இங்கு sine சார்பு வெளிப்புறச் சார்பாகவும் வர்க்க சார்பு உட்சார்பாகவும் உள்ளது.
u = x²  எனக்.
அதாவது, \(y=\sin { u. } \)
எனவே, \(\frac { dy }{ dx } =\frac { dy }{ du } \times \frac { du }{ dx } \)
\(=\cos { u\quad \times } (2x)\\ =\cos { { (x }^{ 2 }) } .2x\\ =2x\cos { { (x }^{ 2 }) } .\)

\(\frac { 1 }{ x } -1\le \left\lfloor \frac { 1 }{ x } \right\rfloor \le \frac { 1 }{ x } +1\)
\(\frac { 2 }{ x } -1\le \left\lfloor \frac { 2 }{ x } \right\rfloor \le \frac { 2 }{ x } +1\)

\( \frac { 15 }{ x } -1\le \left\lfloor \frac { 15 }{ x } \right\rfloor \le \frac { 15 }{ x } +1\)
கூடுதல் காண,
\(\frac { 120 }{ x } -15\le \left\lfloor \frac { 1 }{ x } \right\rfloor +\left\lfloor \frac { 2 }{ x } \right\rfloor +...+\left\lfloor \frac { 15 }{ x } \right\rfloor \le \frac { 120 }{ x } +15\)
\(120-15x\le x\left[ \left\lfloor \frac { 1 }{ x } \right\rfloor +\left\lfloor \frac { 2 }{ x } \right\rfloor +...+\left\lfloor \frac { 15 }{ x } \right\rfloor \right] \le 120+15x\)
\(\lim _{ x\rightarrow { 0 }^{ + } }{ (120-15x) } \le \lim _{ x\rightarrow { 0 }^{ + } }{ x\left[ \left\lfloor \frac { 1 }{ x } \right\rfloor +\left\lfloor \frac { 2 }{ x } \right\rfloor +...+\left\lfloor \frac { 15 }{ x } \right\rfloor \right] } \le \lim _{ x\rightarrow { 0 }^{ + } }{ (120+15x) } \)
\(120\le \lim _{ x\rightarrow { 0 }^{ + } }{ x\left[ \left\lfloor \frac { 1 }{ x } \right\rfloor +\left\lfloor \frac { 2 }{ x } \right\rfloor +...+\left\lfloor \frac { 15 }{ x } \right\rfloor \right] } \le 120\)
\(\lim _{ x\rightarrow { 0 }^{ + } }{ x\left[ \left\lfloor \frac { 1 }{ x } \right\rfloor +\left\lfloor \frac { 2 }{ x } \right\rfloor +...+\left\lfloor \frac { 15 }{ x } \right\rfloor \right] } =120.\)

\(\angle A,\angle B,\angle C\) என்பது ஒரு கூட்டுத் தொடர் வரிசையில் அமையும் 
\(\therefore 2\angle B=\angle A+\angle C\)
\(\Rightarrow 3\angle B=\angle A+\angle B+\angle C\) இரு புறமும் \(\angle B\)ஐக் கூட்ட 
\(\Rightarrow 3\angle B=180^{ 0 }\)
\(\Rightarrow \angle B=\cfrac { 180^{ 0 } }{ 3 } =60^{ 0 }\)
\(\cfrac { b }{ c } =\cfrac { sin\quad B }{ sin\quad C } \)
\(\Rightarrow \cfrac { \sqrt { 3 } }{ \sqrt { 2 } } =\cfrac { sin\quad 60^{ 0 } }{ sin\quad C } \)
\(\Rightarrow \cfrac { \sqrt { 3 } }{ \sqrt { 2 } } =\cfrac { { \sqrt { 3 } }/{ 2 } }{ sinC } \)
\(\Rightarrow \quad sin\quad C=\cfrac { \sqrt { 3 } }{ 2\sqrt { 3 } } \times \sqrt { 2 } =\cfrac { \sqrt { 2 } }{ 2 } =\cfrac { \sqrt { 2 } }{ \sqrt { 2 } \times \sqrt { 2 } } =\cfrac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \)
\(\Rightarrow \quad \angle C=45^{ 0 }\)
\(\angle A=180^{ 0 }-\left( \angle B+\angle C \right) =180-\left( 60+45 \right) =75^{ 0 }\)
\(\angle A=75^{ 0 },\angle B=60^{ 0 },\angle C=45^{ 0 }\)

