_{ 0 }+^{ n }{ C }_{ 1 }{ x }+^{ n }{ C }_{ 2 }{ x }^{ 2 }+.....+^{ n }{ C }_{ n-1 }{ x }^{ n-1 }+^{ n }{ C }_{ n }{ x }^{ n },n\epsilon N\)
x = 5 என எடுத்துக் கொள்ள ,\({ \left( 1+5 \right) }^{ n }=^{ n }{ C }_{ 0 }+^{ n }{ C }_{ 1 }5+^{ n }{ C }_{ 2 }{ 5 }^{ 2 }+.....+^{ n }{ C }_{ n-1 }{ 5 }^{ n-1 }+^{ n }{ C }_{ n }{ 5 }^{ n }\)என கிடைக்கும்
மேலே உள்ள சமன்பாடு,\({ 6 }^{ n }=1+5x+25(^{ n }{ C }_{ 2 }+^{ n }{ C }_{ 3 }5+......+^{ n }{ C }_{ n }{ 5 }^{ n-2 })\)என மாறும்.
அதாவது,\({ 6 }^{ n }-5=1++25(^{ n }{ C }_{ 2 }+^{ n }{ C }_{ 3 }5+......+^{ n }{ C }_{ n }{ 5 }^{ n-2 })1+25k,k\epsilon N\)
இதிலிருந்து, 6ⁿ - 5n ஐ 25 ஆல் வகுக்கும் போது மீதி 1 என அறியலாம். இது எல்லா இயல் எண் 'n'-க்கும் பொருந்தும்.