\(\log \ y=\log x^{ \cos x }\Rightarrow \log y=\cos x.\log x\)
\(\frac { 1 }{ y } .\frac { dy }{ dx } =cosx.\frac { d }{ dx } (logx)+logx.\frac { d }{ dx } (cosx)\)
\(\frac { 1 }{ y } .\frac { dy }{ dx } =cosx\times \frac { 1 }{ x } +logx(-sinx)\)
\(=\frac { cosx }{ x } -sinx.logx\)
\(\Rightarrow \frac { dy }{ dx } =y[\frac { cosx }{ x } -sinx.logx]\)
\(\Rightarrow \frac { dy }{ dx } =x^{ cosx }[\frac { cosx }{ x } -sinx.logx]\)

\(f(x)=x\cos { x } \)
இப்போது \({ f }^{ ' }(x)=-x\quad \sin { x } +\cos { x } ,\) மற்றும் 
\({ f }^{ '' }(x)=-(x\cos { x } +\sin { x } )-\sin { x } \)
\(=-x\cos { x } -2\sin { x } \)

இருபக்கமும் மடக்கையை எடுக்க,
\(\log { y } =\frac { 3 }{ 4 } \log { x } +\frac { 1 }{ 2 } \log { ({ x }^{ 2 }+1) } -5\log { (3x+2) } \)
உட்படு வகையிடலின்படி,
\(\frac { { y }^{ ' } }{ y } =\frac { 3 }{ 4x } +\frac { 1 }{ 2 } \frac { 2x }{ { (x }^{ 2 }+1) } -\frac { 5 }{ 3x+2 } (3)\\ =\frac { 3 }{ 4x } +\frac { x }{ { (x }^{ 2 }+1) } -\frac { 15 }{ 3x+2 } \)
எனவே \(\frac { dy }{ dx } ={ y }^{ ' }=\frac { { x }^{ \frac { 3 }{ 4 } }\sqrt { { x }^{ 2 }+1 } }{ { (3x+2) }^{ 5 } } \left[ \frac { 3 }{ 4x } +\frac { x }{ { x }^{ 2 }+1 } -\frac { 15 }{ 3x+2 } \right] \)

\(u={ x }^{ 3 }-1\) என்க.
\(y={ u }^{ 100 }\) 
மற்றும் \(\frac { dy }{ dx } =\frac { dy }{ du } \times \frac { du }{ dx } \)
\(=100{ u }^{ 100-1 }\times (3{ x }^{ 2 }-0)\)
\(=100{ (x }^{ 3 }-1{ )^{ 99 } }\times 3{ x }^{ 2 }\)
\(=300{ x }^{ 2 } (x ^3 -1{ )^{ 99 } }.\)

\(f(x)=x-3\sin { x } \)
\(f'(x)=\frac { d }{ dx } (x)-3\frac { d }{ dx } (\sin x)=1-3 \cos x\).

\(f(x)=x|x|=\{ \begin{matrix} { x }^{ 2 }, & x\ge 0 \\ -{ x }^{ 2 }, & x<0 \end{matrix}\)
\(f'({ 0 }^{ - })={ \lim }_{ x\rightarrow { 0 }^{ - } }\frac { f(x)-f(0) }{ x-0 } \)
\(={ \lim }_{ x\rightarrow { 0 }^{ - } }\frac { { -x }^{ 2 }-0 }{ x-0 } \)
\(={ \lim }_{ x\rightarrow { 0 }^{ - } }\frac { { -x }^{ 2 } }{ x } ={ \lim }_{ x\rightarrow { 0 }^{ - } }(-x)=0\).....(1)
\(\therefore f'({ 0 }^{ + })={ \lim }_{ x\rightarrow { 0 }^{ + } }\frac { f(x)-f(0) }{ x-0 } \)
\(={ \lim }_{ x\rightarrow { 0 }^{ + } }\frac { { x }^{ 2 }-0 }{ x-0 } \)
\(={ \lim }_{ x\rightarrow { 0 }^{ + } }\frac { { x }^{ 2 } }{ x } ={ \lim }_{ x\rightarrow { 0 }^{ + } }x=0\).....(2)
\((1),(2)\Rightarrow f'({ 0 }^{ - })=f'({ 0 }^{ + })\)
f(x) = x|x|-க்கு x = 0 வகைமை உள்ளது 

f(x) = 6
f'(x)=\(\lim_{\triangle x\rightarrow0}{f(x+\triangle x )-f(x)\over \triangle x}\)
f(x) = 6
\(\Rightarrow f(x+\triangle x)=6\)
\(\therefore f'(x)=\lim_{\triangle x \rightarrow 0}{6-6\over \triangle x}=\lim_{\triangle x \rightarrow 0}{0\over \triangle x}=0\)
(1), (2) லிருந்து
\(\therefore f'(x)=0\)