p ஒரு தளத்திலுள்ள அனைத்து முக்கோணங்களின் கணம் என்க.
p-ல் R என்ற தொடர்பானது "a ஆனது b-ன் வடிவொத்தவையாக இருப்பின் aRb " என வரையறுக்கப்படுகிறது.
a,b,c\(\in \)P என்க.
தற்சுட்டு:
a R a\(\Rightarrow \)a ஆனது a க்கு வடிவொத்தது. a\(\in \)P
∴R ஒரு தற்சுட்டு.
சமச்சீர் தொடர்பு:
a R b \(\Rightarrow \)b R a 
a ஆனது b க்கு வடிவொத்தது.
b ஆனது a க்கு வடிவொத்தது. a,b \(\in \)P
∴R ஒரு சமச்சீர் தொடர்பு.
கடப்புத்  தொடர்பு: 
a R b, b R a \(\Rightarrow \) a R c
a ஆனது b க்கு வடிவொத்தது.
b ஆனது c க்கு வடிவொத்தது.
\(\therefore\) a ஆனது c க்கு வடிவொத்தது.
a,b,c \(\in \)P∴ R ஒரு கடப்புத் தொடர்பு 
∴ R ஒரு சமானத் தொடர்பு ஆகும்.

0 < x < \(\frac { \pi }{ 2 } \) , 0 < y < \(\frac { \pi }{ 2 } \)
(x, y) I  கால் பகுதியில் அமைவதால் இவை அனைத்து முக்கோணவியல் விகிதங்களும் மிகையாகும்.
\(\sqrt { { 17 }^{ 2 }-{ 15 }^{ 2 } } =\sqrt { 289-225 } =\sqrt { 64 } \) = 8
\(\sqrt { { 13 }^{ 2 }-{ 12 }^{ 2 } } =\sqrt { 169-144 } =\sqrt { 25 } \) = 5

sin x = \(\frac { 15 }{ 17 } \)   sin y = \(\frac { 5 }{ 13 } \)
cos x = \(\frac { 8 }{ 17 } \) cos y = \(\frac { 12 }{ 13 } \)
tan x = \(\frac { 15 }{ 8 } \)  tan y = \(\frac { 5 }{ 12 } \)
cosec x = \(\frac { 17 }{ 15 } \)     cot y = \(\frac { 12 }{ 5 } \)
sec x = \(\frac { 17 }{ 8 } \)        cosec y = \(\frac { 13 }{ 5 } \)
cot x =  \(\frac { 8 }{ 15 } \)       sec y =  \(\frac { 13 }{ 12 } \)
cos (x - y) = cos x cos y + sin x sin y
= \(\frac { 8 }{ 17 } \times \frac { 12 }{ 13 } +\frac { 15 }{ 17 } \times \frac { 5 }{ 13 } \)
= \(\frac { 96 }{ 221 } +\frac { 75 }{ 221 } \) = \(\frac { 171 }{ 221 } \)
 

S என்பது கூறுவெளி,A என்பது இரட்டைப்படை எண் மற்றும் 
B என்பது மூன்றின் மடங்காக்க கிடைப்பதற்கான நிகழ்ச்சி என்க.
எனவே 
S ={1,2,3,4,5,6} \(\Rightarrow\)n(S)=6
A ={2,4,6}\(\Rightarrow\)n(A)=3
B ={3,6} \(\Rightarrow\)n(B)=2
தேவையான நிகழ்தகவுகள் 
(i) P(இரட்டைப்படை எண் கிடைக்க) =\(P(A)={n(A)\over n(S)}={3\over6}={1\over2}\)
(ii) P (மூன்றின் மடங்கு கிடைக்க)=\(P(B)={n(B)\over n(S)}={2\over6}={1\over3}\).

O-ஐ ஆதிபுள்ளியாகக் கொண்டு A,B,C என்ற புள்ளிகளின்  நிலை வெக்டர்கள்   \(2\hat { i } +4\hat { j } +3\hat { k } ,4\hat { i } +\hat { j } +9\hat { k } ,10\hat { i } -\hat { j } +6\hat { k } \quad \) என்க.
 \(\overline { OA } =2\hat { i } +4\hat { j } +3\hat { k } ,\overline { OB } =4\hat { i } +\hat { j } +9\hat { k } \ \overline { OC } =10\hat { i } -\hat { j } +6\hat { k } \)
\(\overline { AB } =\overline { OB } -\overline { OA } =(4\hat { i } +\hat { j } +9\hat { k } )-(2\hat { i } +4\hat { j } +3\hat { k } )=2\hat { i } -3\hat { j } +6\hat { k }\)
\(AB=\left| \overline { AB } \right| =\sqrt { { 2 }^{ 2 }+{ (-3) }^{ 2 }+{ 6 }^{ 2 } } =\sqrt { 4+9+36 } =7\)
\(\overline { BC } =\overline { OC } -\overline { OB } =(10\hat { i } -\hat { j } +6\hat { k } )-(4\hat { i } +\hat { j } +9\hat { k } )=6\hat { i } -2\hat { j } -3\hat { k }\)
\(BC=\left| \overline { BC } \right| =\sqrt { { 6 }^{ 2 }+{ (-2) }^{ 2 }+{ (-3) }^{ 2 } } =\sqrt { 36+4+9 } =7\)
\(\overline { CA } =\overline { OA } -\overline { OC } =(2\hat { i } +4\hat { j } +3\hat { k } )-(10\hat { i } -\hat { j } +6\hat { k } )=-8\hat { i } +5\hat { j } -3\hat { k } \)
\(CA=\left| \overline { CA } \right| =\sqrt { { (-8) }^{ 2 }+{ 5 }^{ 2 }+{ (-3) }^{ 2 } } =\sqrt { 64+24+9 } =\sqrt { 98 } \)
\({ BC }^{ 2 }=49,{ CA }^{ 2 }=98.{ AB }^{ 2 }=49\)
அதாவது \({ CA }^{ 2 }={ BC }^{ 2 }+{ AB }^{ 2 }.\)
எனவே கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தினை அமைக்கும் .

\(\left| \begin{matrix} a_{ 1 } & { b }_{ 1 } & { c }_{ 1 } \\ { a }_{ 2 } & { b }_{ 2 } & { c }_{ 2 } \\ { a }_{ 3 } & { b }_{ 3 } & { c }_{ 3 } \end{matrix} \right| \left| \begin{matrix} A_{ 1 } & B_{ 1 } & { C }_{ 1 } \\ { A }_{ 2 } & { B }_{ 2 } & { C }_{ 2 } \\ { A }_{ 3 } & { B }_{ 3 } & { C }_{ 3 } \end{matrix} \right| \)
\(=\left| \begin{matrix} a_{ 1 }A_{ 1 }+b_{ 1 }B_{ 1 }+c_{ 1 }C_{ 1 }\quad & a_{ 1 }A_{ 2 }+b_{ 1 }B_{ 2 }+c_{ 1 }C_{ 2 } & \quad a_{ 1 }A_{ 3 }+b_{ 1 }B_{ 3 }+c_{ 1 }C_{ 3 } \\ a_{ 2 }A_{ 1 }+b_{ 2 }B_{ 1 }+c_{ 2 }C_{ 1 }\quad & a_{ 2 }A_{ 2 }+b_{ 2 }B_{ 2 }+c_{ 2 }C_{ 2 } & \quad a_{ 2 }A_{ 3 }+b_{ 2 }B_{ 3 }+c_{ 2 }C_{ 3 } \\ a_{ 3 }A_{ 1 }+b_{ 3 }B_{ 1 }+c_{ 3 }C_{ 1 }\quad & a_{ 3 }A_{ 2 }+b_{ 3 }B_{ 2 }+c_{ 3 }C_{ 2 } & \quad a_{ 3 }A_{ 3 }+b_{ 3 }B_{ 3 }+c_{ 3 }C_{ 3 } \end{matrix} \right| \)
\(=\left| \begin{matrix} \left| A \right| & 0 & 0 \\ 0 & \left| A \right| & 0 \\ 0 & 0 & \left| A \right| \end{matrix} \right| =\left| A \right| ^{ 3 }\)
\(\left| A \right| \times \left| \begin{matrix} A_{ 1 } & B_{ 1 } & { C }_{ 1 } \\ { A }_{ 2 } & { B }_{ 2 } & { C }_{ 2 } \\ { A }_{ 3 } & { B }_{ 3 } & { C }_{ 3 } \end{matrix} \right| =\left| A \right| ^{ 3 }\)
\(\Rightarrow \left| \begin{matrix} A_{ 1 } & B_{ 1 } & { C }_{ 1 } \\ { A }_{ 2 } & { B }_{ 2 } & { C }_{ 2 } \\ { A }_{ 3 } & { B }_{ 3 } & { C }_{ 3 } \end{matrix} \right| =\left| A \right| ^{ 2 }\)