படிநிலை (i) \({ f(x }_{ 0 })=7{ x }_{ 0 }+5.\)
எந்தவொரு  \(\Delta x\neq 0\)-க்கும்,
\({ f(x }_{ 0 }+\Delta x)=7{ (x }_{ 0 }+\Delta x)+5\)
\(=7{ x }_{ 0 }+7\Delta x+5\)
படிநிலை (ii)   \(\Delta y={ f(x }_{ 0 }+\Delta x)-{ f(x }_{ 0 })\)
\(=(7{ x }_{ 0 }+7\Delta x+5)-(7{ x }_{ 0 }+5) =7\Delta x\)
படிநிலை (iii) \(\frac { \Delta y }{ \Delta x } =7\)
எனவே,  \(f(x)=7x+5\) எனும் வளைவரையில் உள்ள எந்தவொரு புள்ளிக்கும்,
படிநிலை (iv) \({ m }_{ tan }=\lim _{ \Delta x\rightarrow 0 }{ \frac { \Delta y }{ \Delta x } } \)
\(=\lim _{ \Delta x\rightarrow 0 }{ (7) } =7\)

f'(x)=4x+3
f'(0)=3
f'(0)=3
f'(-1)=-1
∴ f'(0)+3f(-1)=3+3(-1)=3-3=0

u =\(\sin { { x }^{ 2 } } \) மற்றும் v=\({ x }^{ 2 }\)
\(\Rightarrow \frac { du }{ dx } =cos({ x }^{ 2 }).\frac { d }{ dx } ({ x }^{ 2 })\)
\(=2xcos{ x }^{ 2 }\) மற்றும் \(\frac { dv }{ dx } =2x=2x\cos { x }^{ 2 }\)
\(\frac { du }{ dv } =\frac { \frac { du }{ dx } }{ \frac { dv }{ dx } } =\frac { 2x\cos { x }^{ 2 } }{ 2x } \)
\(\frac { du }{ dv } =cos{ x }^{ 2 }\)

\(y=\tan ^{ -1 }{ \left( \frac { 6x }{ 1-9{ x }^{ 2 } } \right) } \)என்க 
\(\frac { dy }{ dx } =\frac { 1 }{ 1+{ \left( \frac { 6x }{ 1-9{ x }^{ 2 } } \right) }^{ 2 } } .\frac { d }{ dx } \left( \frac { 6x }{ 1-9{ x }^{ 2 } } \right) \)
\(=\frac { 1 }{ 1+\frac { 36x^{ 2 } }{ (1-9x^{ 2 })^{ 2 } } } .\left[ \frac { (1-9x^{ 2 })(6)-6x(-18x) }{ (1-9x^{ 2 })^{ 2 } } \right] \)
\(=\frac { (1-9x^{ 2 })^{ 2 } }{ (1-9x^{ 2 })^{ 2 }+36x^{ 2 } } \times \left( \frac { 6-54x^{ 2 }+108x^{ 2 } }{ (1-9x^{ 2 })^{ 2 } } \right) \)
\(=\frac { (6+54x^{ 2 }) }{ 1+81x^{ 4 }-18x^{ 2 }+36x^{ 2 } } \)
\(=\frac { (6)(1+9x^{ 2 }) }{ 1+81x^{ 4 }-18x^{ 2 } } \)
\(=\frac { 6(1+9x^{ 2 }) }{ (1-9x^{ 2 })^{ 2 } } =\frac { 6 }{ 1+9x^{ 2 } } \)