S_n=8+88+888+8888+.....
=8(1+11+111+1111+.....)n உறுப்புகள் கூடுதல் வரை
=\(\frac{8}{9}\)(9+99+999+....)9 ஆல் பெருக்கி வகுக்க
=\(\frac{8}{9}\)[(10-1)+(100-1)+(1000-1)+.......]
Sn=\(\frac{8}{9}\)[(10¹+10²+10³+......+10ⁿ)]-(1+1+1+.....+1, n உறுப்புகள்)]
10¹+10²+10³+......+10ⁿ, a=10, r =10 இது ஒரு G.P.
∴ s_n=\(\frac { a({ r }^{ n }-1) }{ (r-1) } =\frac { 10({ 10 }^{ n }-1) }{ 10-1 } =\frac { 10 }{ 9 } \)(10ⁿ-1)
1+1+1+........n உறுப்புகள் வரை =n.
(1) ல் இந்த மதிப்புகளை பிரதியிட
∴ s_n=\(\frac { 8 }{ 9 } \left[ \frac { 10({ 10 }^{ n }-1)-n }{ 9 } \right] =\frac { 8 }{ 81 } \)[10(10ⁿ-1)-9n]

கொடுக்கப்பட்ட கோட்டின் சமன்பாடு 12x²+2kxy+2y²+11x-5y+2=0 
இங்கு a=12, h=k, b=2, g=\(\frac {11}{2}\),f=\(\frac {-5}{2}\), c=2
இரட்டை இணை கோடுகளுக்கான கட்டுப்பாடு
⟶abc+2 fgh-af²-bg²-ch²=0 
12(2)(2)+(-5)(\(\frac{1}{2}\))(k)-12(\(\frac{25}{4}\))-2(\(\frac{121}{4}\))-2k²=0

முழுவதையும் 4 ஆல் பெருக்க
192-110 k-300-242-8k²=0
\(\Rightarrow \)-8k²-110k-350=0
\(\Rightarrow \)4k²+55k +175=0
\(\Rightarrow \)(k-5)(4k+35)=0
\(\Rightarrow \)k=-5 (அ) k =\(\frac {-35}{4}\)

P(n) =(n³-7n+3) என்க.
(n³-7n+3) ஆனது 3 ஆல் வகுபடும்.
படி (1)
\(\Rightarrow \)n =1 என்க.
1³-7(1)+3=-3 - ஆல் வகுபடும்.
\(\therefore \)P(1) என்பது உண்மை
படி (2)
\(\Rightarrow \)P(k) உண்மை எனக் கொள்வோம்.
k³-7k+3 ஆனது 3 ஆல் வகுபடும்
k³-7k+3=3m -----(1)
படி (3)
\(\Rightarrow \)P(k+1) உண்மை எனக் நிரூபிப்போம்
(k+1)³-7(k+1)+3
=k³+3k²+3k+1-7+3
=(k³-7k+3)+(3k²+3k-6)
=3m+3(k²+k-2) [(1) ஐ பயன்படுத்த]
=3[m +k²+k-2] 3 ஆல் வகுபடும்
\(\therefore \)P(k+1) -ம் உண்மை. எனவே கணிதத் தொகுத்தறிதல் கொள்கையின்படி n-ன் எல்லா மதிப்புகளும் P(n) உண்மை என நிரூபிக்கப்பட்டது.

\(A+B+C=\frac { \pi }{ 2 } \)
\(\sin { 2A } +\sin { 2B } +\sin { 2C } \)
= \(2sin\left( \cfrac { 2A+2B }{ 2 } \right) cos\left( \cfrac { 2A-2B }{ 2 } \right) +2sin\quad CcosC\)
= 2sin (A+B) cos(A-B)+2sin C cosC
= \(2sin\left( \cfrac { 2A+2B }{ 2 } \right) cos\left( \cfrac { 2A-2B }{ 2 } \right) +2sin\quad CcosC\)
= 2cos C cos (A-B)+2sinC cos C
= \(2cos C\left[ cos(A-B)+sin\left( \cfrac { \pi }{ 2 } -(A+B) \right) \right] \)
= 2cosC[cos (A-B)+cos(A+B)]
= 2cosC.2cos A.cosB
= 4cos Acos B cos C
= R.H.S
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

1.y = sin(-x)

y = sin x-ன் வரைபடம் y = sin x-வரைபடத்தின் y-அச்சை பொறுத்த பிரதிபலிப்பு வரைபடமாகும்.
2. y = -sin(-x)

y = -sin(-x)-ன் வரைபடம் x அச்சைப் பொறுத்து sin(-x)ன் பிரதிபலிப்பு வரைபடமாகும் 
3.\(y=sin({\pi \over 2}+x)\)

y = sin x
\(sin({\pi \over 2}+x)\) -ன் வரைபடம் sin x வரைபடத்தை \({\pi\over2}\)அலகுகள் இடப்பக்க நகர்வினால் பெறப்படுகிறது.
4.\(y=sin({\pi \over 2}-x)\)

y = sin x
\(sin({\pi \over 2}-x)\) -ன் வரைபடம்  sin x வரைபடத்தை \({\pi\over2}\)அலகுகள் வலப்பக்க நகர்வினால் பெறப்படுகிறது.

இதை நிறுவ, 6ⁿ - 5n = 25k + 1, k என்பது ஒரு இயல் எண், என நிறுவினால் போதுமானது
எனில், \({ \left( 1+x \right) }^{ 6 }=^{ n }{ C }_{ 0 }+^{ n }{ C }_{ 1 }{ x }+^{ n }{ C }_{ 2 }{ x }^{ 2 }+.....+^{ n }{ C }_{ n-1 }{ x }^{ n-1 }+^{ n }{ C }_{ n }{ x }^{ n },n\epsilon N\)
x = 5 என எடுத்துக் கொள்ள ,\({ \left( 1+5 \right) }^{ n }=^{ n }{ C }_{ 0 }+^{ n }{ C }_{ 1 }5+^{ n }{ C }_{ 2 }{ 5 }^{ 2 }+.....+^{ n }{ C }_{ n-1 }{ 5 }^{ n-1 }+^{ n }{ C }_{ n }{ 5 }^{ n }\)என கிடைக்கும்
மேலே உள்ள சமன்பாடு,\({ 6 }^{ n }=1+5x+25(^{ n }{ C }_{ 2 }+^{ n }{ C }_{ 3 }5+......+^{ n }{ C }_{ n }{ 5 }^{ n-2 })\)என மாறும்.
அதாவது,\({ 6 }^{ n }-5=1++25(^{ n }{ C }_{ 2 }+^{ n }{ C }_{ 3 }5+......+^{ n }{ C }_{ n }{ 5 }^{ n-2 })1+25k,k\epsilon N\)
இதிலிருந்து, 6ⁿ - 5n ஐ 25 ஆல் வகுக்கும் போது மீதி 1 என அறியலாம். இது எல்லா இயல் எண் 'n'-க்கும் பொருந்தும்.