\(y=\tan ^{ -1 }{ \left( \frac { 1+x }{ 1-x } \right) } \)
\(\frac { 1+x }{ 1-x } =t\) என்க 
எனவே, \(y=\tan ^{ -1 }{ t } \)
\(\frac { dy }{ dx } =\frac { d }{ dt } (\tan ^{ -1 }{ t } ).\frac { dt }{ dx } \) 
\(=\frac { 1 }{ 1+{ t }^{ 2 } } .\frac { (1-x)+(1+x)(-1) }{ (1-x{ ) }^{ 2 } } \)
\(=\frac { 1 }{ 1+{ \left( \frac { 1+x }{ 1-x } \right) }^{ 2 } } .\frac { (1-x)+(1+x) }{ (1-x{ ) }^{ 2 } } =\frac { 1 }{ 1+x^{ 2 } } .\)

\(g^{ ' }(t)=9\left( \frac { t-2 }{ 2t+1 } \right) ^{ 9-1 }\frac { d }{ dt } \left( \frac { t-2 }{ 2t+1 } \right) \)
\(=9\left( \frac { t-2 }{ 2t+1 } \right) ^{ 8 }\left[ \frac { (2t+1)\frac { d }{ dt } (t-2)-(t-2)\frac { d }{ dt } (2t+1) }{ { (2t+1) }^{ 2 } } \right] \)
\(=9\left( \frac { t-2 }{ 2t+1 } \right) ^{ 8 }\left[ \frac { (2t+1)\times 1-(t-2)\times 2 }{ { (2t+1) }^{ 2 } } \right] \)
\(=9\left( \frac { t-2 }{ 2t+1 } \right) ^{ 8 }\left[ \frac { 2t+1-2t+4 }{ { (2t+1) }^{ 2 } } \right] \)
\(=\frac { 45(t-2{ ) }^{ 8 } }{ { (2t+1) }^{ 10 } } \)

\(y=x\ \sin { x } \cos { x } \)
\(\frac { dy }{ dx } =x \sin x.\frac { d }{ dx } (\cos x)+x.\frac { d }{ dx } (\sin x).\cos x+\frac { d }{ dx } (x).\sin x \cos x\)
[வகுத்தல் விதிப்படி]
=xsinx(-sinx)+xcosx.cosx+1.sinxcosx
=-xsin²x+xcos²x+sinxcosx
=x(cos²x-sin²x)+sinxcosx
\({dy\over d x}=\)xcos²x+sin x cos x[\(\because { cos }^{ 2 }x-{ sin }^{ 2 }x=cos2x\)]

\(y={ (\cos ^{ -1 }{ x } ) }^{ 2 }\)
'x'-ஐப் பொறுத்து வகைப்படுத்த 
\(y'=2.cos^{ -1 }x.\frac { d }{ dx } (cos^{ -1 }x)\)
\(\Rightarrow y'=2.cos^{ -1 }x\frac { -1 }{ \sqrt { 1-x^{ 2 } } } \)
\(\Rightarrow y'\sqrt { 1-x^{ 2 } } =2.cos^{ -1 }x\)
இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த 
\((y')^{ 2 }(1-x^{ 2 })=4(cos^{ -1 }x)^{ 2 }\)
'x'-ஐப் பொறுத்து மீண்டும் வகைப்படுத்த 
\((y')^{ 2 }(-2x)+(1-x^{ 2 })=2y'.y''=4(2)cos^{ -1 }x.\frac { d }{ dx } (cos^{ -1 }x)\)
\(\Rightarrow -2x(y')^{ 2 }+2(1-x^{ 2 })y'.y''\)
\(=8cos^{ -1 }x.\frac { -1 }{ \sqrt { 1-x^{ 2 } } } \)
\(\Rightarrow -2x(y')^{ 2 }+2(1-x^{ 2 })y'.y''\)
\(=4\left( \frac { -2cos^{ -1 }x }{ \sqrt { 1-x^{ 2 } } } \right) \)
\(\Rightarrow -2x(y')^{ 2 }+2(1-x^{ 2 })y'.y''=4y'\)[(1)லிருந்து]
2'y ஆல் இருபுறமும் வகுக்க 
\(-xy'+(1-x^{ 2 })y''=2\)
\(\Rightarrow (1-x^{ 2 })y''-xy'-2=0\)
\(\Rightarrow \) ஆதாவது\((1-x^{ 2 })\frac { d^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } -x\frac { dy }{ dx } -2=0\)
எனவே நிருபிக்கப்பட்டது. 