P(n)=\(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{n(n+1)}=\frac{n}{n+1}\)
n = 1 என பிரதியிட
\(P(n)=\frac{1}{1.2}=\frac{1}{2}\)
எனவே, P(1) உண்மை.
n = k-க்கு இந்த கூற்றை உண்மை எனக் கொள்வோம்.
எனவே, \(P(k)=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{k(k+1)}=\frac{k}{k+1}\)
இப்பொழுது P(k+1) என்பது உண்மை என நிறுவவேண்டும்.
\(P(k+1)=\underbrace{\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{k(k+1)}}+\frac{1}{(k+1)(k+2)}\)
=\(P(k)+\frac{1}{(k+1)(k+2)}\)
=\(\frac{k}{(k+1)}+\frac{1}{(k+1)(k+2)}\)
=\(\frac{1}{(k+1)}(\frac{k}{1}+\frac{1}{k+2})\)
=\(\frac{1}{(k+1)}(\frac{k^{2}+2k+1}{k+2})\)
=\(\frac{1}{(k+1)}\left(\frac{(k+1)^{2}}{k+2}\right )=\frac{(k+1)}{(k+2)}\)
எனவே P(k+1) என்பது உண்மை.
P(k) உண்மை எனக் கொண்டு P(k+1) உண்மை என நிறுவியுள்ளோம்.
எனவே கணிதத் தொகுத்தறிதல்படி, எல்லா இயல் எண்கள் n-க்கும்,
\(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{n(n+1)}=\frac{n}{n+1}\).

\(\frac { \cos ^{ 4 }{ \alpha } }{ \cos ^{ 2 }{ \beta } } +\frac { \cos ^{ 4 }{ \alpha } }{ \cos ^{ 2 }{ \beta } } \)
⇒ \(\frac { \cos ^{ 4 }{ \alpha } .\sin ^{ 2 }{ \beta } }{ \cos ^{ 2 }{ \beta } .\sin ^{ 2 }{ \beta } } +\frac { \cos ^{ 2 }{ \beta } .\sin ^{ 4 }{ \alpha } }{ \cos ^{ 2 }{ \beta } \sin ^{ 2 }{ \beta } } \)
⇒ \(\cos ^{ 4 }{ \alpha } \sin ^{ 2 }{ \beta } +\cos ^{ 2 }{ \beta } \sin ^{ 4 }{ \alpha } =\cos ^{ 2 }{ \beta } \sin ^{ 2 }{ \beta } \)
⇒ \(\cos ^{ 4 }{ \alpha } \left( 1-\cos ^{ 2 }{ \beta } \right) +\cos ^{ 2 }{ \beta } { \left( 1-\cos ^{ 2 }{ \alpha } \right) }^{ 2 }=\cos ^{ 2 }{ \beta } \left( 1-\cos ^{ 2 }{ \beta } \right) \)
⇒ \(\cos ^{ 4 }{ \alpha } -\cos ^{ 4 }{ \alpha } .\cos ^{ 2 }{ \beta } +\cos ^{ 2 }{ \beta } +\cos ^{ 2 }{ \beta } \cos ^{ 4 }{ \alpha } -2\cos ^{ 2 }{ \beta } \cos ^{ 2 }{ \alpha } =\cos ^{ 2 }{ \beta } -\cos ^{ 4 }{ \beta } \)
⇒ \(\cos ^{ 4 }{ \alpha } -2\cos ^{ 2 }{ \beta } \cos ^{ 2 }{ \alpha } +\cos ^{ 4 }{ \beta } \) = 0
⇒ \({ \left( \cos ^{ 2 }{ \alpha } -\cos ^{ 2 }{ \beta } \right) }^{ 2 }\) = 0
⇒ \(\cos ^{ 2 }{ \alpha } =\cos ^{ 2 }{ \beta } \)     ....(1)
⇒ \(1-\sin ^{ 2 }{ \alpha } =1-\sin ^{ 2 }{ \beta } \)
⇒ \(\sin ^{ 2 }{ \alpha } =\sin ^{ 2 }{ \beta } \)   ....(2)
\(\frac { \cos ^{ 4 }{ \beta } }{ \cos ^{ 2 }{ \alpha } } +\frac { \sin ^{ 2 }{ \beta } }{ \sin ^{ 2 }{ \alpha } } \) = 1
LHS = \(\frac { \cos ^{ 4 }{ \beta } }{ \cos ^{ 2 }{ \alpha } } +\frac { \sin ^{ 4 }{ \beta } }{ \sin ^{ 2 }{ \alpha } } \)
= \(\frac { \cos ^{ 2 }{ \beta } .\cos ^{ 2 }{ \beta } }{ \cos ^{ 2 }{ \alpha } } +\frac { \sin ^{ 2 }{ \beta } .\sin ^{ 2 }{ \beta } }{ \sin ^{ 2 }{ \alpha } } \)