\(​​​​s(t)=\sqrt [4 ]{ \frac { { t }^{ 3 }+1 }{ { t }^{ 3 }-1 } } =({ t }^{ 3 }+1)^{ \frac { 1 }{ 4 } }({ t }^{ 3 }-1)^{ \frac { -1 }{ 4 } }\)
\(u={ t }^{ 3 }+1\)மற்றும்\(v={ t }^{ 3 }-1\)என்க.
\(\Rightarrow \frac { du }{ dt } =3{ t }^{ 2 }\)மற்றும்\(\frac { dv }{ dx } =3{ t }^{ 2 }\)
\(\therefore s(t)=u^{ \frac { 1 }{ 4 } }.v^{ \frac { -1 }{ 4 } }\)
\(s'(t)=u^{ \frac { 1 }{ 4 } }.({ \frac { -1 }{ 4 } })v^{ \frac { -1 }{ 4 } -1 }.\frac { 1 }{ 4 } u^{ \frac { -1 }{ 4 } -1 }.\frac { du }{ dt } \)
\(=\frac { -u^{ \frac { 1 }{ 4 } }v^{ -\frac { 5 }{ 4 } } }{ 4 } (3{ t }^{ 2 })+\frac { v^{ -\frac { 1 }{ 4 } }.u^{ -\frac { 3 }{ 4 } } }{ 4 } (3{ t }^{ 2 })\)
\(=\frac { -({ t }^{ 3 }+1)^{ \frac { 1 }{ 4 } }({ t }^{ 3 }-1)^{ -\frac { 5 }{ 4 } } }{ 4 } .(3{ t }^{ 2 })\)
\(+\frac { ({ t }^{ 3 }+1)^{ -\frac { 1 }{ 4 } }({ t }^{ 3 }-1)^{ -\frac { 3 }{ 4 } } }{ 4 } (3{ t }^{ 2 })\)
\(=\frac { -3{ t }^{ 2 } }{ 4 } \frac { ({ t }^{ 3 }+1)^{ \frac { 1 }{ 4 } } }{ ({ t }^{ 3 }+1)^{ \frac { 5 }{ 4 } } } +\frac { 3{ t }^{ 2 } }{ 4 } \frac { ({ t }^{ 3 }-1)^{ -\frac { 3 }{ 4 } } }{ ({ t }^{ 3 }+1)^{ \frac { 1 }{ 4 } } } \)
\(=-\frac { 3{ t }^{ 2 } }{ 4 } \left[ \frac { 1 }{ ({ t }^{ 3 }-1)^{ \frac { 5 }{ 4 } }({ t }^{ 3 }+1)^{ \frac { 1 }{ 4 } } } -\frac { 1 }{ ({ t }^{ 3 }-1)^{ \frac { 1 }{ 4 } }({ t }^{ 3 }+1)^{ \frac { 1 }{ 4 } } } \right] \)
\(=-\frac { 3{ t }^{ 2 } }{ 4 } \left[ \frac { ({ t }^{ 3 }+1)-({ t }^{ 3 }-1) }{ ({ t }^{ 3 }-1)^{ \frac { 5 }{ 4 } }({ t }^{ 3 }+1)^{ \frac { 3 }{ 4 } } } \right] \)
\(=-\frac { 3{ t }^{ 2 } }{ 4 } \left[ \frac { { t }^{ 3 }+1-{ t }^{ 3 }+1 }{ ({ t }^{ 3 }-1)^{ \frac { 5 }{ 4 } }({ t }^{ 3 }+1)^{ \frac { 3 }{ 4 } } } \right] \)
\(=-\frac { 3{ t }^{ 2 } }{ 4 } \left[ \frac { 2 }{ ({ t }^{ 3 }-1)^{ \frac { 5 }{ 4 } }({ t }^{ 3 }+1)^{ \frac { 3 }{ 4 } } } \right] =\frac { -3{ t }^{ 2 } }{ 2({ t }^{ 3 }-1)^{ \frac { 5 }{ 4 } }({ t }^{ 3 }+1)^{ \frac { 3 }{ 4 } } } \)