= 1 = RHS எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது

b²x² - a²y² = a²b² எனக் காட்டுக. இங்கு θ என்பது ஒரு துணையலகு மாறி ஆகும்.
\(\Rightarrow h=\frac { a }{ 2 } (cosec\theta +sin\theta ),k=\frac { b }{ 2 } (cosec\theta -sin\ \theta )\)எனக்  கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
\(\Rightarrow \frac { 2h }{ a } =cosec\theta +sin\theta \) மற்றும் \(\frac { 2k }{ b } =cosec\theta -sin\theta \) இவற்றை வர்க்கப்படுத்தி கழிக்க
\(\Rightarrow { \left( \frac { 2h }{ a } \right) }^{ 2 }-{ \left( \frac { 2k }{ b } \right) }^{ 2 }={ (cosec\theta +sin\theta ) }^{ 2 }-{ (cosec\theta -sin\theta ) }^{ 2 }\)
\(\Rightarrow \frac { { 4h }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } -\frac { { 4k }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } ={ cosec }^{ 2 }\theta +{ sin }^{ 2 }\theta +2cosec\theta .sin\ \theta -({ cosec }^{ 2 }\theta -2cosec\theta .sin+{ sin }^{ 2 }\theta )\)

\(\Rightarrow \frac { { 4h }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } -\frac { { 4k }^{ 2 } }{ { b }^{ 2 } } =4cosec\theta sin\ \theta \)
\(4\left( \frac { { h }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } -\frac { { k }^{ 2 } }{ { b }^{ 2 } } \right) =4\)
                       
4 ஆல் வகுக்க
\(\Rightarrow \frac { { h }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } -\frac { { k }^{ 2 } }{ { b }^{ 2 } } =1\)
\(\Rightarrow\) b² h² -a²k² = a²b²
\(\therefore\) P (h, k)-ன் நியமப்பாதை b² x² - a² y² = a² b²

y =b^x மடக்கை வடிவில் எழுத \({ \log }_{ b }^{ y }=x\) இந்த மடக்கைச் சார்பின் சார்பகம் மிகை மெய்யெண்களின் கணமாகும் மற்றும்  வீச்சகம் மெய்யெண்கள் கணமாகும்.
log_by = x, (0, \(\infty \)), (-\(\infty \) ,\(\infty \))

x² - 5x + 6 இன் வர்க்கமூலத்தை நாம் கண்டறிய வேண்டும் என்பதால் சார்பகத்தில் இருக்கும் அனைத்து x -க்கும், x²-5x+6 > 0 என இருக்கவேண்டும். இதற்கு, கீழ்க்காணும் வழிமுறையைக் கையாளலாம். x²-5x+6 = 0 எனும் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க x = 2 மற்றும் 3 என இரு மதிப்புகள் கிடைக்கும். படத்தில் உள்ளவாறு எண்கோடு வரைக

இப்போது நமக்கு மூன்று இடைவெளிகள் (-∞, 2), (2, 3) மற்றும் (3, ∞) எனக் கிடைக்கும்.
(i) (-∞, 2) -ல் ஏதேனும் ஒரு புள்ளி x = 1 -க்கு தெளிவாக x²– 5x + 6 ஒரு மிகையெண்
(ii) (2, 3) ல் ஏதேனும் ஒரு புள்ளி x = 2.5 -க்கு தெளிவாக x²– 5x + 6 ஒரு குறையெண்
(iii) (3, ∞) -ல் ஏதேனும் ஒரு புள்ளி x = 4 -க்கு தெளிவாக x²– 5x + 6 ஒரு மிகையெண்
(-∞, 2) மற்றும் (3, ∞) ஆகிய இடைவெளிகளில் உள்ள அனைத்து x -க்கும் x²– 5x + 6 ஒரு மிகையெண்.மேலும், x = 2 மற்றும் 3 ஆகிய மதிப்புகளில் x²– 5x + 6 பூஜ்ஜியமாகிறது. அதாவது (-∞, 2] மற்றும் [3, ∞) ஆகிய இடைவெளிகளில் x²– 5x + 6 > 0.எனவே \(\sqrt{x^2-5x+6}\) -ன் மீப்பெரு சார்பகம் (-∞, 2] U [3, ∞)ஆகும்.